Caracterización de la actividad argumentativa de estudiantes de

Transcripción

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
Caracterización de la actividad argumentativa de
estudiantes de educación media cuando trabajan en
procesos de matematización de situaciones
OSCAR JAVIER GONZÁLEZ PINILLA
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
LÍNEA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ
2015
2
CARACTERIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA DE
ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA CUANDO TRABAJAN EN PROCESOS DE
MATEMATIZACIÓN DE SITUACIONES
Caracterización de la actividad argumentativa de
estudiantes de educación media cuando trabajan en
procesos de matematización de situaciones
OSCAR JAVIER GONZÁLEZ PINILLA
Tesis presentada como requisito parcial para Optar por el título de Magister
en Educación en la Línea de Educación Matemática Bajo la Modalidad de
Investigación.
ORIENTADORES:
DEISSY MILENA NARVAEZ ORTIZ Ed. D
GRUPO DE INVESTIGACIÓN MESCUD
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
LÍNEA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ
2015
3
INDICE DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN.……………………………………………………………………………………..………..7
CAPÍTULO I: DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………………………………9
1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN……………………………………………………….…….....11
1.2. OBJETIVOS………………………………………………………………………………………….11
1.2.1. General………………………………………………………………………………….…..11
1.2.2. Específicos………………………………………………………………………….………11
2. ANTECEDENTES…………………………………………………………………………………….…..11
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
3. PERSPECTIVA TEÓRICA: EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…………………………………………….15
3.1. Principios de la Educación Matemática Realista………………….……………………………..18
4. Teoría de la argumentación de Stephen Toulmin …….……………………………………………...21
4.1. Hacia un esquema para el análisis de los argumentos...................……………………………22
CAPÍTULO III: MARCO METODOLÓGICO
5. TIPO DE INVESTIGACIÓN……………………………………………………………………………...25
5.1. Descripción de la población………..………………………………………………………….25
5.2. Investigación en diseño como paradigma de investigación………………………………..25
5.3. Método de investigación: Experimento de enseñanza……………………………………..27
5.4. Fases del experimento de enseñanza………………………………….…………………….28
5.5. Técnicas e instrumentos para la recolección de datos……………………………………..29
5.6. Construcción de categorías de análisis de los datos …………………………………...….31
CAPÍTULO IV: DISEÑO INSTRUCCIONAL
6. Construcción e implementación del diseño ……………………………….…………………………..34
6.1. Matriz de tareas…………………………………………………….…..……….………………38
6.2. Trayectoria Hipotética De Aprendizaje………………………….…………………………....41
CAPÍTULO V: ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS DATOS
7. Análisis de los datos …………………………………………………………………………….……….47
4
7.1. Análisis tarea N° 1...……………………………….…………………….………….………….48
7.2. Análisis tarea N° 2 .…………………………………………………….………………………57
7.3. Análisis tarea N° 3 ……..………………………………………………………...…………….62
7.4. Análisis tarea N° 4 …….……………………………………………..………………………...79
CAPÍTULO VI
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES …………………………………………………………………..…101
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………..………….………..……………113
5
INDICE DE ESQUEMAS
Esquema N°1: Elementos del argumento (Toulmin, 1958…………………………………….....……....23
Esquema N°2. Elementos que constituyen al argumento desde el esquema de Toulmin (1958)...…23
Esquema N°3. Descripción del proceso de matematización ………………………………………..…..32
Esquema N°4: Uso y alternancia de modelos para abordar la conjetura de los rectángulos……………..…..101
INDICE DE IMAGENES
Imagen N°1. Cuestionario de la encuesta ……………………………………………..………..…………30
Imagen N°2. Fotografías de los registros audiovisuales de la clase ……………………….…………..31
Imagen N°3. Elaboraciones del trabajo de los estudiantes cuando abordan la situación problema...31
Imagen Nº 4. Cuestionario diligenciado por el grupo Nº 2…………………………………………….…54
Imagen N°5. Algunos diseños de terreno construidos por los estudiantes ………………….…………58
Imagen Nº 6. Los estudiantes realizando procesos de medición sobre los diseños de sus terrenos..61
Imagen Nº 7. Estudiante estirando la lana para procurar una maximización de la superficie del
terreno…………………………………………………………………………………………………………..62
Imagen Nº 8: Diseños usados para el análisis de la tarea N°3 …………………………………….……63
Imagen Nº 9. Grupo 1 mostrando que el octágono regular tiene ángulos obtusos y que el diseño del
triángulo desaprovecha superficie por tener ángulos agudo………………………………………..……63
Imagen Nº 10. Grupo 2 mostrando su diseño circular usando la mayor cantidad de postes………...64
Imagen Nº 11. Grupo 3 mostrando su diseño mixto de líneas curvas y rectas…………………...……64
Imagen Nº 12. Estudiante del grupo 1 haciendo el conteo de postes del diseño circular del grupo
2………………………………………………………………………………………………………………... 65
Imagen Nº 13. Estudiantes del grupo 1 mostrando que el cuadrado de 25 m de lado y el rectángulo
de 30 m x 20m cada uno de perímetro 100 m tienen áreas diferentes……………………………..…. 66
Imagen 14: Cuestionario diligenciado por el grupo N° 2…………………………………………….……76
Imagen N°15. La noción de modelo desde la EMR vista desde la situación problema……………….77
Imagen N°16. Diseños a analizar en la tarea N°4………………………………………………...80
Imagen Nº 17. Estudiante del grupo 2 explicando cómo hallaron el área del círculo de 100 metros de
perímetro……………………………………………………………………………………………………….81
Imagen Nº 18. Estudiante del grupo 1 determinando la altura y el área del triángulo equilátero de
perímetro 100 metros…………………………………………………………………………………………82
Imagen Nº 19. Estudiante del grupo 1 mostrando el caso de un triángulo isósceles donde la altura es
de 0 m y el área es de 0 m2…………………………………………………………………………..……….86
Imagen Nº 20.Estudiante del grupo 1 intentando dibujar el triángulo de medidas 25m, 25m y 50 m.87
Imagen Nº 21.Estudiante del grupo 1 explicando que los lados de 10 metros no se alcanzan a unir
porque la base de 80 metros es mucho mayor…………………………………………………………….87
Imagen N° 22. Estudiante del grupo 4 mostrando la tabulación de datos que realizó respecto a los
rectángulos que se construyen con un perímetro de 100 m, resaltando que el de mayor área es el
cuadrado de 25 m de lado……………………………………………………………………………………91
Imagen N° 23. Tabla resaltando que el área de un rectángulo de perímetro 100m y de lado 10,5m,
está entre las áreas de los rectángulos de 10m y 11m…………………………………………………...91
6
INDICE DE TABLAS
Tabla N°1: Categorías para el análisis de procesos de matematización en la resolución de problema……….33
Tabla Nº2: Principios constitutivos de la EMR aplicadas a la situación problema realista “El terreno
más óptimo”…………………………………………………………………………………………………….37
Tabla N°3. Preguntas orientadoras contenidas en la encuesta para la tarea Nº 1…………………….43
Tabla N°4: Matematización horizontal en el nivel situacional presentados durante la tarea N°1
…………………………………………………………………………………………………………56
Tabla N°5: Matematización horizontal en un nivel referencial en la tarea N°2………………………...61
Tabla N°6: La situación problema visto desde el nivel situacional y referencial……………………….61
Tabla N°7. Matematización vertical en un nivel general de la tarea N°3………………………………75
Tabla N°8: Matematización vertical en un nivel general en la tarea N°4………………………………98
Tabla N°9 Progreso en los procesos de matematización del objeto mental “figura geométrica”
durante el abordaje de la situación………………………………………………………………………...108
INDICE DE FIGURAS
Figura Nº 1. Esquema argumentativo del grupo Nº1…………………………………...………...53
Figura Nº 3. Esquema argumentativo del grupo Nº2……………………………………………...55
Figura N° 4. Esquema argumentativo del grupo 2………………………………………………...68
Figura Nº 5. Cambio del esquema argumentativo del grupo Nº 2 dada la refutación del grupo
Nº 1 que a su vez se convierte en una nueva pretensión………………………………………..69
Figura N° 6. Esquema argumentativo del grupo N° 3…………………………………………………….71
Figura N° 7. Cambio del esquema argumentativo de grupo Nº 3 dado el contraejemplo del grupo Nº
1 que a su vez se convierte en su nueva pretensión……………………………………………………...72
Figura Nº 8. Esquemas argumentativos de los grupos Nº 1 y Nº 2 respectivamente………………….84
Figura N°9. Esquema argumentativo del grupo 1…………………………………………………………88
Figura N°10. Esquema argumentativo del grupo 2, modificado por la intervención a modo de
refutación del grupo 1………………………………………………………………………………………... 93
7
INTRODUCCIÓN
En este trabajo de investigación se aborda la problemática asociada al escaso uso de situaciones
problema que promuevan la argumentación matemática en el aula de matemáticas de la educación
básica y media en contextos de socialización y construcción de conocimientos (Camargo, 2000).
Una vez se evidencia la problemática desde las dimensiones de la experiencia docente, la
exploración teórica y la indagación de antecedentes de investigación en el campo, se identifica la
necesidad de mostrar mediante datos empíricos que a partir de la matematización de situaciones
(Freudenthal, 1983) es posible promover actividad argumentativa en el aula en torno a las
matemáticas. Esta última idea se constituye en la hipótesis central de este estudio.
De esta manera, se propone en el marco del enfoque teórico de la Educación Matemática Realista
(EMR), un proyecto de investigación en el que el eje fundamental es la argumentación, y donde el
lector podrá encontrar evidencias empíricas y teóricas sobre la identificación de prácticas
argumentativas en estudiantes de educación media cuando se involucran en procesos de
matematización de una situación problema relacionada con la agricultura. En el abordaje de esta
situación, se pudo evidenciar progresivos avances en la comprensión y constitución del objeto
mental “figura geométrica” por parte de los estudiantes. Estas evidencias muestran que es posible
promover en los estudiantes su implicación en prácticas argumentativas en matemáticas a través de
la resolución de problemas centrada en la matematización.
Este experimento de enseñanza con enfoque descriptivo e interpretativo, involucra las prácticas
argumentativas de un grupo de estudiantes de décimo grado del Colegio San Juan de los Pastos
(institución educativa de carácter privado localizada en Usme, Bogotá) cuando abordan una
situación problema en matemáticas. La identificación y descripción de sus prácticas argumentativas
se realiza teniendo en cuenta la teoría general de la argumentación de Stephen Toulmin (1958), que
se configura desde los elementos constitutivos de lo que él considera es un argumento (dato,
pretensión/conclusión, garantías, respaldos y refutaciones). Metodológicamente se organiza un
proceso de análisis sobre la incorporación de elementos matemáticos en las estructuras
8
argumentativas, para esto se usa como herramienta el sistema de categorías para observar los
procesos de matematización horizontal y vertical propuestos por Treffers (1987) y ampliados por la
OCDE (2006). Este sistema de categorías permite hacer una mirada mucho más particular sobre la
elaboración de los argumentos cada vez más sofisticados.
De la fundamentación, documentación y estructuración del proceso de investigación, así como del
enfoque teórico adoptado (EMR) dan cuenta los capítulos 1 y 2, mientras que en capítulo 3, se
evidencia el enfoque y tipo de estudio, el cual es de carácter cualitativo-interpretativo, enmarcado en
el paradigma del análisis del diseño y su principal metodología investigativa, el experimento de
enseñanza (Cobb & Gravemeijer, 2008). El tratamiento dado a la información, en lo que refiere a la
descripción e identificación de los esquemas de argumentación obtenidos durante la resolución del
problema por parte de los estudiantes, se pueden observar en el capítulo 4. Durante la lectura del
capítulo 5, se podrá encontrar el proceso de análisis de la información, donde se caracterizan los
esquemas argumentativos de los estudiantes desde la procesos de matematización horizontal y
vertical (en sus diferentes niveles de comprensión: situacional, referencial, general y formal) y
finalmente se presentan algunas implicaciones del estudio sobre el marco de referencia y la propia
caracterización del proceso de investigación en el capítulo 6, esto a manera de conclusiones y
reflexiones.
En general, el estudio permitió evidenciar que los procesos de matematización que se dan al abordar
y trabajar en las tareas que subyacen al diseño instruccional propuesto y en torno a la situación
problema realista, garantizan el surgimiento de una actividad argumentativa en los estudiantes,
donde se ponen en juego los elementos del modelo argumentativo de Toulmin, apoyado
fundamentalmente en justificaciones que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de
las matemáticas y que ayudan a comprender el problema y darle solución dentro de la realidad. De la
misma manera, el trabajo muestra cómo a partir de la matematización de situaciones como aspecto
fundamental para la elaboración de diseños instruccionales, se logra el desarrollo de competencias en
matemáticas; como la argumentativa, que cada vez se hace más indispensable para lograr procesos
más generales y mucho más complejos como el de demostrar (Bravo, 2002).
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CAPÍTULO I
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En los lineamientos curriculares de matemáticas, particularmente en los que se menciona a la
argumentación matemática, se explicita que se debe promover la exploración por parte del
estudiante, donde la comunicación oral y escrita de ideas matemáticas y la verificación, negociación
y validación de sus afirmaciones sea puesta en juego dentro de procesos de socialización (MEN,
1998). Sin embargo, su aprendizaje se ve cada vez más afectado porque se centra en la
memorización de fórmulas y teoremas matemáticos que se usan ocasionalmente para resolver
algunos problema;, además de que no se toma en cuenta la actividad argumentativa que se pone en
juego dentro de procesos de socialización en el aula de clases.
Estudios realizados por Balacheff (1987), Hanna (1990) y Simon (1996), pertenecientes a enfoques
constructivistas, concuerdan en que la argumentación se hace necesaria en algún momento al
interior del aula para formalizar actividades más abstractas como la de demostrar. En este sentido, la
actividad argumentativa como requisito primordial para llevar a cabo procesos de prueba son
escasos a la hora de validar ideas matemáticas, donde como lo señala Balacheff (1987) son cada
vez más frecuentes los procesos de enseñanza-aprendizaje fundamentada en la “imitación”, donde
existe la tendencia por parte del estudiante de permanecer atentos a los distintos momentos de los
que el docente dispone al realizar una demostración, encontrando la mayor necesidad o
preocupación, en realizar la reconstrucción de una buena imitación, en estos procesos el estudiante
crea la falsa idea de que lo importante no es comprender, validar o justificar, sino copiar bien
y repetir algorítmicamente lo que el profesor dice y hace. Esto pone en evidencia ciertas dificultades
que los alumnos enfrentan al relacionar los argumentos que producen al momento de la resolución
de problemas en las matemáticas.
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Uno de los factores que inciden en dicha dificultad por encontrar la verdad desde la argumentación
matemática, es precisamente que las situaciones problemas que los docentes proponen a sus
estudiantes para desarrollar sus habilidades comunicativas y de argumentación carecen de sentido
para éste, ya sea por estar muy ligados a la misma matemática o por no ser suficientemente
comprensible siquiera en su enunciación; lo que irremediablemente lleva a abandonar la actividad de
la justificación en la clase, con las nefastas consecuencias que esto trae en la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Se hace indispensable entonces encontrar situaciones problemas
que motiven la actividad autónoma de la argumentación por parte de los estudiantes, a partir de
contextos realísticos; esto es, situaciones capaces de ser imaginables y comprensibles, donde la
“realidad” no se restringe exclusivamente a problemas contextualizados o ligados a la vida real del
estudiante, sino a aquellas situaciones que son claras, perceptibles y accesibles para él, quien debe
aprender matemáticas desarrollando y aplicando conceptos y herramientas matemáticas en
situaciones que tengan sentido para quien los resuelve. En este sentido, lo que se debe buscar al
interior del aula, es la resolución de problemas y la argumentación como práctica matemática cuya
actividad característica es la matematización (Freudenthal, 1983). Esta postura es fundamental en el
enfoque teórico de la Educación Matemática Realista, pues propone trabajar la matemática
inicialmente como actividad humana y solo después como cuerpo cerrado de teoremas y axiomas
formales. Dicha actividad es la de resolver y buscar problemas que ayuden a organizar la realidad o
la matemática misma; o como lo señala su fundador Freudenthal (1983),
Lo que los seres humanos tienen que aprender no es matemáticas como sistema
cerrado, sino como una actividad: el proceso de matematizar la realidad y, de ser
posible incluso, el de matematizar las matemáticas (Freudenthal, 1983, p.7)
Finalmente, este trabajo investigativo intenta que la coherencia y articulación entre la resolución de
problemas, la actividad de matematización y los procesos de argumentación que se desarrollan
durante esta actividad, se conviertan en una fuerte estrategia para lograr ofrecer a los estudiantes
un ambiente de aprendizaje en el que puedan construir conocimientos matemáticos aplicables a
situaciones reales y tener posibilidades de alcanzar niveles más altos de comprensión.
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1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿Qué caracterización tienen los esquemas de argumentación que surgen en la interacción de
estudiantes de grado décimo, cuando se involucran en procesos de matematización de situaciones?
1.2. OBJETIVOS
1.2.1.
OBJETIVO GENERAL
Analizar los esquemas de argumentación matemática que surgen en torno a la interacción entre
estudiantes de grado décimo cuando se involucran en procesos de matematización de situaciones.
1.2.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar los esquemas argumentativos de los estudiantes en torno a la matematización de
una situación problema enmarcada en el enfoque teórico de la EMR.

Caracterizar los esquemas argumentativos de los estudiantes a partir de los elementos
constitutivos de un argumento desde la propuesta de Toulmin.

Estudiar las relaciones que existen entre los procesos de matematización horizontal y vertical
en los esquemas argumentativos de los estudiantes y que posibilitan el paso de la situación
particular y su matematización, hacia los fenómenos que son organizados por el objeto
mental “forma y figura geométrica” implicado en la situación.
2. ANTECEDENTES
Aunque el esquema argumentativo propuesto por Toulmin (1958) proporciona una herramienta
potente para analizar la argumentación y en especial los elementos que constituyen al argumento
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desde una perspectiva formal, son pocos los trabajos que relacionan esta perspectiva desde el
enfoque de la EMR, que se refiere al proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver
con matemáticas los problemas de la vida real, donde a partir de dichos esquemas argumentativos
que se generan en la resolución de problemas realistas, se forje el desarrollo progresivo de procesos
de matematización de la situación misma.
La teoría de Toulmin no se centra principalmente en el campo de la justificación matemática sino
más de la jurídica: sin embargo, ha sido una fuerte contribución a la hora de realizar análisis de
estructuras argumentativas en este campo. Krummheuer (1995), reduce el sistema original a cuatro
elementos: datos (pretensión), justificación (garantía), fundamentos (respaldo) y conclusión
(pretensión aceptada). Este trabajo muestra que el modelo de Toulmin puede ser utilizado para dar
cuenta de razonamiento matemático cuando hay procesos de interacción en contextos de
socialización en el aula. Esto permite inferir que este modelo podría ser una alternativa viable para
analizar y caracterizar los esquemas argumentativos que surgen en el aula cuando los estudiantes
se involucran en procesos de matematización de situaciones; en la que se estudiaría la composición
y secuencia del argumento como garante de una validación de proposiciones aceptados en el seno
de la comunidad de estudiantes que se enfrentan a la resolución de problemas.
La estructura de Toulmin ha sido usada por varios autores para analizar procesos de aprendizaje
dentro de las matemáticas, entre ellos Knipping (2008) propone problemas dentro del marco de la
demostración matemática para analizar los elementos constitutivos del argumento a la hora de
validar ideas. Este análisis es realizado a partir de tres etapas; la primera en un entorno de discusión
y socialización alrededor de un problema de demostración para los estudiantes, la segunda consiste
en hacer un análisis del esquema argumentativo desde un marco local usando la estructura de
Toulmin y un marco global desde el proceso mismo de demostración y la tercera, retoma las
anteriores para comparar la estructura argumentativa con su fundamento lógico; todo ello con el fin
de verificar que efectivamente se da una organización argumentativa bajo este modelo ligado a
procesos de prueba en los estudiantes.
