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Transcripción

CÁLCULO II
D E P A R T A M E N T O
D E
C I E N C I A S
B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
INDICE
Contenido
UNIDAD Nº1 : Integral Indefinida
Conceptos y propiedades
- Reglas de integración
Integración inmediata:
- Fórmulas comunes
- Para funciones trigonométricas
- Para funciones trigonométricas inversas
Métodos de integración:
Integracion por cambio de variables (sustitución simple):
- Definición
- Caso de función exponencial
- Caso de logaritmo natural
- Caso de funciones trigonométricas con argumento
- Caso de la regla de la cadena
Integracion por partes:
- Definición
- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Integración de Potencias de funciones trigonométricas:
Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos:
- Caso 1:Sí ó o ambos son enteros positivos impares
- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos
(o uno de ellos es ceros).
Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente:
- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la ! es par)
- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)
Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.
Sustitución Trigonométrica:
- Para el integrado de la forma: l c "
- Para el integrado de la forma: l b "
-Para el integrado de la forma: l" c Funciones Racionales:
- Caso 1: Los factores de 8 %! son todos lineales y ninguno se repite.
- Caso 2: Los factores de 8 %! son todos lineales y algunos están repetidos.
- Caso3: Los factores de 8 %! son lineales y cuadráticos de la forma
% b % b . Ninguno de los factores cuadráticos se repite.
- Caso 4: Los factores de 8 %! son lineales y cuadráticos, y algunos
de los factores cuadráticos se repiten.
Autoevaluación
Página
1
5
5
6
6
8
8
9
10
11
18
24
27
37
27
30
33
33
34
38
42
42
47
57
57
59
61
63
66
UNIDAD N°2 : Integral definida
Interpretación de la integral definida
Propiedades generales de la integral definida
Areas en Coordenadas Cartesianas
Areas positivas y negativas
Areas simples entre curvas
Volumen de Sólidos en Revolución:
- Método de los disco.
- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero)
Caso 1: Rotación en torno al eje %.
Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje %.
- Método de los anillos cilíndricos
Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas.
Area de superficie en revolución
Autoevaluación
VIRGINIO GOMEZ
Unidad N°3 : Ecuaciones Parámetricas y Coordenadas Polares
- Conceptos
- Gráficos y transformaciones
- Primera y segunda derivada
- Areas en coordenadas parámetricas
- Longitud de arco en coordenadas paramétricas
Coordenadas Polares:
- Sistema de Coordenadas Polares
- Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.
- Gráfico en coordenadas polares
- Areas en coordenadas polares
- Longitud de arco en coordenadas polares
Autoevaluación
Unidad N0 4 : Integrales impropias
Definición
Caso 1: El límite de integración se hace infinito
- El limite superior es infinito.
- El límite inferior es infinito.
- El límite inferior y superior son infinitos.
Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los
mismos limites de integración o en algún punto del intervalo entre ellos.
Autoevaluación
71
74
80
89
90
103
104
106
114
121
128
132
142
142
144
154
156
159
161
165
175
183
187
192
192
192
192
193
194
201
UNIDAD N°1: INTEGRAL INDEFINIDA
Conceptos y propiedades
VIRGINIO GOMEZ
En la misma forma en que hay funciones inversas también existen operaciones inversas. Por
ejemplo en matemáticas la sustracción es la inversa de la adición, y la división es la inversa de la
multiplicación.. Así el proceso inverso de la diferenciación es la integración
La integración la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciación. En otras
palabras, si tenemos la derivada de una función, el objetivo es: "Determinar que función ha sido
diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integración radica en la comprensión del
proceso de la diferenciación.
Supongamos que dado un función %!, deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del
siguiente modo:
Obtiene
dado
f '(x)
f(x)
Función Origen
Función Primitiva
Función Inicial
%! ~ % ª
%! ~
Función Derivada
<% = ~ %
%! ~
" %!# ª Z %! ~
%
%
%
%
%! ~ %
%! ~ @
d
> f x@
dx
c%
A
b%
ª Z %! ~
%
%! ~
@ A~%
%
% ª Z %! ~
%! ~
" %# ~ %
%
%
ª Z %! ~
c%
c
%! ~
@8
9A ~
1 c %
%
%
b%
Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una función derivada Z %! de una cierta
función, encontrar dicha función. El objetivo es determinar la función %!, la cual fue derivada
(diferenciada).
Nota: A esta función %!, la vamos a llamar la función origen, función primitiva o la función inicial.
La idea gráfica es:
1
Función Derivada
Función Primitiva
Función Inicial
Función Derivada
f '(x)
f(x)
³
f ' x dx
f x
Aplicando el
Operador Antiderivada
Así por ejemplo: Dado:
Z %! ~ % Aplicando el operador antiderivada ¦ %! ~
%
Z
8 9 ~ % ¬ %!
% Z %! ~ %
VIRGINIO GOMEZ
Dado
Obtener
%
, donde
Aplicando el operador antiderivada ¦ %! ~ % , donde
4% 5 ~ % ¬ Z %!
%
Z %! ~ % Aplicando el operador antiderivada ¦ %! ~ %,
donde
4% 5 ~ % ¬ Z %!
%
Intuitivamente podemos pensar que dado una función derivada Z %!, podemos aplicar un proceso inverso
a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la función origen o primitiva que fue
diferenciada.
Por lo tanto, podemos decir que:
F u n ció n D eriva d a
F u n ció n P rim itiva
F u n ció n In icia l
F u n ció n D eriva d a
A plica n d o e l O pera d or
D E R IV A D A
d
> f x @
dx
f(x)
f'(x)
³
f ' x d x
f x
A plica n d o e l O pera d or
A n tid eriv ad a
(IN T E G R AL )
2
Matemáticamente hablando diremos. Sea:
%! ~ Z %!
%
VIRGINIO GOMEZ
Utilizando la interpretación de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:
" %!# ~ Z %!%
Definiendo la operación antiderivada de ahora en adelante como Integral, con el símbolo
"operador integral" y aplicándolo a nuestra expresión anterior tenemos:
Z
" %!# ~ %!%Â
Donde: %! ~ " %!#
Luego la función primitiva u origen se puede determinar como:
%! ~ Z %!% ;
"la integral de la derivada es la función origen"
A esta expresión se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA.
Debemos notar lo siguiente:
Operador DERIVADA
d ª x3 º
« »
dx ¬ 3 ¼
x2
º
d ª x3
« 1»
dx ¬ 3
¼
3
º
d ªx
« 2»
dx ¬ 3
¼
Función Derivada
Función Primitiva
Función Inicial
º
d ª x3
« C»
dx ¬ 3
¼
f x
x2
x2
x2
x3
3
Función
Derivada
f x
³ f ' xdx
f x
Aplicando el Operador
Antiderivada
(INTEGRAL)
3
x2
VIRGINIO GOMEZ
Conclusión:
- Una función derivable tiene una única función derivada el reciproco tiene infinitas soluciones.
- La derivada de una función tiene una familia de funciones primitivas.
-Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.
Definición:
Si %! es una función primitiva de Z %!. La expresión %! b * define a la integral indefinida
y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a Z %! (única
derivada). La cual se escribe como:
Z
%!% ~ %! b * ; donde * es la constante de integración (puede ser positiva o negativa)
A esta expresión, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de %!.
Observación:
(1) La constante de integración surge del hecho de que cualquier función de la forma %! b *
tiene derivada Z %!À
(2) La constante de integración se determinará por las condiciones especificas de cada problema
particular.
(3) A la cantidad %! b * se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede
asignar valor particular para la integral hasta que no se determine * y se asigna un valor a %!.
(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado * , es una función de alguna variable y
entonces permanece indefinida.
En general decimos que toda función tiene un numero infinito de antiderivadas, ya que a cada
Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria para obtener otra Antiderivada.
4
Métodos de Integración
Regla de Integración.
VIRGINIO GOMEZ
La obtención de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la función cuya
derivada es una de las formas normales.
Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatas que deben ser
memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades básicas de la integración.
Propiedades:
1.La integral de una Constante: Sea la función %! ~ %!% ~ % ~ % b *
2.La integral de una función y una constante. Sea la función %! ~ %!
%!% ~ %!% ~ %!%
3.Sea - %! ~ %! f %!
- %!% ~ " %! f %!#% ~ %!% f %!%
Integrales Inmediatas
Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde * es una constante de integración.
1. % ~ % b *
2. % ~ % ~ % b *
3. % % ~
4.
% b b * ; con £ c b
%
~ %c % ~ O%O b *
%
%
5. % % ~
b*
6. % % ~ % b *
5
Para funciones trigonométricas
7. % % ~ c % b *
8. % % ~ % b *
9. % % ~ ! % b *
10. % % ~ c ! % b *
11. % ! % % ~ % b *
12. % ! % % ~ c % b *
13. ! % % ~ c O %O b * ~ O %O b *
14. ! % % ~ O %O b *
15. % % ~ O % b ! %O b *
16. % % ~ O % c ! %O b *
17. % % ~ c % b *
18. % % ~
% b *
Para funciones trigonométricas inversas
19.
%
%
~ ( 6 7 b *
l c %
VIRGINIO GOMEZ
20.
%
%
~ (!6 7 b *
b %
%%
~
O% b O b *
% b Otras integrales
21.
%
~ O% b O b *
% b 22.
23.
%
~
(!8%n 9 b *
l
% b 24. % b ! % ~
6
% b !b
b*
b !
1. 4% c % 5%
~ % % c % %
~
2. 8 c 9&
&
%
%
c
b*
~
c
& c & &
~
&c
&c
b*
c
~
&b b*
&
!
!
3.
~ !c ! ~ b * ~ l! b *
l!
4. ~ ~ c ! b * ~ c b *
Ejemplos propuestos.
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos resueltos de integración aplicando las reglas básicas de integración.
1. 4% b %5%
2. 4& b & b & b 5&
3. 6! b l! c !c c !7!
4. 8
b ! 9 5. 4% c l%5%
Solución
1. 4% b %5% ~ % b % b *
2. 4& b & b & b 5& ~
&
&
b
c & b & b *
3. 6! b l! c !c c !7! ~ ! b ! c O!O c ! ! b *
4. 8
b ! 9 ~ c b *
5. 4% c l%5% ~ % c l% b *
7
Definición:
VIRGINIO GOMEZ
Integración Por Cambio De Variables (Integración por sustitución)
Este método consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello se
utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.
¿Cuándo se utiliza?
Sea %! una función, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es
decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa.
Para resolver este problema se utiliza una variable auxiliar y la función cambia de variable,
para posteriormente ser integrada en forma directa.
x
dx
2
x 2
³
Por lo tanto: %% ~
Cambio de Variable:
Sea
u
x2 2
du

"
, redefiniendo la integral en términos de la nueva variable " tenemos:
"
%
%
~
% b !
"
~
"
"
~
O"O b *
Ejemplos resueltos: Integración por cambio de variables
Caso de la función exponencial:
%
1. c %
2 xdx
Donde: " ~ c
%
%
¬ " ~ c
¬
% ~ c "
%
c
"
% ~ c "!
~ c " "
~ c " b *Â Para la variable inicial " ~ c
%
~ c c b *
8
%
2. & &
Sea: " ~ &Â Entonces " ~ & ¬
&
"
& ~ "
~ &
"
~
"
b *Â Para la variable inicial " ~ &
~
&
b*
VIRGINIO GOMEZ
Nota: Cada vez que aparezca una función exponencial como en los casos anteriores, el
candidato a variable auxiliar es el exponente
3. Sea:
" ~ ¬ " ~ ¬
" ~ ~ " "
~
"
"
~
"
b *Â
~
Para la variable inicial " ~ b*
Caso del logaritmo natural:
1.
%
%b
Donde
" ~ % b ¬ " ~ %
%
%b
~
"
"
~ O"O b *Â
Para la variable inicial " ~ % b ~ O% b O b *
9
2.
&
& b &
b & b Donde: " ~ & b & b " ~ & b !&
& b &
& b & b ~
"
"
~ O"O b *Â
VIRGINIO GOMEZ
Para la variable inicial " ~ & b & b ~ O& b & b O b *
Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar será el denominador siempre que
"
se cumpla con la condición "
Caso de funciones trigonométricas con argumento:
1. b ! Sea:
" ~ b " ~ " ~ b ! ~ "
"
~
" "
~
c "! b *Â Para la variable inicial " ~ b ~ c b ! b *
2. 4
c 5 Sea:
" ~ c " ~ "
~ 10
Entonces:
4
c 5 ~ "
"
~
""
VIRGINIO GOMEZ
~
" b *Â Para la variable inicial " ~ c ~
4
c 5 b *
Nota: en las funciones trigonométricas el candidato a variable auxiliar es el ángulo siempre
que su derivada sea consistente con los otros términos.
Caso de la regla de la cadena:
1. 4%
b % b 5 4
% b % 5%
Sea:
" ~ %
b % b " ~ % b % !%
Entonces:
4% b % b 5 4
% b % 5% ~ "! "
~
"
b *Â Para la variable inicial
" ~ %
b % b ~
2.
& b !
&
b &! %
b % b !
b*
&
Donde: " ~ & b &
" ~ & b !&Â / Factorizando por " ~ & b !&
"
~ & b !&
& b !
&
b &!
~
&
"
"
~
c
" "
~
"
b *Â Para la variable inicial " ~ & b &
B C
~
4& b & 5 b *
~
m & b & ! b *
11
Ejemplos propuestos: Integración por cambio de variables.
2. 4 b % 5 % %
1. !!
!
!
3.
&
l c &
5.
' b '
' b ' b 6. % % %
7.
&
&
b &
8.
4.
Solución
1. ~
2. 4 b % 5 % % ~
3.
4.
5.
b*
b % !
b*
& ~ ( & b *
l c &
!!
! ~ !! b *
!
'
' b ' ~ O' b ' b O b *
b ' b 6. % % % ~ c % b *
7.
&
& ~ (! & b *
b &
8.
!
! ~ ! b c O! b O b *
!b
12
!
!
!b
VIRGINIO GOMEZ
Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:
2. 8 c 9&
&
1. 4% c % 5%
3.
VIRGINIO GOMEZ
!
l!
4. 5. 4! b ! 5!
6. 4 c ! 5! !
7. c "!l" "
8.
9. ! 4! b 5!
10. 4 c % b % 5%
11. 12. c & ! &
13. 8% c
15.
%
b % b 9%
%
l%
14. c ' ! b ' !'
% b % c %
%
16.
17. ! 18. ! !
19. ! 20. 4' c % b 5%
21. 22. 23. 6% c l
% b c %7%
24.
25.
'b
'
b ' !
26. l c ! !!
'
27. l% c % %
29.
28. %% %
%
%
%b
30.
31. 8 c 9 33.
% b %
l
% b % b &
&b
!!
!
!
32. & b ! &
34. ! b ! !
%
13
35. 4% b 5 % %
36. 8
VIRGINIO GOMEZ
&c
9&
%
38.
39. l c % %%
40.
b ' !
'
l'
42.
%
l% b 44.
! 37.
41.
! b !!
! b !
!
43. 6% c %% b 7%
45.
47.
!
!
b !
'
!
l! b 46. '
b
!
! 48. 4 c 5 ! 14
Soluciones
³ ²% c % ³%
~
% c % b*
³ 8 c 9%
&
~
&b b*
&
³ !
l!
~ l ! b *
³ ~ c b *
³ 4! b ! 5%
~ 4! b ! 5% b *
³ 4 c ! 5 !!
~
! c ! b*
³ c "!l" "
~
"° c "!
b*
%
l%
~
°
% b*
l
³ ! 4! b 5!
~
! b ! b*
³ 4 c % b % 5%
~ % c % b % b *
³ ~ c b *
³ c &! &
~ & c & b & b *
³ ³ 8% c
%
b % b 9%
³ c ' ! b ' !'
³ ³ % b % c %
%
VIRGINIO GOMEZ
% c % b % b % b *
~ ' b ' c ' b *
~
~
% b % b b *
%
~ d d b *
15
VIRGINIO GOMEZ
³ ! ~ b *
³ ! !
~ ! b *
³ ! ~ d d b *
³ 4' c % b 5%
~ ' % b % b % b *
³ ~ b *
³ ~ c b *
³ 6% c l
% b c %7%
~
³ ³ &
&b
~ d& b d b *
'b
'
b ' !
l °
% c
% b % c % b *
°
'
~
4' b ' 5° b *
³ l c ! !!
°
~ c 4 c ! 5 b *
³ l% c % %
°
~ c 4 c % 5 b *
³ %% %
~
%
b*
³ %
%
%b
~ % c d% b d b *
³ !! !
!
~
³ 8 c 9 ~
³ & b ! &
~
16
!!
b*
8 c 9 b *
& b !
b*
% b %
4% b % b 5° b *
³ ! b !° !
~
! b !°
b*
³ 4% b 5 % %
~
% b % b % b % b*
l% b % b ³ 8
%
&c
9%
~ !8
&c
9b*
³ ~
b *
³ !
!
l
! b ~
4! b 5° b *
³ l c % % %
b ' !
'
l'
³ ³ ³ ! b !
! b !
l% b ~ c
~
4 c % 5° b *
° °
' b ' b l ' b *
b*
!b
!
~!b
%
~ l % b b *
³ 6% c %% b 7%
~ % c % b % b *
³ ~ c
³ !
!
b !
~ d b ! d b *
³ ³ ! '
b '
³ 4 c 5 ! ~
b *
b*
~ c dc' b d b *
~
17
VIRGINIO GOMEZ
~
³ c b *
Integración Por Partes.
