pb resueltos va y distribuciones de probalbilidad

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FB12 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Año 2016
Ejercicios resueltos – Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
1) La resistencia a la compresión de una muestra de cemento es una variable aleatoria que se
distribuye normalmente con media 6000 kilogramos por centímetro cuadrado y desviación estándar de
100 kilogramos por centímetro cuadrado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento tomada al azar, sea
menor a 6250 Kg/cm2?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento se encuentre entre
5800 y 5900 Kg/cm2?
c) ¿Cuál es el valor de la resistencia que es superado por el 95% de las muestras de cemento?
2) La resistencia de una aleación de aluminio varía aleatoriamente con distribución normal, siendo la
media y la desviación estándar igual a 10 y 1.4 gigapascales respectivamente.
a) Determine el recorrido intercuartílico.
b) Se realizan 5 observaciones independientes de la variable aleatoria resistencia de una aleación de
aluminio. Calcule la probabilidad de que al menos 4 de las observaciones se encuentren dentro
del intervalo [Q1 ; Q3].
3) La demanda diaria de un determinado artículo es una variable aleatoria X con distribución uniforme
en el intervalo [0 ; 6] donde X viene expresada en miles de unidades.
a) Determine la cantidad de unidades que hay que tener disponibles a la venta, diariamente, para
poder satisfacer la demanda con probabilidad 0.95.
b) Si se producen 5000 unidades diarias y cada día sólo se pueden consumir las unidades
producidas ese día, calcule la probabilidad de que durante 20 días, en ninguno de ellos haya una
demanda superior a las unidades producidas en ese día.
4) Un sistema consta de dos dispositivos (A y B) que funcionan simultánea e independientemente. La
duración en horas del dispositivo A es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro
α = 0.02 horas-1, en cambio la duración en horas para el dispositivo B es una variable aleatoria con
distribución normal de parámetros μ=10 horas y σ=1 hora.
a) Calcule la probabilidad de que falle al menos un dispositivo antes de las 12 horas de
funcionamiento.
b) Si al menos uno de los dispositivos ha fallado antes de las 12 horas de funcionamiento, calcule la
probabilidad de que sea el dispositivo B.
5) El tiempo en horas para fallar de ciertas componentes, es una variable aleatoria distribuida
normalmente con esperanza matemática 50 horas y desvío estándar 5 horas. En una agrupación en serie
se conectan n de dichas componentes que funcionan independientemente.
a) Si n=4, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione después de 52 horas de trabajo?
b) Si n componentes se conectan en paralelo, ¿cuál deberá ser el valor de n a fin de que la
probabilidad de fallar durante las primeras 55 horas sea a lo sumo 0.01?
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1) sea X: resistencia a la compresión de una muestra de cemento
X modeliza las infinitas observaciones de resistencia a la compresión de todas las posibles muestras de
cemento
X ~ N ( µ x = 6 000 Kg/cm2;
En consecuencia
a)
Z=
σ
x
= 100 Kg/cm2)
X − 6000
~ N (0;1)
100
 X − 6000 6250 − 6000 
P ( X < 6250) = P
<
 = P (Z < 2,5) = 0.9938 (valor que se obtiene de la
100
 100

tabla normal estándar reducida).
En las gráficas que siguen se representan las curvas de densidad de las variables aleatorias X y Z
respectivamente. El área de la superficie rayada, en ambos casos, representa el valor de la probabilidad
calculada.
X
6000
6250
Z
0
2.5
b)
 5800 − 6000 X − 6000 5900 − 6000 
P (5800 < X < 5900 ) = P
<
<
=
100
100
100


5900 − 6000 
5800 − 6000 


P Z <
 − P Z <
 = P ( Z < −1) − P ( Z < −2) = 0.1587 − 0.0228 = 0.1359
100
100




( los valores se obtienen de la tabla normal estándar)
c)
0.95
x
x − 6000 
 X − 6000 x − 6000 

P ( X > x ) = 0.95 ⇔ P ( X ≤ x) = 0.05 ⇔ P
≤
 = 0.05 ⇔ P Z ≤
 = 0.05
100 
100 
 100

x − 6000
= −1.64 , de donde resulta x=5836 Kg/cm2.
De la tabla normal estándar se obtiene Z =
100
El 95 % de “todas las posible muestras de cemento” tiene una resistencia a la compresión superior a
5836 Kg/cm2.
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2) a) sea R: resistencia de una aleación de aluminio
R ~ N ( µ R = 10; σ R = 1.4)
Notemos con FR a la función de distribución acumulada. Para determinar el recorrido intercuartílico hay
que calcular los cuartiles Q1 y Q3 donde FR (Q1)=0.25 y FR (Q3)=0.75
Q − 10 