Por otro lado, Hollebrands, Conner & Smith (2010), usan el modelo de Toulmin dentro de un
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ambiente de geometría dinámica, con el uso de un software para el aprendizaje de geometría no
euclidiana. En este caso, aunque no hay una situación contextualizada y explicita para el estudiante,
el software y el ambiente dinámico de aprendizaje se convierten en escenarios realísticos de
aprendizaje, ya que son contextos que el estudiante puede imaginar, comprender y bajo los que
puede actuar con el propósito de resolver algo que le es problemático. Weber (2005), a partir de
situaciones relacionadas con procesos de justificación y demostración, usa el modelo de Toulmin
para promover en los estudiantes la idea de validación matemática a través de la inferencia en un
escenario de confrontación y debate, como consecuencia de las objeciones de otros estudiantes.
Este estudio constata que existe un interés muy marcado por parte de los estudiantes por desafiar
los argumentos de sus compañeros y validar los suyos propios, a través de principios matemáticos
implícitos en sus intervenciones y que dan cuenta de un “permiso de inferencia” como base para
dotar sus intervenciones de un sentido lógico.
Estas propuestas y hallazgos de los distintos autores mencionados, permiten conjeturar que es
posible pensar los componentes de la secuencia argumentativa de Toulmin como una forma de
interpretar los procesos de matematización de situaciones, donde se privilegia la resolución de
problemas como práctica matemática cuya actividad característica es la matematización ya sea
dentro de la realidad o de la matemática misma (Freudenthal, 1983). Otros autores (Stephan y
Rasmussen, 2002; Whitneack y Knipping, 2002; Rasmussen et al., 2004; Pedemonte, 2005) han
usado esta estructura argumentativa en el estudio de diversos tópicos matemáticos y en diferentes
niveles escolares, mostrando que a partir de situaciones que aunque no llaman realísticas
explícitamente, podrían identificarse como tal, por sus características de ser susceptibles de
matematización. Estos hallazgos, muestran además que el modelo de Toulmin como herramienta es
útil independientemente del nivel escolar y el contenido, como lo propone Inglish (2007) quien
investigó la argumentación usando el modelo de Toulmin desde situaciones problema que motivan la
actividad matemática.
Otro antecedente fundamental para el desarrollo de este estudio, da cuenta del análisis de los
procesos de matematización de los estudiantes cuando trabajan en procesos de resolución de
problemas en aulas de matemáticas. En su estudio basado en principios constructivistas del
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aprendizaje, Narváez (2009), muestra el desarrollo en los procesos de matematización y su relación
con las estrategias usadas durante el abordaje de problemas asociados a la teoría de números por
parte de estudiantes para profesor; donde el contenido matemático expresado en las producciones
de los estudiantes durante la resolución de los problemas es analizado, asumiendo como categorías
los procesos de matematización horizontal y vertical propuestos por Treffers (1987) y ampliados por
la OCDE (2006). El trabajo pone de manifiesto que el aprendizaje no ocurre solamente en el aula de
clase, ya que los caminos posibles de verdadera resolución de problemas se concretan en distintos
espacios y con la participación de diversos recursos a los que se acude cuando se piensa realmente
en el problema.
15
CAPÍTULO II:
MARCO TEÓRICO
El presente capítulo, expone la recopilación teórica conceptual que da cuenta del enfoque teórico
adoptado para la investigación, la Educación Matemática Realista (EMR) de Freudenthal (1983).
Para establecer la organización de los datos obtenidos se hace indispensable conocer la propuesta
teórica de Toulmin (1958) acerca de la argumentación, especialmente la que tiene que ver con los
elementos constitutivos de lo que se considera por argumento, y finalmente para el análisis de los
datos y la construcción de categorías de análisis, se presenta el referente teórico relacionado con los
procesos de matematización propuestos por Treffers (1987), ampliados por el proyecto OCDE
(2006) y aceptados también por Freudenthal en el enfoque teórico ya mencionado.
Teniendo en cuenta lo anterior, el capítulo inicia por señalar la perspectiva teórica que se ha
adoptado, mencionando aspectos relevantes de la Educación Matemática Realista, la
matematización como objetivo fundamental del enfoque y algunos propósitos de la misma, y finaliza
con el bagaje teórico utilizado para realizar la organización, categorización y análisis de los datos
recolectados; esto es, la teoría general de la argumentación de Stephen Toulmin (1958).
3. PERSPECTIVA TEÓRICA: EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA (EMR)
Como ya se ha hecho mención, el presente trabajo de investigación se enmarca en el enfoque
teórico llamado Educación Matemática Realista (EMR), que básicamente busca promover el avance
de los estudiantes en la comprensión de las matemáticas; enfoque liderado por Freudenthal (1983) y
cuyos desarrollos se continúan trabajando en el instituto Freudenthal hasta la actualidad.
Freudenthal quien concebía que las matemáticas tienen valor humano en tanto son aplicables a la
vida misma, por lo que promueve el uso de contextos realistas, entendidas como la intención de
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ofrecer a los estudiantes situaciones problema que ellos puedan imaginar (ver Van den Brink, 1973;
Wijdeveld, 1980). Para Freudenthal matemáticas más que un cuerpo de conocimientos, es la
actividad de organizar la disciplina a partir de la realidad o de la matemática misma, a lo que llamó
matematización (Freudenthal, 1983); es decir, creía firmemente que la forma de aprender
matemáticas era haciéndola, siendo la matematización el fin de la educación matemática.
Lo que los seres humanos tienen que aprender no es matemáticas como
sistema cerrado, sino como una actividad: el proceso de matematizar la realidad
y, de ser posible incluso, el de matematizar las matemáticas (Freudenthal, 1983,
p.7).
Freudenthal se refería a la matematización de la realidad como la marera de organizar la matemática
a partir de los fenómenos, a lo que llamo análisis fenomenológico, que tiene como objetivo servir de
base para la organización de la enseñanza de las matemáticas en la escuela. Para Freudenthal, la
“Fenomenología de un concepto, estructura o idea matemática significa describirlos en su relación
con los fenómenos para los que fueron creados y a los que han sido extendidos en el proceso de
aprendizaje de la humanidad, y, cuando esta descripción se refiere al proceso de aprendizaje de las
generaciones jóvenes, es fenomenología didáctica,...” (1985, p. 9).
Para Treffers (1987) hay dos formas de matematización aceptadas también por Freudenthal. La
matematización horizontal y la vertical. La matematización horizontal, se genera cuando se
presentan herramientas matemáticas al estudiante y estas son utilizadas para organizar y resolver
un problema de la vida diaria. La matematización vertical, es un proceso más complejo y abstracto
que el estudiante logra cuando realiza re-organizaciones y operaciones dentro de un sistema
matemático formal.
Desde esta perspectiva, la propuesta de Freudenthal, sugiere la constitución de objetos mentales a
partir de la organización de los fenómenos para los cuales ha sido creado. Este aspecto será
fundamental para la presente investigación; ya que se espera que a partir de una situación
problema se aborden tópicos geométricos, con los cuales se logre un avance en los procesos de
matematización del objeto mental “figura geométrica” por parte de los estudiantes; los cuales se
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harán explícitos durante sus discursos argumentativos en el transcurso de la solución de la misma
situación. En este sentido, la constitución de objetos mentales precede a la construcción de
conceptos, en este caso de tipo geométrico, que se logra solo si se consigue una organización de
los fenómenos que son medios descritos por el objeto mental en cuestión.
Para Puig (1997),
“El análisis fenomenológico de un concepto o de una estructura matemática consiste
entonces en describir cuáles son los fenómenos para los que es el medio de
organización y qué relación tiene el concepto o la estructura con esos fenómenos. La
descripción de los fenómenos para los que es un medio de organización ha de
considerar la totalidad de los fenómenos para los que actualmente es así, esto es, ha
de tomar las matemáticas en su desarrollo actual y en su uso actual, pero también es
conveniente que se indique cuáles son los fenómenos para cuya organización fue
creado y a qué fenómenos se extendió posteriormente. La descripción de la relación
con los fenómenos en cuestión ha de mostrar de qué manera actúa sobre esos
fenómenos como medio de organización y de qué poder nos dota sobre ellos” (p. 63).
Freudenthal aclara que las dos formas de matematización son igualmente importantes en los
procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y ambas pueden tener lugar en todos los
niveles de la actividad matemática.
Según Santamaría (2006): “la EMR es un enfoque en el cual se utilizan situaciones del mundo real o
problemas contextuales como un punto inicial para aprender matemática”. Estas situaciones son
matematizadas, es decir, organizadas como se refiere Freudenthal (1983) en términos de “hacer
matemáticas”; donde se desencadena desde un problema contextual propuesto por el docente con
significado para el estudiante de tal forma que pueda acceder a él con el sentido común , los
preconceptos y la experimentación la cual se denomina como matematización horizontal, donde el
objeto mental organiza los fenómenos provistos en la situación y posteriormente pueden ser
organizados dentro de la misma disciplina científica lo que se llamaría matematización vertical; esto
permite la constitución de un objeto mental organizado u estructurado por el concepto matemático.
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Desde este enfoque, se manifiesta la necesidad de diseñar tareas por parte del docente (que en
términos de la teoría EMR se refiere a Didáctizar) en un contexto realista, entendiendo esto como
situaciones problemáticas imaginables y comprensibles para los estudiantes, para lo cual pueda
generarse una actividad de matematización; es decir, organizar o estructurar la realidad, incluida la
matemática misma, a partir de los fenómenos en torno a un objeto que permitan acceder a
conocimientos matemáticos formales.
3.1. PRINCIPIOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA
La EMR contempla 6 principios que se relacionan con la finalidad del diseño didáctico, pues se
asumen algunos de sus elementos metodológicos y técnicos para configurar la acción de diseñar las
situaciones problemas realísticas por parte del docente; estas son:

Principio de actividad.
Para Freudenthal la matemática es una actividad humana cuya finalidad es “organizar (matematizar)
el mundo que nos rodea incluyendo a la propia matemática”, es decir que la matematización es
referida tanto a la ciencia pura de la matemática, como a la aplicada, los fenómenos buscan ser
organizados y explicados en términos de un enfoque axiomático.

Principio de realidad.
Desde la visión de la EMR, se espera que el aprender matemáticas sea, hacer matemáticas, lo que
implica la ubicación de fenómenos realizables o imaginables. La realidad cuenta como sentido
común que crece y se afecta por el proceso de aprendizaje individual (Gravemeijer & Terwel, 2000).
Por su parte, Heuvel & Panhuizen (2001) explican que “la palabra “realista”, no se refiere sólo a la
conexión con el mundo real, sino que también se refiere a las situaciones problemáticas que son
reales en la mente de los alumnos”, extendiendo el campo de la fenomenología no sólo a lo tangible
sino a lo abstracto.

Principio de niveles.
La EMR, parte de situaciones reales que puedan generar en el estudiante algunas relaciones para
su solución, estas relaciones pueden ampliarse a los fenómenos asociados a la situación y generar
patrones de solución desligadas de la situación inicial, es decir, que los estudiantes empiezan a
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establecer relaciones de una situación particular y generalizar esa matematización a todos los
fenómenos que son organizados por el objeto. Estas relaciones entre lo particular y lo general, se
dan desde la manipulación de algunos instrumentos que utiliza el estudiante para generar su
matematización.
Freudenthal (1983) explica que “la matematización horizontal implica ir del mundo de la vida al
mundo de los símbolos, mientras que la matematización vertical significa moverse dentro del mundo
de los símbolos matemáticos”. Él agrega a su vez que “la diferencia entre estos dos “mundos” no es
siempre clara, sus fronteras están vagamente marcadas. Lo cual provoca una dificultad debido a que
no es fácil determinar lo que uno comprende por realidad”. Así, los estudiantes pasan por distintos
niveles de comprensión cuando se involucran en procesos de matematización de situaciones; donde
dichos niveles no constituyendo una jerarquía estrictamente ordenada:
1. Situacional: Donde la interpretación de la situación problemática y el uso de estrategias
están ligadas totalmente al contexto de la situación misma. Los estudiantes se apoyan,
en sus conocimientos informales, su sentido común y su experiencia, pueden identificar
y describir la matemática que yace en el contexto, visualizar, esquematizar, formular el
problema de diferentes formas, descubrir relaciones y regularidades, reconocer
analogías con otros problemas pero sin un análisis profundo y exhaustivo dentro de la
disciplina. A este proceso se lo denomina “matematización horizontal”.
Los restantes niveles corresponden a la “matematización vertical”.
2. Referencial: Aparecen las representaciones o modelos gráficos, materiales o
notacionales, y las descripciones, conceptos y procedimientos personales que
esquematizan el problema.
3. General: Se desarrolla a través de la exploración, reflexión y generalización de lo
aparecido en el nivel anterior, pero propiciando una focalización matemática sobre las
estrategias que supera la referencia al contexto. En este nivel, por la reflexión sobre los
conceptos, procedimientos, estrategias y modelos utilizados en el nivel anterior surgen
aspectos generalizables de los mismos y los alumnos puede concluir que son utilizables
en conjuntos de problemas, dando lugar a los modelos para la resolución de los mismos.
20
4. Formal: Se comprenden y se actúa con los conceptos, procedimientos y notaciones
convencionales, propias de la rama de la matemática con que se está trabajando.

Principio de reinvención guiada.
El estudiante al enfrentarse a una situación genera inicialmente estrategias de solución poco
formales que posteriormente puedan formalizarse, por esta razón las situaciones que se propongan
deberán tener como particularidad la posibilidad de distintos abordajes, a su vez, el hecho de poder
trabajar situaciones similares, en cuanto a organización puede generar un lenguaje más formal y
simplificado. En este sentido, se trata de promover un proceso de aprendizaje que permite
reconstruir o reinventar el conocimiento matemático formal por parte del estudiante. Uno de los
principios de la reinvención guiada es construir una ruta de aprendizaje en la cual el estudiante
llegue a una solución personal y la tome como propia. (Gravemeijer & Terwel, 2000)

Principio de interacción.
Debido a los diferentes abordajes y construcciones que generen los estudiantes, se espera que ellos
puedan interactuar con los demás pares, el docente y personas ajenas al aula de clase, realizando
procesos de negociación de significados, frente al proceso realizado, los abordajes frente al
fenómeno, discutir acerca de los mismos y establecer estrategias de común acuerdo para lograr un
nivel de matematización vertical, según Santamaría (2004): “la negociación explícita, la intervención,
la discusión, la cooperación, y la evaluación son elementos esenciales en un proceso de aprendizaje
constructivo en el cual los métodos informales del estudiante son usados como una “palanca” para
alcanzar los formales”

Principio de interrelación o interconexión.
Contempla que los ejes temáticos en Matemáticas no deben ser trabajados por separado. Una
situación problema enmarcada en el enfoque de EMR debe contener de manera explícita estos seis
principios y su objetivo principal deberá ser el de motivar procesos de matematización por parte de
los estudiantes; es decir, organizar los fenómenos que giran en torno al objeto mental para el cual
han sido creados.
21
5. TEORÍA GENERAL DE LA ARGUMENTACIÓN DE STEPHEN TOULMIN
En este apartado expondré las ideas generales de Stephen Toulmin (1958) sobre la teoría de la
argumentación, en la cual se evidencia la manera en que se llevó a cabo la organización de los
datos.
Para Toulmin una de las prácticas generales que nos caracteriza es la de razonar, frente a lo que
hacemos, pensamos o decimos a los otros; esto es, el uso de la argumentación. En este caso, las
situaciones o problemas con respecto a las cuales se argumenta pueden ser distintas y por tanto las
formas de razonar también lo serán. Es en este sentido que Toulmin propone estudiar la estructura
misma de la argumentación; es decir, los elementos de los que se componen los argumentos, las
funciones que cumplen estos elementos y la relación que se establece entre ellos.
Toulmin usa el término argumentación y razonamiento en sentidos diferentes pero no
contradictorios; usa argumentación para referirse a “la actividad total de plantear pretensiones,
ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas produciendo razones, criticando esas razones, refutando
las críticas, etc.” (Toulmin, Rieke Janik, 1984, p. 14). El término razonamiento lo usa en un sentido
más restringido como “la actividad central de dar razones a favor de una pretensión, así como para
mostrar la manera en que esas razones tienen éxito a la hora de darle fuerza a las pretensiones”
(ibídem p.15). De la misma manera, Toulmin diferencia claramente entre la argumentación en un
sentido amplio del argumento como algo más específico, lo distingue en dos sentidos; el primero
establece que el argumento es “un tramo de razonamiento en la que se presenta una secuencia de
pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen el contenido y la fuerza de las
proposiciones a favor de una pretensión”. En el segundo, establece que el argumento se presenta
como disputas en escenarios de confrontación; esto es, “las interacciones humanas a través de las
cuales se formula, debate y/o se da vuelta a los tramos de razonamiento”. Sin embargo, en ambos
sentidos, el argumento busca manifestar la racionalidad del hablante.
22
4.1. HACIA UN MODELO/ESQUEMA PARA EL ANÁLISIS DE LOS ARGUMENTOS
Desde la propuesta de Toulmin (1958), el argumento como secuencia de proposiciones lógicas que
requieren el uso de razonamiento, se puede organizar en un modelo o esquema que contempla por
lo menos cinco elementos; las pretensiones, las razones, las garantías, las refutaciones y el
respaldo.
Las pretensiones (Claim), son el punto de partida así como el destino de la secuencia argumentativa,
que busca el proceder en la argumentación. Aquí alguien (Proponente) plantea un problema frente a
otro u otros (oponente) quien(es) cuestionarán de alguna forma la pretensión, con lo que el
proponente deberá dar razones (grounds) en favor a su pretensión inicial, que deben ser relevantes
y suficientes para apoyarla (Ver esquema N°1). En este caso las razones no serán leyes generales o
se apoyarán de teorías acabadas, sino que se sustentarán de hechos específicos de la situación
misma. Aquí surge entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de las
razones a la pretensión aun si ya la ha aceptado de antemano; en este caso, surgen los enunciados
generales que autorizan este paso a los cuales llamamos garantías (warrant) del argumento. Estas
garantías, representan a enunciados generales que permiten el paso de los datos a las conclusiones
puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma, ley o principio. En todo caso la
garantía no se basa en hechos sino en reglas que autorizan el paso de un enunciado a otro
(Toulmin, 1958, p.100). Cuando se han presentado las garantizas que apoyan el argumento,
aquellas podrían no ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes
y superiores a cualquier otra. Para ello deberá indicar el campo general de información o respaldo
(backing) que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en forma de enunciado
categórico sobre hechos (Toulmin, 1958, p.106), mientras que los enunciados de la garantía son
hipotéticos. Aquí el respaldo se refiere a teorías generales, creencias, y estrategias que proporciona
más apoyo a la garantía e indica que la pretensión debería ser aceptada.
Aunque tanto el respaldo como las razones se apoyen en hechos, se distinguen entre sí porque
siempre será necesaria alguna razón para poder hablar de un argumento, el respaldo solo aparece
si se pone en cuestión la garantía.
23
Esquema N°1: Elementos del argumento (Toulmin, 1958)
Es importante considerar que un argumento puede formar parte de una cadena de argumentos,
donde la pretensión de un argumento puede funcionar también como la razón de una nueva
pretensión. En este caso, las razones pueden convertirse en pretensiones que necesitan de nuevos
argumentos, donde de la misma manera, la garantía puede verse también como la pretensión de un
nuevo argumento.
De esta manera, es posible analizar una estructura argumentativa y calificar de válido o no un
argumento (Ver Esquema N°2). Sin embargo, en ocasiones la fuerza de los argumentos puede verse
socavada por el oponente cuando ante las garantías propuestas por el proponente, éste deduce una
refutación (Rebuttals) que tumba de alguna manera la fuerza del argumento y hace que el
proponente tenga que cambiar sus garantías apoyadas de razones que indudablemente hará variar
también su esquema argumentativo o definitivamente desistir de su pretensión inicial.
Esquema N°2. Elementos que constituyen al argumento desde el esquema de Toulmin (1958)
24
En este nuevo esquema de la estructura de un argumento, los elementos funcionan de manera
dependiente, donde se concibe que el mundo de la argumentación y del razonamiento, son
características propias de una comunidad racional donde no cabe hablar de la incomunicación, pues
siempre habrá cabida para el argumento y la justificación cuando de actos de interacción se trata.