¿Cuándo se usa?
VIRGINIO GOMEZ
Cuando una función %! que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos
resolver por partes a través de otra integra. Antes veremos una fórmula fundamental para este tipo de
integración.
La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones " %! y # %! es:
"#! ~ "# b #"
Reordenando los términos:
"# ~ "#! c #"
Aplicando el operador integral:
"# ~ "#! c #"
Tenemos:
"# ~ "# c #"
Esta es la fórmula fundamental para la integración por parte. Esta fórmula sugiere el hecho de que
cuando deseamos calcular la integral del tipo "#, podrá realizarse en función de una integral diferente
del tipo: #".
Definición:
Sea " %! una función que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta
función se puede utilizar la siguiente formula:
"# ~ "# c #"
Ejemplo aclaratorio:
La formula es
³ udv
uv ³ vdu
Primero se debe elegir u y dv.
³ xsenxdx
La idea es dejar en la integral
³ vdu
la más directo o
menos complicado que la integral original
u
x du
dv
dx
sen xdx v
cos x
>v
18
³ sen xdx
ver formulario de integrales
@
Aplicando la fórmula de integración por partes:
³ udv
³ x sen xd x
uv ³ vdu
x cos x ³ ( cos x ) dx
xcox ³ cos xdx
VIRGINIO GOMEZ
Por fórmula tenemos:
³ cos xdx
x cos x sen x c
Algunos de los casos más usuales son ¢
sen x C
a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, sólo se conoce de él su
derivada. Para resolverla se asigna " a este factor y # a lo restante
Ejemplos
³ % %
" ~ %
" ~ %
%
# ~ %
% %
#~%
~ % % c % %
%
~ % % c % b *
³ ( & &
" ~ ( &
" ~
&
l c & ( & &
c
&
&
l c & # ~ &
#~&
~ & ( & c &
" ~ c &
&
l c & ¬ " ~ c & &
¬ c
19
" ~ &&
c
&
&
l c & ~
c°
"
"
~
l
"b*
~ l c & b *
Por lo tanto, ( & & ~ & ( & b l c & b *
³ ! ! !
" ~ !
" ~ !
!
! ! !
# ~ ! !
#~
!
~
!
! ! c h !
!
~
! ! c ! !
~
! ! c ! b*
VIRGINIO GOMEZ
b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución
simple y uno de ellos es una potencia de %. Para esta situación " es la potencia y # lo restante.
Ejemplos
³ %% %
# ~ % %
# ~ %
"~%
" ~ %
%
% %
~
% % c % %
~
% %
% c b *
³ ! ! !
" ~ !
" ~ ! !
# ~ ! !
# ~ c !
20
! ! ! ~ c
"~!
" ~ !
! ! b ! ! !
# ~ ! !
#~
!
! ! !
VIRGINIO GOMEZ
~ c
! ! b 8 ! ! c ! !9
~ c
! ! b ! ! c ! !
~ c
! ! b ! ! b
! b *
³ c ! " ~ # ~ c ! " ~ #~
c !
c ! ~
c ! c c ! c ! ~
c ! c c ! " ~ # ~ c ! " ~ # ~ c c !
c ! ~
c ! c 8 c c ! b c ! 9
~
c ! b c ! c c ! "~
# ~ c ! " ~ #~
c !
c ! ~
c ! 9
c ! b c ! c 8 c ! c 21
c ! b c ! c c ! b c ! ~
c ! b c ! c c ! c
VIRGINIO GOMEZ
~
c ! b *
c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución
simple, pero ninguno de ellos es una potencia de %. Para este caso la elección de " es arbitraria, pero debe
conservarse la característica de la función elegida para " en todas las integrales que deban desarrollarse por
parte en el ejercicio.
Ejemplos ¢
³ % % %
Se resolverá primero considerando " ~ %
" ~ %
# ~ % %
# ~ c %
%
" ~ %
%
% % ~ c
" ~ %
%
% b % % %
# ~ % %
# ~ %
%
" ~ %
%
% % ~ c
%
% b 8 % % c % % %9
%
% % ~ c
%
%
% b % % c
% %
%
%
%
% % ~ c % b % °8 9
%
% % ~ c
%
% % ~
%
% b % % b *
%
4 c % b % %5 b *
Se resolverá ahora considerando " ~ %
" ~ %
# ~ % %
" ~ %%
# ~ %
%
% % ~
%
% c % % %
22
" ~ c %%
# ~ % %
# ~ %
VIRGINIO GOMEZ
" ~ %
%
% % ~
%
% c 8 % % b % % %9
%
% % ~
%
%
% c
% c % % %
%
%
%
%
% % ~ % c
%
% % ~
%
%
% c
% b *
%
% % ~
%
4 c % b % %5 b *
°8
9
Este ejemplo muestra que la elección de " es absolutamente arbitraria.
³ " ~ " ~ c # ~ # ~ c ~ c c ~ c c " ~ " ~ # ~ # ~ ~ c c 8 c 9
~ c c b c ~ c c ~
b
b*
³ ~ " ~ " ~ ! # ~ # ~ ! 23
°c
~ ! c ! ~ ! c 4 c 5 % ~ ! c b ~ ! b d b !d
~
4 ! b d b !d5 b *
VIRGINIO GOMEZ
Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.
Si las integrales a resolver son del tipo:
Si la integral "# , es:
"
#
%
% %
%
% %
% % %
%
% %
% % %
%
% %
% % %
%
% %
% ( % %
( %
% %
% (! % %
(! %
% %
%
% %
%
% %
%
% %
%
%
% %
%
% %
%
% %
%
% %
24
% %
Ejemplos propuestos con respuesta.
&&
1. % % %
2.
3. ! ! !
4. % % %
5. && &
6. ! ! !
7. ' ''
8. ! 9.
%%
% b !
& b !
&
10. 4& b 5& &
%
'
11. !l! c !
12.
13. 14. 15. ( % %
16. (! % %
l b '
17. ' ' '
25
'
VIRGINIO GOMEZ
Solución
%
% % b % c % % c % b *
1. % % % ~
2.
&&
& b !
& ~
&
b*
&b
3. ! ! ! ~ c ! ! b ! ! b ! b *
4. % % % ~
5. && & ~
% 4% c 5 b *
&
& c ! b *
6. ! ! ! ~ ! 4! c ! b ! c 5 b *
7. ' '' ~
'
' c ! b *
8. ! ~
9.
%%
% b !
! !
b
b*
%
b*
% b !
% ~
10. 4& b 5& & ~ & c ! & b *
! c ! ! b ! b *
11. !l! c ! ~
12.
'
l b '
13. VIRGINIO GOMEZ
' ~
4' c ' b 5l b ' b *
~ b b *
14. ~ ! b O O b *
15. ( % % ~ % ( % b l c % b *
16. (! % % ~ % (! % c O b % O b *
17. ' ' ' ~
'
' c ' ! b *
26
¿Cuándo se usa?
VIRGINIO GOMEZ
Integración de Potencias de funciones trigonométricas.
Cuando las integrales son del tipo trigonométricas de la siguiente forma:
% % %
! % % %
! % % %
La integración de potencias de funciones trigonométricas requiere de técnicas especiales. Para lo
cual se consideran los siguientes casos:
Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos.
% % %
En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalencia
trigonométrica de ambas funciones: % b % ~ . Se tiene dos casos:
Caso 1: Sí ó o ambos son enteros positivos impares.
Si es impar, factorizamos % % y expresamos la potencia par restante del , en
potencias del usando la identidad:
% ~ c %
Si es impar, factorizamos % % y expresamos la restante potencia par de en
potencias de , utilizando la identidad:
% ~ c %
Ejemplo para impar:
Para ~ y ~ Resolver:
~ Expresando la potencia del en términos del , usando la identidad trigonométrica
b ~ ¬ ~ c À Entonces:
~ ~ 4 c 5 27
~ 4 c 5 VIRGINIO GOMEZ
~ c Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.
Sea:
" ~ " ~ c ¬ c " ~ Por lo tanto:
c ~ " c "! c " c "!
~ c " " b " "
~ c " b " b *Â Para la variable " ~ ~ c b b *
Ejemplo para impar:
Resolver
En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el y expresarlo
en términos del usando la identidad trigonométrica.
b ~ ¬ ~ c Tenemos:
~ ~ 4 5 ~ 4 c 5 ~ 4 c b 5 ~ 4 c b 5 Resolviendo por variable auxiliar, sea: " ~ ¬ " ~ . Por lo tanto:
28
~ 4" c " b "
5"
~ " " c " " b "
"
~
" c " b " b * . En términos de la variable " ~ ~
c b b *
Ejemplo para y impares:
Resolver
VIRGINIO GOMEZ
En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del
en
términos
del
y
se
usa
la
identidad
trigonométrica
b ~ ¬ ~ c À Entonces:
~ ~ 4 c 5 ~ 4 c 5 Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.
Sea:
" ~ " ~ c ¬ c " ~ Por lo tanto:
c ~ " c "! c " c "!
~ c " " b " "
~ c " b " b *Â Para la variable " ~ ~ c b 29
b*
VIRGINIO GOMEZ
Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).
En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las fórmulas del ángulo medio:
~
c ~
b ~
Ejemplo para par:
Resolver ~
c ~
c ~ c 8 9 b *
~
c b *
Ejemplo para par:
Resolver ~ 4 5 ~ 8
b 9 ~ 8 b b 9 Usando la identidad trigonométrica:
~
b !. Entonces:
~
b !
~
b b b ~
b 8 9 b b ~
b b b 8 9 b *
~
b *
b b
30
Ejemplo para y par:
Resolver ~ ! %
Usando la identidad trigonométrica:
~
~
! ~ 8
~ @
~
9 A ~
c !. Entonces:
~
c !
Usando la identidad trigonométrica:
Por lo tanto:
%
~
c ! ~
c ! ~
@ c A
~
@ c A b *
~
b *
c
VIRGINIO GOMEZ
31
~
c ~
;
~ 8
b c b 98
9 ~ 8 c 9 ~
c ~
~
c c ~
c c 8 9 b *
~
b *
c
b c 8
9 Resumen:
Sea " una variable auxiliar, entonces:
Si: " ~ ¬ " ~ Si: " ~ ¬ " ~ c b Transformación Trigonométrica:
~
m o n Impares
Potencia del
Seno
m:Impar
Factorizar por:
Cambiando las
potencias de:
ª Usando:
~ c Potencia de
Coseno
n:Impar
Factorizar por:
Cambiando las
potencias de:
ª Usando
~ c 32
VIRGINIO GOMEZ
También este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonométricas:
m y n Pares
Potencia del Seno
Coseno son pares
myn
bien m o n cero
Si m ~ n :Par
Reducir a potencia
haciendo uso de ¢
~ Si m £ n:Par
Idem usar:
c ~
b ~
Para Usar TT:
c ~
Para Usar TT:
b ~
TT: Transformación trigonométrica
Para integrales del tipo: ! Usar la transformación:
!%
! ! ~
VIRGINIO GOMEZ
c ! b b !
Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente.
! Se tienen dos casos:
Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la ! es par)
Se debe factorizar por y cambiamos las ! a !! , utilizando la identidad
trigonométrica.
~ b ! Ejemplo resuelto: es par:
1. ! Factorizando por :
33
! ~ ! ~ ! 4 5 VIRGINIO GOMEZ
Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformación
trigonométrica: ~ b ! ~ ! 4 b ! 5 ~ ! 4 b ! b ! 5 ~ 4! b !
b ! 5 Sea la variable auxiliar: " ~ ! ¬ " ~ . Entonces
= 4" b "
b " 5"
~
" b " b " b * . En términos de la variable " ~ !
~
! b ! b ! b *
Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)
En este caso se debe factorizar por ! y cambiamos las restantes potencia par de la
!! a !, utilizando la identidad trigonométrica.
! ~ c Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).
1. ! Factorizando por ! ! ~ ! ! Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformación
trigonométrica.
c ! ~ ¬ ! ~ c Por lo tanto:
34
! ~ ! ! ~ 4 c 5 ! %
~ 4 c 5 ! VIRGINIO GOMEZ
Usando variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ ! , en consecuencia:
~ 4" c "
5"
~
" c " b * ; en términos de la variable " ~ ~
c b *
¿Qué sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la tangente es
impar ( es impar)?
Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar
Sea la siguiente integral: ! 1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por ,
transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformación trigonometría:
c ! ~ ¬ ~ b ! ! ~ ! ~ ! 4 b ! 5 ~ 4! b ! 5 Sea la variable auxiliar: " ~ ! ¬ " ~ ~ 4" b " 5"
~
" b " b * ; en términos de la variable " ~ !
~
! b !
b *
35
! % ~ ! ! ~ 4 c 5 ! ~ 4 c 5 ! Sea la variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ ! ~ 4" c " 5"
VIRGINIO GOMEZ
2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por ! ,
transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformación trigonométrica:
c ! ~ ¦ ! ~ c ~
" c " b * ; en términos de la variable " ~ ~
c b *
36
Resumen:
Sea " la variable auxiliar, entonces:
Si: " ~ ! ¬ " ~ Si: " ~ ¬ " ~ ! Transformación trigonométrica:
c ! ~ ! Potencia de
Tangente
m:impar
Factorizar por:
!
Cambiando las
potencias de:
! ª Usando:
! ~ c Potencia de
Secante
n:par
Factorizar por:
Cambiando las
potencias de:
ª ! Usando:
~ b ! Potencia de Tangente
m:par y potencia de Secante
n: impar
Cambiar la
Cambiar la
potencia par:
potencia impar
! ª ª ! Usando:
Usando:
! ~ c ~ b ! Resolver
Resolver
! m
entero positivo
n
entero positivo
Si n:par
Usar TT:
~ c Usar TT:
! ~ ! c ! ~ !
c
VIRGINIO GOMEZ
4 c 5
c !
37
~ ! b ! Si n:impar
Se usa la integración por partes
Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.
! Se trabaja en forma análoga al caso anterior. Tenemos:
Sea " la variable auxiliar, entonces:
Si " ~ ! ¦ " ~ c Si " ~ ¦ " ~ c ! Transformación trigonométrica: c ! ~ ! Potencia de
Cotangente
m: Impar
Factorizar por:
! Cambiando las
potencias de
! ª Usando:
! ~ c Potencia de
Cosecante
n:Par
Factorizando por:
Cambiando las
potencias de
ª ! Usando:
~ b ! Ejemplo resuelto.
1. ! Factorizando por: ! ~ ! VIRGINIO GOMEZ
Tipo C:
Cambiando las restantes potencias de ¦ ! , usando la transformación trigonométrica
c ! ~ ¦ ~ b ! ~ 4 b ! 5! ~ 4! b !
5 Usando variable auxiliar: " ~ ! 38
¬
" ~ c c " ~ Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
~ 4" b "
5 c "!
~ c 4" b "
5"
VIRGINIO GOMEZ
~ c 8 " b " 9 b * ; en términos de " ~ !
~ c ! c ! b *
2. ! Factorizando por: ! ! ~ ! ! Cambiando las restantes potencias de ! ¦ , usando la transformación trigonométrica:
c ! ~ ¦ ! ~ c ~ 4 c 5 ! ~ 4 c b 5 ! ~ 4 c b 5 ! Usando variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ c ! c " ~ ! ~ 4"
c " b " 5 c "!
~ c 4"
c " b " 5"
~ c 8 " c " b " 9 b * ; en términos de " ~ ~ c b c b *
39
Ejemplos propuestos:
1. 2. 3.
l 4. 5.
! l 6. ! 7. ! 8. 9. 10. 11. 12. 13. %
40
VIRGINIO GOMEZ
Solución
1. ~ c
2. ~
b
b*
c
b
b*
3.
4. ~
5.
! ! ~ c
b
b*
l c
b
b*
! ~
! b !c b *
l 6. ! ~
7. ! ~
! !
b
b*
! c ! b b *
8. ~
c
b
b*
9. ~
c
b*
10. ~ c
11. ~
12. ~
% % b
c % b *
b ! b *
b b
c
b *
13. % ~
c
b
b *
41
VIRGINIO GOMEZ
Sustitución Trigonométrica.
¿Cuándo se usa?
VIRGINIO GOMEZ
Este tipo de sustitución se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:
l c "
l " c l b "
Donde: " ~ " %! y Generalmente se podrá simplificar la integral por sustitución trigonométrica. En la mayoría de los
casos la sustitución apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar.
El método de sustitución trigonométrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaña la
sustitución con un triángulo rectángulo.
Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:
Resumen Por Sustitución Trigonométrica.
Sea: " ~ %! y :
Caso 1: Para el integrado de la forma:
l c "
Si en el integrado aparece la expresión radical de la forma: l c "
a
u
T
a2 u2
c " ~ c
"
~ 8 c
"
9
" ~ 8 c 6 7 9
42
Luego ~
"
¬ " ~ ¬ " ~ Al reemplazar en el radical se obtiene:
" o 8 c 6 7 9
~ l c !
~ l ~ Ejemplos:
À c l c % %
c % ~ 8 c
%
9
~ : c 8
~
%
¬%~
¬ % ~
Obs.:
%
9;
VIRGINIO GOMEZ
Por identidad trigonométrica b ~ ¬ ~ c Si existiera más términos en función de % la sustitución también tendrá que hacerse.
