Unidad_06a_sol4¼A_ESO

61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 86
El maestro carpintero reparte entre sus dos ayudantes la construcción de un gran
armario. Y cada uno de ellos, a su vez, imagina su parte de la obra despiezada para poder construirla a partir de sus elementos.
Análogamente, en matemáticas, es conveniente a veces descomponer los números
y los polinomios en sus “piezas básicas” para trabajar con ellos.
El producto de las edades de tres hermanos es 240, y no se llevan más de tres
años. ¿Cuáles son dichas edades?
Para resolver este problema, descompón 240 en factores primos y con los factores compón tres números que cumplan las condiciones exigidas.
Con los polinomios se puede hacer como con los números: descomponerlos en
factores. Es lo que aprenderemos en esta unidad.
Descomponiendo 240 en factores primos, obtenemos:
240 = 2 4 · 3 · 5 → 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5
Tomando 2 · 2 · 2 = 8, 2 · 3 = 6 y 5 obtenemos tres números que cumplen las condiciones exigidas.
Las edades de los tres hermanos son 5, 6 y 8 años.
Página 87
1 Saca factor común en cada uno de los siguientes polinomios:
a) A (x) = 3x 3 – 2x 2 + 5x
b) B (x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2
c) C (x) = 20x 3 + 15x
d) D (x) = 2x 6 + 4x 3 – 2x
a) A(x) = 3x 3 – 2x 2 + 5x = x(3x 2 – 2x + 5)
b) B(x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2 = 2x 2 (x 2 – x + 1)
c) C(x) = 20x 3 + 15x = 5x(4x 2 + 3)
d) D(x) = 2x 6 + 4x 3 – 2x = 2x(x 5 + 2x 2 – 1)
2 Extrae factor común en cada uno de estos polinomios:
a) P (x) = 490x 3 – 420x 2 + 90x
b) R (x) = 20x 6 + 60x 4 + 45x 2
c) S (x) = 81x 4 – 36x 2
d) T (x) = 4x – 100x 5
a) P(x) = 490x 3 – 420x 2 + 90x = 10x(49x 2 – 42x + 9)
b) R(x) = 20x 6 + 60x 4 + 45x 2 = 5x 2 (4x 4 + 12x 2 + 9)
c) S (x) = 81x 4 – 36x 2 = 9x 2 (9x 2 – 4)
d) T(x) = 4x – 100x 5 = 4x(1 – 25x 4)
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 2
Página 88
1 Sacando factor común cuando sea posible e identificando productos de binomios, factoriza los siguientes polinomios:
a) A (x) = x 2 + 4x + 4
b) B (x) = x 2 – 6x + 9
c) C (x) = x 2 – 1
d) D (x) = x 3 – 4x
e) E (x) = 4x 2 + 12x + 9
f) F (x) = x 2 – 9
g) G (x) = x 4 – 10x 3 + 25x 2
h) H (x) = 9x 2 + 24x + 16
i) I (x) = x 2 – 1
16
k) K (x) = 50x 3 – 2x
j) J (x) = x 2 + 2x + 1
3
9
3
l) L (x) = 490x – 420x 2 + 90x
m) M(x) = 20x 6 + 60x 4 + 45x 2
n) N(x) = 81x 4 – 36x 2
ñ) Ñ(x) = 12x 5 – 3x
a) A (x) = x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2
b) B(x) = x 2 – 6x + 9 = (x – 3) 2
c) C(x) = x 2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
d) D(x) = x 3 – 4x = x(x 2 – 4) = x(x – 2)(x + 2)
e) E(x) = 4x 2 + 12x + 9 = (2x) 2 + 2 · 2x · 3 + 3 2 = (2x + 3) 2
f ) F(x) = x 2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
g) G(x) = x 4 – 10x 3 + 25x 2 = x 2 (x 2 – 10x + 25) = x 2 (x – 5) 2
h) H (x) = 9x 2 + 24x + 16 = (3x) 2 + 2 · 3x · 4 + 4 2 = (3x + 4) 2
( )( )
i) I(x) = x 2 – 1 = x – 1 · x + 1
16
4
4
() ( )
j) J(x) = x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2 · 1 · x + 1
3
9
3
3
2
= x+ 1
3
2
k) K(x) = 50x 3 – 2x = 2x(25x 2 – 1) = 2x(5x – 1)(5x + 1)
l) L(x) = 490x 3 – 420x 2 + 90x = 10x(49x 2 – 42x + 9) =
= 10x ((7x 2) – 2 · 7x · 3 + 3 2) = 10x(7x – 3) 2
m) M(x) = 20x 6 + 60x 4 + 45x 2 = 5x 2 (4x 4 + 12x 2 + 9) =
= 5x 2 ((2x 2)2 + 2 · 2x 2 · 3 + 3 2) = 5x 2 (2x 2 + 3) 2
n) N(x) = 81x 4 – 36x 2 = 9x 2 (9x 2 – 4) = 9x 2 (3x – 2)(3x + 2)
ñ) Ñ(x) = 12x 5 – 3x = 3x(4x 4 – 1) = 3x(2x 2 – 1)(2x 2 + 1) =
= 3x ( √2 x – 1)( √2 x + 1)(2x 2 + 1)
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 3
Página 89
1 a) Explica por qué A (x) = x 3 – 3x 2 – x + 3 no puede ser divisible por x – 2.
b) Indica qué expresiones del tipo x – a podremos considerar como posibles divisores de A(x).
c) Comprueba cuáles de las expresiones consideradas en el apartado b) son divisores de A (x).
Para ello, realiza las divisiones con la regla de Ruffini.
a) Porque a = 2 no es divisor del término independiente de A(x), que es 3.
b) Los divisores de 3 son 1, –1, 3, –3. Por tanto, podríamos considerar como posibles divisores de A(x) las siguientes expresiones: x – 1, x + 1, x – 3 y x + 3.
c) A (x) = x 3 – 3x 2 – x + 3
1
3