25
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
5. TIPO DE INVESTIGACIÓN
5.1. DESCRIPCIÓN DE LA POBLACIÓN
Es fundamental aclarar que el Colegio San Juan de los Pastos, donde se llevó a cabo la
investigación, se encuentra ubicado en la zona suroriental de Bogotá D.C, localidad de Usme,
cuenta con 350 estudiantes aproximadamente; es de carácter mixto y naturaleza privada, que
imparte una educación integral fundamentada en los principios laicos: libertad, justicia, equidad y
dignidad. (Colegio San Juan de los Pastos, 2014). La población a investigar es el grupo de grado
décimo que lo integran 28 estudiantes, de los cuales aproximadamente 15 viven en las zonas rurales
fronterizas con la localidad y las actividades de sustento familiar son básicamente la agricultura,
comercio y ganadería. Sus edades oscilan entre los 15 y 18 años.
5.2. INVESTIGACIÓN EN DISEÑO COMO PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN
La EMR tiene como objetivo fundamental plantear una reforma y reestructuración curricular que
permita un cambio en las formas algorítmicas e instruccionalistas de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas (Bressan, Zolkower, & Gallego, 2004), y para tal fin, propone que el aprendizaje de las
matemáticas debe darse en contextos de la vida real. Por tanto, todo ello exige la participación de
diferentes tipos de agentes que aportan variados grados y tipos de experiencia. Uno de estos
agentes es la persona que actúa como docente, la cual ha de estar completamente implicada en el
estudio (Barab y Squire, 2004). Es así como el rol del docente-investigador es el de diseñar tareas
en un contexto realista, entendiendo esto último como situaciones problemáticas imaginables y
comprensibles para los estudiantes. Estas tareas de diseño deben tener como propósito introducir a
26
los estudiantes en la actividad de matematización; es decir, organizar o estructurar la realidad a
partir de los fenómenos en torno a un objeto mental que les permita acceder a conocimientos
matemáticos formales. Por lo anterior, la presente investigación se enmarca en una metodología de
carácter cualitativo llamada investigación en diseño.
Dado que la presente investigación pretende caracterizar y analizar el desarrollo de la
argumentación presente en una actividad específica de matematización de situaciones mediante el
diseño de un problema realista y el estudio sistemático de formas particulares de interacción
alrededor de ella, la investigación en diseño se convierte en una potente alternativa para interpretar
la complejidad del contexto de enseñanza y aprendizaje en el aula. Pues desde este paradigma de
investigación se postula que a partir de la creación de diseños efectivos para algún aprendizaje, se
logra explicar que el diseño instruccional propuesto funciona para los fines curriculares previstos y
que a partir de ellos se sugieran formas con las cuales puede ser adaptado a nuevas circunstancias
o contextos más generales.
Para la investigación en diseño, como para la actual investigación, el objetivo metodológico será
mostrar que el diseño e implementación de la situación problema realista, más allá de ser efectivo
para lograr promover actividad argumentativa a partir de la matematización de situaciones, busca
explicar por qué el diseño instruccional propuesto funciona para la población en la que se llevará a
cabo la investigación y contemplar la posibilidad de que sus resultados sean generalizados y/o
adaptados a contextos más generales. En este sentido, se busca que el diseño instruccional
propuesto se convierta en un estudio específico que permita explicar y contribuir en hechos
educativos más general, traduciendo y extendiendo sus resultados investigativos para el desarrollo o
progreso de teorías del aprendizaje y enseñanza en situaciones complejas. Además de conducir a
conocimientos empíricamente fundamentados desde el diseño, que son útiles en la toma de
decisiones instructivas dirigidas a promover y mejorar el aprendizaje de los estudiantes. Así mismo,
aporta información sobre el diseño instruccional, que sirve de guía para realizar otros diseños (Cobb
et al., 2003; DBRC, 2003; Kelly, Baek, Lesh y Bannan-Ritland, 2008). En palabras de Cobb (2003):
27
La investigación en diseño, persigue el desarrollo de modelos teóricos empíricamente
fundamentados, relativos a un dominio de aprendizaje específico. No obstante, al estar
basados en hechos empíricos son esenciales para la mejora de la educación,
entendida como un proceso generativo a largo plazo (Cobb et al., 2003, p.4).
Desde esta perspectiva, la naturaleza de la investigación se fundamenta en el Experimento de
Enseñanza, que es el tipo de estudio más usado dentro del paradigma de investigación en diseño
(Cobb y Gravemeijer, 2008,) y que en el marco de la actual investigación se presenta como una
alternativa para establecer la diferenciación entre estudiantes, docentes e investigadores; donde el
docente debe experimentar de primera mano el aprendizaje y razonamiento de los estudiantes (Kelly
y Lesh, 2000; Steffe y Thompson, 2000) convirtiéndose así en investigador, donde se espera que los
estudiantes construyan conocimiento relacionado con las formas de matematizar situaciones para
desarrollar su competencia argumentativa, y a la par el docente como investigador proponga
alternativas de diseño para las situaciones que propone en el aula, con los fines necesarios para
para promover dicha competencia.
5.3. EL EXPERIMENTO DE ENSEÑANZA COMO METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
Una característica fundamental del experimento de enseñanza es generar y someter a prueba
hipótesis sobre el aprendizaje de los estudiantes y la repercusión o no de un diseño instruccional
elaborado para desarrollar un conocimiento. Las hipótesis de enseñanza-aprendizaje se someten a
prueba antes, durante y después de la implementación del experimento, por lo que en ocasiones es
necesario abandonar o reformular hipótesis a la luz de los datos obtenidos. En este caso, la
matematización de situaciones como proceso necesario que debe darse en el aula de clases, busca
que a partir de la implementación del diseño instruccional basado en la situación problema realista y
las tareas que surgen de ésta, sirvan para elaborar un modelo del aprendizaje de los estudiantes, en
relación con sus maneras de argumentar en matemáticas, entendiendo los aprendizajes como
resultado de la manera de operar dentro de la misma situación y las estrategias puestas en juego
por el investigador-docente en el diseño y rediseño instruccional.
28
5.4. FASES DEL EXPERIMENTO DE ENSEÑANZA
Para el presente trabajo, el experimento de enseñanza presenta las tres fases propuestas por Cobb
y Gravemeijer (2008):
Fase 1: Diseño y planificación de la instrucción:
En esta fase se hace fundamental definir el problema y los objetivos de investigación en el marco del
aprendizaje que se desea constituir en el aula, teniendo en cuenta aquellos conocimientos iniciales
de los estudiantes, para que a partir de ellos se identifiquen las metodologías de enseñanza
adecuadas para los contenidos del diseño, que a su vez deben estar debidamente justificadas desde
una intención teórica del grupo de investigación; perspectiva teórica con la que se hará el análisis de
los datos recogidos en relación con la trayectoria de hipotética de aprendizaje, que describa el
resultado esperado del proceso de aprendizaje y el modo en que se va a promover y alcanzar dicho
aprendizaje.
Fase 2: Experimentación en el aula
Durante esta fase; se realiza la intervención en el aula y ejecución del diseño instruccional, donde se
logra poner a prueba la trayectoria hipotética de aprendizaje planteada durante la primera fase,
mediante la recolección de datos. En el transcurso de esta etapa, se espera que el diseño
instruccional sufra modificaciones en relación de la información empírica obtenida y el marco teórico
adoptado, y si es el caso, reformular las hipótesis de investigación. En la implementación de cada
una de las tareas, es necesario modificar sobre la marcha, de manera justificada, el diseño de la
intervención de acuerdo con los objetivos de la intervención.
Cabe aclarar que en la investigación en diseño y en lo que al experimento de enseñanza respecta,
se hacen necesarios ciclos continuos de puesta en práctica, análisis y rediseño (Collins et al., 2004).
Durante este proceso el docente-investigador, en interacción con el grupo investigador, plantea
ambientes de aprendizaje para implementar el diseño instruccional, evalúan conjeturas de
aprendizaje a priori sobre el fenómeno de aprendizaje en estudio y las someten a prueba mediante
la ejecución del diseño. En la presente investigación, se cuenta con la colaboración del grupo de
29
investigación: Matemáticas Escolares de la Universidad Distrital (MESCUD)1 quienes al reunirse
semanalmente, analizan en colaboración los resultados del proceso de diseño e implementación de
la propuesta, para refinar los métodos, medios y generalidades de la misma; así, el diseño se
convierte en un tema de común acuerdo entre el investigador y el grupo de investigación en el que
se encuentra adscrito éste, donde los refinamientos, modificaciones y perfeccionamientos del diseño
de instrucción, buscan la fiabilidad, la utilidad y la posibilidad de que los resultados del estudio sean
aplicables a un mayor número de contextos, aumentando su capacidad de generalización.
Fase 3: Análisis retrospectivo
Es el momento en el que se reflexiona sobre la fase de experimentación y en particular sobre la
eficiencia y pertinencia del diseño instruccional para los objetivos de la investigación; con el fin de
convertirse en un marco explicativo-histórico de lo sucedido en el contexto local de la investigación y
la posibilidad para ser adaptado a situaciones similares en contextos más generales. El análisis
retrospectivo en coherencia con el proceso debe explicar los efectos del diseño y anticipar
resultados en otros, además debe responder al soporte que brindan los medios de apoyo en el
diseño y como podría ser mejorado. En el caso de la presente investigación, el análisis retrospectivo
se realiza a partir de las categorías de análisis construidas para los fines del estudio; donde el
análisis se enfoca desde dos perspectivas estrechamente relacionadas: el del proceso de
aprendizaje de la argumentación matemática y el de los elementos del diseño instruccional sobre la
matematización de situaciones que sustentan dicho aprendizaje.
5.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
La organización de la información, permitió la transición de la fase de experimentación a la de
análisis retrospectivo en el experimento de enseñanza; por lo cual de la selección de información
indicada, se logrará un proceso en el que se espera una adecuada utilización de los datos obtenidos,
por lo que fueron desarrollados algunos instrumentos que permitirán mediante las categorías de
análisis, organizar la información recolectada y de la que posteriormente se seleccionará aquella que
brinda las evidencias pertinentes para el proceso de análisis retrospectivo.
1.
Grupo de investigación adscrito a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas desde 1995, reconocido en
Categoría B por Colciencias.
30
A continuación se presentan las técnicas de recolección de la información y los respectivos
instrumentos que se utilizaron para recolectarla y sistematizarla:
-
La encuesta
Esta técnica fue útil para obtener información sistemática y focalizada a los sujetos estudiados, de
tal manera que a partir de preguntas alrededor de la situación problema en el diseño instruccional,
los estudiantes puedan intervenir con sus argumentos personales, que después serán generalizados
para el grupo a manera de debate. Esto dado a que el análisis se realiza teniendo en cuenta la
segunda concepción de argumento de Toulmin; es decir, el de las disputas argumentativas, siendo
estas las “interacciones humanas a través de las cuales se formulan, debaten y/o se da vuelta a los
esquemas de razonamiento a la hora de apoyar una pretensión” (Toulmin-Rieke-Janik,1984, p. 15);
por lo que el análisis se realiza sobre los argumentos grupales y no personales; teniendo en cuenta
que dichos argumentos antes de ser institucionales tuvieron que ser personales, discutidos,
modificados y aceptados por el grupo antes de proponerlo a sus compañeros. Es sobre este
argumento grupal que se hará el respectivo análisis, de ahí que se referencien los esquemas
argumentativos como producto grupal. El instrumento de recolección de la información para esta
técnica será el uso del cuestionario (ver imagen N°1).
Imagen N°1. Ejemplo de cuestionario de la encuesta en la tarea N°1 (se entrará a analizar más
adelante)
31
-
Observación
Es una técnica fundamental para esta investigación, pues permite la obtención de información de la
realidad, mediante la percepción intencionada y selectiva de los esquemas argumentativos que
emergen en los estudiantes cuando se involucran en procesos de matematización de situaciones.
Esta observación será estructurada y participante ya que de antemano existen unas categorías de
análisis predeterminadas (Matematización vertical y horizontal) y el investigador interviene de
manera activa en este proceso. Para recolectar información se usarán los registros audiovisuales
como instrumento, pues permiten captar hechos en el acto (ver imagen N°2).
Imagen N°2. Fotografías de los registros audiovisuales de la clase
-
Registros
La situación problema presentada a los estudiantes, permitirá que pongan en juego su creatividad
para diseñar y crear; por lo que se hace indispensable obtener datos a través de los archivos,
cálculos o registros elaborados por el estudiante (diseños de planos, cuadernos, diarios de campo,
etc.)(Ver imagen N°3).
Imagen N°3. Elaboraciones del trabajo de los estudiantes cuando abordan la situación problema
32
5.6. CONSTRUCCIÓN DE CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
Para los fines de análisis durante la fase 3 del experimento de enseñanza, se propone la
caracterización de la actividad argumentativa de los estudiantes a partir de los esquemas
argumentativos propuestos en el modelo de Toulmin; que se construyen desde aquellas
intervenciones donde se evidencia un proceso de matematización de la situación presentada durante
la implementación del diseño instruccional. (Ver marco teórico “Esquema argumentativo de Toulmin”)
En este caso, las categorías de análisis recaen directamente en dichos esquemas argumentativos,
las cuales son los procesos que describen la actividad de matematización horizontal y vertical
propuestos por Treffers (1978) y ampliados por el proyecto de la OCDE/PISA (2006), donde la
matematización es vista como el proceso fundamental que los estudiantes emplean para resolver
problemas de la vida real; el cual describe en cinco pasos:
Esquema N°3: Descripción del proceso de matematización
El esquema N° 3 puede leerse de la siguiente manera:
1. Se inicia con un problema enmarcado en la realidad.
2. Se organiza de acuerdo a conceptos matemáticos que identifican las matemáticas
aplicables.
3. Gradualmente se va reduciendo la realidad mediante procedimientos como la
formulación de hipótesis, la generalización y la formalización. Ello potencia los
rasgos matemáticos de la situación y transforma el problema real en un problema
matemático que la representa fielmente.
4. Se resuelve el problema matemático.
33
5. Se da sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez
que se identifican las limitaciones de la solución (OCDE, 2006, p. 99).
Así, las categorías a utilizar para caracterizar los esquemas argumentativos de los estudiantes a la
hora de matematizar situaciones realistas se puede apreciar en la tabla N°1.
Nivel Referencial, General y Formal
Nivel situacional
CATEGORÍA
Traducción del
problema al
lenguaje de las
matemáticas
Matematización
Horizontal
Desarrollo del
modelo
matemático
para el
problema
Matematización
Vertical.
ACCIONES DESCRIPTORAS
Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema situado en la
realidad.
Esquematizar, formular y visualizar un problema de varias maneras. Representar
el problema de acuerdo con los conceptos matemáticos pertinentes y plantear
supuestos.
Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el
lenguaje formal y simbólico que se necesita para comprenderlo en términos
matemáticos.
Encontrar regularidades, relaciones y patrones.
Reconocer los aspectos que son isomorfos respecto de otros problemas
conocidos.
Traducir el problema a términos matemáticos, es decir, a un modelo matemático
Utilizar diferentes tipos de representación e ir alternando entre ellos
Representar una relación mediante una fórmula.
Utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico.
Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación
e integración de modelos
Generalizar
Comprender el alcance y los límites de los conceptos matemáticos
Reflexión sobre Reflexionar sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y
el proceso y
justificación de los resultados obtenidos.
validación de Comunicar el proceso y la solución.
resultados
Criticar el modelo y sus límites
Tabla N°1: Categorías para el análisis de procesos de matematización en la resolución de problema
34
CAPÍTULO IV
DISEÑO INSTRUCCIONAL
6. CONSTRUCCIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL DISEÑO
El contexto de la población estudiada es fundamental ya que la idea central de la EMR, es que la
matemática debe ser conectada con la realidad, donde los contextos y situaciones problemáticas
realistas son generadores de la actividad matematizadora de los alumnos.
La cuestión de esta propuesta en el aula, empieza con la aplicación de una situación problema
realista en el contexto de la agricultura; entendiendo el contexto en EMR como “un fragmento de la
realidad el cual, dentro de un proceso de enseñanza-aprendizaje, se presenta a los alumnos para su
matematización” (Freudenthal 1993). Desde esta perspectiva, el principio de reinvención guiada del
mismo enfoque teórico, requiere de la fenomenología didáctica para la búsqueda de contextos y
situaciones problemáticas que den lugar de modo más o menos natural a la matematización
(Freudenthal, 1983). Para la presente investigación, dicha situación llamada “el terreno más óptimo”
enuncia de la siguiente manera:
“Un agricultor ha comprado un terreno en forma cuadrada de 50 m x 50 m, y quiere
usar una parte de éste para su pequeño cultivo de tomate de árbol. Para cercarlo
dispone de 100 metros de alambre y suficientes postes; sin embargo, desea que su
producción sea la mayor posible, la mejor y la más saludable. Ustedes han sido
contratados para diseñar el modelo de terreno más óptimo para los fines del agricultor".
La situación problema realista ha sido diseñada atendiendo a los principios que constituyen a la
EMR (Ver tabla N°2), donde las tareas se dotan de algunas características que se consideran
relevantes durante la práctica del diseño por parte del docente-investigador, que desde la postura de
35
Freudenthal (1983) es la actividad de didáctizar. En este caso, el docente debe buscar aquellos
fenómenos del entorno de los estudiantes que puedan ser susceptibles de ser matematizados por
algunos conceptos o estructuras matemáticas. Dicha actividad organizadora, al igual que la actividad
de matematizar, se presenta de manera horizontal como vertical. Horizontalmente, los docentes
trabajan en torno a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que emergen en los contextos de sus
estudiantes y de otros; verticalmente, reflexionan y generalizan dentro de las mismas matemáticas a
partir de estas situaciones, para proporcionar de herramientas didácticas a sus estudiantes que le
faciliten la actividad de matematización. En palabras de Freudenthal (1983):
“La didáctica de una disciplina significa la organización de los procesos de enseñanzaaprendizaje relevantes a esa área… Nuestra visión de la didáctica reflejará lo dicho
sobre la matemática… la matemática surgiendo de la matematización es espejada por
la didáctica surgiendo de la didactización. Nótese que el paralelismo intentado aún se
extiende a distinguir la didactización horizontal y vertical: Desde la realidad didáctica
para tornarse consciencia de ella por un lado y para paradigmatizar por el otro.”
(Freudenthal, 1983, p. 45)
Desde esta postura, se busca que la práctica de didáctizar en los docentes de matemáticas se
constituya en un aporte innovador para el diseño de tareas, que al ser presentadas a los
estudiantes, procuren en ellos actividades de matematización, donde se transforme la concepción
tradicionalista de currículo, sirviéndose para “fomentar un cambio en la marcha de la enseñanza
actual de la clase” (Gravemeijer y Tewuel, 2000).
De la misma manera, la situación problema realista se ha diseñado bajo el contexto de la agricultura,
porque parecen ser los más adecuados para trabajar con fenómenos relativos a formas, figuras y
superficies. Al respecto Rico L. (1992) dice:
“Fenómenos relativos a figuras y superficies son muy numerosos, entre ellos podemos
considerar los siguientes: Laminas, piezas de tela, terrenos y locales,…, superficies
que limitan un recinto y modo de cubrirlas (empapelado, enmoquetado, enlosado,
acristalado, etc.); superficies agrícolas,… ” (Rico L.1992, pág. 70)
36
¿Cómo se trabaja desde la situación?
Principio
De actividad
La situación problema propuesta “El terreno más óptimo” logra generar en los
(matematización)
estudiantes actividad por descubrir y experimentar con los materiales proporcionados; la
situación misma involucra principalmente actividades de construcción, generalización y
formalización. Donde formalizar implica modelizar, simbolizar, esquematizar y definir, y
generalizar conlleva a la reflexión.
De realidad
La situación “El terreno más óptimo” además de ser un contexto cercano a los
estudiantes, también es comprensible e imaginable, en el sentido de lo real para
Freudenthal; sin embargo, las tareas que subyacen de la situación, están diseñadas
para que progresivamente se desprenda del contexto, para adquirir un carácter formal,
donde la situación es vista desde el punto de vista matemático y resuelto con el uso de
herramientas dentro de la misma disciplina.
