MMII_L2_c2: Clasificacin de las ecuaciones y Formas Cannicas

MMII_L2_c2: Clasificacin de las ecuaciones y Formas Cannicas

MMII_L2_c2: Clasificación de las ecuaciones. Formas
Canónicas
Guión:
En esta clase nos basamos en la definición de las Curvas Características (CC) de la
anterior, para introducir la clasificación de las ecuaciones, el tipo de CC marcará
totalmente las propiedades de la solución de cada tipo.
Las Formas Canónicas (FC) de las ecuaciones van a estar ligadas al cambio de variable
independiente que nos permitirá identificar la teoría con la de las Cuádricas asociadas a
los tipos, lo que sigue son ejemplos para obtenerlas, en general resultará ventajoso la
resolución de los problemas a partir de las FC. En los ejemplos académicos al menos,
será posible la resolución del Problema de Cauchy directamente con ayuda de su FC.
Los libros recomendados para esta parte son los mismos indicados en la clase anterior.
Ejercicio propuesto: Dada la ecuación:
( x − 2 y )(2u xx + u xy ) + u y + 2u x = −2 exp( − x + 2 y + 2)
Se pide:
1. Clasificación, curvas características y forma canónica.
2. Solución general.
3. Solución de la homogénea con las condiciones: u ( x, x ) = 0; u y ( x, x) = g ( x) .
Solución en el caso que g ( x) = exp(− x )
Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a
clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.
Generalizando la expresión de la PCC:
Veamos otra forma de expresar la PCC, considerando la integración de su expresión,
obtendremos dos familias de curvas características: Φ ( x, y ) = C1 ;ψ ( x, y ) = C2 ,
derivando la primera relación, se obtiene:
φ
dy
dy
φx + φy
=0→
= − x , ∀φ y ≠ 0
dx
dx
φy
2
⎛ φ ⎞
⎛ φ ⎞
, sustituyendo en la ecuación: A⎜ − x ⎟ + C − 2 B⎜ − x ⎟ = 0 , nos queda:
⎜ φ ⎟
⎜ φ ⎟
y ⎠
y ⎠
⎝
⎝
2
w(φx ,φ y ) = Aφx + 2 Bφxφ y + Cφ y2 = 0
, de modo análogo con la otra familia de CC, obtenemos igualmente:
w(ψ x ,ψ y ) = Aψ x2 + 2 Bψ xψ y + Cψ y2 = 0
Llamando Lu = Au xx + 2 Bu xy + Cu yy − D = 0 ; Lu = ppLu − D , donde ppL ≡ es la
parte principal de la edp, que viene expresada por:
⎛ A B ⎞⎛ D x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟u
ppLu = (D x D y )⎜⎜
⎝ B C ⎠⎝ D y ⎠
, donde D x = ∂
∂x
, y la PCC viene expresada por :
(φ
x
⎛ A B ⎞⎛ φ x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0
B
C
⎝
⎠⎝ φ y ⎠
φ y )⎜⎜
Ej1_L1_c2: Obtener la PCC de las ecuaciones siguientes:
⎧φx = 0 → y = c1
uxxx − u xxy = 0 → φx3 − φx2φ y = φx2 (φx − φ y ) = 0 ⎨
1)
⎩φx − φy = 0 → y + x = c2
u x + c( x)u = 0
2)
3)
A B
1 0
=
= g ' = 0 ⇒ g = C1 ⇒ y = C1
f ' g'
f ' g'
φx = 0 → y = C1
u xx − u yy = 0
dy ± − AC
=
= ±1 → y ± x = C1
dx
A
φx2 − φ y2 = 0 = (φx + φ y )(φx − φ y ) → φx ± φ y = 0 → dx = ± dy =
u xx + u yy = 0 : φ x2 + φ y2 = 0 → φ = C1 , no existen pcc.
⎧ x + y = C1
dφ
→⎨
4)
0
⎩ x − y = C2
Formas canónicas de las ecuaciones de segundo orden, sl, 2vi.