1
1
1
1
–3
1
–2
–1
–2
–3
3
–3
0
–3
3
0
–1
0
–1
3
–3
0
–1
–3


1
1
1
1
–3
–1
–4
–1
4
3
3
–3
0
–3
–3
–6
–1
3
18 –51
17 – 48
Las expresiones x – 1, x + 1 y x – 3 sí son divisores de A(x), mientras que
x + 3 no lo es.
Página 90
1 Calcula P (a) en los siguientes casos, utilizando la regla de Ruffini:
a) P (x) = 7x 4 – 5x 2 + 2x – 24 para a = 2, para a = –5 y para a = 10.
b) P (x) = 3x 3 – 8x 2 + 3x para a = –3, para a = 1 y para a = 2.
a) P(x) = 7x 4 – 5x 2 + 2x – 24
2

7

7
7
0
14
14
–5
28
23
2 –24
46 96
48 72
P(2) = 72
–5
0 –5
2
–24
–35 175 –850 4 240
7 –35 170 –848 4 216
P(–5) = 4 216
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 4
10

7
7
0 –5
70 700
70 695
2
6 950
6 952
–24
69 520
69 496
P(10) = 69 496
b) P(x) = 3x 3 – 8x 2 + 3x
–3

3

3

3
–8
–9
3 –17
3
0
51 –162
54 –162
P(–3) = –162
1
3
–8
3
–5
3
–5
–2
0
–2
–2
–8
6
–2
3
–4
–1
0
–2
–2
P(1) = –2
2
3
P(2) = –2
Página 92
1 Factoriza los siguientes polinomios:
a) P (x) = 9x 4 + 18x 3 – 31x 2 – 8x + 12
b) Q(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 6x + 3
a) P(x) = 9x 4 + 18x 3 – 31x 2 – 8x + 12
Buscamos las raíces de P(x) entre los divisores de 12: 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4,
–4, 6, –6, 12, –12.
1
–3