De reinvención
La situación problema “el terreno más óptimo” y sus tareas, ofrecen una variedad de
guiada
estrategias de solución; pues desde un principio les permite a los estudiantes elaborar
sus propias producciones y diseños, donde muestren sus estrategias e invenciones a
otros; discuten del grado de eficacia de las mismas desde la realidad y la matemática,
siempre dirigidas y guiadas por el docente.
De interconexión
La situación problemática y sus tareas, incluyen contenidos matemáticos
interrelacionados; así se trabaja aritmética, modelos de generalización, geometría con
el trabajo de formas, áreas y perímetros, análisis de datos en el diseño de tablas y
gráficas para la interpretación de la información en la situación.
De interacción
La negociación explícita, la intervención, la discusión, la cooperación y la evaluación,
son elementos esenciales de la que se dota la situación problema en un proceso de
aprendizaje constructivo; en el que los métodos inicialmente informales de los
estudiantes son usados como una plataforma para alcanzar los formales. En esta
situación problema, los estudiantes son estimulados a explicar, justificar, convenir y
discrepar, cuestionar alternativas y reflexionar, cosas determinantes en los procesos de
argumentación en torno a la situación problema.
37
De niveles
La situación problema presentada a los estudiantes se convierte en la posibilidad de
trasferir sus intuiciones y su sentido común al mundo de las matemáticas, donde se
busca que el estudiante traduzca el problema real a un problema matemático, y logren
así establecer estrategias de reflexión, generalización, prueba, simbolización y
esquematización con el objeto de lograr mayores niveles de formalización matemática.
Así, la situación problema y sus tareas, busca que los estudiantes transiten por los
cuatro niveles de comprensión de la que se basa la EMR (situacional, referencial,
general y formal), y que en el momento del análisis retrospectivo del diseño
instruccional se entrará a debatir con mayor detenimiento.
Tabla Nº2: Principios constitutivos de la EMR aplicadas a la situación problema realista “El terreno
más óptimo”
38
ESTUDIANTES DE
EDUCACIÓN MEDIA CUANDO TRABAJAN EN PROCESOS DE MATEMATIZACIÓN DE SITUACIONES
2. Nivel II: Referencial
1. Nivel I: Situacional
6.1. MATRIZ DE TAREAS
Tarea
Descripción
Objetivo de la tarea
Junto a tres de sus
compañeros, discuta y
responda el cuestionario
atendiendo
a
las
sugerencias que usted le
haría al agricultor.
PREGUNTAS DEL CUESTIONARIO:
¿Qué entiende por un terreno óptimo?
¿Qué aspectos considera indispensables para pensar en un
terreno óptimo?
- ¿Qué sugerencias le haría usted al agricultor para cercar el
terreno y que aproveche de manera óptima el alambre
disponible?
- ¿Cuál sería la forma que le sugeriría al agricultor para encerrar
su cultivo con el alambre?, ¿Por qué?
- ¿Cuántos postes le sugeriría usar al agricultor?
- ¿Es necesario el uso de todo el alambre para obtener un
terreno cultivable óptimo?
Los estudiantes en sus respectivos grupos deberán realizar el diseño de
un terreno cercado usando la lana (alambre)
y los chinches (postes) dentro del terreno
total (icopor). Cada grupo creará un diseño
concertado y que en su opinión es el terreno
más óptimo para cultivar, atendiendo a las
siguientes indicaciones:
Reconocer las formas iniciales
de argumentación de los
estudiantes,
que
son
promovidas por la situación
problema.
Diseñe la representación
de un terreno de 50 cm x
50 cm (1cm::1cm) con una
lámina de icopor. Tome
100 cm de lana que
representarán el alambre
para cercar los terrenos
cultivables y chinches para
los postes. Use el material
para
hacer
una
representación de sus
sugerencias al agricultor y
diseñe el terreno cercado
que a su consideración es
el más óptimo para
producción de tomates de
árbol.
-
Construir formas o dibujos de
terrenos
con
ciertas
restricciones como posibles
opciones de solución a la
situación propuesta.
Constituir en los estudiantes el
objeto
mental
figura
geométrica a partir de los
atributos
y
propiedades
geométrico-espaciales de sus
diseños.
Trayectoria hipotética de
aprendizaje
Definición de la “forma” como
objeto mental que organiza un
conjunto de fenómenos que
globalmente se pueden calificar
como el mundo de los contornos
(Puig, L. 1997, pág. 62 Cap. III)
Los fenómenos organizados
inicialmente son formas y
configuraciones
que
se
encuentran en un contexto visual
(contornos y líneas de visión). Se
espera que durante esta tarea le
sean
atribuidas
ciertas
Expresar alternativas de características y propiedades
1. El terreno debe ser totalmente solución relacionadas con las espaciales que la conviertan en un
figuras diseñadas o lo que se objeto mental geométrico (figura
cerrado
2. El cultivo debe estar dentro del puede ver en ellas.
geométrica).
terreno mayor.
3. Debe usarse el total del alambre (lana) proporcionado.
4. La forma del terreno y la cantidad de postes (chinches) será
elección de cada grupo.
5. Debe diseñar su modelo atendiendo a la pregunta ¿Qué forma y
cuáles características debe tener el terreno para que la
producción de tomates sea óptima?
3. Nivel III: General
39
ESTUDIANTES DE
Realizar una exposición a
manera de debate en el
que se dé a conocer el
diseño por cada grupo,
justificando el porqué de
su creación y atendiendo a
la pregunta:
¿Por qué su diseño es el
más
óptimo
para
garantizar que el agricultor
obtendrá la mayor y mejor
producción de tomate de
árbol?
Reconocer la relación y
diferenciación entre forma
como dibujo y figura como
objeto geométrico.
Cada grupo expondrá su diseño generando un debate en el que se
discutirá sobre la pertinencia y eficacia del terreno de cada uno desde la
pregunta: ¿En realidad éste diseño es el que debería usar el agricultor?
Y posibles estrategias que lleven a reafirmar el diseño de cada grupo es
el más óptimo para ser elegido por el agricultor.
Promover
actividad
argumentativa en torno a la
figura
rescatando
sus
propiedades geométricas y
matemáticas.
Evidenciar que las figuras
geométricas pueden alterarse
o permanecer invariantes (en
relación a sus atributos
geométricos) en tanto se le
proporcionan
ciertas
transformaciones.
A partir de lo que se puede hacer
con las figuras o lo que se vea en
ellas,
como
propiedades
espaciales y matemáticas, son las
que se tendrán que someter a
análisis para poder aceptarse
como “objetos geométricos”. Debe
reconocerse a la figura geométrica
como objeto mental, que organiza
fenómenos de medición como
longitudes y áreas. Hace falta por
tanto que se adquieran esos
conceptos como parte de la
organización de fenómenos como
la medida y la medición.
4. Nivel IV: Formal
40
ESTUDIANTES DE
Usando
modelos
matemáticos y asignando
las medidas exactas de su
diseño, deberá convencer
a sus compañeros de que
su diseño es la mejor
opción del agricultor.
Reconocer que al alterar las
figuras
geométricas
construidas en las condiciones
que se presentaron, también
se pueden alterar ciertos
atributos de la figura, como
los lados, los ángulos o las
superficies, en tanto que otras
permanecen invariantes como
los perímetros.
La relación que se establece
entre figura, dibujo y objeto
geométrico está presente en la
constitución de los objetos
mentales correspondientes y en la
ulterior adquisición de los
conceptos. Un buen objeto mental
que se constituya, tendrá que
llevar incorporado el análisis
profundo de la figura en sus
elementos,
propiedades
Reconocer los variantes e geométricas y las relaciones entre
invariantes geométricas que ellas.
sufre una figura al modificar
sus atributos como el tamaño
o la forma.
41
6.2. TRAYECTORIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAJE
La fenomenología didáctica, tal cual la expone Freudenthal (1985), se propone describir cómo las
matemáticas organizan ciertos fenómenos de la realidad; mostrando la forma en que las cosas
pensadas (noumena) describen los fenómenos de la realidad (phenmena), los analizan y los hacen
accesibles al pensamiento humano para su mejor comprensión.
Desde esta postura, la secuencia de tareas que se presenta en el diseño instruccional del actual
experimento de enseñanza, parte de la construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje;
que toma como base a la fenomenología didáctica tal cual la propone Freudenthal. Así, la situación
problema realista “el terreno más óptimo” ”contiene implícitos ciertos fenómenos reales relativos a
las magnitudes y los contornos, como lo son la longitud y la superficie respectivamente; fenómenos
que a su vez son organizados por el objeto mental “forma y figura geométrica”; tal como lo dice
Freudenthal (1983):
Por medio de las figuras geométricas como triángulo, paralelogramo, rombo o
cuadrado, uno tiene éxito organizando el mundo de los fenómenos de los contornos.
(Freudenthal, 1983).
TAREA N° 1: NIVEL SITUACIONAL
Objetivos:
 Reconocer las formas iniciales de argumentación de los estudiantes, que son promovidas
por la situación problema.
 Construir formas o dibujos de terrenos con ciertas restricciones (perímetro de 100 cm y
cualquier cantidad de vértices) como posibles opciones de solución a la situación problemas.
La secuencia instruccional comienza por la tarea N°1, en que se involucra al estudiantes con “la
forma” como un objeto mental básico e inicial y muy ligado a su realidad; que es reconocido en los
objetos que lo rodean y el cual se convierte en un objeto mental más complejo llamado “objeto
geométrico” cuando hacemos abstracción de casi todas sus propiedades sin limitar su
caracterización simplemente al tamaño o la figura (Puig, L 1997). Aquí, los estudiantes construirán
diversos dibujos que a su parecer cumplan con los requisitos del diseño del terreno a cultivar; con el
42
fin de que logren extraer de ellas ciertas propiedades y características visuales y espaciales que
posteriormente ayuden a convertirlas en figuras geométricas.
Durante esta tarea se aplicará una encuesta a los estudiantes (Ver tabla N°3), para identificar las
primeras opciones de solución que proponen; con el fin de entrarlas a debatir durante la segunda
tarea, donde el docente generará espacios de socialización sobre las respuestas de los estudiantes
con el fin de identificar el grado de constitución que tienen del objeto mental “forma”; por ello, la
discusión de las estrategias, dificultades y resultados obtenidos de dicha socialización, permitirán
redirigir el proceso de los estudiantes, con la intención de poner en práctica estrategias de
construcción de figuras, reconociendo en ellas propiedades geométricas superiores a la mera
observación de las mismas. De la misma manera, la encuesta será útil para ahondar en los niveles
de constitución que tienen los estudiantes alrededor del objeto mental forma y figura geométrica, así
como de los fenómenos que son organizados por estos objetos mentales. Para esto se realizan
preguntas orientadoras dentro de la encuesta, que buscan que el estudiante ponga en evidencia la
concepción que tiene sobre la forma y la figura geométrica:
PREGUNTAS ORIENTADORAS
INTENCIÓN DEL DOCENTE
¿Qué entiende por un terreno óptimo?
¿Qué
aspectos
considera
indispensables para pensar en un
terreno óptimo?
¿Qué sugerencias le haría usted al
agricultor para cercar el terreno y que
aproveche de manera óptima el
alambre disponible?
Reconocer las características que le atribuyen los
estudiantes a la situación problema y sus primeras
opciones de solución.
Evidenciar nociones básicas dentro de la geometría
que puedan ser aprovechadas o consolidadas en
tareas posteriores; como figura, magnitud, superficies,
polígonos, etc.
¿Cuál sería la forma que le sugeriría al Identificar el nivel de constitución que tienen los
agricultor para encerrar su cultivo con estudiantes del objeto mental “forma” y en caso tal de
el alambre?
que reconozcan ciertas propiedades geométricoespaciales en ellas, se pueda inferir su noción
alrededor del objeto mental figura geométrica y los
fenómenos que deberían trabajarse alrededor de él.
43
¿Cuántos postes le sugeriría usar al
agricultor?
¿Es necesario el uso de todo el
alambre para obtener un terreno
cultivable óptimo?
Reconocer los fenómenos que los estudiantes
organizan alrededor del objeto mental forma y/o figura
geométrica, para tenerlos en cuenta en el diseño
instruccional de tareas posteriores.
Tabla N°3. Preguntas orientadoras contenidas en la encuesta para la tarea Nº 1
TAREA N° 2: NIVEL REFERENCIAL
Objetivos:
 Constituir en los estudiantes el objeto mental figura geométrica a partir de los atributos y
propiedades geométrico-espaciales de sus diseños.
 Expresar alternativas de solución relacionadas con las figuras diseñadas o lo que se puede
ver en ellas.
En la tarea N°1, el estudiante ha logrado extraer de la forma, las características y propiedades que
le atribuyen ciertas cualidades al diseño propuesto, evidenciando la multiplicidad de opciones que
tienen para la solución del problema. De esta manera, en la tarea N°2 se espera que los
estudiantes expresen alternativas de solución relacionadas con las figuras diseñadas o lo que se
puede ver en ellas, con el objetivo de que todo lo que argumenten sea sometido a análisis para
poder aceptarse como objetos geométricos, que a su vez organizan un conjunto de fenómenos que
globalmente considerados se pueden calificar como el mundo de los contornos (Tomado de
Freudenthal por Puig, 1997. Pág. 62 Cap. III)).
La justificación la tarea Nº 2, está en la relación y distinción entre objetos mentales como dibujo,
forma y figura geométrica que deben hacer los estudiantes, que aunque un proceso complejo, debe
ser primordial para la constitución de objetos mentales de mayor abstracción como el de magnitud y
la posterior adquisición de conceptos, como el de longitud o superficie. Dicho paso del dibujo a la
forma como objeto geométrico, es el resultado de una interpretación profunda del estudiante. La
tarea N°2 se diseña con el fin de que este paso se dé de manera un poco más natural; ya que el
44
diseñar un terreno para el cultivo de tomates, donde lo que inicialmente puede ser un dibujo para los
estudiantes, progresivamente se convierte en un objeto geométrico, pues se le atribuyen ciertas
características y propiedades espaciales motivadas por la situación misma. Aquí, el contexto
desempeña un papel fundamental en la elección del tipo de interpretación. Para la adquisición de
objetos mentales relacionados con la geometría es necesario situar los dibujos en contextos
geométricos. Al respecto, Laborde (1996) plantea la necesidad de:
“Situaciones problema que traten de dibujos, en las que la geometría sea una
herramienta eficaz de modelización y de solución; por ejemplo, en las que permita
hacer dibujos que satisfagan restricciones dadas, de manera menos costosa que el
tanteo controlado por la percepción y que la geometría garantice la corrección del
resultado; situaciones en geometría en las que el recurso dibujo y la experimentación
con él eviten perderse en soluciones teóricas demasiado largas” (Laborde. 1996. En
Puig & Calderón. págs. 67-85.)
Así, las tarea N° 1 y 2 están estrechamente relacionadas, pues en la primera los fenómenos
organizados inicialmente son formas y configuraciones que se encuentran en un contexto visual
(contornos y líneas de visión), con explicaciones muy ligadas a la propia situación y fabricación de
los estudiantes; mientras que en la segunda tarea produce formas “geométricas” con propiedades y
características especiales.
“Los objetos geométricos, como conceptos, se elaboran a partir de los objetos
mentales como la forma, constituidos como medios de organización de las figuras
“geométricas, para lo que sus definiciones han de desprenderse de las propiedades
sensibles de esas figuras que pretenden organizar” (Puig, 1997)
TAREA N° 3: NIVEL GENERAL
Objetivos
 Reconocer la relación y diferenciación entre forma como dibujo y forma como objeto
geométrico.
45
 Promover actividad argumentativa en torno a la figura propuesta rescatando sus
propiedades geométricas y matemáticas.
 Evidenciar que las figuras geométricas pueden alterarse o permanecer invariantes en tanto
le proporcionan ciertas transformaciones.
En la tarea N° 3, los estudiantes reconocerán las propiedades geométricas de las formas que
construyeron y las harán evidentes ante los demás compañeros; donde entrarán a debatir sobre la
pertinencia o no de sus diseños, para probar que es la mejor opción del agricultor. En este punto,
deberán ahondar en las particularidades geométricas y espaciales de sus diseños, encontrar
propiedades especiales dentro de las matemáticas y la geometría, para validarlas o inclinarse por
otras opciones. En esta tarea, se espera que los estudiantes modifiquen o no sus estrategias de
construcción de terrenos iniciales, evidenciando que las figuras geométricas pueden alterarse o
permanecer invariantes en tanto se le proporcionan transformaciones en cuanto a la longitud de sus
lados y que a su vez, en ocasiones altera también aspectos como su superficie.
TAREA N° 4: NIVEL FORMAL
Objetivos
 Reconocer que al alterar las figuras geométricas construidas en las condiciones que se
presentaron, también se pueden alterar ciertos atributos de la figura, como los lados, los
ángulos o las superficies, en tanto que otras permanecen invariantes como los perímetros.
 Reconocer los variantes e invariantes geométricas que sufre una figura al modificar sus
atributos como el tamaño o la forma.
Durante la tarea N°4, los estudiantes se enfrentan al trabajo con las áreas y su relación con el
perímetro; especialmente su relación de dependencia, donde al alterar una de ellas lo hace
irremediablemente la otra. En esta tarea, se presentan fenómenos en los que se considera a la
superficie como el espacio que limita un contorno; es decir, el objeto mental constituido en las tareas
1 y 2 servirá de base para el trabajo con las áreas y los perímetros de las figuras geométricas en
sus diseños. En este punto, la geometría, así como el uso de modelos matemáticos y argumentos
46
más sofisticados apoyados por estos modelos, deberán entrar a relucir para darle mayor validez a
sus diseños. De la misma manera, los estudiantes deberán reconocer que al alterar las figuras
geométricas que inicialmente propusieron y en las condiciones que se presentaron, también se
pueden alterar o no ciertos atributos de la figura, como lo son los ángulos; que se pueden presentar
en situaciones estáticas, cuando la figura se altera en tamaño pero conserva su forma, o dinámicas
cuando la amplitud de los ángulos aumentan o disminuyen cuando lo hacen también la cantidad de
lados de la figura o la posibilidad de maximizar áreas sin alterar perímetros.
47
CAPÍTULO V
ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE
LOS DATOS
7. ANÁLISIS DE LOS DATOS
Siendo el énfasis de la actual investigación el de la caracterización de la actividad argumentativa de
los estudiantes como un proceso evolutivo que se da cuando éstos se involucran en la
matematización de situaciones; y la fenomenología didáctica un objetivo primordial para la
Educación Matemática Realista y aspecto intrínseco a esta investigación, se hace necesario
delimitar la investigación a un objeto mental específico de la matemática, que de manera intencional
se encontrará ligado a la misma situación problema llevada al aula. Dicho objeto mental es el de la
“figura geométrica”, que desde la fenomenología didáctica es considerado como organizador de un
inmenso mundo de fenómenos ligados a la experiencia de los estudiantes; que al considerarse
juntos pueden referirse al mundo de los contornos:
“Por medio de las figuras geométricas como triángulo, paralelogramo, rombo o
cuadrado, uno tiene éxito organizando el mundo de los fenómenos de los contornos”.
(Freudenthal, 1983).
Es necesario aclarar que el análisis de los datos obtenidos desde los esquemas argumentativos de
los estudiantes al abordar la situación, se realizará con mayor profundidad a partir de la tarea Nº2;
dado que la tarea Nº1, como se explica en la trayectoria hipotética de aprendizaje, tiene por objetivo
involucrar al estudiante con la situación problema “el terreno más óptimo”, además de reconocer los
48
conceptos matemáticos que ponen en juego para proponer posibles soluciones iniciales e
individuales al problema y de manera enfática dirigir su atención a la “figura geométrica” como objeto
mental a constituir, que será el que organice los fenómenos que los estudiantes exploren y aborden
en la solución de cada una de las tareas posteriores. Por su parte, la tarea Nº 2 tiene por objetivo
hacer que los estudiantes se concienticen de las características y propiedades geométricas de las
formas que proponen, donde se reconozca la necesidad de ir más allá de la simple percepción visual
a la hora de caracterizarlas como objetos geométricos.
(…) Las estrategias de solución de alumnos individuales revelan colectivamente
elementos esenciales del camino a largo plazo que los alumnos deberán recorrer. Lo
que aparece en la clase en el presente anticipa lo que está en el horizonte y más allá.