Se trata de obtener la expresión canónica de cada tipo de ecuación, considerando
el primer término de ésta (llamado Parte Principal) mediante un cambio de variable
independiente, que nos lleve a las familias de curvas características constantes:
y
φ = cte
ψ = cte
ξ = φ ( x, y ) ⎫
⎬ Cambio de variable independiente
η = ψ ( x, y ) ⎭
(CVI)
Debe cumplirse que:
x
φx φ y
∂ (φ ,ψ )
≠0→
≠0
ψx ψy
∂ ( x, y )
Con el CVI, la ecuación Au
xx
+ 2 Bu
xy
+ Cu
yy
= D , se transforma en:
ω (φ x , φ y ) ⋅ uξξ + 2Ω((φ x , φ y ), (ψ x ,ψ y ) ) ⋅ uξη + ω (ψ x ,ψ y ) ⋅ uηη = D ' (ξ ,η , u , uξ , uη )
La forma canónica obtenida puede identificarse por la teoría de cuádricas:
⎛ A B ⎞⎛ α ' ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
siendo Ω una forma bilineal simétrica: Ω((α , β ), (α ' , β ' ) ) = (α , β )⎜⎜
B
C
⎝
⎠⎝ β ' ⎠
y ω su forma cuadrática asociada: ω (α , β ) = Ω((α , β ), (α , β ) )
Ecuaciones Hiperbólicas: r + ≠ r − ∈ funciones reales
Con el CVI:
ξ = φ ( x, y ) ⎫
⎬ operando se obtiene la Primera Forma Canónica de las
η = ψ ( x, y ) ⎭
ecuaciones hiperbólicas:
uξη =
D
= D ' ' (ξ ,η , u , uξ , uη )
2Ω
pues como hemos visto, ω (φ x ,φ y ) = ω (ψ x ,ψ y ) = 0 .
El cambio es correcto, es decir, se verifica:
φx φ y
∂ (φ ,ψ )
≠0→
≠0
ψx ψy
∂ ( x, y )
Veamos la demostración por reducción al absurdo:
Supongamos que: φ xψ y − ψ xφ y = 0 ↔
, pero como: r + = −
φx ψ x
=
φy ψ y
+
−
φx
φ ψ
, por tanto, sería: − r + = x = x = − r − → r = r
φy ψ y
φy
No sería Hiperbólica (absurdo).
ξ = t + z⎫
⎬ se obtiene la Segunda Forma
η = t − z⎭
ξ +η ⎫
t=
2 ⎪ , nos
Canónica de las ecuaciones hiperbólicas: realizando un nuevo CVI:
ξ −η ⎬
⎪
z=
2 ⎭
Realizando un segundo cambio de variable:
queda: uξ = u t tξ + u z zξ =
uξη =
1
(u t + u z ) ,
2
1
∂
1
1
(uξ ) = (u tt tη + u tz zη + u zt tη + u zz zη ) = (u tt − u tz + u ttz − u zz ) = (u tt − u zz ) ,
2
∂η
4
4
u tt − u zz = 4 D' ' (t , z, u, u t , u z ) : Segunda Forma Canónica
Comprobamos que :
∂ (ξ ,η ) 1 1
=
= −2 ≠ 0
∂ (t , z ) 1 −1
Ecuaciones Elípticas: r + y r − son funciones complejas conjugadas
Integrando la expresión de la PCC, obtenemos como antes, dos familias de CC,
ξ = φ ( x, y ) ⎫
complejas conjugadas, que utilizamos para definir el CVI:
⎬ , con el
η = ψ ( x, y ) ⎭
obtenemos la Forma Canónica: uξη = D , pero que da soluciones tanto reales como
complejas: Sólo nos interesan las reales, por lo que realizamos un segundo cambio de
variable para quedarnos con las partes real e imaginaria:
ξ = φ + iψ ⎫
⎬ ⇒ uφ φ + uψ ψ = D(φ ,ψ , u, uφ , uψ )
η = φ − iψ ⎭
Ambos CVI equivalen a realizar un único CVI tomando las partes real, Φ y la parte
ξ =φ ⎫
compleja, Ψ , de la familias de CC de partida, con lo que el CVI operativo es:
⎬
η =ψ ⎭
Ej1_L1_c3: u xx + yu yy = 0 , ∀y > 0
Δ = B 2 − AC = − y < 0 Elíptica ,
dy
dy
= ±idx → 2 y ± ix = C1
= r ± = ±i y ,
dx
y
ξ = 2 y⎫
CVI:
⎬
η=x ⎭
u x = uη
u y = uξ 1
;
y
u yy
u xx = uηη
uξ
1
1
→ uηη + uξξ −
=0
= uξξ − 3 2 uξ
ξ
y 2y
Ejercicio recomendado: u xx + yu yy − xu y + y = 0
Ecuaciones Parabólicas: r + = r − ≡ r funciones reales.