9
18 –31 –8 12
9 27 –4 –12
9 27 –4 –12
0 → 1 es raíz de P(x)
–27
0 12
9
0 –4
0
→ –3 es raíz de P(x)
En el polinomio de segundo grado que nos queda, 9x 2 – 4, reconocemos
una identidad notable:
9x 2 – 4 = (3x – 2)(3x + 2)
Así: P(x) = (x – 1)(x + 3)(3x – 2)(3x + 2)
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 5
b) Q (x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 6x + 3
Los divisores de 3 son 1, –1, 3 y –3, posibles raíces enteras de Q (x):
–1
–1


1
1
1
2
–1
1
–1
0
4
–1
3
0
3
6
–3
3
–3
0
3
–3
0 → –1 es raíz de Q (x)
→ –1 es raíz (doble) de Q(x)
El polinomio x 2 + 3 es irreducible.
Así: Q(x) = (x + 1)(x + 1)(x 2 + 3) → Q (x) = (x + 1) 2 (x 2 + 3)
Página 93
2 Factoriza los siguientes polinomios:
a) A (x) = x 2 – 5x – 6
b) B (x) = x 5 – 5x 4 – 6x 3
c) C (x) = x 3 – x
d) D (x) = x 3 + 3x 2 – 4x
e) E (x) = x 4 – 5x 2 + 4
f) F (x) = x 3 + 4x 2 + 4x
g) G (x) = x 3 – 3x + 2
a) A (x) = x 2 – 5x – 6
Buscamos las raíces de A(x) entre los divisores de –6:
–1

1
1
–5
–1
–6
–6
6
0
A(x) = (x + 1)(x – 6)
b) B(x) = x 5 – 5x 4 – 6x 3
B(x) = x 3 (x 2 – 5x – 6) = x 3 (x + 1)(x – 6)
↓
apartado a)
c) C(x) = x 3 – x → C(x) = x(x 2 – 1) = x(x – 1)(x + 1)
↓
identidad notable
d) D(x) = x 3 + 3x 2 – 4x → D(x) = x(x 2 + 3x – 4)
Buscamos las raíces de x 2 + 3x – 4 entre los divisores de –4:
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 6
1

1
1
3
1
4
–4
4
0
x 2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4)
Así: D(x) = x(x – 1)(x + 4)
e) E(x) = x 4 – 5x 2 + 4
Buscamos las raíces de E(x) entre los divisores de 4:
1
–1


1
1
1
0
1
1
–1
0
–5
1
–4
0
–4
0
–4
–4
4
0
4
–4
0 → 1 es raíz de E(x)
→ –1 es raíz de E(x)
x 2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
Así: E(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2)(x – 2)
f ) F(x) = x 3 + 4x 2 + 4x → F(x) = x(x 2 + 4x + 4) = x(x + 2) 2
↓
identidad notable
g) G(x) = x 3 – 3x + 2
Buscamos las raíces de G(x) entre los divisores de 2:
1
1


1
1
1
1
0
1
1
–3
1
–2
2
–2
0
1
1
2
–2
2
0
→ 1 es raíz de G(x) otra vez
→ 1 es raíz de G(x)
Así: G(x) = (x – 1)(x – 1)(x + 2) → G(x) = (x – 1) 2 (x + 2)
3 Factoriza estos polinomios:
a) H (x) = x 4 + 2x 3 – 23x 2 – 60x
b) I (x) = x 5 + 8x 4 + 21x 3 + 18x 2
c) J (x) = 9x 4 – 36x 3 + 26x 2 + 4x – 3
d) K (x) = 2x 5 + 2x 4 – 2x 3 – 2x 2
e) L (x) = 4x 4 – 37x 2 + 9
f) M (x) = 6x 4 + 21x 3 + 24x 2 + 9x
g) N (x) = x 5 + 10x 4 + 32x 3 + 40x 2 + 31x + 30
Unidad 6. Factorización de polinomios
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 7
a) H (x) = x 4 + 2x 3 – 23x 2 – 60x
H(x) = x(x 3 + 2x 2 – 23x – 60)
Factorizamos el polinomio x 3 + 2x 2 – 23x – 60
–3
5