El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:
2
3x
T
4 9x 2
Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:
q
q
%
q
l
c % % ~ : c 8 9 ; %
p
43
~ l c 8 9
~ 8 9 VIRGINIO GOMEZ
Como ~ b !, entonces
~ 8 b !9 ~
~
@ b A
~
b 8
9b*
Luego, de la figura podemos ver:
~
%
%
¬ ~ ( 8 9
~
De la identidad tenemos:
l c % %
~
l c %
~ b b *
En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:
l c % %
~
l c %
%
%
( 8 9 b 8 9:
;b*
~
À c l c %
%
%
%l c %
( 8 9 b
b*
%
c % ~ 8 c
%
9
% ~ 8 c 6 7 9
~
%
¬ % ~ ¬ % ~ 44
l c %
%
% ~ % o8 c 6 7 9
%
~
%
l c !
~ ~ c ~ c ~ c ~ d c !d b b *
Luego, de la figura podemos ver:
~
%
¬ ~
%
~
! ~
l c %
l c %
%
En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:
l c %
%
% ~ f
l c %
l c %
c
f b :
;b*
%
%
~ f
c l c %
f b l c % b *
%
45
VIRGINIO GOMEZ
%
À c l c %
%
c % ~ 8 c
%
9
~ : c 8
~
%
¬%~
%
9;
¬ % ~
2
3x
T
4 9x 2
%
%
% ~ q
%
l c %
q
%
q
: c 8 9 ;
p
9
~
9
l c ! 8 8
8 98 9 ~
VIRGINIO GOMEZ
~
~
c ! ~
c ! ~
@ c A ~
@ c A b *
~
b *
c
46
; como ~
c !
Del triángulo asociado a la expresión podemos ver que:
~
~
%
%
¬ ~ ( 8 9
l c %
De la identidad trigonométrica: ~ . Entonces:
%
l c %
% ~
b *
c
~
l c %
%
%
( 8 9 c 8 9:
;b*
~
%
( 8 9 c %l c % b *
l b "
Caso 2: Si tenemos radical de la forma
a2 u2
u
T
a
b " ~ b
"
~ 8 b
"
" 9 ~ 8 b 6 7 9
Por identidad trigonométrica b ! ~ Luego ! ~
"
¬ " ~ ! ¬ " ~ Al reemplazar en el radical se obtiene:
" o 8 b 6 7 9
VIRGINIO GOMEZ
~ l b ! !
~ l ~ 47
Ejemplos:
À c l b % %
b % ~ 8 b
%
9
r
u
%
~ b:
;
l v
s
! ~
l
l
%
¬%~
! ¬ % ~
l
El triángulo asociado es:
Por lo tanto:
q
q
q r
u
%
q
l
b:
b % % ~ ; %
l
v
p s
~ l b ! !:
l
~ ll b ! :
~
;
l
;; pero b ! ~ Integral que se resuelve por partes, cuya solución es:
~
! b O b ! O b *
48
VIRGINIO GOMEZ
~ ! b O b ! O b *
Del triángulo asociado, tenemos que:
~
! ~
l
l b %
¬ ~
l b %
l
%
l
Por lo tanto:
l b % % ~ ! b O b ! O b *
À c ~
l b %
%
l b %
%
b f
b
b*
:
;:
;
l
l
l
l f
~
l
l b % b %
% b % b f
fb*
l
%
l
b %
b %
~ 8 b
%
9
~ : b 8
! ~
VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto:
%
9;
%
¬ % ~ ! ¬ % ~ El triángulo asociado es:
49
Por lo tanto:
% ~ q
%
l
b %
q
%
q
: b 8 9 ;
p
~
VIRGINIO GOMEZ
9Â pero b ! ~ l
b ! ! 8 ~
~
La integral inmediata de: ~ O b ! O b * . Entonces:
l
b %
%
~
~
O b ! O b *
Del triángulo determinamos que:
~
! ~
l
b %
%
Finalmente:
l
b %
%
~
l
b %
%
b
b*
g
g
~
l
b % b %
gb*
g
50
l " c Caso 3: Si tenemos radical de la forma
u2 a2
u
T
a
" c ~
" c ~ 8
"
c 9
" ~ 86 7 c 9
VIRGINIO GOMEZ
Por iedentidad trigonométrica c ! ~ ¬ ! ~ c Luego ~
"
¬ " ~ ¬ " ~ ! Al reemplazar en el radical se obtiene:
" o 86 7 c 9
~ l c !
~ l ! ~ !
51
Ejemplos:
À c l
% c %
% c ~ 8
%
c 9
~ :8
~
%
%
9 c ;
¬ %~
¬ % ~ ! El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:
u
a
VIRGINIO GOMEZ
3
4x
T
T
u2 a2
16 x 2 9
Por lo tanto:
q
q
%
q
l
:8 9 c ; %
% c % ~ p
~ l c ! 8 ! 9
~
! l c ; como ! ~ c ~
! ; usando ! ~ c ~
4 c 5 ~
4 c 5 ~
8 ! b O b ! O c O b ! O9 b *
~
! c O b ! O b *
52
Del triángulo:
~
%
Â ! ~
l
% c Por lo tanto:
l
% c % ~ ! c O b ! O b *
2À c ~
l
% c %
% l
% c c g
b
8 9:
;
gb*
~
l
% b l
% c % % c c g
gb*
%
l
% c % c ~ 8
%
c 9
~ :8
~
%
9 c ;
%
¬ % ~ ¬ % ~ ! El triángulo que acompaña a esta expresión:
Por lo tanto:
VIRGINIO GOMEZ
%
%
~ q
l
% c q
%
q
:8 9 c ;
p
53
! ~ l c !
! ~ l c Â como: ! ~ c ~
~
~
O b ! O b *
! !
Del triángulo asociado, se tiene: ~
En consecuencia: %
l
% c ~
VIRGINIO GOMEZ
l
% c %
y ! ~
% l
% c b
gb*
g ~
54
% b l
% c g
gb*
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
l c %
%
%
%
% l %
4.
c
%
c
6.
% ! %
l % c 2. l% b %
%
%
% l b %
l c %
%
%
c % ! 10.
%
%
%
%l b %
%
l% c %
%
%
c % !
8.
%
l% c %
l% c % b 12.
14.
16.
55
%
%
VIRGINIO GOMEZ
c % b ! l c %
%
%
%
% c % ! Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Solución ¢
l c %
l c %
%
b*
%
l % b b %
2. l% b % ~ %l% b b g
gb*
l
1.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
%
% ~ c
c ( %
% l % c ~
( b
b*
%
% l % c %
~ g
l% c %
c % !
%
~
% l% c b
gb*
l c %
b*
l b %
%
~ c
b*
%
% l b % %
l % c % ~
l c %
%
l % % c b O% b l% c O b *
% ~ g
%
l b % c gb*
g
%
~
%l b %
c l c %
l
g b c % b *
%
c % ! c % ! 10.
% ~ c
b*
%
%
11.
12.
13.
14.
15.
16.
%
% ~
l% c %
( % c ! c % b !l% c % b *
%
%
c % b !
%
c
~
% ! l c %
%
~ c
%c
b*
l% c % b %
b*
l
c %
% ~ g
c l c %
l
g b c % b *
%
%
~ e% c b l% c % b e b *
l% c % b %
% c % !
~
%c
b*
l% c %
56
VIRGINIO GOMEZ
Funciones Racionales
¿Cuándo se utiliza?
Para integrar cualquier función racional del tipo
7 %!
, cuando 7 %! y 8 %! son polinomios de
8 %!
grado y respectivamente.
Sea la siguiente integral formada por la función racional
7 %!
(El cuociente de dos polinomios
8 %!
en la variable %)
VIRGINIO GOMEZ
7 %!
% b c %c b h h h b % b % ~ %
8 %!
% b c %c b h h h b % b Donde:
es el grado de 7 %!
es el grado de 8 %!
Si el grado de 7 %! 8 %!, es decir , entonces debe realizarse la división de polinomios
(división sintética) cuyo cuociente * %! es de integración inmediata y cuyo resto R %! se descompone
mediante Fracciones Parciales.
7 %!
9 %!
% ~ * %!% b %
8 %!
8 %!
Por lo tanto va a interesar la integración de funciones de la forma: debemos descomponer la función de la forma en fracciones parciales.
9 %!
% . Para lo cual
8 %!
Después de que 8 %! ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, el
método para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores.
Considerando varios casos por separado, tenemos:
Caso 1:
Los factores de 8 %! son todos lineales y ninguno se repite.
7 %!
7 %!
~
8 %!
% b ! % b ! h h h % b !
En este caso la fracción parcial a escribir es:
7 %!
(
(
(
(
~
b
b
bh h h b
8 %!
% b !
% b !
% b !
% b !
Donde: ( Á ( Á ( Á ÀÀÀÁ ( son constantes que se van a determinar.
57
Ejemplos de integración por fracciones parciales.
% b %
b%c
%
Factorizando el denominador:
% b % c ~ % b ! % c !
% b % b ~
% b % c % b ! % c !
Planteando la fracción parcial correspondiente:
% b (
)
~
b
% b ! % c !
%b %c
VIRGINIO GOMEZ
Donde los valores de ( y ) han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo %
sacando factor comun,
% b (
)
( % c ! b ) % b !
~
b
~
% b ! % c !
%b %c
% b ! % c !
llegamos a la ecuación básica siguiente:
% b ~ ( % c ! b ) % b !
% b ~ ( b ) !% b c ( b ) !
Podemos determinar las constantes de dos maneras:
1. Método general: Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de % y resolver
Sea: % b ~ ( b ) !% b c ( b ) !
(b) ~
c ( b ) ~ Resolviendo:
(~
Â )~
2. Método Abreviado: Dado que la identidad es valida para todo %, tenemos:
% b ~ ( % c ! b ) % b !
Evaluando para:
%~
¬
! b ~ ( c ! b ) b !
~ )
)~
58
¬
c ! b ~ ( c c ! b ) c b !
c ~ c (
(~
Por lo tanto: ( ~
y )~
Por cualquiera de los métodos tenemos:
% b ~
b
% b ! % c !
% b ! % c !
Entonces:
% b %
% b ! % c !
~
% b %
% b !
% c !
~
% b %
% b !
% c !
~
O% b O b O% c O b *
Caso 2:
Los factores de 8 %! son todos lineales y algunos están repetidos.
Supongamos que el factor b ! es un factor que se repite veces.
7 %!
7 %!
~
8 %!
% b !
a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:
VIRGINIO GOMEZ
%~ c
7 %!
(
(
(
(
~
b
b
b h h h b
8 %!
% b !
% b !
% b !
% b !
Donde: ( Á ( Á ÀÀÀÀÀÁ ( son constantes que se van a determinar.
Ejemplos resueltos
% b % b % c !
% b % b % c !
%
~
(
)
*
b
b
%c
% c !
% c !
59
~
( % c ! b ) % c ! b *
% c !
% b % b ~ ( % c ! b ) % c ! b * ÀÀÀ !
Desarrollando:
% b % b ~ ( % c % b ! b ) % c ! b *
% b % b ~ (!% b c ( b ) !% b ( c ) b * ! ÀÀÀ !
1. Método abreviado:
Sea:
% b % b ~ ( % c ! b ) % c ! b *
Para % ~ ¬ ! b ! b ~ ( c ! b ) c ! b *
b b ~ b b *
* ~ Para % ~ ¬
! b ! b ~ ( c ! b ) c ! b ~ ( c ) b ( c ) ~ c Para % ~ ¬ ! b ! b ~ ( c ! b ) c ! b b b ~ ( c ) b ( c ) ~ c ( c ) ~ c ( c ) ~ c Resolviendo:
( ~ Â ) ~ Â * ~ 2. Método General:
Sea: % b % b ~ (!% b c ( b ) !% b ( c ) b * !
Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:
(~
c ( b ) ~ ( c ) b * ~ Resolviendo: ( ~ Â ) ~ Â * ~ 60
VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto:
% b % b % c !
~
b
b
%c
% c !
% c !
Entonces:
% b % b % c !
%
~
VIRGINIO GOMEZ
% b % b %
%c
% c !
% c !
~ d% c d c
c
b*
% c % c !
Caso 3:
Los factores de 8 %! son lineales y cuadráticos de la forma % b % b . Ninguno de los
factores cuadráticos se repite.
Por cada factor cuadrático no factorizable y que no se repite, le corresponde la fracción parcial
dada por:
(% b )
% b % b Ejemplo resuelto:
% b %
% b ! % b % b !
% b (
)% b *
~
b
% b ! % b % b !
% b % b % b ~
( % b % b ! b )% b * ! % b !
% b ! % b % b !
La ecuación básica es:
% b ~ ( % b % b ! b )% b * ! % b ! ÀÀÀ !
% b ~ ( b ) !% b ( b ) b * !% b ( b * ! ÀÀÀ !
1. Método general:
Sea:
% b ~ ( b ) !% b ( b ) b * !% b ( b * !
(b) ~
( b ) b * ~ ( b * ~ 61
Resolviendo:
(~ c
Â )~
Â *~
2. Método abreviado:
VIRGINIO GOMEZ
Sea:
% b ~ ( % b % b ! b )% b * ! % b !
Para:
% ~ c ¬ c ! b ~ ( 4 c ! b c ! b 5 b ) c ! b * ! c b !
c ~ (
¦
(~ c
Para: % ~ ¬ ! b ~ (4 ! b ! b 5 b ) ! b * ! b !
~ ( b *
~ c
b * ¦
*~
Para: % ~ ¬ ! b ~ (4 ! b ! b 5 b ) ! b * ! b !
~ ( b ) b *
~ 8 c
Por lo tanto: ( ~ c
9 b ) b 8 9 ¦
)~
Â )~
Â *~
Tenemos:
c
%b
% b b ~
% b ! % b % b !
%b
% b % b % b % b ~ c
b
% b ! % b % b !
% b ! % b % b !
Luego:
% b % b ! % b % b !
~ c
% b % b %
% b % b % b ~ c
% b O% b O b %
% b % b ~ c
% b d% b d b
(!:
b 4% b % b 5 b *
;
l
l
62
Caso 4:
VIRGINIO GOMEZ
Los factores de 8 %! son lineales y cuadráticos, y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si es un factor cuadrático no factorizable de 8 %! que se repite veces, entonces le corresponde
la siguiente descomposición en fracciones parciales:
( %b)
% b%b !
( %b)
b
% b%b !
b
( %b)
% b%b !
b ÀÀÀ b
(c %b)c
% b%b !c
Ejemplo:
b %
%
b ! % c !
%
b %
%
~
b ! % c !
(
)% b *
+% b ,
b b
%c
% b
% b !
b
( %b)
% b%b !
( % b ! b )% b * ! % c ! % b ! b +% b , ! % c !
~
% b ! % c !
La ecuaciones básicas:
b % ~ ( % b ! b )% b * ! % c ! % b ! b +% b , ! % c ! ÀÀÀÀ !
Desarrollando:
b % ~ ( b ) !% b c ) b * !% b ( b ) c * b +!% b c + b , b * c ) !% b ( c * c , !
ÀÀÀ !
1. Método General:
Sea:
b % ~ ( b ) !% b c ) b * !% b ( b ) c * b +!% b c + b , b * c ) !% b ( c * c , !
(b) ~
c)b* ~
( b ) c * b + ~ c + b , b * c ) ~ ( c * c , ~ (~
Â )~ c Â *~ c Â +~ c Â ,~ c
c %c
c %c
~
b
b
%c
% b % b ! % c !
% b !
b %
63
b %
%
b ! % c !
~
b %
% b ! % c !
%b
%b
c
c
% c ! % b ! % b !
%
~
~
O% c O c
~
O% c O c
~
~
VIRGINIO GOMEZ
%b
%b
% c % c %
% c !
% b !
% b !
%b
%b
% c % c %
% c % b % b !
%
b 8(! % b @ O% b O b (! %A c @ c
9A
% b ! % b
%
O% b O c
(!% b
c (!% c
b*
% b ! % b !
c%
O% c O c
O% b O c (!% b
b*
% b !
Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integral indefinida.
1.
3.
%
% c !%
c % c %
2.
! c ! c !!
! c ! ! b ! b !
4.
5.
%
% c 6.
7.
! b !!
! c ! c ! b 8.
9.
%
c
10.
%
64
& c !&
& & c !
# c !#
#
#
c # b !
& b !&
& b & c &
# b # b !
'
#
''
c ' c Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Solución
1.
2.
3.
4.
%
% c !%
~ O%O b O% c O c O% b O b *
c % c %
& c !&
&
& c !
~
c & b & c & & c !
b
&
f
fb*
& c ! c ! c !!
~
O! b ! b O c (! ! b ! c O! c O b *
! c ! ! b ! b !
# c !#
# # c # b !
~
# c # b #c
f
b*
f c (! # c ! b
#
# c # b !
5.
%
~ O% c O c O% b O b *
% c 6.
& b !&
~ c O&O b O& c O c O& b O b *
& b & c &
7.
! b !!
~ O! b O c O! c O c
b*
! c ! c ! b !c
8.
9.
10.
VIRGINIO GOMEZ
# b # b !
# ~
#
(! # b
b*
# b !
%
%c
~ f
fb*
c
%b
%
'
''
~ O' b O b O' c O b *
c ' c 65
Autoevaluación
Resuelva las siguientes Integrales
.
( ! !
!
b !
À
&
&
& b & !
À
%
% %
.
À
! ! ! .
À
'
l c ' '
%b
% % b !
%
66
VIRGINIO GOMEZ
Solución
³ (! !
!
b !
