Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica

Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica

Así tenemos el siguiente teorema:
Sea f una función analítica en un disco
Entonces f admite la representación de
potencias:
donde
conocida como serie de Taylor (o serie de
Maclaurin cuando
). Además la serie de
Taylor es única
Series de Laurent
Quisiéramos investigar la posibilidad de tener
una representación en serie de una función
alrededor de una singularidad z0.
●
●
Notemos que la serie de Taylor ha sido
aplicada a funciones analíticas en una
vecindad de z0
El teorema de Laurent nos dice cómo y bajo
que condiciones podemos representar una
función alrededor de una singularidad
Series de Laurent
Teorema: Sea f una función analítica en el anillo
centrado z0 sea C un camino
cerrado simple contenido en ese dominio anular.
Entonces, f(z) admite la representación
Series de Laurent
Notemos que si f(z) fuera analítica en el interior
del disco
, entonces los
coeficientes bn serían nulos y el desarrollo se
reduce a una serie de Taylor, ya que
Series de Laurent
En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent
se obtienen por métodos distintos a las expresiones
integrales an y bn dadas anteriormente.
●
Además se puede demostrar que la serie de Laurent
(y de Taylor) son únicas.
También se puede demostrar que:
●
●
una serie de potencias (serie de Taylor) es una función
analítica en el disco de convergencia
Una serie de potencias se puede derivar e integrar
término a término en el interior de su radio de
convergencia
●
Si la serie
converge en
, entonces la serie es
absolutamente convergente en el disco
donde
●
Si
es el radio de convergencia de
la serie anterior y
un punto interior de ese
disco, entonces la serie es uniformemente
convergente en el disco
●
Continuación analítica
Teoría de los residuos
Teoría de los residuos
Recordemos que:
Singularidades:
●
●
Se dice que un punto
es singular si la
función en cuestión no es analítica en ese
punto, pero es analítica en el entorno de
.
Se dice que un punto singular es aislado si
existe un entorno “perforado”
en el que la función f es analítica.
Teoría de los residuos
Supongamos que queremos evaluar la integral
de una función f sobre un contorno cerrado
(positivo) y f es una función analítica, excepto
en el interior del contorno:
Teoría de los residuos
●
Sabemos que en este caso, f tiene una
expansión en serie de Laurent:
Noten que anteriormente habíamos escrito la
serie de Laurent como:
Parte principal de f en z0
Teoría de los residuos
Integrando sobre ,sabemos que el valor de la
integral no cambia si deformamos el contorno
de integración:
Así, la integral puede calcularse integrando
término a término la serie de Laurent sobre C.
Teoría de los residuos
Sin embargo, el único término no nulo es aquel con
, es decir,
(o
).
De modo que:
Vemos entonces que
juega un papel importante.
Teoría de los residuos
Definición:
Si f tiene una singularidad aislada en el punto
entonces el coeficiente
de
en la
serie de Laurent de f alrededor de , se le
llama residuo de f en
y se denota como
●
●
●
Teoría de los residuos
Si existe un número finito de singularidades
dentro del contorno de integración, podemos
utilizar el llamado teorema de los residuos:
●
Sea C un camino cerrado simple (positivo). Si
una función es analítica en C y en su interior,
excepto en un número finito de singularidades
interiores a C, entonces
Teoría de los residuos
Clasificación de singularidades y definición de
otros puntos/términos de la series de Laurent y
Taylor:
●
●
●
f(z) tiene una singularidad removible/evitable
en
si
para toda n
f(z) tiene una singularidad esencial en
existen infinitos
no nulos
si
f(z) tiene un polo de orden n en , si el último
coeficiente no nulo de la parte principal es
.
Si el único coeficiente no nulo es
que f(z) tiene un polo simple en
, se dice
Teoría de los residuos
Ejemplo:
Sea
Entonces, f tiene un polo simple en
con residuo 3, es decir,
=3
=2
Teoría de los residuos
Para encontrar los polos y residuos se puede
utilizar el siguiente resultado:
Un punto singular aislado
de una función f
es un polo de orden m si y solo si f se puede
escribir como:
donde
Además,
es analítica y no nula en
Teoría de los residuos
Ceros.
●
Los ceros de una función pueden ser una
fuente de polos
Definición: Se dice que una función analítica en
tiene un cero de orden n en
si y sólo si
y
con
●
Alternativamente, se dice que una función f
analítica en
tiene un cero de orden m en
si y solo si existe una función g(z) analítica y no
nula en
tal que
●
Ceros y polos.
Los ceros pueden ser una fuente de polos:
Teorema:
1) Si p(z) y q(z) son funciones analíticas en
y
y q(z) tiene un cero de orden m en
, entonces la razón p(z)/q(z) tiene un polo
de orden m en
2)
Teoría de los residuos
●
●
Ceros y puntos singulares (clasificación)
Ceros de orden m: se dice que
es un cero
de orden m de la función f, si f es analítica en
y f tiene sus primeras m-1 derivadas son
nulas en , pero