1
1
1
2 –23 –60
–3
3 60
–1 –20
0
5 20
4
0
H(x) = x(x 3 + 2x 2 – 23x – 60) = x(x + 3)(x – 5)(x + 4)
b) I(x) = x 5 + 8x 4 + 21x 3 + 18x 2
I(x) = x 2 (x 3 + 8x 2 + 21x + 18)
Factorizamos x 3 + 8x 2 + 21x + 18:
–2

1
1
8
–2
6
21 18
–12 –18
9
0
Observamos que x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2, producto notable.
Así: I(x) = x 2 (x 3 + 8x 2 + 21x + 18) = x 2 (x + 2)(x + 3) 2
c) J(x) = 9x 4 – 36x 3 + 26x 2 + 4x – 3
1
3


9 –36 26
9 –27
9 –27 –1
27
0
9
0 –1
4
–1
3
–3
0
–3
3
0
Identificamos una identidad notable en el polinomio de segundo grado que
nos queda: 9x 2 – 1 = (3x – 1)(3x + 1)
Luego: J(x) = (x – 1)(x – 3)(3x – 1)(3x + 1)
d) K(x) = 2x 5 + 2x 4 – 2x 3 – 2x 2
K(x) = 2x 2 (x 3 + x 2 – x – 1)
Factorizamos el polinomio x 3 + x 2 – x – 1:
1

1
1
1
1
2
–1
2
1
Unidad 6. Factorización de polinomios
–1
1
0
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 8
Observamos que x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2.
Así: K(x) = 2x 2 (x – 1)(x + 1) 2
e) L(x) = 4x 4 – 37x 2 + 9
3
–3


4
0 –37
12 36
4 12 –1
–12
0
4
0 –1
0
–3
–3
3
0
9
–9
0
Como 4x 2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1), tendremos que:
L(x) = (x – 3)(x + 3)(2x – 1)(2x + 1)
f ) M(x) = 6x 4 + 21x 3 + 24x 2 + 9x
M(x) = 3x(2x 3 + 7x 2 + 8x + 3)
Descomponemos en factores 2x 3 + 7x 2 + 8x + 3:
–1
–1


2
2
2
7
–2
5
–2
3
8
–5
3
–3
0
3
–3
0
Así: M(x) = 3x(x + 1) 2 (2x + 3)
g) N(x) = x 5 + 10x 4 + 32x 3 + 40x 2 + 31x + 30
–2
–3
–5



1
1
1
1
10 32 40 31 30
–2 –16 –32 –16 –30
8 16
8 15
0
–3 –15 –3 –15
5
1
5
0
–5
0 –5
0
1
0
El polinomio x 2 + 1 no tiene raíces.
N(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x 2 + 1)
Página 94
1 Descompón factorialmente estos polinomios:
a) x 6 + 2x 5 – 2x 3 – x 2
Unidad 6. Factorización de polinomios
b) x 6 + 2x 5 – 14x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 20x
61
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 9
a)
1
–1
–1



1
2
1
3
–1
2
–1
1
1
1
1
0
3
3
–2
1
–1
0
–2
3
1
–1
0
x 6 + 2x 5 – 2x 3 – x 2
–1
1
0
x2
x 4 + 2x 3 – 2x – 1
x–1
x 3 + 3x 2 + 3x + 1
x+1
x 2 + 2x + 1
x+1
x+1
x+1
1
x 6 + 2x 5 – 2x 3 – x 2 = x 2 (x – 1)(x + 1) 3
b)
2
2
–5



1
2 –14
5
4 20
2
8 –12 –14 –20
4 –6 –7 –10
0
2 12 12 10
6
6
5
0
–5 –5 –5
1
1
0
1
1
1
x 6 + 2x 5 – 14x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 20x
x5
+
2x 4
–
14x 3
+
5x 2
x
+ 4x + 20
x–2
x 4 + 4x 3 – 6x 2 – 7x – 10
x–2
x 3 + 6x 2 + 6x + 5
x+5
x2 + x + 1
x2 + x + 1
1
Luego: x 6 + 2x 5 – 14x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 20x = x(x – 2) 2 (x + 5)(x 2 + x + 1)
Unidad 6. Factorización de polinomios