Código:........................... MATE 1214 – PARCIAL

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MATE 1214 – PARCIAL III
21/04/2015
Profesor: Stefano Ferri
El examen es individual, su nombre deberı́a encontrarse ya sobre la hoja de examen, de no ser ası́
comunı́quese con uno de los profesores que atienden el examen. De toda forma ponga su código en el
espacio dado. Por favor, conteste a las preguntas explicando claramente su respuesta, si una pregunta
no tiene sentido explique por qué. Si utiliza algún teorema mencione qué teorema es y explique por qué
puede utilizarlo. Si utiliza algún teorema en una versiones más fuertes de la que enuncia el
libro por favor enuncie claramente que teorema está utilizando y dé una pequeña explicación
de lo que está haciendo. Si utiliza alguna version del teorema de comparación al lı́mite más
fuerte de la que aparece en el libro dé una demostración completa de la version que utiliza.
No se admite el uso de libros, notas, calculadoras, teléfonos celulares o de cualquier dispositivo para
comunicación a distancia, para almacenamiento de datos o para acceder a la red de internet. Para dejar el
salón es necesario pedir permiso al profesor a menos de que haya una emergencia tal como un temblor o una
inundación. Los cinco puntos tienen todos el mismo valor, para que las respuestas se tengan en cuenta es
necesario escribir explicaciones claras de las mismas. No está permitido pedir o proporcionar ayuda
a otros estudiantes. Tiempo: 85.
(1.) (i.) Determine el dominio de la función f definida por:
f (x) :=
∞
X
(3x − 2)n
.
n3n
n=0
(ii.) Determine un número suficiente de terminos de la serie para calcular f (0) con una precisión de
10−5 .
Z
x
(2.) Exprese la integral
dx como una serie de potencias centrada en x = 0.
1 + x2
(3.) Escriba una función que tenga la propiedad que en cada punto su segunda derivada es igual al doble de
su primera derivada y cuya gráfica pase por los puntos (0, 0) y (1, 1). Si tal función no existe explique
por qué.
(4.) Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
(5.) (i.) Muestre que la funcion y(x) =
∞
X
y ′ + y = sin(ex )
y(0) = 1.
(−1)n
n=0
x2n
es solución de la ecuación diferencial
(2n)!
y ′′ + y = 0.
(ii.) Integre la ecuación diferencial
y ′′ + y = sec(x).
Observación: Si utiliza la solución de (ii.) para contestar (i.) explique bien.