FR (Q1 ) = P( R < Q1 ) = 0.25 ⇔ P Z < 1
 = 0.25
1.4 

Q − 10
De la tabla normal estándar o reducida se obtiene 1
= −0.67 de donde Q1 = 9.062
1 .4
De modo análogo:
Q − 10 

FR (Q3 ) = P( R < Q3 ) = 0.75 ⇔ P Z < 3
 = 0.75
1.4 

Q − 10
De la tabla normal estándar o reducida se obtiene 3
= 0.67 de donde Q3 = 10.938
1 .4
El recorrido intercuartílico es Q3 - Q1= 10.938 - 9.062 = 1.876
0.50
0.25
Q1
0.25
Q2
Q3
b) sea A: una observación se encuentra dentro del intervalo [Q1, Q3] y P(A)=0.5
sea Y: número de observaciones sobre un total de 5 que se encuentran dentro del intervalo [Q1, Q3].
Y ~ Bi (5; 0.5)
5
 5
P(Y ≥ 4) = P(Y = 4) + P (Y = 5) =  0.5 4 × 0.5 +  0.5 5 = 0.15625 + 0.03125 = 0.1875
 4
 5
3) sea X: demanda diaria de un artículo
X ~ U ( 0.6 ), luego la gráfica de la función densidad de X es la que sigue,
1
☼
☼
☼
☼
6
6
a) sea c: cantidad de unidades disponibles para la venta en un día
P ( X < c ) = 0.95 ⇒
c
= 0.95 ⇒ c = 5.7
6
Para satisfacer la demanda el 95 % de los días, hay que tener 5700 unidades diarias disponibles
para la venta.
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b) sea Y: nº de días sobre un total de 20 en que la demanda diaria es de a lo sumo 5000 unidades.
5
= 0.83
6
Y ~ Bi (n = 20; p = 0.83)
P (Y < 5) =
P (Y = 20 ) = (0.83) 20 = 0.024
4 ) sean las variables aleatorias
X: duración en horas de un dispositivo A
Y: duración en horas de un dispositivo B
X ~ Exp ( α = 0.02 hs -1)
Se conoce que:
Y ~ N ( µ = 10 hs;
Sean los sucesos:
A: un dispositivo tipo A dura menos de 12 horas
B: un dispositivo tipo B dura menos de 12 horas
σ
= 1 h)
P ( A) = P ( X < 12) = 1 − e −0.02×12 = 0.21
 Y − 10 12 − 10 
P (B ) = P (Y < 12) = P
<
 = P (Z < 2 ) = 0.9772
1 
 1
a) Bajo el supuesto de que todos los dispositivos funcionan independientemente
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − ( P ( A) P ( B ) = 0.21 + 0.9772 − 0.21 × 0.9772 = 0.98
P( B)
0.9772
=
≅ 0.997
b) P (B / A ∪ B ) =
P( A ∪ B )
0.98
5) a) Sea T: tiempo transcurrido hasta la falla de una componente
T ~ N ( µ T = 50 hs;
σ
T
= 5 hs)
Sea A: una componente funciona después de 52 horas
P(A) = P(T > 52) = 0.3446
Sea S: el sistema funciona después de 52 horas de trabajo.
El sistema (en serie) funciona al cabo de las 52 horas siempre y cuando funcionan los 4 componentes.
Dado que las componentes funcionan independientemente:
P(S) = [P(A)]4 = 0.014
b)
Sea B: una componente falla antes de las 55 hs.
P(B) = P(T < 55) = 0.8413
El sistema (en paralelo) falla antes de las 55 horas siempre y cuando fallen las n componentes antes de
las 55 horas.
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Sea Y: nº de componentes sobre un total de n que fallan antes de las 55 hs.
Y ~ Bi (n ; 0.8413)
P(Y = n ) ≤ 0.01
P(Y = n ) ≤ 0.01 ⇔ (0.8413) n ≤ 0.01 ⇔ n ≥
log 0.01
log 0.8413
Conclusión: se necesitan como mínimo 27 componentes conectadas en paralelo.
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