(van den Heuvel-Panhuizen, 2005, p. 38)
Siendo el objetivo de esta investigación la de caracterizar y analizar los esquemas argumentativos
que surgen en la interacción entre los estudiantes alrededor de una situación problema realista, se
hace necesario explicar que Toulmin (1984) reconoce el argumento en dos sentidos opuestos pero
no contradictorios, el primero como “una actividad central de dar razones a favor de una pretensión,
que de algún modo muestra el razonamiento de una persona” (Toulmin-Rieke-Janik,1984, p. 14),
queriendo decir esto, que los esquemas argumentativos pueden surgir como producto de un análisis
y reflexión personal; sin embargo, para esta investigación se trabaja con la segunda concepción de
argumento del mismo autor; es decir, el de las disputas argumentativas, siendo estas las
“interacciones humanas a través de las cuales se formulan, debaten y/o se da vuelta a los esquemas
de razonamiento a la hora de apoyar una pretensión” (Toulmin-Rieke-Janik,1984, p. 15)
7.1. ANÁLISIS TAREA N° 1:
La figura geométrica como objeto mental está ligado a numerosas experiencias de los estudiantes,
pues se presenta en variados fenómenos de su entorno; es por ello que la tarea N° 1 pretende que
los estudiantes aborden la situación desde la noción que tienen de este objeto mental. Lo que se
logró evidenciar, es que los estudiantes reconocen que la situación del agricultor suponía un
problema que exigía pensar en dibujos y formas para el terreno, con el fin maximizar la producción
49
de tomates de árbol. En este sentido, la tarea N° 1 logra que los estudiantes se sumerjan en el
mundo de las formas como posibles opciones para darle una solución al problema.
Es necesario aclarar en este punto que he utilizado las nociones de dibujo, forma y figura geométrica
en sentidos diferentes pero no contradictorios; ya que desde varios autores se reconoce la diferencia
entre estas nociones y su estrecha relación a la hora de constituir objetos geométricos, donde la
enseñanza de la geometría olvida la lectura espacial del dibujo como una manera de construir una
evidencia perceptiva de las formas en términos geométricos; es decir, el dibujo en geometría puede
ser considerado como el modelo inicial del objeto geométrico (Laborde, 2000); por lo que es
necesario un campo de experimentación gráfica con él (Chevallard, 1990). En este sentido, el dibujo
y la forma como objeto mental inicial y muy intuitivo, se relaciona con nociones empíricas del
estudiante, que están muy ligadas a la percepción visual que hacen del mundo físico que les rodea;
esto quiere decir que los estudiantes, si bien encuentran en la situación un problema de
representaciones, estas no pasan a ser más que imprecisos dibujos realizados en papel, ya que a la
hora de justificar el porqué de sus opciones; no encuentran muchas propiedades y características
que permitan considerarlo como la mejor elección para el agricultor, se limitan a afirmar que son
contornos que visualmente encierran una considerable porción de espacio. En coherencia con ello,
podemos afirmar que por alguna razón los estudiantes se limitan y no reconocen la gran gama de
propiedades geométricas de las formas que proponen; aspecto esencial dentro del proceso de
constitución del objeto mental figura geométrica.
“Los objetos geométricos, como conceptos, se elaboran a partir de los objetos
mentales como la forma, constituidos como medios de organización de las figuras
“geométricas”, para lo que sus definiciones han de desprenderse de las
propiedades sensibles de esas figuras que pretenden organizar” (Puig, 1997)
Lo dicho anteriormente se evidencia durante las discusiones que se generan en los grupos cuando
abordan el cuestionario. Veamos una de ellas.
Transcripción Día 13 de octubre de 2014
50
[Conversión interna del grupo N° 1]
Daniela: …Yo creo que deberíamos pensar en la forma que debería tener el terreno para obtener
mayor espacio donde el agricultor pueda sembrar más árboles…
Pedro: Si; eso es obvio, lo que ayuda a una máxima producción es la forma del terreno, yo creo que
debería ser el cuadrado.
Camila: Y ¿por qué el cuadrado?
Pedro: Porque la mayoría de terrenos que usan los agricultores es de forma cuadrada o en forma de
rectángulo. Mi abuelo tiene un cultivo de papa y el terreno es más o menos cuadrado ¿Por
algo ha de ser, no?
Camila: Pero hay que tener en cuenta que lo que se está sembrando es tomate de árbol, no papa y
por eso necesitamos que el terreno sea grande, los arboles ocupan más espacio que la papa.
Daniela: Eso no tiene nada que ver, así estuviéramos sembrando papa o guayabas, lo que
buscamos es que sea un terreno muy grande sin importar lo que se esté sembrando.
Camila: No, porque el producto requiere de ciertas condiciones para sembrase no es lo mismo
sembrar papa que tomate de árbol, los terrenos deben tener unas características específicas
para lo que se esté sembrando.
Pedro: ¡Dejen la bobada!, Estamos en clase de matemáticas y no de biología, es obvio que nos
están preguntando por la forma y no por las condiciones del terreno, y la mayoría los
construyen cuadrados o rectángulos porque es donde se aprovecha más el espacio, ¿o
cuando han visto terrenos en forma de triángulo?
Daniela: Si, eso es verdad.
La conversación que se dio en este grupo, deja ver que el contexto en el que se presenta la
situación problema es determinante para que los estudiantes dirijan sus estrategias de solución; en
este caso, la clase de matemáticas hace que la situación se fundamente en un problema de
51
representaciones; asunto que hubiese sido diferente si la misma situación se hubiese presentado en
otro contexto, como la clase de biología, donde muy probablemente los estudiantes se hubiesen
enfocado en aspectos como el pH del terreno, la zona climática del mismo o las condiciones
ambientales en que debería darse.
Aun así, los estudiantes reconocen que la situación problema contiene de manera implícita tópicos
matemáticos como el trabajo con formas y representaciones; sin embargo, también deja ver la poca
profundidad que hacen a la hora de analizar las opciones que tienen y que restringen a la propia
experiencia, como cuando afirman que <deberíamos hacer un cuadrado o un rectángulo> solo por el
hecho de que la mayoría de terrenos lo hacen de esta manera, sin buscar una explicación coherente
a este hecho o contemplar otras opciones de solución; lo que deja ver que hay un escaso proceso
por ahondar en las características y propiedades de las formas y que las respuestas obtenidas son
solo una primera lectura del problema, permeada por los conocimientos empíricos del estudiantes. Al
respecto, Laborde (1996) dice:
“La percepción interviene en la construcción de una interpretación simple, siempre y
cuando el lector no tenga sólidos conocimientos teóricos geométricos que le permitan ir
más allá de la primera lectura perceptiva” (Laborde, 1996)
A partir de lo anterior; podemos construir los modelos argumentativos del grupo Nº1 a partir
de la propuesta de Toulmin (1984) de la siguiente manera:
Figura Nº 1. Esquema argumentativo del grupo Nº1
52
En otros grupos, se evidencia mayor análisis de la situación ya que son conscientes que pensar en
la forma que tendría el terreno, implica pensar también en la cantidad de lados y la cantidad de
postes que deben colocar; como se puede ver en el siguiente fragmento de conversación de otro
grupo:
[Conversión interna del grupo N° 2]
…
Nicol: …Ok, entonces, si lo que vamos a dibujar es un rectángulo, ¿Pongo en esa pregunta
(refiriéndose a la pregunta del cuestionario ¿Cuántos postes usaría para cercar el terreno?)
que el terreno debería tener 4 postes o más?
Liz: ¡Pues claro!, no va a colocar 8 postes para formar un rectángulo o ¿cuándo ha visto un
rectángulo con 8 puntas?
Nicol: ¡Tan boba!, no necesariamente, por ejemplo mi abuelo tiene un cultivo de papa que tiene
forma de rectángulo pero no tiene solo 4 postes, tiene muchos, porque en cada lado pone
como 10 más, para estirar el alambre.
Liz: Ósea que podemos usar cualquier cantidad de postes; uno, dos, tres, cuatro,….
Luis: … Es obvio que no podemos usar menos de dos postes, porque con uno o dos postes no se
puede formar una figura.
Nicol: Si, debe tener por lo menos tres y no estar alineados.
Luis: Pues coloquemos un poste cada 1,5 metros.
…
53
En este fragmento de la conversación del grupo N°2, podemos evidenciar que los estudiantes
reconocen que para abordar el problema desde la forma que debe tener terreno, es indispensable
pensar en la cantidad de lados y que la cantidad de vértices no es necesariamente la misma
cantidad de postes a usar. También son conscientes que la matemática aun siendo el contexto en el
cual se da el problema, no es la única disciplina que lo organiza; pues a diferencia del grupo Nº1,
reconocen que pensar en terrenos óptimos tal cual lo propone la situación, exige pensar en aspectos
como la organización de las semillas, la consistencia del terreno, la fertilidad de la tierra, etc.;
aspectos que se pueden inferir de la encuesta que diligencian durante el desarrollo de la pregunta
número 5 (Ver imagen N°4). En la Imagen Nº4 presento la encuesta que completó este grupo
durante la tarea N°1:
Imagen Nº 4. Cuestionario diligenciado por el grupo Nº 2
La respuesta a la pregunta N° 1, N° 2 y N° 5 de este grupo, así como las afirmaciones que hace el
grupo Nº1 cuando dicen que <los terrenos deben tener unas características específicas para lo que
54
se esté sembrando>, hace evidente que los estudiantes además de pensar en la forma del terreno
como un aspecto primordial para obtener mayor producción, también muestra que se interesan por
aspectos que tienen que ver más con asuntos de agricultura que con la matemática; afirmaciones
como <Se puede ordenar todo mucho mejor>, <Un terreno que no sea rocoso> o <En éste
(cuadrado) se puede cultivar de manera más organizada y así sería más productivo>, lo que muestra
la necesidad de usar tierra consistente y no rocosa; donde el cuadrado garantiza que los surcos se
organicen de manera paralela a cierta distancia uno de otro y que la longitud de cada surco y por
tanto la cantidad de semillas que se pueden sembrar en cada uno de ellos sea la misma. Esto
muestra que la situación no se restringe solo a la matemática, sino que es pensada desde un marco
más general; convirtiéndose así en un problema bien aceptado por los estudiantes y no solo como
un pretexto para el trabajo con algún tópico matemático. Frente a esto, Freudenthal (1983) aclara
que la situación problema llevada al aula y que se propone para su matematización, no debe ser
solo una excusa para el trabajo con algún objeto matemático; sino que debe ser indispensable para
comprenderlo en el contexto en el que se propone.
Enfocar el contexto como un ruido, susceptible de perturbar la claridad del mensaje
matemático, es un error; el contexto por sí mismo es el mensaje, siendo las
matemáticas un medio para decodificarlo (Freudenthal, 1983)
La respuesta de este grupo a la pregunta N° 3 (Ver imagen N°4) <poner un poste cada 1.5 metros>,
así como la afirmación <no podemos usar menos de dos postes, porque con uno o dos postes no se
puede formar una figura> y además <No deben estar alineados>; hace pensar que los estudiantes
tienen constituidos ciertos conceptos matemáticos que son usados para explicar las opciones que
tienen y las mismas restricciones del problema; por ejemplo, conciben que uno o dos postes no
forman una figura; que en matemáticas sería lo mismo que afirmar que “una figura rectilínea cerrada
requiere como mínimo de tres vértices y por tanto de tres lados, figura geométrica que usualmente
llamamos triángulo” o que “puntos colíneales no forman figuras geométricas cerradas”.
55
Figura Nº 3. Esquema argumentativo del grupo Nº2
Dentro de los indicadores de matematización horizontal en un nivel situacional propuestos Treffers
(1987) y ampliados por la OCDE (2006), podemos evidenciar que los estudiantes se ubican en
procesos de matematización horizontal en un nivel situacional, ya que la interpretación de la
situación problemática y el uso de estrategias están ligadas totalmente al contexto de la situación
misma, que aunque presentan un análisis de la situación, este es poco profundo y muy ligado a las
experiencias personales, donde se usan conocimientos informales para proponer soluciones. A
continuación presento en la tabla N°4 las acciones descriptoras que muestran las razones por la
cuales los estudiantes se ubican en este nivel durante la tarea N°1:
CATEGORIA: Matematización Horizontal
NIVEL: Situacional
MATEMATIZACIÓN
HORIZONTAL
ACCIONES
DESCRIPTORAS
Identificar los elementos
matemáticos pertinentes al
problema situado en la
realidad.
TAREA Nº 1
Cuando los estudiantes se refieren con palabras como lados, vértices,
figuras, espacio encerrado, colineales, etc.; Se refieren a las
relaciones del problema con algunos conceptos propios de las
matemáticas, encontrando que una de las opciones que tienen para
abordar la situación y encontrar una solución es precisamente esta
disciplina.
Esquematizar, formular y Al plantear las diversas formas que podrían encerrar los 100 metros
56
visualizar un problema de de alambre para formar un terreno de una amplia superficie, se
varias maneras.
manifiestan diferentes opciones tenidas en cuenta por los estudiantes,
como los cuadrados, los rectángulos, los círculos, etc. Encontrando
Representar el problema que dirigen sus respuestas al mundo de los contornos y las formas,
de acuerdo con los aunque sus análisis sobre ellos no sean los más profundos, son
conceptos
matemáticos conscientes de la variedad de opciones que tienen para representar
pertinentes y plantear un terreno.
supuestos.
Tabla N°4: Matematización horizontal en el nivel situacional presentados durante la tarea N°1
Por lo que se evidencia en los esquemas argumentativos de ambos grupos, existe un intento muy
vago por matematizar la situación, un poco más profundo en el caso del grupo Nº2, porque dentro de
sus discursos argumentativos, se refieren a ciertos conceptos geométricos como lados y vértices, así
como reconocer la imposibilidad de tener formas rectilíneas cerradas a partir de uno o dos vértices.
En el caso del grupo Nº1 la situación se analiza desde un marco más empírico, donde la experiencia
es la que garantiza sus pretensiones. Sin embargo, para ambos casos podríamos ubicar a los
estudiantes en procesos de matematización horizontal dentro de un nivel situacional, ya que en este
caso los fenómenos organizados son inicialmente formas y configuraciones que se encuentran en un
contexto visual; lo que quiere decir que los estudiantes aun restringen sus soluciones con base a lo
que pueden ver y percibir en los dibujos que realizan; pues su nivel de análisis es escaso para
proponer una solución, ya que las justificaciones que dan a sus diseños se fundamentan en las
propiedades visibles e intuitivas de las figuras. Sin embargo, las figuras trazadas en el papel y los
dibujos realizados, se usan como un intento inicial por representar objetos geométricos; donde los
atributos y características que visualizan los estudiantes sobre ellos son escasos. En ninguno de los
dos casos aparece el elemento del respaldo para la garantía (Ver esquemas argumentativos de las
figuras N° 1 y 3), ya que no se hace necesario porque los estudiantes se terminan convenciendo y
aceptando el argumento solo con la enunciación de la garantía; lo que muestra que la actividad
argumentativa no se caracteriza por ser profunda y analítica.
7.2. ANÁLISIS TAREA Nº2:
Hasta este punto, la tarea N° 1 sirvió para concebir a la figura como objeto mental inicial para
abordar la situación. En la tarea Nº 2 hay un reconocimiento por parte de los estudiantes de hacer un
57
poco más exhaustivos y profundos sus análisis. Dicha concientización se da gracias al material que
se les proporciona para realizar la construcción de su diseño; donde se empiezan a pensar en
aspectos como la posición en la que se debe ubicar el cultivo dentro del terreno mayor, la cantidad
de postes a utilizar para que la forma garantice mayor aprovechamiento del terreno, la medida que
va a tener cada lado del terreno, etc. Al respecto, Laborde (1996), considera que situaciones
problemas como en este caso “el terreno más óptimo”, donde se considera al dibujo y a la
representación de formas con restricciones dadas, ayuda a que el problema sea visto con mayor
profundidad en el sentido geométrico y menos con el tanteo controlado por la percepción, donde las
estrategias de solución basados en conocimientos geométricos aparecen como opciones más
eficientes que las estrategias empíricas.
“La geometría resulta de una astucia, de un desvío cuya ruta indirecta permite acceder
a lo que sobrepasa la práctica inmediata” (Serres, 1993. Pág. 196)
Los estudiantes en sus respectivos grupos realizaron el diseño de un terreno cercado usando la lana
(alambre) y los chinches (postes) dentro del terreno total (icopor). Cada grupo elaboró un diseño
concertado y que en su opinión era el terreno más óptimo para cultivar, inicialmente entendiendo lo
“optimo” como algo relacionado con la superficie del terreno; ya que todos los grupos construían sus
modelos intentando que estos aprovecharan al máximo el espacio que se podía encerrar con 100 cm
de lana, por lo que el problema fundamental para los estudiantes se convirtió en buscar una figura
que tuviese el área máxima construible a partir de un perímetro de 100 cm, atendiendo a la
pregunta, ¿Qué forma y características debe tener el terreno de 100 metros de perímetro para que la
producción de tomates sea máxima?. Recordemos que la construcción del terreno debía considerar
las siguientes indicaciones:

El terreno debe ser totalmente cerrado.

El terreno cercado debe estar dentro del terreno mayor (50 cm X 50 cm).

Debe usarse el total de alambre (lana) proporcionado (100 cm).

La cantidad de postes (chinches) y la forma del terreno serán elección de cada grupo.
58
Imagen N°5. Algunos diseños de terreno construidos por los estudiantes
Como se ve en los diseños de cultivo elaborados por cada grupo en la imagen N° 5, los estudiantes
se preocupan por obtener una superficie amplia con los recursos disponibles; es decir, su
preocupación principal está en diseñar un terreno con la mayor área posible, con la restricción de
tener un perímetro de 100 cm. Aquí surgen figuras rectilíneas y un intento por figuras curvilíneas
como ellos las llaman; diseños que se entraron a discutir a manera de debate en la tarea N° 3. En
este punto, los estudiantes proponen una gran variedad de formas como posibles opciones del
agricultor. Es importante aclarar que el debate de cada uno de los grupos se centró básicamente en
definir la forma que debía tener el terreno si se deseaba que realmente resultara un cultivo máximo,
para lo cual consideran construir figuras que desde lo visual evidenciara un aprovechamiento óptimo
de los 100 cm de lana que tenían.
Una de las prácticas geométricas que generó esta tarea fue la de medir; donde la medición resulta
como la actividad que se realiza sobre el objeto geométrico; aspecto fundamental en esta tarea, ya
que los estudiantes empiezan a reconocer atributos medibles y cuantificables en las figuras que
proponen, visualizando la figura con mayor nivel de análisis y convirtiéndolo de esta manera en un
objeto geométrico: Aquí los estudiantes encuentran que las medidas de sus terrenos pueden ser
exactas, como en un cuadrado de 25 cm de lado o figuras en las que no se tienen lados con
̅ cm. Es así
magnitudes enteras sino decimales, como el caso del triángulo equilátero de lado 33,3
59
como la tarea de construcción está ayudando a comprender cómo es que los números dan cuenta
del valor de magnitudes discretas y continuas (Freudenthal, 1983); por ejemplo, de la distancia entre
dos objetos (longitud) o de la superficie de un terreno (área).
En la tarea de medir, considerar tomar un instrumento de medida para comparar longitudes, hace
evidente que los estudiantes reconocen ciertas características de las formas que proponen, al
atribuirles la propiedad de ser medibles y cuantificables (Ver imagen Nº 6). En esta tarea a diferencia
de la anterior, los estudiantes poseen materiales tangibles con los que pueden hacer la
representación física del terreno y las actividades de medición son las que provocan que empiecen a
pensar cosas fundamentales, como la amplitud de los ángulos o la longitud de los lados para obtener
mayor superficie. Los recursos tangibles o llamados también materiales didácticos manipulables
(Treffers, 1991), provocan que los estudiantes se percaten de la multiplicidad de aspectos en los que
deben pensar para proponer sus diseños; lo que hace que sobrepasen la simple percepción visual
de la figura y empiezan a considerar sus atributos medibles y cuantificables; es decir, empiezan a
ver en el dibujo a un objeto geométrico; aspecto que hace pensar en un proceso de matematización
horizontal porque aún refieren el problema dentro del mundo real, pero en un nivel superior al de la
tarea Nº 1, es decir del nivel situacional al nivel referencial. Las prácticas de medición suscitadas por
los materiales proporcionados; usando instrumentos como la regla o el transportador para la
amplitud de los ángulos, dan cuenta que el problema está siendo pensado como un problema
matemático, en el que se usan ciertos instrumentos propios de la disciplina para abordarlo, y el
hecho de poder dotar de estas propiedades medibles y cuantificables a las formas que proponen en
la tarea Nº1, evidencia que la matematización se da en un nivel referencial, donde la situación dentro
del contexto de la agricultura pasa a convertirse en un problema con características matemáticas,
porque la preocupación no se centra con mayor atención en el cultivo de tomate de árbol, sino en la
maximización de áreas a partir de un perímetro fijo.
