Capitulo II

Transcripción

Capitulo II

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura
Capitulo II
Teoría de curvatura
1
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Capitulo II
Movimiento Plano
II.1 Aspectos generales del movimiento plano.
II.2 Teoría de la curvatura.
1. Teorema de Hartman.
2. Euler-Savary.
3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia
de Bresse.
4. Construcciones gráficas.
5. Teorema de Bobillier y construcción de
Aronhold.
6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary.
7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary.
II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.
2
1
Capitulo II: Tema 2
Teoría de curvatura
1. Aspectos previos del Teorema de Hartman.
2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman.
2. Euler-Savary.
1. Fórmula de Euler-Savary.
2. Criterio de signos.
3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse.
1. Circunferencia de las inflexiones.
2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones.
1. Construcción gráfica 1.
5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold.
1. Teorema de Bobillier.
2. Teorema de Aronhold.
1. Introducción. Perfiles conjugados.
2. Euler-Savary generalizado.
3. Fórmula de E-S generalizado.
7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary.
3
Capítulo II: Tema 2
1. Aspectos previos del Teorema de Hartman.
2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman.
4
2
Aspectos previos del teorema de
Hartman
En este apartado vamos a estudiar el teorema de Hartman que nos permitirá
obtener la relación entre un punto del plano móvil, el polo de dicho plano móvil
y el centro de curvatura de la trayectoria recorrida por el punto.
Pero antes introducimos en el teorema de Hartman existen algunas cuestiones
preliminares que nos ayudarán a entender dicho teorema.
En esta introducción al teorema de Hartman vamos a considerar 3 planos en el
movimiento:
•
•
•
El plano fijo (0).
El plano móvil (1) que contiene el punto A el cual recorre la trayectoria m sobre
el plano fijo (0).
El plano móvil (2) compuesto por la normal (n) y la tangente (t) a la trayectoria y
que tiene un punto de coincidencia con el plano (1) que es el punto A.
5
Hartman
El plano fijo (0)
El plano móvil (2)
El plano móvil (1)
n
A
t
t
m
(2)
(0)
(1)
n
6
3
Hartman
Movimiento del plano 1 sobre el plano 0
Condición: que el punto A del plano 1 recorra la trayectoria
m del plano 0.
A continuación se muestran dos casos y se comparan.
7
Hartman
VA
VA
A
m
P10
A
m
P10
ω1
ω=0
(1)
(1)
(0)
(0)
8
4
Hartman
VA
A
A
VA
m
P10
m
P10
ω1
ω=0
(1)
(1)
(0)
(0)
9
Hartman
A
VA
A
VA
m
m
P10
ω1
P10
ω=0
(1 )
(0)
(1)
(0)
10
5
Hartman
A
VA
A
VA
m
P10
m
P10
ω1
ω=0
(1)
(1)
(0)
(0)
11
Hartman
A
A
VA
VA
m
P10
m
P10
ω1
ω=0
(1
)
(1)
(0)
(0)
12
6
Hartman
A
A
ω1
m
VA
P10
m
VA
P10
(1)
ω=0
(1)
(0)
(0)
13
Hartman
A m
A
m
ω1
P10
VA
P10
VA
(1)
ω=0
(1)
(0)
(0)
14
7
Hartman
Movimiento del plano 1 sobre el plano 0:
1. La condición de que un solo punto, el A, recorra la trayectoria m no
condiciona completamente el movimiento del plano 1 sobre el cero,
ya que pueden darse infinitos desplazamientos entre posiciones
cumpliendo con esta condición.
2. Por tanto, la posición del polo P10 no está definida. Sin embargo, sí
conocemos la dirección en la que se encuentra este polo, ya que
debe estar situado en la normal a la trayectoria. La condición de que
el punto A recorra la trayectoria define la dirección de la normal.
15
Hartman
Movimiento del plano 2 sobre el plano 0
Condiciones:
1. El punto de corte entre tangente y normal debe coincidir con el
movimiento del punto A.
2. La recta t debe ser siempre tangente a la trayectoria y la recta
n debe ser normal a la misma.
16
8
n
t
Hartman
(2
)
n
t
m
(0)
17
Hartman
n
t
m
t
( 2)
n
(0)
18
9
Hartman
n
t
t
m
(2)
n
(0)
19
Hartman