dy B
= = r ( x, y ) , solo obtenemos una única familia de
dx A
ξ = φ ( x, y ) ⎫
PCC: Φ ( x, y ) = C , con la que podemos definir el CVI siguiente:
⎬
η = x =ψ ⎭
De la expresión de la PCC:
El coeficiente ω (φ x , φ y ) = 0 , pero ω (ψ x ,ψ y ) = Aψ x2 + 2 Bψ xψ y + Cψ y2 , como
ψ x = 1;ψ y = 0 → ω (ψ x ,ψ y ) = A , con lo que nos queda:
⎛ A B ⎞⎛ 1 ⎞
⎛ A B ⎞⎛ψ x ⎞
⎟⎜⎜ ⎟⎟ = (φ x φ y )⎜⎜
⎟
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = Aφ x + Bφ y Y como además:
⎝ B C ⎠⎝ψ y ⎠
⎝ B C ⎠⎝ 0 ⎠
dy B ⎫
=
dx A ⎪ ⇒ − φ x = B → Aφ + Bφ = 0 ⇒ Ω = 0
⎬
x
y
dy
φy A
= 0⎪
φx + φ y
dx
⎭
La Forma Canónica de la ecuaciones parabólicas queda: uηη = D
Ω = (φ x
φ y )⎜⎜
El cambio de variable:
ξ = y =ψ ⎫
⎬ proporciona un resultado análogo:.
η = φ ( x, y ) ⎭
Ambos CVI son utilizables, aunque se aconseja elegir entre ambos el cambio de
variable donde cada recta x o y constantes corten a las curvas de la PCC en un solo
punto, de esta manera evitaremos complicaciones.
Ej2_L1_c3: φ ( x, y ) ≡ y − x 2 = C1
ξ =φ
1)
η=x
y
ξ =φ
2)
η=y
y
x
x
Ej3_L1_c2: y 2 u xx − 2 yu xy + u yy = u x + 6 y
Clasificación: Δ = y 2 − y 2 = 0 Parabólica
dy B − y − 1
y2
= = 2 =
+ x = C1
→ ydy + dx = 0 →
dx A y
y
2
Forma canónica; elección del cambio de variable independiente:
PCC:
El CVI más adecuado es: ξ = y ; η = x + y 2 2 ,
u
y la forma canónica es:
4) uξξ = 6ξ → uξ = 6
ξ
2
2
ξξ
=
6ξ
+ ϕ (η ) → u = ξ 3 + ξϕ (η ) + ψ (η )
y
x
⇒ u ( x, y ) = y 3 + yϕ (
y2
y2
+ x) + ψ ( + x) Solución general
2
2
Si planteamos ahora un problema de Cauchy: u ( x,0) = f ( x) ; u y ( x,0) = g ( x )
De la solución general: ⇒ u ( x,0) = ψ ( x ) = f ( x ) ;
y2
y2
y2
+ x) + y 2ϕ '( + x) + y 'ψ '( + x) ⇒ u y ( x,0) = ϕ ( x) = g ( x )
2
2
2
2
2
y
y
⇒ u ( x, y ) = y 3 + yg ( + x) + f ( + x) Solución particular.
2
2
y2
y2
Si fuera: f = sen x; g = cos x ⇒ u ( x, y ) = y 3 + y cos( + x) + sen( + x)
2
2
u y ( x, y ) = 3 y 2 + ϕ (