" ~ (! !
" ~
!
b !
(! !
!
b !
³ ~ " " ~ " b *
~ (! ! b *
&
&
& b & !
" ~ b &
" ~ & h
&
&
& b & !
"
&
& ¬
~
&
&
&
~
"
h
" ~
"
"
~
d"d b *
~
d b & d b *
³ % % %
" ~ %
" ~ % %
%
% % ~
" ~ %
" ~ %%
%
% % ~
# ~ % %
# ~ %
%
% c % % %
# ~ % %
# ~ %
%
% c 8 % % c %% %9
67
VIRGINIO GOMEZ
%
% % ~
% % % c % b %% %
# ~ % %
# ~ %
"~%
" ~ %
%
% % ~
% % % % c % b 8 % c % %9
%
% % ~
% % % % c % b % c % %
%
% % ~
% % % %
% c % b % c h
b*
%
% % ~
% % %
% c % b % c % b *
³ ~ 8
b 9 VIRGINIO GOMEZ
~
4 b b 5 ~
b b b 8
9 ~
b b b h
~
b b h
b*
b
~
b
b *
b
³ ! ! ! ~ ! ! ! ! ~ ! !4 b ! !5 ! ~ ! ! ! b ! ! ! " ~ ! !
" ~ c ! ¬ c
"
~ ! 68
~ " 8 c
"
"
9b " 8c
9
~ c " " c "
~ c
"
"
h
c h
b*
VIRGINIO GOMEZ
! ! ! $
~ c ! ! c ! ! b *
³ '
l c ' c '
'
'
9
' ~ 8 c 6 7 9
'
~ ~ 8 c
' ~ ' ~ '
l c ' '
~
'
' o8 c 6 7 9
'
~
!
!
l c ~
~ ~ 4 c 5 ~ c ~ c b b *
69
l c ' b :
; b*
VIRGINIO GOMEZ
~ c
l c ' ~ c l c ' b 4 c ' 5l c ' b *
³ %b
% % b !
%b
% % b !
%
~
~
~
(
)
*
b
b
%
%b
% b !
( % b ! b )% % b ! b *%
% % b !
% ( b ) ! b % ( b ) b * ! b (
(b) ~
( b ) b * ~ ( ~ ¬
% % b !
(~
) ~ c
* ~ c
%b
% % b !
% ~ c
c
% b % b %
%
%b
% b !
~ d%d c d% b d c % b !c %
~ d%d c d% b d c ~ d%d c d% b d b
70
% b !c
b*
c
b*
%b
UNIDAD N°2: Integral Definida
Interpretación de la integral definida:
VIRGINIO GOMEZ
Sea & ~ %! una función continua en el intervalo [Á ], cuya gráfica es:
y
y = f(x)
A
x
a
b
Sea ( una región del plano comprendida entre la función & ~ %!, el eje %, las rectas % ~ y
%~
Nuestro interés esta en el siguiente problema:
Como calcular el área de la región ( achurada en los límites planteados:
y
y
y = f(x)
A
A
x
x
0
a
b
Para evaluar el área bajo la curva se realiza el siguiente proceso:
1.Dividir el intervalo [Á ] en un cierto número de subintervalos, no necesariamente iguales.
Sea los punto de subdivisión
71
y
y
y = f(x)
y = f(x)
.........
A
.........
x
0
a
VIRGINIO GOMEZ
b
x
a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b
donde:
~ % % % ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ %c % ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ %c % ~ - Los intervalos no tienen necesariamente la misma longitud
- El primer intervalo esta dado por: <% Á % = ~ <Á % = D% tal que: % % %
- Longitud de cada subintervalo es:
~ % c % para el 1er subintervalo
~ % c % para el 2do subintervalo
~ % c % para el 3er subintervalo
~ % c % para el 4to subintervalo
Å
z ~ % c %c para el -ésimo subintervalo
Å
z ~ % c %c para el -ésimo subintervalo
z
z
z
z
2.Cada subintervalo forma un rectángulo de base - % ~ % c %c y altura !
Donde:
"% Á %c # es decir % %c esto es D ~ Á Á Á ÀÀÀÁ y
y
f(cn)
y = f(x)
f(ci)
f(ci)
.........
A
x
0
a
b
0
.........
a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b
c1 c2
72
y = f(x)
ci
cn
x
VIRGINIO GOMEZ
3.Calculando el área de cada rectángulos formados por los subintervalos de base - % ~ % c %c
y altura !
( ! h - % ~ ! h % c % !
( ! h - % ~ ! h % c % !
( ! h - % ~ ! h % c % !
.
Å
( ! h - % ~ ! h % c %c !
Å
( ! h - % ~ ! h % c %c !
Sumando el área de todos los rectángulos formados, tenemos una buena aproximación deseada del
área bajo la curva de la función & ~ %! en el intervalo "Á # y las rectas % ~ Á % ~ Área Región 9 ! h - % b ! h - % b ! h - % b ÀÀÀ b ! h - %
Área de la Región: ( ! h - %
~
Debemos notar que:
-A medida que el número de intervalos aumenta, la aproximación será aun mejor.
-Cuando el número de subintervalos tiende a infinito ¦ B, es equivalente a decir que la
longitud de los subintervalos - % ¦ (este intervalo es un infinitesimal)
A partir de este concepto se define el área bajo la curva de una función como la integral
definida de la función %! desde hasta .
Área de la Región:
( ~ lim ! h - %
P"P¦
~
Este límite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:
( ~ %!%
Por lo tanto: El área bajo la curva entre % ~ y % ~ , se evalúa como la integral definida de la
función & ~ %! entre los limites de integración y .
y
y = f(x)
b
Área de la Región
³ f ( x)dx
a
El Área de la región se define como la
integral definida de la función f ( x)
Area de la Región
entre los puntos a y b.
x
0
a
b
Donde : La función es el integrado
Los números y son los límites de integración inferior y superior.
La letra % es la variable de integración
73
Propiedades generales de la integral definida
VIRGINIO GOMEZ
(1) Intercambiando los límites de una integral cambia el signo al frente de la integral.
%!% ~ c %!%
(2) La integral de una región se dividirá en la suma de cualquier numero de integrales, cubriendo
cada una de ellas una porción de la región.
%!% ~ %!% b %!%
(3) Valoración de una integral definida:
%!% ~ - ! c - !
En general para %! continua en un intervalo de integración % , son validas las
propiedades básicas de la integral indefinida. Así tenemos:
(1) %!% ~ %!% Â
constante
(2) > %! f %! ?% ~ %!% f %!%
Ejemplo: Resolver las integrales definidas.
(1) Resolver 4% b % c 5%
Desarrollo:
4% b % c 5% ~ % % b %% c %
~ % % b %% c %
~
% e b % e c %e
~
4 c 5 b 4 c 5 c c !
~
h b h c 74
(2) Resolver ~
b c ~
b ~
Á Desarrollo:
~ c e
~ c c c !
~ c c !
~
(3) Resolver % % %
Desarrollo:
Sea
" ~ %
# ~ % %
# ~ % % ~ %
" ~ ""
%
%
%
% % ~ % e c % %
%
% %
"~%
# ~ % %
" ~ %
# ~ % % ~ %
~ % % e c B%% e c %%C
~ % % e c %% e b % e
Evaluando los límites de integración
~ " c # c < c = b < c =
~ c b " c #
~ c b c ~c
Á 75
VIRGINIO GOMEZ
(4) Resolver &b
&
& b & b Desarrollo
Sea " ~ & b & b ¬ " ~ & b !& ¬
"
~ & b !&
VIRGINIO GOMEZ
Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo límites de integración
Para & ~ ¬ " ~ ! b ! b ¬ " ~ Para & ~ ¬
" ~ ! b ! b ¬ " ~ &b
&
&
b
& b ~
"
"
~
22 "
10 "
~
d"df
~
! c !! ~ 88 99 ~ 8 9
Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar
&b
&
& b & b "
"
~ ~ "
"
d"d b *
~ d& b & b d b *
~
Así,
&b
&
&
b
& b ~
d& b & b df
~
! c !
~
88 99
~
8 9
76
l (5) Resolver %
l
c %
%
Desarrollo
c % ~ 8 c
%
9
% ~ 8 c 6 7 9
~
%
¬
% ~ ¬
% ~ Para % ~ ¬ ~ ¬ ~ Para % ~ l ¬ ~
l
¬~
Así,
l %
l
c %
l %
~
~
~
%
% o
8 c 6 7 9
%
°
!
l
c !
°
!
°
~ c °
~ 8 c
9f
VIRGINIO GOMEZ
~ 8
c 6 7 c b !9
~ :
l
c :
;;
~
c l 77
Ejemplos propuestos con respuestas.
Evaluar las siguientes integrales definidas
1. 4% c % 5%
c
3.
5.
c
7.
c
2.
c
!
l!
4.
%
b
%
!
! c 8
c 9&
&
&
#
#b
6. l& c &
c
8. # #
78
VIRGINIO GOMEZ
Solución
1. 4% c % 5%
~
~
c
c
2.
c
3.
8
!
l!
4.
c
~
#
#b
5.
c 9&
&
&
~ %
b
~
%
6. l& c &
c
7.
!
!
c
~
l
c l
c l c :
;
c l
~
Á 8. # #
~
79
VIRGINIO GOMEZ
Areas en Coordenadas Cartesianas
VIRGINIO GOMEZ
Debido a la interpretación geométrica de la integral definida, es posible en cálculo de áreas planas.
1. Área entre una curva y el eje ? :
Al realizar este cálculo se debe tener presente que la integral definida representa el área encerrada
por la curva & ~ %! Á el eje ? en un intervalo definido [ , ]
Ejemplos resueltos: Determinar el área de la región acotada
1.Determinar el área de la región acotada por la curva %! ~ % b entre "Á #À Graficar.
(
~ %!%
~
% b !%
~ %% b %
~
% e b %e
~
4 c 5 b c !
~ Á "À À!
2. Determinar el área encerrada por %! ~
% entre los límites % ~ y % ~ . Graficar
80
VIRGINIO GOMEZ
(
~ %!%
~
% %
~
% %
~
%
8 9f
~
% f
~
4 c 5
~
c !
~
Á "À À!
81
(
~ %!%
c
~ 4% b 5%
c
c
c
~ % % b %
~
%
f b %f
c
c
~
< c c ! = b " c c !#
~ Á "À À!
82
VIRGINIO GOMEZ
3. Determinar el área encerrada por %! ~ % b entre los límites % ~ c y % ~ . Graficar
y
1 3
x 2
4
y
y=2
x
o
x=1
x=5
(
~ &%
~ 8 % b 9%
~
% % b %
~
%
8 9f b %f
~
4 c 5 b c !
~ "À À!
83
VIRGINIO GOMEZ
4. Determinar el área de la región limitada por la curvas: & ~ % b en el intervalo . Graficar
(
~ &%
~ l b % %
Por cambio de variable:
" ~ b % ¬ " ~ %
l b % %
~ " "
~
" b *
~
b %! b*
Entonces:
(~
² b %³ f
(~
! c !
(~
l
c !
(~
l
c
( Á "À À!
84
VIRGINIO GOMEZ
5.Determinar el área encerrada por la función & ~ l% b , el eje % y las rectas % ~ y % ~ Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
(
~ &%
~ d% b d%
Integrando por partes: " ~ d% b d
" ~
%
%b
d% b d% ~ % d% b df c Sea
# ~ %
#~%
%
%
%b
' ~%b ¦ %~'c
' ~ %
%
%
%b
~
'c
'
'
~ ' c '
'
~ ' c d' d b *
Por lo tanto, d% b d%
VIRGINIO GOMEZ
6. Determinar el área limitada por el eje % y la función % c ! en el intervalo "3 , 8# . Gráfica
~ % d% b df c < % b ! c d% b d=f
~ >% d% b d c % b ! b d% b d?f
85
~ > % b !4 d% b d c 5?f
VIRGINIO GOMEZ
~ > % b ! d% b d c % b !?f
~ < b !4 d b d c 5= c < b !4 d b d c 5=
~ c c b ~ c c Á c Á c Á "À À!
7. Determinar el área limitada por la función & ~ % , el eje % y las rectas % ~ Á y % ~ Á .
Graficar:
y
f x e x
A
1
0
x=1,5
Á
(
~
&%
Á
Á
~
% %
Á
~ % e
Á
Á
~ Á c Á
Á 86
x=3,2
x
eje %.
y las rectas % ~ , % ~ con el
%c
y
f x 1
x 1
VIRGINIO GOMEZ
8.Determinar el área de la región dada por la función & ~
x
0
1
x= 2
x= 5
-1
(
~ &%
~
%
%c
Resolviendo por variable auxiliar. Sea " ~ % c ¦ " ~ %
Entonces, "
% ~ %c
"
~ O"O b *
~ O% c O b *
Por lo tanto,
(
~
%
%c
~ O% c Oe
~ O c O c O c O
~ c Á "À À!
9.Determinar el área de formada con el eje % y la función & ~ % en el intervalo cerrado ´ 0 , µ.
87
VIRGINIO GOMEZ
(
~ &%
~ % %
~ % %
~ c %e
~ c c !
~ c c c !
~ c c !
~ "À À!
88
Areas positivas y negativas
VIRGINIO GOMEZ
Sea %! una función continua en el intervalo " Á #, cuya curva esta dada por:
Supongamos que deseamos calcular el área en el intervalo " Á # de la región formada por ( y ( .
Debemos notar que la región ( esta por encima del eje % y es positiva mientras que la segunda
región ( se halla por debajo del eje % y es negativa.
Por lo tanto, si integramos en el intervalo " Á # esta dará un cantidad positiva para la región ( y
una cantidad negativa para la región ( , por lo que el integrado en intervalo de a producirá la suma
algebraica de esta dos regiones, es decir (( c ( ).
Normalmente interesa la CANTIDAD total de área (( b ( ) y no la suma algebraica, por lo
tanto, para asegurar que la región ( sea positiva empleamos el concepto de valor absoluto de tal forma
que el área total esta dada por:
( ~ ( b d( d
( ~ %!% b f %!%f
este resultado será ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia de las regiones que
se obtendría al integrar entre y .
Ejemplo: Determinar el área de la región limitada.
Determinar el área encerrada por la función & ~ % c en " c Á #
y
y
3x 2
A2
A1
-2
2
3
5
89
x
( ~ d( d b (
VIRGINIO GOMEZ
Determinar el punto entre las áreas positivas y negativas implica resolver la ecuación & ~ & ~ % c ¬ ~ % c ¬ % ~ ¬ % ~
Luego, (
~ f
c
% c !%f b % c !%
~ f % c %f b @ % c %A
c
~ gB 8 9 c 8 9C c @ c ! c c !Ag b @ ! c !A c B 8 9 c 8 9C
~ g@
c A c @ b Ag b @ c A c @ c A
~ g c c g b
c b
~ g c c g b
c b
Á "À À!
Areas simples entre curvas
Sea %! y %! dos funciones, tales que %! Á %! y %! %! dos áreas positivas.
(~
%! % c %! %
Tenemos los siguientes casos particulares:
90
1)Area entre curvas b ! y c ! donde %! y %! (~
%! % b f %! % f
o bien podemos escribir:
(~
%! % c %! %
2)Áreas entre curvas ( c ). Donde: %! y %! ( ~ f %! %f c f %! %f
( ~ c %!% c : c %!%;
( ~ %!% c %!%
91
VIRGINIO GOMEZ
Teorema: Area de una región entre dos curvas
VIRGINIO GOMEZ
En general si %! y %! son continuas en " Á # y %! %!, para todo % en " Á #, entonces
el área de la región limitada por la gráfica de las funciones %! y %! y las rectas % ~ y % ~ queda
definida de la siguiente forma:
( ~ > %! c %!?%
Ejemplos:Hallar el área de una región entre dos curvas
1. Hallar el área de la región limitada por las gráfica de & ~ % b , & ~ c % , entre % ~ y
% ~ respecto eje ? y respecto eje @ À
y
f x
x2 2
x
0
x=1
g x x
Sea %! ~ % b y %! ~ c % , podemos ver que %! %! para todo % en " Á #. Por
tanto el área la podemos calcular como:
Respecto eje ?
(
~ " %! c %!#%
~ <4% b 5 c c %!=%
~@
~B
%
%
b % b A
!
! !
!
b ! b
c
b
b
!
C B C
~@ bb A ~
"À À!
92
Respecto eje @
& ~ % b ¬ & c ~ % ¬ l & c ~ %
& ! ~ l& c & ~ c%¬ c& ~%
&! ~ c &
(
~
c
~
c
c & !! & b & b c & !! &
c c & ! & b & b 4 c l& c 5 &
~ & b & f b & f b 8& c & c !° 9f
c
~ 8 b c c ! c 9 b c ! b 8 c c b 9
~
bb
~
"À À!
VIRGINIO GOMEZ
Observación: Toda área calculada respecto eje ? y eje @ debe dar por resultado el mismo valor
numérico.
2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de %! ~ c % y %! ~ % respecto eje
? y respecto eje @
y
g x x
x=-2
x=1
f x
x
2 x2
De la gráfica podemos ver que %! y %! tiene dos puntos de intersección. Para hallar las
coordenadas % de estos puntos, igualamos %! con %! y despejamos %
c % ~ %
% b % c ~ % b ! % c ! ~ ¬ % ~ c Â& ~ c ¬ % ~ Â % ~ 93
Respecto eje ?