n
t
t
m
(2)
n
(0)
20
10
Hartman
n
t
m
t
(2 )
n
(0)
21
Hartman
t
n
m
t
)
(2
n
(0)
22
11
Hartman
Movimiento del plano 2 sobre el plano 0:
•
•
En este caso, la condición de normal y tangente a la trayectoria
restringe completamente el movimiento y, por tanto, la posición
del plano 2 con respecto al plano 0 es conocida en cualquier
instante.
Al estar completamente restringido el movimiento la posición
del polo P20 también lo está.
23
Hartman
n
n
t
t
t
ds
n
t
n
(2)
(2)
P20 = cdc
24
12
Hartman
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t
t
n
t
t
m
t
t
)
(2
t
t
(2 )
Evoluta de la
trayectoria
n
n
(2)
(2) )
n (2
(2
)
n n
n
(0)
25
n
t
Hartman
(2
)
P201
n
t
m
(0)
26
13
Hartman
n
t
m
t
P202
( 2)
n
(0)
27
Hartman
n
t
t
m
P203
(2)
n
(0)
28
14
Hartman
n
t
t
m
P204
(2)
n
(0)
29
Hartman
n
t
m
(2 )
t
P205
n
(0)
30
15
Hartman
t
n
Ruleta
t
)
(2
P20
m
6
Base
n
(0)
31
Hartman
Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el
plano 0:
•
•
•
•
El movimiento está perfectamente definido.
El polo P20 puede determinarse como intersección de dos
rectas normales separadas por un ds.
El polo P20 es a la vez el centro de curvatura de la trayectoria
para esa posición.
La base del movimiento del plano 2 sobre el plano 0 coincide
con la evoluta de la trayectoria.
32
16
Hartman
Movimiento de los tres planos.
•
•
Ahora hacemos coincidir el movimiento de los tres planos:
el plano fijo (1), el móvil (1) y el móvil (2).
Durante el movimiento se mantendrán las condiciones
anteriormente citadas y además el punto de corte de las
rectas n y t coincidirá con el punto A.
La última de estas condiciones implica que el polo del
movimiento del plano 1 con respecto al (2) coincide
con el punto A, ya que tiene que tener las misma
velocidad en el plano (1) y (2).
33
n
t
Hartman
A
m
P101
(2
)
P201
n
t
P211
(1)
(0)
34
17
Hartman
n
t
A
P212
t
m
P102
P202
( 2)
n
(1)
(0)
35
Hartman
n
A
t
P213
t
m
P103
P203
(2)
(1)n
(0)
36
18
Hartman
n
t
A
P214
t
m
P104
P204
(2)
n
(1)
(0)
37
Hartman
n
t
A
(2 )
P205
P215
P105
m
t
n
(1)
(0)
38
19
Hartman
t
n
A
P216
m
P106
t
)
(2
P20
6
n
(1)
(0)
39
Hartman
Conclusiones generales:
• Como puede observarse, los tres polos: P10, P12 y P20 están
permanentemente alineados (lo que está de acuerdo con el
teorema de Aronhold).
• Con los datos del problema, de los tres polos se conoce la
posición exacta de dos de ellos (P21, P20) y la dirección en la
que se encuentra el tercero (P10).
• Además, el centro de curvatura de la trayectoria que recorre un
punto A es el polo del plano asociado a la normal y tangente a
la trayectoria en la que se mueve dicho punto.
• La evoluta de la trayectoria es la base del movimiento del plano
(2) con respecto al plano (0).
40
20
Enunciado y demostración del
Teorema de Hartman
Enunciado del teorema de
Hartman:
Hartman:
El extremo del vector velocidad de
un punto, el centro de curvatura de
la trayectoria y la componente
paralela a la velocidad del punto
del vector velocidad de cambio de
polo, están alineados.
A
P
Para demostrar este teorema
veremos dos demostraciones: A y
B. La primera de ellas, la A, es una
demostración más intuitiva y la
segunda, la B, más matemática.
u
cdc
41
Teorema de Hartman
Demostración A
A
VA
VB
VC
B
C
P
42
21
Teorema de Hartman
VB
VAperp
A
VBrel
VBBarra
VCperp
B
C
P
43
Teorema de Hartman
A
P
u
cdc
44
22
Teorema de Hartman
np
ρ
A
O1
VA
Ψ
ω
(1)
Ap
P
tp
tp
u
(0)
C
np
O0
45
Teorema de Hartman
np
r1
ρ
A
O1
VA
Ψ
ω
(1)
Ap
P
tp
tp
u
(0)
C
np
O0
r0
46
23
Teorema de Hartman
np
r1
ρ
A
O1
VA
A
VA
Ψ
ω
(1)
Ap
P
tp
Ψ
P
tp
u
u’
(0)
C
C
np
r0
O0
47
2. Euler-Savary.
1. Fórmula de Euler-Savary.
2. Criterio de signos.
48
24
Fórmula de EulerEuler-Savary (E(E-S)
np
O1
r1
VO1
ω
(1)
P
tp
tp
u
(0)
r0
1 1 ω
+ = = cte
ro r1 u
O0
np
49
Fórmula de EulerEuler-Savary (E(E-S)
np
r1
A
O1
VO1
ω
(1)
P
tp
u’
1 
1 1 ω
 1
+