Es así como en la tarea N°1 se trabajaban con representaciones y dibujos de los que se afirmaban
aspectos relacionados con las propiedades empíricas del objeto; es decir desde un nivel situacional;
posteriormente, las actividades de medición, cuantificación y análisis geométrico de estas formas
durante la tarea N°2 hace que el nivel de comprensión sea superior; en este caso superado por el
primero; es decir, el referencial.
60
(…) “La evolución entre niveles se da cuando la actividad en un nivel es sometida a
análisis en el siguiente, el tema operatorio en un nivel se torna objeto del siguiente
nivel (Freudenthal, 1971:417).
Igualmente, esta tarea nos muestra que efectivamente los fenómenos relacionados con la medida y
la magnitud están siendo organizados gracias al objeto mental figura geométrica; pues la práctica de
medir lados y ángulos se está ejecutando precisamente sobre este objeto mental; quien a su vez
está devolviendo a los estudiantes resultados cuantificables en dos categorías; a saber, las
continuas y discretas, considerando en este caso a la longitud y a la amplitud ángular como
fenómenos relacionados con las formas que encierran los contornos de las figuras, tal como lo
considera Freudenthal (1983) al afirmar que las figuras geométricas organizan fenómenos
relacionados con el mundo de los contornos.
CATEGORIA: Matematización Horizontal
MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL
NIVEL: Referencial
ACCIONES DESCRIPTORAS
TAREA Nº 2
Representar el problema de acuerdo Los estudiantes traducen el problema situado en el contexto
con los conceptos matemáticos de la agricultura a un contexto matemático; pues en él
pertinentes y plantear supuestos.
involucran conceptos geométricos como el de longitud,
amplitud, perímetro y área, reconociendo entre ellos una
posible relación de dependencia.
Comprender las relaciones existentes La evidencia de que el problema está siendo visto desde un
entre el lenguaje del problema y el contexto matemático superior al anterior, es el hecho de que
lenguaje formal y simbólico que se los estudiantes se preocupan por encontrar formas de
necesita para comprenderlo en perímetro fijo donde el área sea la máxima, a partir de la
términos matemáticos.
práctica de la medición sobre los lados y los ángulos de sus
figuras (Ver imagen N°6).
Traducir el problema a términos El problema pasa de un nivel situacional en el contexto de la
matemáticos.
agricultura a un problema referencial en el mundo de las
matemáticas, así: ¿Qué forma y características debe tener
una figura de 100 metros de perímetro para que el área sea
máxima? (Ver tabla N°6)
Tabla N°5: Matematización horizontal en un nivel referencial en la tarea N°2
61
MATEMATIZACIÓN
Imagen Nº 6. Los estudiantes realizando procesos de medición sobre los diseños de sus terrenos.
Tarea Nº 1
Tarea Nº 2
El problema visto en nivel situacional
El problema visto en un nivel referencial
¿Qué forma debe tener el terreno ¿Qué forma y características debe tener una
para que la producción de tomates de figura de 100 metros de perímetro para que el
árbol sea óptima?
área sea máxima?
Tabla N°6: La situación problema visto desde el nivel situacional y referencial
La preocupación de los estudiantes por obtener superficies amplias se evidenciaba cuando
intentaban estirar al máximo los 100 cm de lana proporcionados; acción que algunos estudiantes
encontraban incoherente con el problema inicial ya que el estirar la lana provocaba un aumento del
perímetro del terreno y por ende un incumplimiento de las condiciones iniciales del problema (ver
imagen Nº7).
Imagen Nº 7. Estudiante estirando la lana para procurar una maximización de la superficie del
terreno
62
Estas acciones muestran que los estudiantes reconocen que hay una relación directa entre el
perímetro y el área de una figura geométrica, aunque no lo nombren de manera explícita o en un
lenguaje formal dentro de las matemáticas. Sin embargo, estas acciones (imagen N°6) hacen
evidente los intentos de matematización que pasan de estar en un nivel situacional ubicado en el
problema de la agricultura a uno referencial dentro de las matemáticas (Ver tabla N°5).
7.3. ANÁLISIS TAREA Nº3
La situación problema propuesta ofrece una variedad de destrezas de solución, pues permite que los
estudiantes muestren sus estrategias e invenciones a otros. En este caso, abre la posibilidad de
discutir el grado de eficacia de los diseños propuestos. A continuación, se presenta una de las
discusiones entre los estudiantes a la hora de defender sus diseños. Se eligen tres casos
específicos (Ver imagen Nº 8); el diseño del círculo, el octágono regular y la figura mixta (rectilínea y
curvilínea), donde se tenía por objetivo que argumentaran a favor de sus propios diseños y en contra
de los demás, usando razones lógicas y convincentes para poder validar que su propuesta era la
más asequible para los cometidos del agricultor:
Grupo 1: Octágono regular
Grupo 2: Circulo
Grupo 3: Figura mixta
(curvilínea y rectilínea)
Imagen Nº 8: Diseños usados para el análisis de la tarea N°3
…
Grupo 1: Inicialmente pensamos en construir un triángulo porque no se pueden construir formas de 1
o 2 lados, lo básico sería construir un triángulo pero consideramos que encierra poco espacio, por
eso nuestro diseño es un octágono regular (mostrando su diseño) y consideramos que es el que
tiene mayor área porque las esquinas forman ángulos amplios, lo que asegura que se aprovecha el
63
terreno que encierra; al contrario de lo que pasa con el triángulo de Paula o el cuadrado de Ángel,
donde las esquinas son demasiado cerradas. En el caso del cuadrado los ángulos son de 90º y en el
triángulo de 60º; tendríamos ángulos pequeños a comparación de los que tiene el octágono que son
de 135º, lo que implicaría una reducción del terreno y una pérdida de superficie.
Imagen Nº 9. Grupo 1 mostrando que el octágono regular tiene ángulos obtusos y que el diseño del
triángulo desaprovecha superficie por tener ángulos agudos
Grupo 2: pues no creemos que el octágono sea el de mayor área; porque nosotros hicimos el círculo
precisamente porque creemos que entre menos lados rectos tenga la figura, más superficie vamos a
tener; porque lo que hacen los ángulos, sea cual sea la amplitud, es reducir el espacio del terreno,
por eso hicimos el círculo que no tiene ningún ángulo.
Imagen Nº 10. Grupo 2 mostrando su diseño circular usando la mayor cantidad de postes
64
Grupo 1: Pues para nosotros, entre más ángulos amplios tenga el terreno; ósea, entre más lados
tenga, vamos asegurar que los ángulos sean obtusos y por lo tanto su abertura encerrará mayor
cantidad de terreno.
Grupo 3: En nuestro caso, nuestro terreno tiene ambas cosas, una parte curva y otra lineal, porque
creemos que ambas cosas son necesarias; porque, finalmente el área se equilibra, lo que no se
desaprovecha en la parte rectilínea se aprovechará en la parte curva.
Imagen Nº 11. Grupo 3 mostrando su diseño mixto de líneas curvas y rectas
Grupo 1: Pero una figura que tenga solo líneas rectas y además con ángulos obtusos será un
terreno que encierre mayor área.
Grupo 2: Pero en el caso del círculo, sería una figura donde no tengo lados, y por tanto tampoco
tengo ángulos, lo que asegura que estoy encerrando la totalidad de terreno que se puede cercar con
100 m de alambre.
…
Grupo 1: Pero ustedes en realidad no tienen un círculo, porque para obtener un círculo usted
necesitaría de muchos postes y por lo que veo su cultivo tiene una cantidad de postes fija, espere y
cuento 1, 2, 3, 4,…, 49, 50 (realizando el conteo de chinches del diseño circular) son como 50
chinches lo que generaría una figura rectilínea de cincuenta lados.
65
Imagen Nº 12. Estudiante del grupo 1 haciendo el conteo de postes del diseño circular del grupo 2
Grupo 2: Pues sí, tal vez lo que queríamos decir era que el terreno debería tener la mayor cantidad
de postes para que se acercara a ser un círculo de un perímetro de 100 metros.
Grupo 3: Pues nosotros, a diferencia de todos, creemos que independientemente de la forma del
terreno, todos estamos usando la misma cantidad de alambre por lo tanto tendríamos figuras de la
misma área; por eso no pensamos mucho en la forma y propusimos esta que tiene líneas curvas y
rectas, ya que la forma puede ser cualquiera desde que usen los 100 m de alambre.
Profesor: Lo que ustedes aseguran entonces, es que dado que todas las figuras tienen el mismo
perímetro de 100 metros, esto implica que ¿todos tendrán la misma área?
Grupo 3: ¡Sí!
Grupo 1: ¡No!, eso es mentira. Nosotros creíamos lo mismo hasta que hicimos esta operación, profe
présteme un marcador (Pasando al tablero) en un cuadrado de 100 metros de perímetro, cada lado
mide 25 metros y tenemos un área de 625 m2 y si tenemos otra figura, como por ejemplo un
rectángulo de 30 m x 20 m, también tenemos una figura de perímetro 100 metros pero de área 600
m2
66
Imagen Nº 13. Estudiantes del grupo 1 mostrando que el cuadrado de 25 m de lado y el rectángulo
de 30 m x 20m cada uno de perímetro 100 m tienen áreas diferentes.
Grupo 2: Si es verdad, el perímetro es independiente del área; por eso el problema está en buscar la
forma que encierre la mayor área con un perímetro fijo de 100 metros.
Grupo 1: Entonces podemos decir que determinados cambios (transformaciones) de las figuras
conservan el perímetro pero no el área.
…
Profesor: ¡Sí!, Como el ejemplo de Pedro, aclaró su duda (Grupo 3) y ya estamos de acuerdo en
eso, volvamos al problema del círculo, mi pregunta es ¿Efectivamente el terreno de Luis (del grupo
2) es un círculo?
Grupo 2: pues no, pero se acerca mucho a serlo; de hecho si tuviera más chinches (postes) le
pondría todos los necesarios con el fin de ampliar la amplitud de los ángulos y asegurar que se
encierra mayor cantidad de espacio.
Grupo 1: Sí, porque para hacer un terreno circular necesitaríamos de infinitos postes lo cual es
imposible, la forma debe ser obligatoriamente rectilínea.
Grupo 2: Pues sí, pero sin embargo el octágono no es el de área mayor, porque en ese caso
podríamos hablar de figuras con mayor cantidad de lados como el eneágono o el decágono de lados
iguales…
Profesor: ¡Regular!
Grupo 2: eso, el dodecágono regular tendría mayor área que su octágono regular.
Grupo 1: Si, en conclusión, para asegurar que el terreno encierre la mayor área posible se deben
usar la mayor cantidad de postes, acercándonos a la construcción de un terreno circular.
…
67
Debemos aclarar que, se ha escogido solo una parte de la conversación de los estudiantes durante
el abordaje de la tarea N° 3, en la que de manera explícita se evidencia la ruta argumentativa que
siguen cada uno de los grupos para defender sus diseños de terreno y/o refutar el de los demás.
Pretendo mostrar que dicha actividad argumentativa giró en torno a fenómenos relacionados con la
magnitud, la medida y la superficie, que para este caso son fenómenos que han sido organizados
por el objeto mental “figura geométrica” y que da cuenta de un proceso progresivo de constitución
de dicho objeto mental y por tanto de una matematización de la situación.
Es así como, a partir del modelo argumentativo de Toulmin podemos diseñar un esquema que
evidencia desde los elementos constitutivos del argumento, la ruta argumentativa que sigue cada
uno de los grupos, en el que cada uno expone sus diseños; así, el grupo Nº 1 expresa su interés por
terrenos en forma de octágono regular, el grupo Nº 2 en forma circular y el grupo Nº 3 en forma
mixta; es decir, con líneas rectas y curvas. Sin embargo, las pretensiones son diferentes; para los
grupos Nº 1 y Nº 2 es mostrar que sus modelos son los más óptimos, por contener el área máxima
que se puede construir con un perímetro de 100 metros; por el contrario, el grupo Nº 3 expresa que
su pretensión es mostrar que la forma del terreno cercado es independiente del área, la cual será la
misma en todos los diseños, dado que se construyen con el mismo perímetro.
El modelo argumentativo de Toulmin (1958), sirvió como extractor del dato a analizar en cada grupo;
en este caso, la información obtenida se dio en forma de conversaciones y discursos de los
estudiantes mientras abordaban la situación, del que se extrajo esencialmente lo que se considera
por argumento, que básicamente es reconocible porque muestra cómo a partir de un dato inicial
(razón) se busca llegar a una pretensión (conclusión). Desde la propuesta de Toulmin (1984) un
argumento es solo “un tramo del razonamiento usado en un discurso, en la que se presenta una
secuencia de pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen el contenido y la
fuerza de las proposiciones a favor de una pretensión”.
CASO I: Modelo argumentativo del grupo N° 2
El esquema de la figura N° 4, muestra la ruta constitutiva que tiene el argumento en el caso del
grupo Nº2, donde se parte de un dato inicial que tiene como objetivo llegar a una pretensión
específica; elementos entre los cuales hacen presencia los demás elementos constitutivos del
68
argumento. Para este grupo, se puede resumir de la siguiente manera: <El terreno debe ser en
forma circular> (Dato inicial) <porque es ausente de lados rectilíneos y por tanto de ángulos>
(Garantía) y dado que (Cualificador) <no tiene ángulos, el aprovechamiento de espacio es mayor>
(respaldo),y por lo tanto <será la figura de mayor área> (pretensión)”
Figura N° 4. Esquema argumentativo del grupo 2
Aquí hacen presencia los cuatro elementos constitutivos del argumento según la estructura de
Toulmin; donde conectores lingüísticos como <por lo tanto>, <ya que> o <dado que> se consideran
como cualificadores o modalizadores, que son aquellas construcciones lingüísticas que permiten
atenuar o concluir una pretensión. Sin embargo; en ocasiones la ruta argumentativa se ve socavada
por un quinto elemento que también concibe la estructura Toulmin, los cuales llama refutaciones. En
este caso, como se puede ver en la conversación del grupo Nº 1 y el Nº 2 se da una refutación del
primero hacia el segundo cuando éste afirma que <ustedes en realidad no tienen un círculo>, porque
es imposible tener terrenos circulares, pues ello implicaría considerar la infinitud de postes en el
terreno. Así, el esquema argumentativo del grupo Nº 2 se quebranta mientras que surge en el grupo
Nº 1 una nueva pretensión, la de mostrar que es imposible pensar en terrenos circulares. El nuevo
esquema argumentativo se construiría como muestra la figura Nº 5:
69
Figura Nº 5. Cambio del esquema argumentativo del grupo Nº 2 dada la refutación del grupo Nº 1 que a su
vez se convierte en una nueva pretensión
En este sentido, las razones expuestas por cada grupo intentan validar y darle fuerza a su dato
inicial; así, el grupo Nº1 expresa que las formas rectilíneas que generen ángulos de máxima amplitud
asegurará un aprovechamiento del terreno; es decir, ángulos obtusos en polígonos regulares
encerrarán mayor cantidad de superficie. Por su parte el grupo N°2, asegura que la razón de su
diseño circular es precisamente no poseer lados rectos que formen ángulos, pues aseguran que los
ángulos sea cual sea su amplitud lo que hacen es reducir el espacio del terreno, y en el caso del
círculo este carece de ángulos. En tanto, el grupo Nº3, asegura que las formas mixtas ayudan a
equilibrar el área del terreno; es decir, el espacio que se deja de aprovechar en la superficie formada
por lados rectilíneos se compensará con la parte del terreno encerrada por los lados curvos.
70
Aquí es donde empiezan a entran en juego las garantías que de alguna forma apoyan y le dan
validez a las razones; para el grupo Nº1, la garantía expone que entre mayor cantidad de postes, se
generarán formas de mayor cantidad de lados; es decir, los ángulos considerados serán de la mayor
amplitud posible y por tanto encerrará mayor superficie. Para el grupo Nº2, la garantía está
expuesta, en que los ángulos por su amplitud, lo que hacen es despreciar área, así, entre más lados
tenga la figura, el ángulo será de mayor amplitud y se reducirá la perdida de superficie en el terreno.
Por otro lado, el grupo Nº3 garantiza que la cantidad de alambre usada en todos los terrenos es de
100 metros, por lo cual, sea cual sea la forma del terreno el área encerrada será la misma. En este
punto, se hacen presentes las refutaciones de un modelo contra el otro en forma de
contrargumentos o contraejemplos, los cuales requieren de un respaldo para aseverarlas, donde el
proceso de justificar corresponde a explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o
interpretar los datos. Según el modelo de Toulmin, este indicador cumple la función de justificar, y
bajo nuestro modelo la validez de las justificaciones contemplan tanto las valoraciones positivas
como negativas (refutar).
Este hecho se hace evidente cuando el grupo Nº2 hace caer en la cuenta al grupo Nº1 de que su
modelo no es un círculo por poseer una cantidad finita de postes, lo que no garantiza que sea el
área máxima (Aclarando que si bien los estudiantes reconocen que cualquier figura tiene infinitos
puntos, identifican que los realmente importantes son aquellos que equidistan del centro o a los que
llamamos usualmente vértices). Esto se convierte en una de los principios más importantes de la
EMR, ya que enfatiza en que el modelo matemático formal que aparentemente es el más óptimo
para la solución de la situación, no lo es en la realidad o el contexto del problema; maniefestando
que es imposible construir un terreno circular y que en la realidad siempre se van a tener terrenos
rectilíneos. Este contrargumento se convierte en una nueva pretensión del grupo Nº2 que tiene como
propósito quebrantar el argumento de grupo Nº1; es así, como un esquema argumentativo puede
generar otro a causa de la invalidez del primero.
CASO II: Modelo argumentativo del grupo N° 3
En el argumento que se logra extraer del discurso del grupo N°3, se opta por un diseño mixto con
líneas rectas y curvas, explicando que el diseño no se pensó de manera exhaustiva porque
71
concebían que, dado que todos estaban construidos a partir de un perímetro de 100 cm, todos
debían tener también la misma área. Vemos de esta manera que el dato inicial del grupo es
proponer un terreno cualquiera de 100 cm de perímetro, con el fin de probar que todos tienen la
misma área (ver figura N°6). Este análisis que hacen es bastante vago; en primera medida porque
no pensaron mucho en la forma del diseño y proponen el primero que se les ocurre, y en segundo
lugar porque las garantías que dan para apoyar a su dato inicial son muy triviales, como asegurar
que el terreno podría ser cualquiera.
Figura N° 6. Esquema argumentativo del grupo N° 3
Sin embargo, al escuchar esta postura, el grupo N°1 entra a refutarlo a través de un contraejemplo,
donde recurre al uso de modelos matemáticos del área del cuadrado y el rectángulo de 100 metros
de perímetro para probar que no tienen la misma área. Este contraejemplo se convierte entonces en
la refutación del grupo N° 1 para que el esquema argumentativo del grupo N° 3 se desestabilice a la
vez que en el grupo que propone el contraejemplo surge un nuevo esquema argumentativo; que
considera el dato inicial <las figuras construidas a partir del mismo perímetro> para llegar a probar
su pretensión <No tienen la misma área>. Lo que garantiza esta conclusión es el uso de las fórmulas
de área del cuadrado y el rectángulo de igual perímetro que a su vez se respalda con el uso de un
enunciado que realiza el grupo <determinadas transformaciones de la superficie de figuras
geométricas con igual perímetro no conservan la misma área>. Aquí vemos que otro uso de la
refutación está en la enunciación de contraejemplos; como vemos en el esquema de la figura Nº 7:
72
Figura N° 7. Cambio del esquema argumentativo de grupo Nº 3 dado el contraejemplo del grupo Nº 1 que a
su vez se convierte en su nueva pretensión.