~ " %! c %!#%
(
~ <4 c % 5 c %=%
c
~ @% c
%
%
c A
c
VIRGINIO GOMEZ
Por tanto: ~ c y ~ . Dado que %! %! para todo % en " c Á #, entonces el área la
podemos calcular:
!
! c ! c !
c
c
c
!
c
c
C B
C
~ @ c c A c @ c b c A
~ B ! c
~
"À À!
Respecto eje @
& ~ c %
¬
% ~ c &
¬
% ~ f l c &
&~%
( ~ 4& c 4 c l c & 55 & b 4l c & c 4 c l c & 55 &
c
94
y
f y
x
x=-1
x=2
g y 3 y2
VIRGINIO GOMEZ
3. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de % ~ c & e & ~ % c respecto eje ?
y respecto eje @
y 1
Si consideramos &! ~ c & y & ! ~ & b , estas dos curvas se cortan en & ~ c e & ~ .
Puesto que &! &! en este intervalo, entonces el área la podemos calcular:
Respecto eje @
~ " &! c & !#&
(
c
~ <4 c & 5 c & b !=&
c
~ 4 c & c & 5&
c
~ @& c
~ @ c
~
&
&
c A
c
c A c @ c b c A
"À À!
Respecto eje ?
% ~ c & ¬ & ~ c % ¬ & ~ f l c %
%~&b¬& ~%c
(~
c
6% c c 6 c l c %77 % b 6l c % c 6 c l c %77 %
95
VIRGINIO GOMEZ
1)Calcular el área de la región dada por: %! ~ % c % y %! ~ .
³Calcular el área de la región dada por: %! ~ % c % b y %! ~ c % b % b .
³Determinar la región acotada por las dos curvas. Graficar. %! ~ c % b y %! ~
.
%
³Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de %! ~ % c % c % y
%! ~ c % b %. Graficar.
³Calcular el área acotada por & ~ Á & ~ % c Á % ~ respecto del eje % y respecto del eje & ..
³Determinar el área acotada por las curvas: & c ~ %Á & b ~ %
³Evaluar el área acotada por las funciones: & ~ % c Á & ~ c %
³Determinar el área acotada respecto del eje % por las funciones: & ~ %, & ~ %Á en el
intervalo:
³> Á
?
³> Á ?
³@ Á
A
³" Á #
96
Solución
³ "À À!
³ "À À!
³
"À À!
³ "À À!
³ Eje X :
"À À!
³
"À À!
³
l
"À À!
³
³
³
³
³
l c l c l Eje Y:
" !
" !
" !
" !
97
VIRGINIO GOMEZ
"À À!
Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas
: ~ H %Á & ! ¢ % Á & ~
(
~
% %
~
4 c 5
~
"À À!
~
% %
: ~ D %Á & ! ¢ % Á & ~
(
%
I
~
8 % 9f
% b %E
~ 8 % b %9%
~
% % b %%
98
VIRGINIO GOMEZ
8 % 9f b 8 % 9f
~
4 c 5 b 4 c 5
~
! b
! ~
b
~
"À À!
VIRGINIO GOMEZ
~
: ~ D %Á & ! ¢ & ~ % Á & ~ %E
Puntos de intersección
& recta! ~ & parábola!
% ~ %
% c % ~ % c %! ~ ¬ % ~ w % ~ (
~ 4% c % 5%
~ %% c % %
~
4% 5
c 8 % 9
99
~ c ! c 4 c 5 ~ c
~
"À À!
: ~ D %Á & ! ¢ % Â & ~ %E
(
~ >l
% c 6 c l
%7?%
~ l
% %
%
~ l B C
~ l
@ ²
³ c ²³ A
~
l
6
7
~
!
~
~ <"À À=
100
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
1.Encontrar el área bajo la curva de las siguientes funciones y graficar.
a)
b)
c)
% E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % b %E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ %E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~
h)
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % c % E
D
: ¢ %Á & ! ¢ % Á & ~ % c %E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % b c% !E
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % E
i)
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ %E
j)
: ¢ D %Á & ! ¢ c % Á & ~ % b E
k)
: ¢ D %Á & ! ¢ % Á & ~ % c E
d)
e)
f)
g)
2.Calcular el área encerrada por las siguientes funciones y graficar
a)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % Â % ~ & E
b)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % Â % ~ E
c)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ c % Â % ~ E
d)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c %!E
e)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % Â % ~ E
f)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % Â & ~ % E
g)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c Â & ~ % c E
h)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ %4% c 5 Â & ~ %E
i)
: ¢ D %Á & ! ¢ % ~ & b Â & c % c ~ E
j)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % Â & ~ Â % ~ Â % ~ E
k)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c % b % Â & ~ E
l)
: ¢ D %Á & ! ¢ % ~ c & Â % ~ E
m)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c % Â & ~ % c %E
n)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c % b Â & ~ Â % ~ Â % ~ E
ñ)
: ¢ D %Á & ! ¢ & ~ % c % Â & ~ Â % ~ E
101
Solución
1.-
VIRGINIO GOMEZ
"À À!
b)
"À À!
c) "À À!
d)
"À À!
f)
c "À À!
a)
"À À!
e)
³ 4 c c 5 c "À À!
h) c "À À!
i) 2 "À À!
j)
21
"À À!
2
"À À!
k)
2.a)
"À À!
b) "À À!
c)
l "À À!
d)
l "À À!
e)
"À À!
f)
"À À!
g)
"À À!
h) "À À!
i)
"À À!
j) "À À!
k) "À À!
m)
"À À!
ñ)
"À À!
102
l)
"À À!
n)
"À À!
Volumen de Sólidos en Revolución.
¿Qué es un sólido de revolución?
VIRGINIO GOMEZ
Un sólido de revolución es generado al girar una región plana ( en torno a una recta, llamada el
eje de revolución (o de rotación), en el plano, este eje de revolución puede ser vertical o horizontal. El
sólido de revolución generado interesa evaluar su volumen.
Sea & ~ %! un función continua en un intervalo " À #donde D% " Á #. Donde ( es una
región del plano limitada por & ~ %!, el eje %, las rectas % ~ y % ~ . Esta región ( puede girar en
torno a una recta vertical o en torno a una recta horizontal generando un sólido de revolución.
Gráficamente:
Eje de giro horizontal (eje %)
y
y
y = f(x)
y = f(x)
Región
A
Región
A
x=a
x
x =b
x=a
Eje de giro Vertical (eje & )
y
y
y = f(x)
x
y = f(x)
A
x=a
x =b
A
x=b
x
x=a
x =b
x
El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por uno de los siguientes
procedimientos.
- Método de los discos
- Método de los anillos
Con frecuencia uno de los métodos es preferible al otro, dependiendo del eje de giro de la región (.
103
Método del disco
¿Cuándo se usa?
VIRGINIO GOMEZ
Presenta mayores ventaja cuando la región de giro ( es en torno del eje ? o a una recta paralela
al eje ?
Sea ( la región del plano limitada por & ~ %!, el eje %, las rectas % ~ y % ~ ., que gira
entorno al eje ? generando un sólido de revolución, el cual deseamos calcular su volumen.
y
y
Rectángulo
representativo
y = f(x)
y = f(x)
Región
A
x=a
f(x)
x =b
x
x=a
x =b
'x
x
Para calcular el volumen de este sólido en revolución consideremos un rectángulo
representativo de esta región plana. Donde:
'x
f(x)
Eje de giro (Eje x)
f(x)
/V
Eje de giro (Eje x)
'x
2
S > f x @ 'x
Cuando hacemos girar este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco
representativo cuyo volumen es:
"= ~ & "%
Si aproximamos el volumen total del sólido de revolución por de tales discos entre y .
Tenemos:
104
Volumen del sólido "&# "%
~
Tomando el límite cuando P"P ¦ ¦ B!. Tenemos:
Volumen del sólido ~ "&# "%
~
Por lo tanto:
VIRGINIO GOMEZ
Cuando el eje de revolución es el eje ? y la frontera superior de la región plana viene dada por
una curva & ~ %! entre % ~ y % ~ , el volumen = del sólido de revolución viene dado por
= ~ "&# %
Como & ~ %! también lo podemos escribir
= ~ " %!# %
Análogamente, cuando el eje de rotación de la región ( es el eje & , donde un lado de la región
plana esta dado por la curva % ~ & ! entre & ~ e & ~ . El volumen = del sólido de revolución es:
Eje de giro Vertical (eje y)
y
y
x =g(y)
y =d
y =d
A
y =c
A
y =c
x =b
x
x =g(y)
x
= ~ % &
= ~ " & !# &
105
VIRGINIO GOMEZ
Caso especial: Cuando el eje de rotación es paralelo al eje ? , pero distinto al eje ? :
Sea & ~ %! una función que gira sobre una eje horizontal & ~ ; una constante.
[ f(x) – k]
y
f(x) t 0
y=k
k
x=a
x
x =b
'x
"= ~ " %! c # "%
Por lo tanto: El volumen del solido de revolución esta dado por:
= ~ " %! c # %
Extensión del método de los discos:
Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero):
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución generados
por dos funciones, tales como %! y %! . Se tienen los siguientes casos:
Caso 1: Rotación en torno al eje %. Sea %! y %! À D% " Á #
y
[ f (x ) – g (x ) ]
f (x ) t 0
g (x ) t 0
x = a
x =b
'x
"= ~ " %!# "% c " %!# "%
"= ~ <" %!# c " %!# ="%
106
x
Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:
= ~ <" %!# c " %!# =%
Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje ? .
VIRGINIO GOMEZ
Sea %! y %! D% " Á # y consideremos al eje de rotación & ~ ; con una
constante.
[ f(x) – g(x)]
y
f(x) t 0
g(x) t 0
'x
k
x=a
x =b
y=k
x
"= ~ " %! c # "% c " %! c # "%
"= ~ < %! c ! c %! c ! ="%
Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:
= ~ < %! c ! c %! c ! =%
Análogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotación es paralelo y distinto del
eje @ . (estudiar)
107
Ejemplos resueltos método de los discos - eje de giro %
VIRGINIO GOMEZ
Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada en torno al eje %, por la
gráfica de:
1. & ~ % b , el eje %, en " Á #
y
y
2x 3
f(x)
x =1
x =4
'x
= ~ " %!# %
~ "% b # %
~ <% b % b =%
~ @ % b % b %A
~ "À #À!
108
x
2.& ~ % b , el eje % , en " c Á #
y
y
x2 1
VIRGINIO GOMEZ
f(x)
x
x=-1
x =1
'x
= ~ " %!# % ~ <% b = % ~ <% b % b =% ~ @ % b % b %A
c
c
c
"À #À!
= ~
Ejemplos resueltos método de los discos- eje de giro eje &À
Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada con el eje & , y la función
l
& ~ % c , en & ~ y & ~ c . Eje de giro eje @ .
y
y
f(y)
'y
x2 1
x
x= 5
x =1
= ~ " & !# & ~ <& b = &
= ~
c
~ <& b & b =& ~ @
c
"À #À!
109
&
b & b &A
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo resuelto Región limitada por una función y eje de rotación desfasado paralelo al eje %.
1ÀDeterminar el sólido en revolución de la región definida por: & ~ b l% c , con eje de
rotación que esta dado por & ~ , en " Á #
3 x 1
y
y
[ f(x) – 3]
y=3
3k
'x
x=1
x =5
x
= ~ " %! c # % ~ >6 b l% c 7 c !? % ~ >l% c ? %
~ % c !% ~ 8 % c %9f
~ "À #À!
Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones- eje de giro eje % À
ÀHallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por: & ~ % b Á
& ~ c % b Â eje de giro eje %.
y
y
x2 1
f(x) – g(x)
'x
x= a
x
x =b
y
= ~ " %!# % c " %!# %
110
2 x 4
c
c
~ " c %# % c <% b = %
c
c
~ <
c % b % =% c <% b % b =%
~ @
% c % b % A c @ % b % b %A
c
c
~
"À #À!
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones - eje de giro desfasado paralelo al eje %.
1.Hallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por:
& ~ c % b Â eje de giro & ~ c .
y
y
x2 1
f(x) +1
g (x ) +1
y
x= a
x
x =b
y = -1
'x
2 x 4
= ~ " %! c # % c " %! c # %
c
c
~ " c %! c c !# % c <4% b 5 c c != %
c
c
~ " c %# % c <% b = %
c
c
~ 4 c % c % 5% c 4% b % b 5%
~ @% c % b % A c @ % b % b %A
c
c
111
~
"À #À!
& ~ % b Á
I Volumen generado por una función - eje de giro: eje % / eje &
VIRGINIO GOMEZ
1. Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la función & ~ % b , al
girar alrededor del eje & ~ en [ Á µ .
2. Hallar el volumen generado al girar en el eje %, el área del primer cuadrante acotado por la
parábola & ~ % y la recta % ~ II Volumen generado por dos funciones - eje de giro eje % / eje &
1. Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficas de & =l% e
& ~ % alrededor del eje %. Graficar.
2. Determinar el sólido en revolución que se genera al girar, alrededor del eje %, la región acotada
por la parábola & ~ % y la recta & ~ % b .
3. Hallar el volumen generado al girar en torno al eje &, el área acotada por la parábola & ~ %
y la recta % ~ III Con eje desfasado: eje de giro paralelo al eje % / eje &
1. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por %! ~ c % ,
%! ~ , en torno a la recta & ~ . Graficar
2. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor de la recta % ~ c , la región
acotada por las parábolas % ~ & c & y % ~ & c .
3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola & ~ % y la recta % ~ ,
al girar alrededor de la recta % ~ .
4. Hallar el volumen generado al girar el área que limita el eje % y la parábola & ~ % c % , en
torno a la recta & ~ .
IV
Ejemplos con respuestas varios.
Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la recta que se indica,
usando el método del disco.
!
& ~ % Á & ~ Â % ~ Á % ~ Â en torno al eje %
!
% c & ~ Á & ~ Â & ~ Â en torno al eje %
!
& ~ % Á % ~ Á & ~ Â en torno al eje &
!
& ~ % Á % ~ Á & ~ Â en torno al eje & ~ !
& ~ % Á & ~ Á % ~ Â en torno al eje %
!
& ~ % Á & ~ Á % ~ Â en torno al eje % ~ !
% b & ~ Â en torno al eje & ~ !
% ~ c & Á entre % c & c ~ Â en torno al eje %
112
Solución
I
³ "À #À!
³ "À #À!
II
³
"À #À!
³
"À #À!
³
"À #À!
III
³
"À #À!
³
"À #À!
³
"À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
IV
113
VIRGINIO GOMEZ
Método de los anillos cilíndricos
VIRGINIO GOMEZ
Como alternativa al procedimiento para obtener el volumen de un sólido de revolución es el
método de los anillos cilíndricos.
¿Cuándo se usa?
Presenta mayores ventaja cuando la región de giro ( es en torno del eje @ o a una recta paralela al
eje @
¿En qué se basa este método?
El método se basa en considerar elementos rectangulares de áreas paralelas al eje de revolución,
de esta manera al hacer girar un elemento de rectángulo representativo con respecto al eje se obtiene una
capa o anillo cilíndrico. Tal capa es un sólido contenido entre dos cilindros de centro y ejes comunes.
Sea ( una región plana comprendida por la curva & ~ %!, el eje % y las rectas % ~ ; % ~ .
Cuando esta región ( gira en torno del eje & genera un sólido de revolución. Su volumen lo podemos
determinar del siguiente modo:
Eje de giro Vertical (eje y)
y
y
y = f(x)
A
x=b
x=a
y = f(x)
f(x)
x
x=a
x
x =b
x
'x
Consideremos un rectángulo representativo de la región plana ( que se hace girar en torno del
eje &, generando un cilindro. Donde:
x
f(x)
x
'x
f(x)
'x
114
Donde:
"%: Espesor del rectángulo del Anillo
&: Altura del Anillo de revolución
%: Radio del Anillo de revolución.
Calculando el volumen de este capa o cilindro representativo:
"= ~ %& "%
VIRGINIO GOMEZ
Aproximando el volumen del sólido de revolución por cilindros o capas :
Volumen del sólido %&"%
~
Tomando el límite P"%P ¦ ¦ B!, tenemos:
Volumen del sólido ~ lim %&"%
¦B
~
Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución cuando la región que gira en torno del eje @ esta
dado por:
y como & ~ %! Á entonces
= ~ %&%
= ~ % %!%
Análogamente cuando el eje de rotación es el eje % el volumen del sólido de revolución se calcula
como:
Eje de giro Vertical (eje x)
y
y
x = g(y)
y=d
x = g(y)
y=d
A
y=c
y=c
'x
x
x
= ~ & & !&
Un caso especial método de los anillos cilíndricos:
115
VIRGINIO GOMEZ
Rotación en torno al eje @ . Sea %! y %! D% " Á #, el volumen del sólido en
revolución generado, esta dado por:
y
f(x) - g(x)
y = f(x)
y = g(x)
x
x=a
x=b
'x
x
"= ~ %"%" %! c %!#
Por lo tanto, el volumen del sólido en revolución esta dado por:
= ~ %" %! c %!#%
Ejemplos resueltos Método de los anillos - eje de giro @
1.Determinar el volumen del sólido en revolución de la región definida por: & ~ % en " Á #
y
y
x2
f(x)
x =0
x
x=4
'x
= ~ % %!% ~ %4% 5% ~ % % ~ @
%
A
= ~ "À #À!
