Soluciones a “Y para terminar…”

9
Soluciones a “Y para terminar…”
PÁGINA 188
Pág. 1
▼ Generaliza
Observa la siguiente serie de cuadrados:
…
1
C1
C2
C3
C4
TAREA
Busca la manera de obtener el lado y el área de cualquier término cn de la serie.
PROCEDIMIENTO
Resuelve los primeros casos particulares y, después, generaliza:
C1
LADO
8I
1
ÁREA
8A
1
C2
C3
C4
…
C10
…
Cn
• ¿Cuál es la razón de semejanza entre dos cuadrados consecutivos? ¿Y la razón
de sus áreas?
AHORA, TÚ:
T1
1
c1:
Realiza el mismo trabajo con esta serie:
T3
l1 = 1 cm 8 A1 = 1 cm2
c2:
0,5
l2 = √0,5 cm 8 A2 = 0,5 cm2
0,5
c3:
T2
l2
1 · √Ä
—
0,5
2
Ä
1 · √0,5
—
2
l3
l3 = √0,5 cm 8 A3 = 0,5 cm2
2
√2
Ä
c4:
Ä
1 ·—
√0,5
—
2 À
2
1 ·—
√0,5
—
2 À
2
l4
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
8 A4 = 0,5 cm2
l4 = √0,5
2·2
√2 · √2
T4
…
9
Soluciones a “Y para terminar…”
Se puede encontrar la siguiente fórmula para el lado y el área del cuadrado n-ésimo de la
sucesión:
ln = 0,51/2 · 2(2 – n)/2 cm
An = 0,5 · 22 – n cm2
La razón de los lados es 1 , y la de las áreas, 1 .
2
√2
Para estudiar la sucesión de triángulos, usaremos la fórmula de Herón para calcular el área:
A = √s (s – a)(s – b)(s – c)
donde s es el semiperímetro y a, b, c los lados del triángulo. Así:
T1:
1
l1 = 1 cm
A1 =
√ 32 ( 32 – 1)( 32 – 1)( 32 – 1) =√ 32 ( 32 – 1) =√ 32 ( 12 )
3
T2:
l2 = 0,5
0,5
A2 =
T3:
0,25
√ 34 ( 34 – 0,5) =√ 34 ( 14 )
3
3
cm2
l3 = 0,25 cm
A3 =
T4:
√ 38 ( 38 – 0,25) =√ 38 ( 18 )
3
3
cm2
l4 = 0,125 cm
0,125
A4 =
√ 163 ( 163 – 0,125) =√163 (161 )
3
Generalizando, tenemos que:
ln = 21 – n cm y An = √3 · 2–2n cm2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
3
cm2
3
cm2
Pág. 2