 senφ = + = = cte
ro r1 u
 PA CP 
VA
ϕ
tp
u
(0)
C
r0
O0
np
50
25
Criterio de signos
np
r1
O1
ϕ
np
P
tp
r1
A
O1
ϕ
P
tp
tp
tp
A
C
C
r0
np
r0
O0
np
1 
1 1
 1
+

 senφ = +
PA
CP
r
r1


o
O0
1 
1 1
 1
+

 senφ = +
ro r1
 − PA CP 
51
Criterio de signos
O0
r0
r1
np
O1
O0
r0
r1
A
ϕ
O1
ϕ
P
tp
np
tp
P
tp
tp
A
C
np
1 
1
1
 1
+
+

 senφ =
PA
CP
−
r
r


o
1
C
np
1 
1
1
 1
+
+

 senφ =
− ro r1
 − PA CP 
52
26
Criterio de signos
np
np
A
ϕ
P
tp
C
tp
P
A
O1
r1
r0
ϕ
tp
O0
np
1 
1
1
 1
+

 senφ = +
ro − r1
 PA CP 
C
tp
O1
r1
r0
O0
np
1 
1
1
 1
+

 senφ = +
ro − r1
 − PA CP 
53
3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse.
1. Circunferencia de las inflexiones.
2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones.
54
27
Circunferencia de las inflexiones
(circunf.
circunf. de Hire)
Hire)
I
A
δ
r
Definición: los puntos del
plano móvil (1) que no
tienen aceleración
normal por estar en un
punto de inflexión de la
trayectoria (curvatura ∞).
ω
ϕ
r = δ senφ
u
P
∞
A
w
δ
ω
ϕ
2
PA = WA ⋅ CA
u
P
C
∞55
Circunferencia de Bresse.
Bresse. Polo de
aceleraciones
Definición: Es el lugar
geométrico de los
puntos del plano móvil
que tienen aceleración
tangencial nula.
A
ψ
Q
Ap
r
u
b
P
r = − b cosψ
56
28
57
Construcción gráfica 1
A
Enunciado:
Dada la circunferencia de
las inflexiones y conocido
el polo, calcular el cdc de
la trayectoria del punto A:
P
58
29
A
Paso 1:
Se trazan por A y B dos
rectas arbitrarias que se
cortan en el punto B.
P
B
59
A
Paso 2:
Se obtiene el punto W
como intersección de la
recta AP con la
circunferencia de las
inflexiones, y se une
dicho punto con el punto
B.
W
P
B
60
30
A
Paso 3:
W
Se traza una recta
paralela a WB por el
punto P, obteniendo el
punto D en el punto de
corte con la recta AB.
P
B
D
61
A
Paso 4:
W
Finalmente se traza por el
punto D una recta
paralela a la recta PB, y
donde corta a la recta AP
se obtiene el punto C, cdc
de la trayectoria de A.
P
B
C
D
62
31
A
W
PA DA
=
WA BA
CA DA
=
PA BA
PA CA
=
WA PA
P
B
PA 2 = WA ⋅ CA
C
D
63
Enunciado:
Hallar tres puntos de la
inflexiones, conocidos
dos puntos (A y B) y sus
respectivos centros de
curvaturas (OA y OB).
B
A
OB
OA
64
32
Paso 1:
B
El polo P es el primer
punto de la circunferencia
de las inflexiones, ya que
puede obtenerse
directamente en la
intersección de las dos
rectas que unen los
puntos con sus centros
de curvatura.
A
P
OB
OA
65
Paso 2:
B
Se obtiene el punto Q
como intersección de las
rectas AB y OAOB.
A
P
Q
OB
OA
66
33
Paso 3:
B
Se obtiene el Eje de
Colineación uniendo el
punto Q con el polo P.
A
c
P Eje de
ón
olineaci
(EC AB)
Q
OB
OA
67
Paso 4:
Se traza por P una recta
paralela a OAOB hasta que
corte a la recta AB en el
punto H. A continuación se
traza otra recta por este
punto paralela al eje de
colineación. Los puntos de
corte con AOA y BOB son
puntos de la circunferencia
de las inflexiones.
B
A
WA WB
H
ción
colinea
P Eje de
(EC AB)
Q
OB
OA
68
34
Conocidos tres puntos de la
inflexiones se puede obtener
dicha circunferencia.
B
A
WA WB
H
P
c
Eje de
ón
olineaci
(EC AB)
Q
OB
OA
69
A
W
B
A
WA WB
P
P
OB
OA
70
35
A
W
B
A
P
WA WB
H
B
P
OB
OA
71
A
W
B
A
P
WA WB
H
B
P
ción
colinea
Eje de
(EC AB)
Q
OB
OA
C
D
72
36
5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold.
1. Teorema de Bobillier.
2. Teorema de Aronhold.
73