Ejemplo resuelto Método de los anillos: Región limitada por dos funciones- eje de giro, eje @
116
VIRGINIO GOMEZ
³ Determinar el volumen del sólido en revolución por el método de los anillos de la región
limitada por: & ~ % , & ~ l% . Eje de giro & .
y
y
x2
y
x =0
x=1
'x
= ~ %" %! c %!#%
~ %<l% c % =%
~ %<l% c % =%
~ >% c % ?%
%
~ @ % c A
~
"À #À!
117
x
x
la región acotada por las gráficas de
y
y
x2 1
f (x)
x=0
VIRGINIO GOMEZ
³ Calcular el volumen del sólido generado al girar
& ~ % b Á & ~ Á % ~ y % ~ en torno al eje @ . Graficar.
x
x =1
'x
%
= ~ % %!% ~ %<% b =% ~ <% b %=% ~ @ % b A
= ~
"À #À!
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
& ~ % b Á & ~ Á % ~ y % ~ en torno al eje desfasado % ~ c (paralelo al eje @ ) Graficar.
y
x2 1
f (x)
x
x=0
'x
x =1
x = -2
= ~ % b ! %!% ~ % b !4% b 5% ~ 4% b % b % b 5%
~ @
%
%
%
b
b
b %A ~
"À #À !
118
Ejemplos propuestos con respuestas
I Volumen generado por una función - eje de giro: eje % / eje &
VIRGINIO GOMEZ
1.Calcular el volumen del sólido en revolución que se genera al girar la región limitada por
& ~ % c % con el eje %. Eje de giro alrededor del eje & . Graficar
2.Calcular el volumen del sólido engendrado por la región limitada por & ~
%, al girar en torno al eje & en " Á #
%
b !
con el eje
3.Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
& ~ % b con el eje %, entre % ~ y % ~ en torno al eje &
II Volumen generado por una o dos función: Con eje desfasado, eje de giro //
eje % / eje &À
ÀCalcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta % ~ , la región limitada
por las graficas de & ~ % b % b Á & ~ y % ~ . Graficar.
ÀSea la región limitada por la curvas & ~ % ylas rectas & ~ y % ~ , gira alrededor de la recta
& ~ c . Encontrar el volumen del sólido generado.
À Hallar el volumen generado al girar el circulo % b & ~ , en torno a la recta % ~ À
ÀHallar el volumen generado cuando el área plana acotada por & ~ c % c % b % b & c ~ se hace girar
(a) en torno de % ~ (b) alrededor & ~ .
III Ejemplos varios
y por
Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la recta que se indica,
usando el método de los anillos.
1.
& ~ % Á & ~ Á % ~ Á % ~ Â en torno al eje &
À
& ~ % Á & ~ Á % ~ Á % ~ Â en torno a % ~ À
& ~ % Á & ~ Á % ~ Â en torno a & ~ À
& ~ % Á & ~ % c % Â en torno a % ~ À
& ~ % c % b Á & ~ Â en torno al eje &
À
% ~ c & Á % c & c ~ Á % ~ Â en torno a & ~ 119
Solución
I
³
8
"À #À!
³ "À #À!
³ "À #À!
II
³
88
"À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
³
"À #À!
III
³ "À #À!
³
"À #À!
³ "À #À!
³ "À #À!
³
"À #À!
³
"À #À!
120
VIRGINIO GOMEZ
Longitud de Arco.
VIRGINIO GOMEZ
Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas
Otra aplicación de la integral definida es el cálculo de la longitud de arco de la gráfica de una
función..
Definición:
Sea la función & ~ %! continua y derivable en el intervalo " Á #; % ,
y
y = f(x)
A P1
B
Pi-1
P2
Pi
P3
Pn-1
Pn
x
o
x= a
x= b
La porción de curva que va desde el punto ( al punto ) , se llama Arco. Supongamos que nuestro
problema es calcular la longitud de Arco entre los puntos ( y ) , procedemos del siguiente modo:
Dividamos el intervalos " Á # en partes, y escojamos una parte cualquiera dentro de este
intervalo, por ejemplo 7c a 7 . Gráficamente:
Pi
(xi , yi)
yi - yi-1 = 'iy
Pi - 1
(xi-1 , yi-1)
xi - xi-1 = 'ix
Podemos ver que: Z %! ~
"&
"%
Entonces: "& ~ Z %!"%
121
" % ! c %c !# ~ Z %! % c %c !
VIRGINIO GOMEZ
Definamos la longitud del segmento de recta de 7c a 7 denotado por e7c 7 e como:
e7c 7 e ~ m % c %c ! b & c &c !
Si sumamos todos las longitudes de los segmentos rectilíneos, tenemos la longitud aproximada del
Arco entre ( y ) .
e7 7 e b e7 7 e b e7 7 e b " b e7c 7 e b " b e7c 7 e ~ e7c 7 e
~
3 e7c 7 e ~ m % c %c ! b & c &c !
~
~
Dado que: & ~ % ! Á
&c ~ %c !
3 e7c 7 e ~ m"% c %c # b " % ! c %c !#
~
~
Dado que:
% ! c %c ! ~ Z %! % c %c !
e7c 7 e ~ m"% c %c # b " Z %! % c %c !#
~
~
Desarrollando:
e7c 7 e ~ m b " Z %!# % c %c !; donde "% ~ % c %c
~
~
Por lo tanto, obtenemos:
e7c 7 e ~ m b " Z %!# "%
~
~
Tomando el limite cuando el número de divisiones es lo suficientemente grande ¦ B,
"% ¦ !. Tenemos:
lim e7c 7 e ~ lim m b " Z %!# "%
"%¦
"%¦
~
~
3 ~ lim m b " Z %!# "% ~ m b " Z %!# %
"%¦
~
122
3 ~ m b " Z %!# %
3 ~ o b @
&
A %
%
VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto la longitud de arco para una función del tipo & ~ %!, entre % ~ y % ~ , queda
definida como:
Análogamente para una curva de ecuación % ~ %!, entre & ~ ; & ~ la longitud de arco
queda definida por:
3 ~ l b Z & !&
3 ~ o b 8
%
9 &
&
Ejemplos
1.Determinar la longitud de arco 3 de la función definida por & ~ % b , en el intervalo " Á #.
3 ~ m b " Z %!# %
&
~
%
Donde: %! ~ % b ¬
3 ~ m b ! % ~ l% ~ l%e ~ l c ! ~ l "À À!
123
y
x2
y
L
x=0
x
x=1
3 ~ m b " Z %!# %
%! ~ % ¬ Z %! ~ %
VIRGINIO GOMEZ
2.Determinar la longitud de arco 3 de la función definida por: & ~ % , entre % ~ y % ~ .
3 ~ m b %! %; Resolviendo por sustitución trigonométrica:
3~
l
% b % b el b % b %ef
3~
l
b >l b ? c l c >l b ? "À À!
3.Determinar la longitud de arco 3 de la función definida por: & ~ % desde los puntos ( Á ! y
l
) 6Á 7
Dado que: %! ~ % ¬ Z %! ~ % y
B 2, 2
y
x
3
2
L
A(1,1)
x
x=1
x=2
La longitud de arco es:
3 ~ o b @ % A % ;
3~
Desarrollando por sustitución simple:
>l c l? "À À!
124
Dado que %! ~
%
b
, en el intervalo @ Á 2A.
%
%
b
¬ Z %! ~ 8% c 9
%
%
y
1
x3
6 2x
f x
x
x = 1/2
x=2
La longitud de arco es:
3 ~ o b @ 8% c 9A %
%
3~
"À À!
VIRGINIO GOMEZ
4.Calcular la longitud de arco de la gráfica: %! ~
5.Calcular la longitud de arco de la gráfica de & c ! ~ % , en el intervalo % ~ y % ~ .
Despejando % en función de &: % ~ f & c ! . Por lo tanto:
&
~ & c ! %
y
x2 3 1
y
(8,5)
(0,1)
x=0
x=8
La longitud de arco queda como:
3 ~ o b @
x
& c ! A & ~
6 c 7 Á "À À!
125
Ejemplos ¢
VIRGINIO GOMEZ
1.Determine la longitud del segmento de recta % b & ~ del punto c Á ! al punto Á !
2.Encuentre la longitud de arco de la curva & ~ % del origen al punto 6 Á l7
3.Hallar la longitud de arco de la curva & ~ % c ! del donde % ~ al punto donde % ~ .
4.Determine la longitud de arco de la curva & ~ 4% b 5 del punto % ~ al punto % ~ .
5.Calcular la longitud de arco de la curva & ~ % entre % ~ y % ~ .
6.Calcular la longitud de arco de la curva % ~ & c , entre & ~ e & ~ .
7.Hallar la longitud de arco de %& ~ % b entre % ~ y % ~ .
8.Hallar la longitud del arco de la catenaria & ~
%
%
4 b c 5 desde % ~ hasta % ~ .
9.Calcular la longitud de arco de la parábola & ~ % desde los puntos Á ! hasta el punto
Á !.
10.Calcular la longitud de arco de & ~ % entre % ~ y % ~ l
11.Determinar la longitud de arco de las siguientes funciones:
% c !
b entre % ~ y % ~ .
%
a)
&~
b)
& ~ 4 c % 5 entre % ~
c)
&~
d)
& ~ % entre % ~
e)
&~
y%~
% c % entre % ~ y % ~ y %~
% b entre % ~ y % ~ 126
Solución:
³ l "À À!
³
"À À!
VIRGINIO GOMEZ
³
c l
"À À!
³ "À À!
³
"À À!
³
6l c 7 "À À!
³
"À À!
³
8 c 9 "À À!
³ 66 b l77 "À À!
³ c l b 6 b l7 "À À!
³ ³ 4 b 5 c "À À!
³ ³ 8
9 c "À À!
³ ³ c "À À!
³ ³ :
b l
"À À!
l ;
³ ³ 6l c 7 "À À!
127
Area de una superficie en revolución
VIRGINIO GOMEZ
Sea & ~ %! una funcón contínua y derivable en el intervalo [Á ]À Donde %! no cambia de
signo en el intervalo % À
Si hacemos girar el arco AB entre % ~ y % ~ en torno del eje ? (eje horizontal), el area de
una superficie en revolución generada esta dada por.
: ~ %!l b ´ Z %!µ %
Análogamente, Si %! tiene derivada contínua en el intervalo [Á µ, con giro en eje @ (eje
vertical) la superficie de revolución es:
: ~ & !l b ´ Z & !µ &
Ejemplo:
Calcular el área de la superficie de revolución de %! ~ % en el intervalo [0,1] con eje de giro eje %
Solución:
128
El radio de giro esta dado %! ~ %! ~ %
Z %! ~ %
:
~ %!l b ´ Z %!µ %
~ % l b ´% µ %
~ % l b % %
Por cambio de variable: " ~ b %
% l b % %
"
~ l"
~
Luego,
¬ " ~ % %
~
4 b % 5° b *
:
~ h
4 b % 5° f
~
4 b % 5° f
~
´ !° c µ
°
8 " 9b*
Á "À À!
129
VIRGINIO GOMEZ
¬ % % ~
"
Ejercicios propuestos
VIRGINIO GOMEZ
En los siguientes ejercicios determine la superficie de revolución generada al girar la curva plana:
1) La curva & ~ % Â para % entre [1,2] ; giro en torno al eje %
2) La curva & ~ % Â para % entre [1,2] ; giro en torno al eje &
3) La curva & ~ l
% b Â para % entre [1,8]; giro en torno al eje &
4) La curva & ~ c % ; para % entre [0,2]; giro en torno al eje &
5) Un cono circular recto se genera haciendo girar la región limitada por
& ~ %°Á & ~ y % ~ en torno del eje & . determinar su área lateral.
6) Calcular el área de la porción de esfera generada al girar la gráfica de
& ~ l c % Á % Á en torno al eje &
7) Se diseña una lámpara haciendo girar la gráfica de & ~ %° c %° Á para
0 % À gira en torno al eje %. Calcular el área de la lámpara y usar el
resulado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para fabricarla. Suponga que
el vidrio tiene un espesor de 0,015 pulgadas.(ver figúra)
130
1)
VIRGINIO GOMEZ
Solución:
145 l
145 c l "À À!
27
³ 4° c ° 5 "À À!
³
6l c l7 "À À!
³
l
c "À À!
³ : ~ l b "À À!
³ "À À!
³
131
Autoevaluación 1
1) Calcular :
aÀ
!
! h !
°
bÀ
°
2.
Cálcular el área encerrada por:
³
& ~ %
en
´ , 2µ y el eje ?
³
& ~ % b en
´ c Á µ y el eje ?
3.
las curvas:
VIRGINIO GOMEZ
Plantee la integral que representa el área respecto eje X y respecto eje Y encerrada por
% ~ & c ! b Â
& ~%c
Resuelva sólo una de las dos integrales.
132
Solución
³
³ ! ! !
" ~ !
" ~ ! !
"
~ !!
!~
¬
"~
!~
¬
"~
!
! !
°
|³ ~ "
"
~
"
e
~
4 c 5
~
4 c 5
°
°
~
°
°
~
4 c 5 °
°
~
4 c 5 °
°
~ c b f
°
r l
l u
~:c 8 9 b 8 9 ;c c :
b :
;
; v
s ~ c:
VIRGINIO GOMEZ
b l
;
133
VIRGINIO GOMEZ
³
³
Por simetría
( ~ % % ~ % e
°
°
( ~ ! c °!!
( ~ c c !
( ~ ´ u. de a.µ
³
Por simetría
%
( ~ 4% b 5% ~ : b %f ; ~ 8 b c 9 ~
"À À!
134
) Intersección de las curvas
% ~ & c ! b %~&b
& c ! b ~ & b & c & b b ~ & b & c & b ~ & c ! & c ! ~ ¬
&~
Â
&~
%~
Â
%~
Eje X
& ~%c
% ~ & c ! b ¬
% c ~ ²& c ³
f l% c ~ & c f l% c ~ &
(~
6 b l% c c 6 c l% c 77%
b 6 b l% c c % c !7%
135
VIRGINIO GOMEZ
Eje Y
( ~ 4& b c 4 & c ! b 55&
( ~ 4& c c & 5&
( ~ : & c & c & f ;
(~
! c c ! c 8 ! c c !9
(~
" À!
136
VIRGINIO GOMEZ
Autoevaluación 2
1)
Dada la región formada por las curvas:
& ~ l c %
Â
%~
Â
VIRGINIO GOMEZ
&~
a)
Usando ambos métodos plantear la integral que representa el volumen del sólido
generado al girar la región dada en torno a:
a1)
a2)
Eje X
Eje Y
b)
Utilizando el método que estime más conveniente, plantee la integral que representa el
volumen del sólido generado al girar la región anterior en torno a:
b1)
b2)
%~
&~
2) Determine la longitud de arco de la siguiente función & ~
intervalo´ Á µ
%
b c% ! si % pertenece al
3) Plantee la integral que representa el área de la superficie de revolución que se genera al girar el
arco & ~ % b en [Á µ en torno a:
a) Eje X
b) Eje Y
137
Solución
1)
a1)
Método del disco
= ~ % c 6l c % 7 % b %
Método de los anillos
= ~ & 6 c l c & 7&
a2)
138
VIRGINIO GOMEZ
= ~ %6 c l c % 7% b % !%
Método del disco
= ~ & c 6l c & 7 &
b)
b1)
= ~ c %!6 c l c % 7% b c %! !%
Método del disco
b2)
= ~ 6 c l c & 7 & c c ! &
Método del disco
= ~ 6 c l c % 7 % b ! %
139
VIRGINIO GOMEZ
= ~ 2³ & ~
VIRGINIO GOMEZ
c &!6 c l c & 7&
%
b c% !
&
~ % c c% !
%
3 ~ o b 8
3 ~ n b
3~ n
3~ n
%
c c% !9 %
%
c b c% !%
b % c b c%
%
% b b c%
%
% b c%
9 %
% b c%
3~ 8
9%
3 ~ o8
3~
%
c c% f ;
:
3~
4 c c c 4 c c 55
3~
8 c 9 "À À!
³ & ~ % b ´ Á µ
³
&
~ %
%
140
( ~ 4% b 5m b %! %
³ & ~ % b & c ~ %
l& c ~ %
%
~
&
l & c q
q
q
( ~ 4l & c 5 b :
&
p
l & c ;
141
VIRGINIO GOMEZ
UNIDAD N°3: ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Conceptos:
VIRGINIO GOMEZ
La forma normalmente utilizada para determinar la función de una curva es por ecuaciones que
comprenden dos incógnitas % e &. Esta funciones hasta ahora la hemos visto en coordenadas cartesianas.
Donde se escribe del siguiente modo:
Ecuación rectangular
& ~ %!
un nuevo método para definir una curva es introduciendo una tercera variable por ejemplo ! que se llama
parámetro, donde las variables % e & se escriben por las ecuaciones del tipo
% ~ !!
e
Ecuaciones paramétricas
& ~ !!
estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas. Donde cada valor de ! determina un valor para
% e & , respectivamente.
Gráficos y Transformaciones:
Ejemplo: Gráficos en ecuaciones paramétricas
1.Graficar el lugar geométrico según las ecuaciones paramétricas dadas por:
% ~ !!
w
& ~ !!
Donde ! es el parámetro.
! radianes!
% ~ !!
& ~ !!
r ~ °
Á Á ~ °
Á Á ~ °
Á Á 3
! radianes!
% ~ !!
& ~ !!