Tanto la refutación que se presenta en el caso I como en la que aparece en el caso II, vemos de
manera explícita que efectivamente se hace presente la matematización de la situación; donde en el
primer caso, aparentemente desde la matemática, el modelo más apropiado para asegurar el área
máxima de una figura construible con un perímetro de 100 cm es el círculo; sin embargo, en la
realidad el modelo es totalmente incoherente, pues la finitud de postes en el terreno imposibilita la
construcción de un círculo en la realidad, por lo que el esquema argumentativo del grupo cambia, ya
que ahora que su pretensión es mostrar que la figura con mayor área si bien es el círculo, el
agricultor deberá pensar en construir una figura rectilínea regular con la mayor cantidad de lados,
aproximándose a la construcción de un círculo de perímetro 100 m.
73
Para el segundo caso, la refutación se presenta en forma de contraejemplo, donde el uso de un
modelo matemático conocido, como lo es la fórmula del área de cuadrados y rectángulos, hace que
la pretensión de uno de los grupos se quebrante por completo y tenga que cambiarse. Es importante
aclarar en este punto, que el uso algorítmico de una u otra fórmula propia de las matemáticas, no es
lo que garantiza procesos de matematización; en realidad es la relación de interdependencia que
intentan deducir los estudiantes entre el área y el perímetro de una figura plana usando estos
modelos. No se trata del uso del algoritmo para obtener áreas y perímetros de una figura a modo de
ejercicio como suele suceder en algunas clases de matemáticas; sino descubrir mediante la
correspondencia de ambos modelos (área y perímetro) en una figura geométrica su relación de
dependencia.
De esta manera, podemos concluir que los estudiantes en este punto se encuentra en procesos de
matematización vertical, ya que el problema inicial además de haberse convertido en un problema
meramente matemático, también es solucionado dentro de la misma disciplina; ya sea con el uso de
ciertos conceptos o axiomas, como paso en el esquema argumentativo de la figura Nº 7, cuando
aseguran que “determinadas transformaciones de la superficie de figuras geométricas con igual
perímetro no conservan la misma área” gracias a la relación que establecen los estudiantes entre los
modelos de área y perímetro de ambas figuras geométricas.
Usando las categorías de análisis sobre los procesos de matematización vertical propuestos por
Treffers (1978, 1987) y ampliados por la OCDE (2006); en la tabla N°7, evidenciemos los
indicadores de matematización que se hacen presentes en cada uno de los casos expuestos
anteriormente:
CATEGORÍA: Matematización Vertical
MATEMATIZACIÓN
VERTICAL
NIVEL: General
ACCIONES
DESCRIPTORAS
Utilizar diferentes
tipos
de
representación e ir
alternando
entre
TAREA Nº 3
CASO I
CASO II
En ambos casos se considera que el problema puede ser abordado desde
todas las figuras geométricas propuestas por los estudiantes, donde cada una
tiene sus propias características y el objetivo es buscar aquella en el que se
hace máxima el área. Por esta razón, los estudiantes proponen desde figuras
74
ellos
curvilíneas como el círculo, hasta figuras regulares como el octágono; donde
en determinado momento se hace necesario realizar transformaciones a los
atributos físicos de estas figuras para analizar en qué manera cambian las
características respecto a las iniciales.
Representar una
relación mediante
una fórmula.
Uso de fórmulas que relacionan el
perímetro y el área de figuras
geométricas, como el cuadrado y el
rectángulo para concluir ciertas
proposiciones matemáticas.
Utilizar un lenguaje La deducción de proposiciones
simbólico, formal y matemáticas a partir del análisis de
técnico.
las formas, como “Un círculo es
una figura geométrica de infinitos
puntos”.
La deducción de proposiciones
matemáticas a partir de la relación
entre perímetro y área de una figura
geométrica, como “Determinadas
transformaciones de las figuras
conservan el perímetro pero no el área”
Generalizar2
Se obtienen proposiciones como Se obtienen proposiciones como
“Una figura rectilínea cerrada nunca “Figuras con el mismo perímetro, no
tiene menos de tres puntos, los tienen la misma área”
cuales a su vez deben estar
colíneales”
Comprender
el
alcance y los límites
de los conceptos
matemáticos en el
problema situado
en la realidad.
Cuando reconocen la imposibilidad
del agricultor por considerar al
círculo como una opción para su
terreno, por tener una cantidad
infinita de postes.
Reflexionar sobre
las
argumentaciones
matemáticas y la
explicación
y
justificación de los
resultados
obtenidos.
Los resultados presentados en el caso I y II durante los proceso
argumentativos entre los estudiantes, en el que se presentan también actos de
refutación, son utilizados por todos para construir reflexiones concluyentes
que acercan a los estudiantes a la solución del problema, como cuando
deducen que: “Para asegurar que el terreno encierre la mayor área posible, se
deben usar la mayor cantidad de postes acercándose a la construcción de un
terreno circular”
Cuando reconocen que deben
pensarse de manera profunda en la
forma que debe tener el terreno, dado
que aunque todos tienen el mismo
perímetro esto no garantiza que tengan
la misma área.
Criticar el modelo y Todas las conclusiones y proposiciones matemáticas que construyen los
2
Generalizar implica para Freudenthal conectar varias situaciones reconociendo características similares que permiten que se
clasifiquen dentro de un determinado tipo. (Gravemeijer, 1994, p.104).
75
sus límites
estudiantes, se consiguen gracias a procesos de argumentación y refutación
de un modelo a otro; donde las formulas, conceptos y/o proposiciones
matemáticas se usan para criticar un modelo determinado, para cambiar un
argumento, para transformar un modelo erróneo en otro de mayor coherencia,
etc.
Tabla N°7. Matematización vertical en un nivel general de la tarea N°3
Como podemos ver, tanto para el caso I como en el II, uno de los aspectos más relevantes es que
los estudiantes logran transformar el problema inicial en un problema matemático, en ambos casos
el problema del terreno más óptimo se transforma en un problema de optimización y maximización
de áreas; sin embargo, el uso de un modelo matemático explicito se evidencia solo en el caso II,
donde se recurre al uso de fórmulas matemáticas para hallar áreas de figuras con un perímetro de
100 cm.
Sin embargo, las afirmaciones que se realizan en el caso I, son bastante importantes para lograr
construir modelos más formales; por ejemplo, la conclusión a la que llega uno de los grupos <Sí
tuviera más chinches (postes) le pondría todos los necesarios con el fin de ampliar la amplitud de los
ángulos y asegurar que se acerque al área de un círculo> (Ver imagen N°14), podría suponer una
ayuda inicial y bastante empírica para crear modelos mucho más complejos, como el del límite
matemático, donde los estudiantes reconocen que al aumentar indefinidamente los vértices o lados
de un polígono regular, éste va adoptando la forma y el área de un círculo; que dicho en términos
matemáticos con el uso del concepto de límite, sería equivalente a decir que <El área de polígonos
regulares cuando la cantidad de vértices tienden al infinito es igual al área de un círculo>. Este
modelo que los estudiantes no enuncian de manera formal pero que al parecer por las acciones que
realizan (como la de ir aumentando cada vez más la cantidad de chinches en los polígonos regulares
que van construyendo) y las afirmaciones que enuncian, podrían suscitar la emergencia más
comprensible de la idea de límite matemático.
76
Imagen 14: Cuestionario diligenciado por el grupo N° 2
En este caso, he usado la palabra “modelo” en el sentido aceptado por Freudenthal (1983), donde se
concibe como “intermediario, a menudo indispensable, a través del cual una realidad o teoría
compleja es idealizada o simplificada con el fin de volverla susceptible a un tratamiento matemático
formal.” (Freudenthal, 1991, p. 34)
Desde la EMR, el término “modelo” tiene dos connotaciones cuando se trata dentro de una
trayectoria de aprendizaje/enseñanza; la primera se refiere a modelos preconstituidos e impuestos
desde la matemática formal, como los usados en el caso II, relacionados con las fórmulas de área y
perímetro de algunas figuras planas y procedimientos volcados simbólicamente como los algoritmos
en columnas (Treffers, 1987) (Ver imagen N°15).; y el segundo se refiere a modelos emergentes o in
statu nascendi, como el que podría generarse en el caso II, referido a la idea de límite matemático
(Ver imagen N° 15). En ambos casos, los modelos giran en torno a preguntas que surgen de la
situación problema; así los alumnos se abocan a actividades organizadoras y reorganizadoras de las
cuales surgen y se usan los modelos. Si bien, en un principio, estos están estrechamente ligados a
77
los contextos y situaciones de los que emergen, como sucede en las tareas N°1 y N°2, donde los
modelos no solo son pensados como representaciones o figuras sino también como objetos de
trabajo y reflexión en sí mismos, sobre los cuales se realizan acciones y operaciones y se visualizan,
explican, comparan, contrastan, comprueban relaciones, que poco a poco se van despegando de la
situación particular hasta adquirir el carácter de modelos formales y generales y, por lo tanto
generalizables y aplicables a otros contextos y situaciones, pasando así de modelo relativo a una
situación particular, a modelo para razonar matemáticamente en situaciones variadas de fuera y
dentro de la matemática misma, como en la tarea N°3.
. “Modelos preconstituidos” usados en el bordaje de problema para el caso II
“Modelo emergente o in statu nascendi” que podría formalizarse en el caso II
Imagen N°15. La noción de modelo desde la EMR vista desde la situación problema
Estos modelos emergentes son de gran importancia para la EMR, ya que son fundamento para
garantizar que los estudiantes están reemplazando prácticas que trivializan la matemática, como su
aprendizaje por imitación, repetición o memorización, siendo sustituidas por prácticas más
significativas. Estos procesos en los que la matemática es redescubierta o reinventada son los que
tienen realmente un valor en los estudiantes, que desde la propuesta de Freudenthal sería una
forma de reinvención guiada, en la que se usa el sentido común, el lenguaje cotidiano y las prácticas
empíricas para redescubrirlas.
78
“Para transformarlo en matemática genuina y para progresar, el sentido común debe
ser sistematizado y organizado. Las experiencias del sentido común cristalizan en
reglas que se transforman de nuevo en sentido común, pero en un nivel más alto,
constituyendo así la base para una matemática de orden aún mayor, una jerarquía
tremenda. Construida gracias a un notable interjuego de fuerzas” (Freudenthal, 1991.
Pág. 9)
Aquí el docente es agente fundamental para mediar entre las producciones informales de los
estudiantes y las herramientas formales ya institucionalizadas de la matemática como disciplina.
De esta manera, podemos concluir que en la tarea Nº3, los estudiantes presentan descriptores
propios de una matematización vertical, donde el problema es abordado desde un contexto
puramente matemático, trasponiendo los resultados obtenidos en este contexto al problema del
agricultor; mientras que reconocen los alcances y límites de sus descubrimientos en las
implicaciones del problema original. Este proceso de matematización se da en un nivel general, dado
que se hace evidente un proceso de exploración de diferentes modelos que posibilitan la solución
del problema, abordados desde de reflexión, y finalmente se presentan procesos de generalización
cuando concluyen proposiciones dentro de la matemática, aplicables a la situación misma. Para
Freudenthal (1977) generalizar implica
“Un concepto distinto de transferir. Cuando se habla de generalizar en la EMR no se
entiende como la aplicación de un procedimiento conocido a situaciones nuevas (esto
sería aplicar o transferir según su característica de novedad para el alumno), sino que
implica conectar varias situaciones reconociendo características similares que permiten
que se clasifiquen dentro de un determinado tipo. Al mismo tiempo, el proceso de
solución (abarcativo) puede ser estructurado y, por lo tanto, la generalización toma
forma de una actividad de organización, como una forma de matematización
(Gravemeijer, 1994, p.104).
En este caso, ciertos anunciamientos concluyentes que hacen los estudiantes en el discurso
argumentativo cuando resuelven la situación problema, podrían considerarse aspectos que
generalizan; por ejemplo, cuando refieren que “dos figuras diferentes con el mismo perímetro no
79
tienen la misma área” o “No se pueden construir figuras rectilíneas cerradas de menos de tres puntos,
los cuales tampoco pueden estar colineales”; son proposiciones que logran descubrir y generalizar
dentro de la matemática pero que han sido suscitadas por la situación del “terreno más óptimo”
cuando trabajan en el análisis de sus diseños de terreno.
7.4. ANÁLISIS TAREA Nº 4
Hasta este punto, los estudiantes han visto que el problema que enfrentan, está estrechamente
relacionado con el objeto mental figura geométrica, reconociendo que es necesario el análisis
exhaustivo y profundo de las características y propiedades de las figuras, sin limitar sus afirmaciones
a la simple visualización de la misma. Sin embargo, aún existe una marcada tendencia por parte de
los estudiantes por referirse a la figura con afirmaciones como “se ve que es el de mayor área”, “Los
ángulos son bastante amplios y se asegura un aprovechamiento del espacio”, que se vieron en el
desarrollo de la tarea Nº 3. Ante este suceso, se hace necesario que los estudiantes empiecen un
trabajo matemático formal con las figuras geométricas; es decir, lo que hasta ahora han afirmado
deberán validarlo a partir de un concepto, axioma, teorema o uso de modelos formales dentro de la
matemática; como por ejemplo el recurrir a los modelos de área y perímetro de algunas figuras
geométricas y las relaciones que se pueden establecer entre ellas; con el fin de que esto permita que
sus argumentos sean más sofisticados y convincentes al ser apoyados por estos modelos. Este
proceso permitió que los estudiantes lograran procesos de refinamiento y modificación de las figuras
geométricas que inicialmente propusieron y evidenciando que ciertas modificaciones a los atributos
geométricos de las figuras hacen que sus características se alteren, mientras en otros casos se
mantengan intactas.
Para el análisis de la tarea Nº 4, se eligen los grupos que diseñan los modelos de la imagen
N° 16:
80
Grupo 1: Triángulo
Grupo 2: Circulo
Grupo 3: rectángulo
Imagen N°16. Diseños a analizar en la tarea N°4
…
Profesor: Bien muchachos, les propongo el siguiente trabajo: van a seguir defendiendo cada uno de
sus diseños, pero esta vez lo vamos hacer usando ciertas herramientas matemáticas útiles para
validar lo que estamos afirmando respecto a la superficie del terreno. Por ejemplo, las fórmulas de
área de las figuras que ustedes construyeron a partir de un perímetro de 100 metros; probablemente
los números nos saquen de muchas dudas y podamos proponer una solución definitiva para el
agricultor.
... Los estudiantes empiezan a trabajar con el uso de fórmulas matemáticas relacionadas con el área
de sus figuras…
Grupo 3: Profe, nosotros ya encontramos el área del cuadrado, porque como cada lado es de 25
metros, el área es 25 m x 25 m lo que da 625 m2.
Profesor: Bien, ahora miremos el diseño circular
Grupo 2: Pues para hallar el área del circulo de 100 metros de perímetro, tuvimos primero que
determinar cuál era el radio porque no lo conocíamos; pero pudimos saber cuál era porque
despejamos el radio la fórmula de perímetro y el valor que obtuvimos lo reemplazamos en la fórmula
de área y nos dio un resultado de 795,22 m2.
Profesor: Podrían pasar a explicárnoslo mejor en el tablero
81
[Uno de los estudiantes del grupo 2 toma un marcador, pasa al tablero y explica el método utilizado
para determinar el área del círculo de 100 metros de perímetro]
Estudiante grupo 2: Sabemos que el perímetro de un círculo es 2𝜋𝑟, pero en nuestro caso el
perímetro es 100 metros, entonces podemos decir que 100 = 2𝜋𝑟 ; si despejamos el radio resulta
que 𝑟 =
100
2𝜋
, lo que nos da como resultado que el radio vale 15,91 metros. Y pues ya sabiendo el
radio la reemplazamos en la fórmula de área y nos resulta que es de 795,22 m2.
Imagen Nº 17. Estudiante del grupo 2 explicando cómo hallaron el área del círculo de 100 metros de
perímetro
Grupo 2: Nos costó un poco de trabajo pero lo logramos.
Profesor: Eso quiere decir que el círculo de 100 metros de perímetro, tiene mayor área que el
cuadrado del mismo perímetro.
Grupo 1: ¡Sí!. Pero ya sabemos que un círculo no es posible construirlo en realidad.
Profesor: Y ¿cuál fue el área de su triángulo equilátero? (Dirigiéndose al grupo 1)
Grupo 1: Pues nosotros determinamos el área del triángulo usando la fórmula de base por altura
dividido en dos; pero también nos tocó hacer un procedimiento extra para hallar la altura del
triángulo y pues como el de nosotros tiene todos los lados iguales, usamos teorema de Pitágoras.
82
Profesor: Y ¿cómo hicieron eso?
[El estudiante pasa al tablero y halla el área del triángulo equilátero de 100 metros de perímetro
usando teorema de Pitágoras]
Estudiante grupo 1: Pues empezamos calculando la medida de cada lado del triángulo, si todos
miden lo mismo entonces dividimos 100 metros entre 3, lo que nos da 33,33 metros por cada lado.
Si trazamos la altura del triángulo se forman dos triángulos rectángulos de hipotenusa 33,33 metros
y un cateto de 16,66 metros. Entonces usando Pitágoras hallamos la altura que es de 28,87 metros.
Y pues después usamos la fórmula de área de triángulos y nos da un área total de 481.17 metros. Y
eso que no es exacto, es un poco más porque no tomamos todos los decimales; solo tomamos dos.
Igual no cambia mucho el resultado.
Imagen Nº 18. Estudiante del grupo 1 determinando la altura y el área del triángulo equilátero de
perímetro 100 metros.
Profesor: Es decir que en ese orden tenemos que el círculo es el de mayor área, le sigue el
cuadrado y finalmente el triángulo.
Grupo 1: Pero eso pasa si el triángulo es equilátero, porque podría existir otro triángulo con mayor
área que el equilátero.
83
Grupo 3: Como también puede existir un rectángulo de mayor área que el cuadrado.
Grupo 1: En ese caso tendríamos que hallar el área de todos los triángulos y todos los rectángulos,
mejor dicho de todas las figuras que se pueden construir con 100 metros de perímetro. ´
Grupo 3; Pero son muchas figuras, creo que son infinitas.
Profesor: Pues entonces propongo que los que eligieron el diseño triangular se pongan en la tarea
de hallar el área de varios triángulos de 100 metros de perímetro a ver si encuentran uno de mayor
área que el equilátero; igual los del diseño cuadrado miren si existe un rectángulo de perímetro 100
metros que tenga mayor área que el cuadrado. …
En estas intervenciones de los estudiantes, se evidencia que el esquema argumentativo es bastante
simple y poco controversial, en el sentido de que se limita a dos elementos constitutivos del
argumento; esto es, al dato y a la pretensión, la cual es garantizada por el uso sistemático de
fórmulas matemáticas formales y conocidas. En este sentido, nadie se atreve a desafiar las
garantías ofrecidas por los estudiantes para declarar el área exacta de sus figuras; dado que ello
implicaría refutar un modelo matemático ya conocido y aceptado de antemano, de modo que no hay
necesidad de echar mano de un respaldo, pues la información general dato-pretensión se hace
suficiente y valida con el respaldo de la fórmula usada, como se muestra en la figura Nº 8.
84
Figura Nº 8. Esquemas argumentativos de los grupos Nº 1 y Nº 2 respectivamente.
Esta manifestación que se da en común en todos los grupos, demuestra que cuando los estudiantes
ponen en juego dentro de sus discursos argumentativos, elementos matemáticos formales como un
modelo, una formula o un teorema para validar una pretensión, la matemática se convierte en una
ciencia exacta e irrefutable, donde como en este caso suelen existir ciertos acuerdos matemáticos
acerca de los tipos de garantías para los cuales es poco razonable exigir pruebas adicionales; ya
que , se les acepta “más allá de toda duda razonable” o como la “presuposición plausible más fuerte
disponible por el momento” (Toulmin, 1984: 19). Así, los estudiantes toman conciencia de que el uso
de elementos matemáticos ya institucionalizados dentro de la disciplina, es una forma de dar fuerza
y validez a sus argumentos, evitando así que sean refutados o contradichos por los demás.