Teorema de Bobillier
“La bisectriz del ángulo que forman las normales a la
trayectoria de dos puntos coincide con la bisectriz del
ángulo que forman la dirección de la velocidad de
cambio de polo (o tangente polar) y el eje de
colineación”.
74
37
B
A
OB
OA
75
EC
AB
P
B
A
Q
OA
OB
76
38
EC
AB
P
B
A
WB
Q
OB
OA
WA
77
EC
AB
P
B
A
WB
Q
OA
OB
tp
WA
78
39
EC
AB
P
β
β
B
A
WB
OA
Q
OB
tp
β
WA
79
=
=
=
=
80
40
EC
AB
P
β
β
B
A
WB
Q
OB
OA
Bisec
triz
tp
β
WA
81
Construcción de Aronhold
Enunciado: Dados dos
puntos, A y B, y sus
respectivos centros de
curvatura, OA y OB, se
desea hallar el centro de
curvatura de un tercer
punto C del mismo plano
móvil.
C
B
A
OA
OB
Paso 1: determinamos el
polo P.
P
82
41
C
Paso 2: determinamos el
eje de colineación con los
puntos A y B, y a
continuación obtenemos
la tangente polar
QAB
empleando el teorema de
Bobillier.
B
A
tp
OA
EC
OB
AB
β
β
P
83
C
Paso 3: Aplicando de
nuevo el teorema de
Bobillier se determina el
eje de colineación AC.
B
A
tp
QAB
OB
AC
AB
OA
EC
EC
α
α
β
β
P
84
42
C
B
A
tp
QAC
EC
OB
AC
AB
OA
EC
Paso 4: Uniendo el punto
QAC con el centro de
curvatura de la trayectoria
de A de obtiene el centro
de curvatura de la
QAB
trayectoria de C como
punto de corte de esta
recta con la recta PC.
α
α
OC
β
β
P
85
1. Introducción. Perfiles conjugados.
2. Euler-Savary generalizado.
3. Fórmula de E-S generalizado.
86
43
Introducción. Perfiles conjugados
Hasta ahora hemos considerado que la
base es una curva fija (nuestro sistema
de referencia). Esto implica que en el
polo P existan 3 puntos:
A
• P0: punto del plano fijo (Base) y
por tanto de velocidad nula.
• P1: punto del plano móvil (ruleta)
y velocidad nula por condición de
polo.
• P: punto matemático que
representa las sucesivas
posiciones del polo sobre el plano
fijo. Sus velocidad u, se denomina
velocidad de cambio de polo.
ω
P0
P1
P
tp
Ruleta
(1)
P
tp
u
Base (0) = Fija
C
87
Posición 1
Ahora consideramos un plano fijo (0) y
otro móvil (1) en el que tenemos en
todo instante una tangente en común t.
Pero a diferencia del caso anterior en el
contacto existe rodadura y
deslizamiento.
n
Perfil (0)
Perfil (0)
t
Posición 2
n
t
t
t
Envolvente (0)
n
n
Envolvente: se dice que una curva en
un plano fijo es la envolvente de otra
curva en el plano móvil (denominada
perfil)
perfil si en todo instante tienen una
tangente en común.
A ambas curvas (perfil y envolvente) se
las denomina perfiles conjugados.
conjugados
88
44
En el punto H de nuevo existen tres puntos:
• H0: Perteneciente a la envolvente
(plano fijo) y de velocidad nula.
Posición 1
n
• H1: Perteneciente al perfil (1) y de
velocidad la velocidad de deslizamiento
del perfil sobre la envolvente (VHdes).
Perfil (0)
• H: Punto matemático de contacto. Su
velocidad es distinta de cero.
t
El polo del movimiento relativo de una curva
y su envolvente está situado sobre la normal
a la tangente en el punto de contacto (H), ya
que la velocidad de H1 debe estar en la
dirección de la tangente (de lo contrario el
perfil penetra o se aleja de la envolvente).
VHdes
H
t
Envolvente (0)
P10
n
89
EulerEuler-Savary Generalizado
De forma similar a como se realizó en el teorema de Hartman vamos a
considerar 3 planos en el movimiento:
•
•
•
El plano (0): es el plano fijo y en el se encuentran situados tanto la envolvente