~ 60°
Á Á ~ °
Á Á ~ °
Á Á ~ °
c Á Á 142
~ °
Á Á ~ °
c Á Á ~ °
Á Á ~ °
c Á Á Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Dibujando estos puntos:
y
x
VIRGINIO GOMEZ
x
0,000 y
4,000
x
2,000 y
3,464
x
2,828 y
2,828
x
3,939 y
0,695
x
4 y
0
Mediante la eliminación del parámetro obtener la ecuación rectangular:
Elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumando obtenemos.
% b & ~ % b & ~ "
sabemos que !! b !!
!! b !!#
!! b !! ~ , y reordenando esta relación:
Ecuación rectangular
% b & ~ Tal como la gráfica lo muestra corresponde a la ecuación de una circunferencia.
Así planteada esta relación, significa que si se dan varios valores de !, y se calculan los valores
correspondientes de % e &, el resultados sería una circunferencia.
2.Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas
!
Efectuando una tabla de datos tenemos:
% ~ ! c !
%
c
&
c
e
c
c
&~
c
c
c!
143
y
t
t
0
t
2
1
t
t
3
VIRGINIO GOMEZ
x
t
1
2
Usando la eliminación del parámetro ! podemos determinar la ecuación rectangular:
% ~ ! c Para:
e
&~
&~
!
c!
!
¦ ! ~ &
Reemplazando en: % ~ ! c % ~ &! c Por lo tanto, la ecuación rectangular es:
Ecuación Rectangular
% ~ & c Uno de los méritos de las ecuaciones paramétricas es que pueden usarse para representar gráficas
que son mas generales que las gráficas de funciones.
Primera y segunda derivada
Sean las ecuaciones parámetricas:
% ~ !!
& ~ !!
La pendiente de una curva en cualquier punto cuando % e & están dadas en términos paramétricos,
se puede obtener por la regla de la cadena:
Para la primera derivada:
&
& !
~
À
~
%
! %
144
&
!
%
!
Para la segunda derivada:
&
&
& !
~
~
8 9~ 8 9
%
% %
! % %
&
8 9
! %
%
!
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos:
Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el valor dado por el parámetro:
% ~ !
& ~ b !
en
!~
Solución:
La ecuación de la recta se define como:
& c & ~
&
% c % !
%
Donde:
&
~
¢ representa la pendiente de la ecuación de la rectaÁ que se define como.
%
& !
&
~
À
~
%
! %
&
!
%
!
Luego:
&
~ ! y
!
%
~ !
!
Por lo tanto:
& !
&
~
À
~
%
! %
&
! = ! = !
%
! !
!
Entonces para ! ~ Á
¬
&
!
~
%
!
&
!
1
~
= !
%
c
La pendiente es:
c
%0 ! ~ ! ~ ! ~ c
&0 ! ~ ! ~ b ! ~ b ~ Por lo tanto para ecuación de la recta tangente tenemos: & c &0 ~
&c~
1
4% c 5
145
&
% c % !
%
Para la ecuación de la recta normal:
la pendiente de la recta normal esta dada por:
~
c
~
!!
entonces: ~
c
&
8 9
%
-1
~ c 1
8 9
la ecuación de la recta normal es:
& c ~ c 4% c 5
Primera y segunda derivada
1) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:
% !! ~ ! b ! Â & !! ~ ! b ! entre ! VIRGINIO GOMEZ
) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:
% !! ~ ( ! Â & !! ~ 4 c ! 5 entre !
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en ! ~
³ Obtenga el valor del parámetro ! para los cuales la curva: % !! ~ ! b ! b ;
& !! ~ ! b ! b , es concava hacia arriba y concava hacia abajo.
³ Obtenga el valor del parámetro ! para los cuales la curva: % !! ~ ! b ;
& !! ~ ! b !, es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
) Dada la curva de ecuación parámetrica: % !! ~ ! Â & !! ~ ! b !À
Determinar el valor de la curva 2 !! para ! ~ donde 2 !! está dado por:
2 !! ~
³ Determinar
&°%
°
&
@ b 8 9 A
%
&
&
y
para las curvas: %²!³ ~ b !Â &²!³ ~ ! !
%
%
146
Solución:
&
! b ~ %
! b !
Â
&
! b ! c ! c ~
%
! ! b ! ! b !!
Ecuación recta normal
:
&c
³
~ c 8% c 9
³ & b 8 9 ~ c
6% c 7
l
³ Cóncava hacia arriba para: :
c c l
c b l
!
; de otra forma
es cóncava hacia abajo
) ! f l )
c b !
h
³
&
~ ! b ! !
%
°
b 8
9
Â
VIRGINIO GOMEZ
&
~ ! b ! !
%
147
Gráficos y tranformaciones
1) Dadas las ecuaciones paramétricas % ~ l!
e
VIRGINIO GOMEZ
& ~!c
l!
(a) Confeccionar una tabla de datos y graficar
(b) Determinar la ecuación en coordenadas rectangulares.
(c) Determinar la pendiente y la ecuación de la tangente en el punto ! ~ .
!
%
&
2) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:
%~
l! b e
&~
!
!b
Graficar la curva representada
Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular
3) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:
e
% ~ & ~ Â
Graficar la curva representada.Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación
rectangular.
4) Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la ecuación rectangular
&
& ~ c % , usando el parámetro siguiente: (a) ! ~ % (b) ~
en el punto %Á & !
%
! y son parámetros!
5) Consideremos las ecuaciones paramétricas % ~ l! e & ~ c !
a) Completar la tabla:
!
%
&
b) Graficar según las coordenadas %Á &! de la tabla de datos.
c) Determinar la ecuación rectangular eliminando el parámetro, y Graficar la ecuación rectangular.
d) Determinar el valor de la pendiente para ! ~ 6) Consideremos las ecuaciones paramétricas % ~ Â & ~ 148
a)Completar la tabla de datos
Rad!
%
&
VIRGINIO GOMEZ
b)Graficar las coordenadas según los datos de tabla
c)Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular.
7) La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva viene dada
por las ecuaciones paramétricas % ~ c !!Á & ~ b !! donde % , & se
miden en Kilómetros y ! en segundos.
a) Determinar la trayectoria entre ! . Confeccionar una tabla de datos.
b) Graficar según la tabla de datos.
c) Determinar la velocidad del móvil cuando ! ~ segundos y ! ~
segundos.
d) Determinar la ecuación rectangular.
8) En las ecuaciones paramétricas siguientes dibujar la gráfica correspondiente
con su tabla de datos:
a)
% ~ ! c & ~ ! b b)
%~l
!
& ~c!
c)
%~!b
& ~ !
d)
% ~ & ~ e)
% ~ b & ~ c b f)
% ~ & ~ ! g)
% ~ !
& ~ !
149
Solución
1³ b) & ~ % c
%
³
~
Â &c ~
% c !
³
& ~ c %
Gráfica
³
%
&
b
~
Gráfica
³ (a) % ~ !
(b) % ~ c
³ a! !
%
&
e
e
Á c
Á c
& ~ c !
& ~c
c
b!
150
VIRGINIO GOMEZ
c! & ~ c %
d! ~ c l ³ b!
Ecuación rectangular ¢ % b & ~ ³
b!
c! #6! ~
l 7~
d! Ecuación rectangular:
#8! ~
l 9~
% c !
& c !
b
~
³
a!
151
VIRGINIO GOMEZ
VIRGINIO GOMEZ
b!
c!
d!
e!
152
VIRGINIO GOMEZ
f!
g!
153
Sea la ecuación paramétrica ¢
% !! ~ !! & !! ~ !! VIRGINIO GOMEZ
Cálculo de área en ecuaciones paramétricas
se define el área bajo la curva en ecuaciones paramétricas por la siguiente integral:
!
(~
&²!³ <%²!³ =
!
Ejemplo:
Hallar el área bajo la curva de la cicloide en un giro completo de la circunferencia
& ~ c % ~ c Â ~ constante positiva
Solución:
(~
&²³ <%²³ =
donde ~ y ~ ; ~ cte positiva
&²³ ~ c %²³ ~ ² c ³ Reemplazando:
(~
&²³ <%²³ =
=
~ c !² c ³ 0
~ ~ >
~ > e
c e
c e
b b
0
0
c ! 5 c 0
~ >e
4 c b 0
0
?
?
;
como: b b ?
0
0
~ > c b b
?e
~ > c b b
? c > c b b ?
~ >? ~ "À À!
154
~
b !
Ejercicios propuestos:
VIRGINIO GOMEZ
1) Sean y dos números positivos. considere la curva dada paramétricamente
por las ecuaciones:
% ~ !
& ~ !
Hallar el área de la región delimitada para ! entre 0 y
2
2) Sea la curva dada paramétricamente ¢ % ~ ! b ! Â & ~ ! b ! para ! entre 0 y
À Hallar el área de la región bajo la curva.
³ Determinar el área de la región delimitada por: % ~ l! Â & ~ ! c Á
para ! entre 4 y 8
³ Determinarel área de la región: % ~ Solución:
1) "À À!
³ b
"À À!
3) 28l2 c "À À!
³
"À À!
155
& ~ Á para Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Sean las siguientes ecuaciones parámetricas:
% ~ !! Â
& ~ !! Para ¢
!
la longitud del arco de una curva en ! en [Á µ está dada por:
3 ~ n> Z !!? b >Z !!? !
3 ~ n>
% & ? b > ? !
!
!
Ejemplo:
Hallar la longitud de arco de la curva en ecuaciones parámetricas:
% ~ !
& ~ !
Graficando:
%
~ !
!
Calculando:
3 ~ n>
&
~ !
!
% & ? b > ? !
!
!
~ n>! ? b >!? !
~ l! b ! !
156
para 1 ! 8
VIRGINIO GOMEZ
Longitud de arco en ecuaciones parámetricas
por cambio de variable
Sea:
" ~ ! b ¬ " ~ ! ! ¬ ! ! ~
!l! b !
"
~ l" "
~
°
8 " 9b*
~
4! b 5° b *
Luego,
3
~ !l! b !
~
4! b 5° f
~
6 !° c !° 7
Á "À À!
VIRGINIO GOMEZ
~ !l! b !
1) Hallar la longitud de arco de la cocloide: % ~ c & ~ c donde constante positiva. [ Para ¢ ~ y ~ µ
³ Una partícula se desplaza según las ecuaciones parámetricas: % ~ !
& ~ c ! À Determinar la distancia recorrida que describe esta partícula durante
los primeros segundos.
³ Determinar la longitud de arco:
% ~ ! & ~ ! c con ! entre [ c , ]
) Determinar la longitud de arco:
% ~ c! ! & ~ c! ! con ! entre @ Á A
³ Calcular la longitud de arco de % ~ l!Á & ~ ! c À para ! 157
Solución:
1) "À À!
³ l b b 6 b l b 7 "À À!
)
l
c
"À À!
³ l 4 c c° 5 "À À!
³
> 6l b 7 b l? "À À!
158
VIRGINIO GOMEZ
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares:
VIRGINIO GOMEZ
Una manera de ubicar un punto en un plano es por medio de un sistema de coordenadas
ortogonales o cartesianas (que asocia un par ordenado). En muchas situaciones es necesario contar con
otras formas de asociar un punto en un plano, una de ellas es el sistema de coordenadas polares. Su
importancia esta relacionada con el echo de que proporciona ecuaciones mas simples para algunas curvas.
La representación de un punto 7 en un plano por medio de un sistema de coordenadas
polares esta dado por medio de una distancia dirigida y un ángulo respecto de un punto fijo llamado polo
y a un rayo fijo llamado eje polar. Gráficamente:
Sistema Coordenado Polar
P (r ,T )
r
r
T
O: polo
Eje polar
O : Polo u origen
: Radio vector, distancia del punto origen al polo
: Angulo (en radianes) entre el radio vector del punto 7 y el eje polar.
Un conjunto de coordenadas polares del punto 7 esta dado por y y se escribe la coordenada como :
7 Á !
Representación gráfica
en coordenadas polares de un punto P
(1) Representar los siguientes puntos en coordenadas polares
Á ! ~ 6Á 7
S
2
Á ! ~ 6Á 7
S
2
S
3
T
Á ! ~ 8Á
S
2
§ S·
¨ 2, ¸
© 3¹
1 2
S
3
0
0
1 2 3
S
T
S·
§
¨ 3, ¸
©
6¹
3S
2
9
S
6
S
T
§ 11S ·
¨ 3,
¸
©
6 ¹
3S
2
3S
2
159
0
1 2 3
S
6
S
2
T
§
©
P ¨ 3,
1
2
S·
S
3
§
©
¸
3¹
P ¨ 3,
3
0
7S ·
¸
3 ¹
§
©
VIRGINIO GOMEZ
Sean los siguientes punto en coordenadas polares: 7 6Á 7Á 7 8Á 9Á 7 8Á c
9
P ¨ 3, 2S
5S ·
3
¸
¹
Á ! ~ Á b ! Â con un entero arbitrario
Podemos concluir que en coordenadas cartesianas un punto 7 %Á &! tiene una representación
única, pero en coordenadas polares este punto puede se representado en muchas formas.
También es posible permitir que (distancia del punto al polo) tome valores negativos, para lo
cual se establece por convención de que un par de coordenadas dadas por c Á ! es otra representación
del punto con coordenadas Á b !, gráficamente:
S/2 =900
P( r, T )
T
S = 1800
0
0
2S = 360
S
Eje polar
P( - r, T ) = P( r , T + S)
3(S/2) =2700
7 c Á ! ~ 7 Á b !
160
Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.
VIRGINIO GOMEZ
Sea el siguiente plano que considera a dos sistemas superpuestos, donde el origen del sistema
cartesiano corresponda al polo.
Eje y
P(x,y) = P(r,T)
y
y
r senT
T
o
x
Eje x
Eje polar
x
r cosT
La relación entre las coordenadas cartesianas %Á &! y las coordenadas polares Á !, del punto 7
esta dado por:
Si conocemos:
7 Á ! ¦ % ~ w
7 % Á & ! ¦ ~ f l % b & Ejemplo resuelto.
& ~ w
! ~
&
%
Sea el punto 7 Á ! ~ 7 8l Á 9 determinar las coordenadas rectangulares %Á & !.
Como conocemos: 7 Á ! ~ 7 8l Á 9, las coordenadas rectangulares están dadas por:
~

% ~ l 8 9 ~ c 7 8l Á 9 ¬

& ~ l 8 9 ~ c
161
K ¬ %Á & ! ~ c Á c !
Eje y
x
P(x,y) = P(r,T)
-1
-1
T
y
2 sen
I
Representar los puntos en coordenadas polares
1.Dibujar el punto 8Á c
Convertir de coordenada polar a rectangular (dibujar)
2. Á ! ~ 6l Á
1. Á ! ~ Á !
3. Á ! ~ 8 Á
9
5. Á ! ~ 8 c Á
9
5S
4
5S
4
9, Hallar tres representaciones más en coordenadas polares de este
punto, usando c II
2 cos
Eje x
Eje polar
x
5S
4
VIRGINIO GOMEZ
4. Á ! ~ 6 Á
7
6. Á ! ~ 6 Á c
7. Á ! ~ 6l Á Á 7
162
7
7
III
Convertir de coordenada rectangular a polar para los puntos
VIRGINIO GOMEZ
1. %Á &! ~ c Á !
2. %Á & ! ~ Á c !
l
3. %Á &! ~ : Á
;
4. %Á & ! ~ Á !
5. %Á &! ~ c Á !
6. %Á & ! ~ 6 c l Á c l7
7. %Á &! ~ Á !
8. %Á & ! ~ Á c !
9. %Á &! ~ Á c !
10. %Á & ! ~ c Á !
11. %Á &! ~ Á !
IV
Convertir las coordenadas rectangulares en polares
1. % b & ~ 2. % b & c % ~ 3. & ~ 4. % ~ 5. & ~ %
V
6. & ~ % b Convertir las coordenadas polares a rectangulares
1. ~ 2. ~
3. ~ c 4. ~ 5. ~ b 6. ~ 163
Solución
I
1.8Á
9Â 8 c Á 9Â 6 c Á 7
II
1. %Á &! ~ c Á !
l
2. %Á & ! ~ : Á
;
3. %Á &! ~ 8 c l Á l9
4. %Á & ! ~ Á !
5. %Á &! ~ :
l l
Á
;
6. %Á & ! ~ 6Á c l7
7. %Á &! ~ c Á Á Á !
III
7
VIRGINIO GOMEZ
1.8l Á
9
2.6 Á
3.6l Á 7
4.6l Á 78 c l Á
9
5. Á Á ! c Á Á !
6.8l
Á
96 c l
Á 7
7.6l Á Á 7 6 c l Á Á 7
IV
1. ~ 2. ~ 3. ~ 4. ~ 5. ~ À ~
V
1. % b & c & ~ 2.l% c & ~ 3. % b & b & ! ~ % b & 5. % b % b & ! ~ % b & c 4. % b & ! ~ & 6À % b & ~ %
164
Gráficos en coordenadas polares
VIRGINIO GOMEZ
El lugar geométrico de todos los puntos Á ! esta representado por la siguiente ecuación en
coordenada polares
~ !
Se define la gráfica de una ecuación en coordenadas polares Á ! como el conjunto de todos los
puntos 7 que tienen por lo menos un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación dada.
Existen reglas de simetría que son de gran utilidad en el trazado de curvas en coordenadas
polares.
Regla 1: Si la sustitución Á c ! en lugar de Á ! da la misma ecuación, el gráfico es
simétrico respecto al eje % o eje polar.