como la base.
El plano (1): es el plano móvil al que pertenecen la ruleta, el perfil y el punto A.
El plano (2): que es el segundo plano móvil compuesto por la normal (n) y la
tangente (t) al perfil y la envolvente en el punto de contacto entre ambas curvas.
A continuación se seguirán los pasos siguientes:
•
•
•
Localización de los 3 polos del movimiento relativo.
Velocidades de cambio de polo en los tres casos.
Bases y ruletas en los movimientos relativos.
90
45
n (2)
VA
A
Perfil (1)
t (2)
t (2)
Envolvente (0)
P10: como se ha explicado
anteriormente este polo debe estar
situado sobre la recta normal en el
punto de contacto entre perfil y
evolvente. Suponemos su localización
así como las curvas Base y Ruleta.
n (2)
ϕ
ω
Ruleta (1)
P10
tp
tp
u10
Base (0) = Fija
La velocidad de cambio de polo u10
debe estar sobre la tangente polar.
91
VA
n (2)
A
Perfil (1)
t (2)
P20: Como se ha demostrado (teorema
de Hartman) un plano móvil formado
por tangente y normal a una trayectoria
tiene su polo en el centro de curvatura
de la trayectoria. En este caso la
trayectoria es la superficie de la curva
evolvente.
t (2)
Envolvente (0)
n (2)
ϕ
ω
P10
tp
u10
Ruleta (1)
tp
Base (0) = Fija
Además, la base del movimiento 20
será la evoluta de la envolvente y por
tanto la velocidad de cambio de polo
u20 tendrá la dirección de la recta
normal.
u20
Evoluta de la envolvente (2)
P20
92
46
VA
P21: Si invertimos el movimiento y la curva
fija es el perfil y la móvil la envolvente,
siendo el perfil la trayectoria descrita por el
punto de corte entre normal y tangente.
Por la misma razón que en el caso anterior
el polo P21 debe estar situado en el cdc del
perfil.
Además, igual que antes, la base del
movimiento relativo 21 será la evoluta del
perfil y la velocidad de cambio de polo u21
será tangente a esta curva.
Perfil (1)
n (2)
Evoluta del perfil (1)
A = P21
u21
u21rel
t (2)
t (2)
Envolvente (0)
n (2)
ϕ
Ruleta (1)
ω
P10
tp
tp
u10
Sin embargo, esta velocidad será relativa,
es decir u21rel, ya que es la velocidad que
observa el observador situado sobre el
perfil.
Base (0) = Fija
Para obtener la velocidad de cambio de
polo total es necesario componerla con la
velocidad del punto VA.
P20
93
VA
Como puede observarse, P20, P21 y P10
son tres puntos que se mueven
permanentemente alineados.
Perfil (1)
A = P21
u21
u21rel
t (2)
Envolvente (0)
n (2)
ϕ
ω
P10
tp
u
Si los tres puntos están permanentemente
alineados se puede aplicar el teorema de
Hartman y la fórmula de Euler-Savary. En
este caso se denomina a la fórmula: EulerSavary generalizado:
 1
1 

 senφ = cte
+
 P20 P10 P10 A 
Evoluta del perfil (1)
t (2)
Por tanto, como se demostró
anteriormente, se debe cumplir que los
extremos de la componentes de la
velocidad perpendiculares a la recta que
une los tres puntos deben estar alineadas.
Conclusión:
n (2)
Ruleta (1)
tp
Base (0) = Fija
P20
94
47
Fórmula de EE-S Generalizado
E-S Generalizado
E-S Estándar
A
Perfil
n
A1
t
t
Envolvente
P
u
ϕ
tp
n
P
Ruleta
tp
Base
C
A0
1 
 1
+

 senφ = cte
 PA CP 
 1
1 

 senφ = cte
+
 A 0 P PA1 
A0: cdc de la envolvente.
A1: cdc del perfil.
P: Polo entre el plano del
perfil y la envolvente. 95
48

Capitulo II

Transcripción

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