Regla 2: Si la sustitución de Á c ! en lugar de Á ! da la misma ecuación, el gráfico es
simétrico respecto del eje @ o la recta ~
.
Regla 3: Si la sustitución de c Á ! o de Á b ! en lugar de Á ! da la misma ecuación,
el gráfico es simétrico respecto al polo.
"Si se cumplen dos de estas simetrías, automáticamente se cumplen las restantes. Sin embargo es
posible que una gráfica tenga ciertas propiedades de simetría que no las dan las reglas anteriores".
Ejemplo resuelto:
1.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por: ~ Tabla de datos:
l l S
2
c
c
Circulo
r
1
S
2
4 sen T
3 4 0
2S
3S
2
c
Simetría: Esta gráfica presenta simetría con respecto de la recta ~
165
eje &!
Tabla de datos:
S
2
0
S
3S
2
Simetría: Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.
3.Determinar la gráfica polar dada por: ~ b Tabla de Datos:
S
2
S
VIRGINIO GOMEZ
2.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por: ~ b 0
3S
2
Simetría: Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.
166
Gráficas polares especiales
Caracoles.
~ f ~ f Â !
Caracol con
lazo interno
Cardioide
(forma de corazón)
lazo interno
S
2
S
2
S
0
3S
2
a
1
b
Caracol
Con hoyuelo
0
S
3S
2
a
b
0
3S
2
1
1
167
Caracol
Convexo
S
2
S
2
S
VIRGINIO GOMEZ
a
2
b
S
3S
2
a
t2
b
0
Rosas
Rosas de n pétalos
~ Número de pétalos ~ H
si es impar
si es par
!
es par
Rosa (n = 4)
Rosa
r
VIRGINIO GOMEZ
a cos 2T
r
a cos 4T
S
2
S
2
n=4
n=2
S
0
S
a
0
3S a
2
3S
2
: impar
Rosa (n = 5)
Rosa
S
2
S
2
n=5
n=3
S
0
S
3S
2
a
0
3S
2
168
a
Rosas de pétalos
~ : par
Rosa
Rosa
r
r
a sen 2T
S
2
n=2
S
3S
2
3S
2
: impar
Rosa (n = 5)
Rosa (n = 3)
r
a sen 3T
S
S
2
a
S
a
S
2
a sen 4T
n=4
0
r
VIRGINIO GOMEZ
a sen 5T
S
2
n=3
0
S
a
3S
2
a
3S
2
169
n=4
0
0
Círculos y Lemniscatas
Círculos
VIRGINIO GOMEZ
Circulo
Circulo
r
r
a cos T
a sen T
S
2
S
2
a
S
0
3S
2
S
0
3S
2
a
LEMNISCATA
Lemniscata
Lemniscata
r2
r2
a 2 sen 2T
a 2 cos 2T
S
2
S
2
a
S
0
0
S
3S
2
3S
2
170
a
Ejercicios
I
Para los siguientes ejercicios, determinar:
(a) tabla de datos y dibujar la gráfica:
(b) tipo de curva
(c) la simetría:
³ ~ ³ ~ ³ ~ ³ ~ ³ ~ II
Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:
1. ~ 2. ~ 3. ~ 4. ~ 5. ~ b !
6. ~ c !
7. ~ c 8. ~ 9. ~ 10. ~ b 11. ~ 12. ~ 13. ~ co 14. ~ 15. ~ 16. ~ c !
17. ~ c 18. ~ 19. ~ 20. ~ c 171
VIRGINIO GOMEZ
VIRGINIO GOMEZ
Solución
(1) ~ Tipo de curva: rosa
Simetría: Eje Polar
Simetría: Recta ~
172
VIRGINIO GOMEZ
(3) ~ Tipo de curva: círculo
Simetría: Recta ~
(4) ~ Tipo de curva: círculo
Simetría: Eje Polar
Simetría: Polo
173
II
Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:
1.Simetría polar, eje polar, ~
2.Simetría ~
3.Simetría ~
4.Simetría polar
5.Simetría ~
6.Simetría eje polar
11.Simetría ~
8.Simetría ~
10.Simetría ~
12.Simetría ~
14.Simetría polo
17.Simetría ~
19.Simetría polar
VIRGINIO GOMEZ
174
Areas en coordenadas polares
VIRGINIO GOMEZ
Sea ~ ! una función continua y positiva, definida para valores de entre y À Nuestro
objetivo es determinar el área delimitada por los radios vectores ²rectas radiales) y y la curva definida
por ~ !À
Para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ , ] en subintervalos iguales:
~ 0 < 1 < 2 < ÄÄ < c < ~ Calculando el área de un sector circular cualquiera de radio ~ ! y ángulo central
"i ~ c c À
175
VIRGINIO GOMEZ
Recordando que el área de un segmento circular de radio y ángulo central , esta dado por:
Area del sector circular ~
"! Entonces el área del sector circular está dado por:
"( ~
" !´ !µ
(proximando el área de la región por la suma de los sectores,
( " !´ !µ
~
Tomando el límite ¦ B, tenemos:
(~
´ !µ "
lim
¦B ~
(~
´ !µ 176
Por lo tanto, podemos definir:
VIRGINIO GOMEZ
Si es continua y no negativa en el intervalo [ , ], el área de la región limitada por la gráfica de
~ !Á entre los radios vectores ~ y ~ , esta dado por:
(~
´ !µ ;
(~
1 2 Ejemplo:
1) Determinar el área de la región polar dada por:
~ b entre
~ y =
2
Su gráfica es:
Solución:
El área de la región esta dada por:
(~
° ~
°
°
4 b b 5 b ! ~ ~
°
°
°
b b @
~
@ f
°
~
°
b f
°
b A
b ! A
°
°
b 9A
@6 c 7 b 6 c 7 b 8
°
@6 7 b 6 7 b 8f
= b "À À!
~
°
b
f 9A ~ @6 7 b b 8 9A
177
2) Hallar el área de un pétalo de rosa dada por: ~ Solución:
Por simetría de la figura planteamos:
1 ° ( ~ @ A
2 1 °
~ @ ! A
2 °
~ ~ °
~ @
b ! °
°
b A
°
~ @ b
A
b 9 c 8 b 9A
~ @8 b 9 c 8 b 9A
~ @8
~ @6
b 7 c b !A ~ "À À!
178
VIRGINIO GOMEZ
³ Determinar el área común a: ~ y
~ Solución:
Lo primero es gráficar para determinar el área común
(~
°
°
! b ! °
~
°
°
25 b °
~
°
°
c ! b b ! A
@
° VIRGINIO GOMEZ
~8
°
°
c ! b b ! A
98 9@
°
~8
°
°
°
°
c ; b :
b ;A
98 9@:
°
°
~ 8 98 9@8 c 9g
°
b 8 b 9g
~8
98 9@8 c 9 b 6 b 7 c 8 b 9A
~8
98 9@ c A ~
@ c A "À À!
179
°
A
°
³ Hallar el área de un pétalo de la rosa dada por: ~ ³ Determinar el área de la rosa dada por: ~ ³ Determinar el área común a ~ 5 , pero no a ~ 5 VIRGINIO GOMEZ
³ Hallar el área de la régión común a las dos regiones limitadas por la
circunferencia ~ c y la cardioide ~ c À
³ Hallar el área de la región situada entre los lazos interior y exterior del caracol: ~ c À
³ Determinar el área de intersección y de unión de: ~ b Â ~ 180
Solución:
1)
(~
2)
"À À!
( ~ "À À!
3)
(~
VIRGINIO GOMEZ
4)
"À À!
c
( ~ "À À!
181
³
( ~ "À À!
³
²³
(~
c l "À À!
²³
(~
c l c "À À!
182
VIRGINIO GOMEZ
VIRGINIO GOMEZ
Longitud de arco en coordenadas polares
Sea ~ ! una función continua y derivable en el intervalo , entonces la longitud de
arco de la gráfica ~ ! desde ~ y ~ , está dada por:
3 ~ n> !? b > Z !? 3 ~ n>? b >Z ? Ejemplo:
³ Determinar la longitud del arco de la siguiente función: ~ b Â
para : [ 0 , 2 ]. Gráficar.
Solución:
¬ Z ~ c Á tenemos:
Dado que: ~ b 2
3 ~ 2
~
0
2
~
0
0
0
2
0
l b b b l b b ll b 2
~
n> b ? b > c ? ~ , Dado que: ~ f
b ~n
~ f
183
~ "À À!
Solución:
Dado:
Z ~ Â tenemos:
~ 3 ~ ~
l b l ! b ~
~
n> ? b > ? l ~
~ f
~ "À À!
184
VIRGINIO GOMEZ
³ Determinar la longitud de arco de: ~ Â donde es una constante
positiva. Gráficar.
VIRGINIO GOMEZ
1) Determinar la longitud de arco de la espiral : ~ c para entre [0 , 2 ]
³ Determinar la longitud de arco de la cardioide ~ ! ~ c Entre ~ hasta ~ À
³ Calcular la longitud de arco de la gráfica polar definidad por: ~ b !Á entre ~ y
~ À
³ Determinar la longitud total de la rosa dada por: ~ ³ Determinar la longitud de la espiral: ~
Á para 2
6) Un móvil se mueve de acuerdo a la siguente trayectoria:
% ~ ! & ~ !À ¿Que distancia recorre esta partícula desde el instante
! ~ segundo al instante ! ~ segundo.
185
1)
l
4 c c
! 5 "À À !
³
"À À !
³
"À À !
³
"À À !
5)
****
6)
"À À !
VIRGINIO GOMEZ
Solución
186
Autoevaluación
1) Dado el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas
% ~ l c !
& ~ !
Realice el correspondiente gráfico y encuentre la ecuación cartesiana
2) Determine
VIRGINIO GOMEZ
&
para el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas:
%
% ~ ! !
& ~ ! !
3) Obtener la longitud de arco de
% ~ ! b ! !
& ~ ! c ! !
si ! ´ Á µ
4) Determine el área que queda en el interior de ~ b y de ~ c 5) Calcular la longitud de arco de ~ b 187
Solución
% ~ l c !
& ~ !
³
Dominio:
c!
c! c
!
!
%
&
c
% ~ l c !
¬%~c!
& ~ !
¬ & ~ c % ! con % 2³
¬ ! ~ c %
% ~ ! !
& ~ ! !
188
VIRGINIO GOMEZ
%
%
~ ! ! b ! ! ¬
~ ! ! b !!
!
!
&
&
~ ! ! c ! ! ¬
~ ! ! c !!
!
!
&
! ! c !!
&
! c !
~ !
¬
~
%
! b !!
%
! b !
VIRGINIO GOMEZ
c ! c !! ! b !! c ! c !! ! c !!
! b !!
! ! b !!
&
~
%
&
c ! c ! ! c ! c ! b ! ! c !
~
%
! ! b !!
&
c ! c !
~
%
! ! b !!
&
c
~
%
! ! b !!
3³
%
%
~ c ! b ! b ! ! ¬
~ ! !
!
!
&
~ ! c ! b ! !
!
3~
m ! !! b ! !! !
l! ! b ! ! !
3~
&
~ ! !
!
3~
¬
l! ! b !! !
3~
! !
3~
!
f
3 ~ ´ "À À µ
189
4³ ángulos de intersección
b ~ c ~ ¬ ~
¬ ~
°
(~h c ! °
( ~ 4 c b 5 °
( ~ : c f
°
b b ;
°
( ~ : c b b f ;
VIRGINIO GOMEZ
( ~ 66 7 c 6 7 b 6 7 b 6 7 c b c c 7
( ~ ´ "À À µ
190
5)
~ b ¬
~ c 3 ~ m b ! b c ! 3 ~ l b b b 3 ~ l b 3 ~ l l b 3 ~ l l b h
3 ~ l l c " ~ c ¬
~
"~
¬
l c l c " ~ Â
~
3 ~ l "c° "
3 ~ l : l " f ;
3 ~ l6l c 7
¬
3 ~ "À À!
191
¬
"~
VIRGINIO GOMEZ
UNIDAD N°4: INTEGRALES IMPROPIAS
VIRGINIO GOMEZ
Sea la integral definida %!%, podrá resultar impropia de dos formas:
1ÀSi uno o ambos limites de integración se hacen infinitos.
2.Si el integrado %!, se torna infinito en el punto o en el punto o en cualquier punto entre
estos extremos de intervalos " Á #
Caso 1. El límite de integración se hace infinito
1.1) El límite superior es infinito.
Si %! es continua en <Á b B<, entonces
B
%!% ~
lim %!%
¦bB
La integral impropia es convergente al valor dado por el límite
Si el límite no existe se dice que la integral impropia no existe por lo tanto es divergente .
B
%!% converge si lim %!% existe
¦bB
1.2) El límite inferior es infinito.
Si %! es continua en = c BÁ =, entonces la integral impropia:
cB
%!% converge si lim %!% existe
¦cB
192
1.3) El límite inferior y superior son infinitos
VIRGINIO GOMEZ
Es convergente al valor dado por el límite. Si el límite no existe, la integral impropia es
divergente.
Si %! es continua en = Á <, donde la integral se ha dividido en dos integrales en el punto ,
donde el punto es un punto finito conveniente !, entonces la integral impropia:
bB
cB
%!% es convergente si las integrales cB
bB
%!% b %!% existen
Donde:
%!% ~
cB
lim %!% y
¦cB
B
%!% ~ lim %!%
¦bB Para que sea Convergente deben existir ambos límites. Si no existe alguno de los límites no hay
integral y se dice que es Divergente.
193
VIRGINIO GOMEZ
Caso 2. El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los mismos limites de integración o
en algún punto del intervalo entre ellos.
Sea %! continua en = Á < excepto en que presenta una discontinuidad, donde ,
entonces decimos:
Es convergente, si ambas integrales existen
%!% ~ %!% b %!%
!
limc %!% b limb %!%
%!% ~ !¦
!¦
!
Para que sea Convergente deben existir ambos límites, caso contrario es Divergente.
- El área de a es:
!
limc %! %
%! % ~ !¦
Corresponde al límite de la función en el punto y tomando el límite de la función cuando !
tiende a desde la izquierda.
- El área de a , está dada por: %! % ~ limb %! %
!¦
!
Corresponde al límite derecho de la función cuando ! tiende a , desde la derecha.
Proposición
1.Supongamos y continuas en <Á =. Si la integral
²%³ %
Convergente y ²%³ %
194
Convergente
Entonces: < ²%³ b ²%³=%
Convergente
VIRGINIO GOMEZ
2. Si ²%³% Converge, entonces ²%³ % también Converge, con 3. Si < ²%³ b ²%³=% Convergente, no necesariamente
²%³ % y ²%³% son Convergentes
Ejemplos resueltos
Calcular la siguiente integral
B
1.Resolver B
%
~
%
%
%
lim ¦B
%
%
~ lim c
¦B
f
% ~ lim c B c
C
¦B
!
Dado que
~ , entonces lim c B c
~
C
¦B ¦B
!
lim
Por lo tanto , la integral converge a
À
195
B
2.Resolver B
%
%
%
b
%
%
%
~
lim
%
¦B % b % b
~ lim @ 4% b 5A
¦B ~ lim @ 4 b 5 c !A
¦B VIRGINIO GOMEZ
Como B es indeterminado, de manera que el límite no existe. En consecuencia no hay
integral. Por lo tanto, la integral diverge DV!
3.Calcular el área de las regiones:
Situación (1)
196
B
%
%
~ lim ¦B
VIRGINIO GOMEZ
(~
%
%
~ lim " %#e
¦B
~ lim c !
¦B
Dado que: lim Diverge. Entonces el área de la región es infinita.
¦B
La integral DV.
Situación (2)
B
(~
%
%
~ lim ¦B %
%
~ lim @ c
¦B
A
% ~ lim c 8 c 9
¦B
~ lim 8 c 9
¦B
~
197
B
Entonces el área es finita, dado que: ( ~ % ~ %
La integral CV
4.Determinar el área bajo la curva de la función %! ~
bB
(~
cB
%
b %
~
bB
%
b
%
b
%
b
%
cB
bB
~ %
b %
~ lim ¦B
%
b %
~ lim (! %!e
¦B
~ lim (! c (! !
¦B
~ 6
c 7
~
bB
Luego, la integral ( ~ cB
% es CV.
b %
198
b %
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos propuestos con resultado
bB
1.
2.
3.
bB
c %!c% %
cB
%
l
%
4.
%
%
b %
%
%
5.
B
%
c %
6.
7. % %
8.
9.
% c !
11.
12.
cB
cB
15.
%
b %
14.
%
l % c 199
0
c% %
%
l % % b !
B
%
%
B
%
% b c%
%
l%
B
10.
%
%c% %
bB
13.
VIRGINIO GOMEZ
Solución
1.CV a c
3.CV a
2. CV a
4. CV a 5. DV
6. CV a 7. CV a c 8. CV a 9.CV a 10.CV a 11. DV
12.CV a 13.CV a 14. CV a
15. CV a 6 b l7
200
VIRGINIO GOMEZ
Autoevaluación
Decida si la integral CV o DV ¢
bB
³ ³ ! ! !
'
' c ³ &
&
cB
³ $
cB
&
$
b $ c bB
³ b !
%
%
b 201
VIRGINIO GOMEZ
Solución
bB
³ ³ ! ! !
DV
'
' c DV
³ &
&
cB
³ $
cB
%
%
b CV a c
&
$
b $ c bB
³ b !
DV
CV a
202
VIRGINIO GOMEZ

Cálculo 2 - ideaglobal.cl

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