En este fragmento de la conversación, también evidenciamos que los estudiantes son conscientes
de los límites que tienen los modelos usados y las afirmaciones que realizan, formándose en ellos la
concientización por la necesidad de generalización; en tanto consideran que no pueden generalizar
una afirmación por el hecho de ser verdadero para un caso particular y que en este sentido, se hace
necesario garantizar que el modelo se cumple con el mayor número de casos. Es por ello que
deciden trabajar no solo con una clase particular de rectángulos, sino con todos los rectángulos que
85
se pueden construir con un perímetro de 100 cm de perímetro o, no solo con el triángulo equilátero,
sino con la familia de triángulos del mismo perímetro. Se evidencia entonces una marcada
preocupación por prácticas de generalización, que intentan resolver mediante la selección cuidadosa
de un ejemplo “lo menos particular posible” (Balacheff, 1987). Veamos en qué continúo la discusión
respecto a este aspecto:
Transcripción del día 29 de octubre de 2014
…
Profesor: Pero, habíamos acordado que el grupo del diseño cuadrado iban a trabajar con la familia
de los rectángulos y el grupo del triángulo con la familia de los triángulos ¿No?
Grupo 1: Si profe, hallamos el área de varios triángulos y de todos los que encontramos nos dio un
resultado menor al del triángulo equilátero. Aunque tuvimos varios problemas.
Profesor: Como ¿cuáles?
Grupo 1: Es que solo pudimos obtener áreas de triángulos isósceles porque con los demás no
sabemos cómo hallar las alturas. Y algo curioso es que el área de algunos triángulos nos dio cero, y
tampoco sabemos por qué
Profesor: ¿Cómo cuál?
Grupo 1: El triángulo de 25 metros, 25 metros y 50 metros o el de 10 metros, 10 metros y 80 metros.
[El estudiante del grupo 1 pasa al tablero]
86
Imagen Nº 19. Estudiante del grupo 1 mostrando el caso de un triángulo isósceles donde la altura es
de 0 m y el área es de 0 m2
Profesor: Para todos, ¿Porque creen que pasa esto?
[Todos se toman un tiempo para pensarlo]
…
Grupo 3: mmmm profe ya sé, intente dibujarlo y no pude.
Grupo 1: ¿Cómo así?
Grupo 3: Si, Pedro (dirigiéndose al estudiante del tablero) intente dibujar ese triángulo en el tablero.
Grupo 1: Pues ahí está dibujado (Señalando el triángulo dibujado inicialmente por ellos ver figura N°
23).
Grupo 3: No pero con medidas exactas, use la regla.
[El estudiante toma regla e intenta dibujar el triángulo con medidas exactas]
87
Imagen Nº 20.Estudiante del grupo 1 intentando dibujar el triángulo de medidas 25m, 25m y 50 m
Grupo 1: Eso quiere decir que lo que en realidad tiene es una línea recta de 50 m, donde los
extremos de los lados de 25 se unen, coincidiendo con el lado de 50 m.
Grupo 3: mmmm sí, pero en el otro caso del triángulo de 10 m, 10 m y 80 m, ¿por qué no da?
…
Grupo 1: porque la base de 80 metros es muy larga y los otros lados de 10 metros no se alcanzan a
unir. Entonces no hay altura porque no hay unión de los lados de 10 metros.
Imagen Nº 21.Estudiante del grupo 1 explicando que los lados de 10 metros no se alcanzan a unir
porque la base de 80 metros es mucho mayor
Grupo 2: Ósea que en realidad no hay triángulo.
Grupo 1: Y por obvias razones tampoco área.
Profesor: Esto es lo que en matemáticas llamamos el teorema de la desigualdad triangular.
…
88
Con base a este fragmento de conversación, se evidencia una clara constitución de la idea de
desigualdad triangular; que si bien no se presenta de manera formal como teorema, podemos
evidenciar que los anunciamientos que los estudiantes pueden realizar respecto a sus resultados
cuando usan modelos matemáticos y estos resultan ser incoherentes, es la forma en que se
percatan que el hecho de que un triángulo tenga una altura nula y que en consecuencia genere un
área de 0 m2, es lo que les permite afirmar que en realidad no hay triángulo. Estos descubrimientos
operativos son los que hacen que el estudiante se remita nuevamente a las representaciones
gráficas del triángulo para percatarse de que desde un principio haber considerado un triángulo
isósceles de 25cmx25cmx50cm estaba errado.
Figura N°9. Esquema argumentativo del grupo 1
Básicamente el esquema argumentativo empieza con la exposición de un dato por parte del grupo
que trabajaba con la familia de los triángulos isósceles. Dicho triángulo es específicamente el que
tiene medidas de 25cm, 25cm, 50cm que de hecho es también dibujado por el mismo grupo en
tablero (Ver imagen Nº 20) y por tanto considerado como un triángulo construible; acto seguido,
intentan obtener su área empezando por calcular su altura con el uso del teorema de Pitágoras,
89
dando como resultado cero y por tanto un área inexistente. En este momento el grupo cae en la
cuenta de que dicho triángulo es imposible de construir, lo que se convertiría en su pretensión. La
acción de intentar dibujar nuevamente el triángulo, pero esta vez considerando medir las longitudes
exactas de sus lados, es lo que podríamos concebir como la garantía para mostrar que en realidad
lo que están representando es una línea recta de 50 cm. Sin embargo, como una forma para reforzar
esta garantía, realizan un proceso semejante al que se utiliza cuando se demuestra por reducción al
absurdo; ya que parten por considerar la suposición de que sí es posible la construcción de este
triángulo isósceles y como consecuencia también es posible la obtención de una altura y un área
determinada; pero al realizar los procesos matemáticos pertinentes para determinar estos valores y
llegar a resultados nulos, es lo que les permite concluir que lo que esta errado es la suposición inicial
de considerar posible la construcción de dicho triángulo.
Si hacemos una analogía con la teoría de campos conceptuales de Vergnaud (1990) respecto a lo
que él llama teorema en acto3, podríamos concebir algunas acciones del estudiante como la que se
muestra en la imagen Nº 21, donde hay una idea implícita de la desigualdad triangular; cuando
intentan dibujar el triángulo isósceles de 25cm, 25cm, 50cm y evidencian que al hacerlo con medidas
exactas lo que obtienen en realidad es una línea recta de 50 cm con dos sobre puestas de 25 cm
cada una; o cuando el estudiante que se muestra en la figura Nº 21 quien con sus gestos intenta
aclarar que un triángulo isósceles de 10cm, 10cm, 80cm tampoco es viable construirlo por la
imposibilidad de lograr una unión entre los vértices de los lados más pequeños.
Estos acontecimientos permiten evidenciar que los estudiantes logran constituir ciertos elementos
matemáticos de manera implícita, ya que aunque no son referidos formalmente en la matemática o
explicitados con un lenguaje técnico-formal dentro de la disciplina, las afirmaciones y conclusiones
que logran construir a partir de la acciones que realizan, muestran un claro acercamiento conceptual
de teoremas y conceptos, como el de la desigualdad triangular; que en este caso no fue impuesto
por el profesor como suele suceder en algunas clases tradicionalistas de matemáticas, donde el
profesor inicia con la explicitación formal del teorema y posteriormente se induce al estudiante a
hacerlo evidente con la resolución de algunos ejercicios. Por el contrario, en este caso el teorema es
Proposición obtenida como verdadera en la realidad, a menuda implícita en una acción, que permite un razonamiento
lógico basado en dicha acción. (Vergnaud, 1990; Moreira, 2002)
3
90
descubierto por los estudiantes y además es comprendido gracias a las acciones que logran realizar
alrededor del problema.
Veamos ahora, lo sucedido con el grupo que tenía a cargo trabajar con las áreas de la familia de los
rectángulos:
Transcripción del día 29 de octubre de 2014
…
Profesor: Entonces ninguno de los triángulos que consideraron tiene mayor área que el triángulo
equilátero.
Grupo 1: No señor, o por lo menos dentro de la familia de los isósceles no. Entonces nos quedamos
con el triángulo equilátero.
Profesor: ¡Ok!. Y en cuanto a los rectángulos, ¿hay alguno que tenga mayor área que el cuadrado?
Grupo 4: No señor, también hicimos muchos rectángulos del mismo perímetro de 100 metros y todos
tuvieron menor área que el cuadrado, y creo que de todos los rectángulos de 100 metros de
perímetro, el cuadrado es el de mayor área.
Grupo 1: Pues eso es algo que no sabemos, porque por lo menos nosotros solo trabajamos con
triángulos isósceles y no sabemos si de pronto haya uno que sea por ejemplo escaleno y tenga
mayor área que el equilátero.
Grupo 4: ¡No!, Porque nosotros sí trabajamos con todos los rectángulos, y siempre el cuadrado fue
de mayor área. El de menor área era el que media 1m X 49 m que daba 49 m2 los que más se
acercaban al área del cuadrado eran los rectángulos que casi casi tenia lados iguales; por ejemplo el
de 24 m x 26 m que da 624 m2. También hicimos una tabla (sacando sus libretas de apuntes y
mostrando lo realizado)
91
Imagen N° 22. Estudiante del grupo 4 mostrando la tabulación de datos que realizó respecto a los
rectángulos que se construyen con un perímetro de 100 m, resaltando que el de mayor área es el
cuadrado de 25 m de lado.
Grupo 4: Si ven, las áreas de los rectángulos que están arriba del cuadrado son las mismas que
están debajo y siempre es mayor la del cuadrado.
Grupo 1: Pero acaso no existen infinitos rectángulos.; ustedes no pueden asegurar eso porque les
falta mirar los rectángulos que tienen lados con números decimales, como el de (pensándolo
un poco) 10,5 m x 39,5 m.
Grupo 1: Pues supongo que debe ser igual, el área de ese rectángulo debería estar entre las áreas
de los rectángulos 10m y 11m de lado. (Usando la calculadora). Si ve, el área de un rectángulo de
10,5 m x 39,5 m es 414,75 m2, que se encuentra entre las áreas de 400 m2 y 429 m2 (Rectángulos
de 10 m y 11 m respectivamente). Mire, (mostrando su cuaderno)
Imagen N° 23. Tabla resaltando que el área de un rectángulo de perímetro 100m y de lado 10,5m,
está entre las áreas de los rectángulos de 10m y 11m.
92
Grupo 3: Pues como había dicho que ahí estaban todos los rectángulos, lo cual es mentira porque
son infinitos.
Grupo 1: Bueno si, pero aunque no están, se pueden ubicar siempre entre los valores más cercanos
que ya tenemos en la tabla y el área va a corresponder a un valor entre los que ya están en la tabla.
…
El grupo a cargo de trabajar con las áreas de la familia de los rectángulos, deduce una conjetura que
da a conocer a sus demás compañeros. Esta enuncia explícitamente que “De todos los rectángulos
de 100 cm de perímetro, el de mayor área es el cuadrado”. Básicamente llegan a esta conclusión
gracias a la consideración de ejemplos específicos, ya que exponen su trabajo consistente en la
búsqueda de áreas con todos los rectángulos que tienen un perímetro de 100 cm. Como parte de
este trabajo de ejemplificación, se hace necesaria la organización de los datos obtenidos a partir de
una tabla que muestra la relación entre las longitudes de los lados de los rectángulos de 100 cm de
perímetro con su respectiva área, como se puede ver en la figura Nº 28. La anunciación de esta
conjetura por parte del grupo, desata un discurso argumentativo entre los estudiantes que
básicamente se sintetiza en el siguiente esquema de Toulmin:
93
Figura N°10. Esquema argumentativo del grupo 2, modificado por la intervención a modo de
refutación del grupo 1.
Como podemos ver en la Figura N°10, la conjetura realizada por el grupo se apoya de la
ejemplificación de varios casos específicos, que muestran que cualquier rectángulo de 100 cm de
perímetro siempre tiene un área menor al cuadrado de 25 cm de lado; es decir, que los ejemplos
sirven de garantía para apoyar la pretensión de mostrar que el cuadrado es el de mayor área. Para
respaldar esta garantía, los estudiantes se valen de una tabla que sintetiza estas ejemplificaciones y
que muestra según ellos, la totalidad de rectángulos que se pueden construir con un perímetro de
100 cm; lo que consideran suficiente para garantizar la validez de su conjetura. Sin embargo, el
grupo de estudiantes a cargo de la familia de triángulos, manifiesta que las diversas
ejemplificaciones y la tabla que sintetiza los datos obtenidos, no son suficientes para validar la
conjetura, porque en la tabla no se muestra ni siquiera una pequeña parte de la totalidad de
94
rectángulos que se pueden construir bajo las condiciones establecidas; de hecho, afirman que el
considerar rectángulos de dimensiones continuas hace evidente la infinitud de rectángulos de 100
cm de perímetro, por lo que la tabla no les es suficiente para validar la tesis que ponen en juego. En
este punto, se ha presentado una refutación al esquema argumentativo del grupo, consistente en un
ejemplo ausente en la tabla que muestran; este es el rectángulo de lados 39,5 cm x10,5 cm, el cual
tiene un área de 414,75 cm2. Para el grupo que expone la refutación se crea una pretensión, la cual
es invalidar la tesis del grupo que expone la conjetura, ya que presentar un ejemplo de rectángulo
que no está dentro de la tabla, hace ver que no han contemplado la totalidad de rectángulos para
garantizar su pretensión.
Es en este punto, que los estudiantes sin estar convencidos totalmente de la oposición de quienes
presentan el contraejemplo, se dan a la tarea de analizar la situación más a fondo, pues empiezan a
buscar dónde ubicar los rectángulos con longitudes de lado continuos dentro de su tabla. Este
proceso les permite ver que aunque dichos rectángulos no se hacen explícitos en su tabla, estos se
encuentran de manera implícita, ya que podrían obtener el área de cualquier rectángulo de lados
decimales y fácilmente podrían ubicarlo en su tabla, de tal manera que éste se encuentre entre los
valores de sus respectivos valores enteros más cercanos. Para clarificar esto, utilizan el mismo
contraejemplo que les propone el grupo opositor, diciendo que el rectángulo de perímetro 100 cm y
que tiene un lado de 10,5 cm, es aquel que se encuentra entre los rectángulos de lados 10 cm y 11
cm, y que al obtener su área que es de 414,75 cm2, ésta resulta estar precisamente entre las áreas
de los rectángulos antes mencionadas, esto es entre 400 cm 2 y 429 cm2 respectivamente. Al
descubrir esto, los estudiantes exponen otros ejemplos similares que hacen ver que aunque la tabla
no muestra explícitamente todos los rectángulos de 100 cm de perímetro, se podría inferir que
cualquiera que examinen va a estar de manera implícita en la misma, pudiendo así validar su
hipótesis inicial y concluir que de todos los rectángulos de perímetro 100 cm, el cuadrado es el de
mayor área.
En el análisis de esta tarea, se evidencia que los estudiantes son conscientes de la necesidad de
generalización y para abordar dicha necesidad se valen de la selección cuidadosa de uno o varios
ejemplos “lo menos particulares posibles” (Balacheff, 1987), convencidos de que si el enunciado es
válido en estos ejemplos, lo es para todos los casos. A esto es lo que Balacheff (1988) llama
95
demostraciones empíricas bajo la tipología de experimento crucial, donde la verificación de la
hipótesis es validada con el uso de unos pocos ejemplos específicos; sin embargo, el hecho de
empezar a organizar los datos en una tabla y mostrar que dicha tabla aunque no contiene de manera
explícita la infinitud de ejemplos necesarios para demostrar su conjetura, si es suficiente para
garantizar la existencia y uso de todos los casos posibles y por tanto para validar su conjetura.
Esto muestra que el razonamiento inductivo de los estudiantes, se basa en la elaboración de
conjeturas e hipótesis que partiendo de un conjunto de observaciones y casos particulares
trabajados bajo la ejemplificación, conducen a la generalización de ciertas propiedades. En la
matemática, este método puede ser el punto de partida para la búsqueda de regularidades en un
grupo de datos que pueden ser de naturaleza diversa (números, gráficas, formas geométricas, etc.)
hacia la formulación de generalizaciones sobre la base de lo observado y la enunciación de
conjeturas que posteriormente puedan trabajar como punto de partida para el aprendizaje de la
demostración.
La formulación de conjeturas como la que hacen los estudiantes cuando afirman que “de todos los
rectángulos del mismo perímetro, el de mayor área es el cuadrado”, hace ver que situación problema
abordada y el trabajo con las figuras geométricas, están garantizando el descubrimiento de ciertos
teoremas y propiedades matemáticas por parte de los estudiantes; que desde el punto de vista de
algunos educadores matemáticos se presenta como la preocupación por la incapacidad de algunos
estudiantes para formular y abordar una demostración en matemáticas (Gaud y Guichard, 1984). Lo
interesante sobre esto, es que aunque Freudenthal no realiza una fenomenología didáctica profunda
sobre la figura geométrica, como si la hace con la fracción y la proporción, si realiza algunos
pronunciamientos sobre el tema; como por ejemplo el siguiente:
“… En un nivel superior, el fenómeno de la figura geométrica se organiza mediante
las construcciones y demostraciones geométricas”. (Freudenthal H, 1983).
Lo que es interesante de esta afirmación, es evidenciar que en el desarrollo de esta tarea lo que
inicio con la organización de fenómenos relacionados con perímetro y área de figuras geométricas,
es lo que logra construir y abordar conjeturas formales dentro de la disciplina matemática, como un
intento inicial por probar la validez de sus afirmaciones; lo que muestra un acercamiento y
96
preocupación bastante fuerte por procesos de demostración matemática; que si bien no son
abordados desde la matemática formal y con elementos propios de la disciplina, el hecho de poder
descubrirlos, enunciarlos y abordarlos, se convierte en un buen punto de partida para formalizar
procesos de prueba en los estudiantes, como ya lo había pronosticado el propio Freudenthal, siendo
este trabajo una muestra fiable de ello.
Respecto a los procesos de matematización evidentes en esta tarea, podemos ubicar a los
estudiantes en una categoría de matematización vertical en un nivel general de la matemática (Ver
tabla N°8); ya que los estudiantes muestran procesos de exploración, reflexión y generalización
focalizada desde la matemática misma, donde el contexto inicial del problema es totalmente
olvidado; es decir, sus procesos y estrategias superan la referencia al contexto. Este nivel se
caracteriza porque a partir de la reflexión que se hace sobre los conceptos, procedimientos,
conjeturas y modelos, surgen aspectos generalizables de los mismos. Veamos algunos descriptores
que indican que los estudiantes se ubican en este nivel de comprensión:
CATEGORÍA: Matematización Vertical
NIVEL: General
MATEMATIZACIÓN VERTICAL
ACCIONES
DESCRIPTORAS
Utilizar diferentes
tipos
de
representación e ir
alternando
entre
ellos
TAREA Nº 4
CASO I (GRUPO DE LA FAMILIA
DE TRIÁNGULOS)
CASO II (GRUPO DE LA FAMILIA
DE RECTÁNGULOS)
En ambos casos, los estudiantes se remiten al uso de casos específicos a
modo de ejemplificación, para lograr compilar la mayor cantidad de evidencias
para determinar que de todos los polígonos de igual perímetro, los polígonos
regulares (Triángulo equilátero y cuadrado) son los de mayor área. La
necesidad de abordar todos los casos posibles, exige que los estudiantes
exploren y usen varios modelos con la necesidad de poder validar y darle
poder a sus afirmaciones. Así recurren al uso de ejemplos específicos,
representaciones geométricas de algunos polígonos, el uso de fórmulas para
evidenciar alguna relación entre el área y el perímetro de las figuras dibujadas
y la construcción de tablas para organizar datos y comprobar alguna
recurrencia; todo con el fin de que estos modelos se conviertan en una ayuda
para demostrar sus conjeturas.
Representar una Durante la exploración de los casos particulares, los estudiantes requieren del
relación mediante uso de modelos matemáticos preconstituidos, como el teorema de Pitágoras,
los modelos matemáticos de área y perímetro de figuras planas, desigualdad
97
una fórmula.
triangular, etc. Teniendo en cuenta que el uso de estos modelos y formulas,
no se hacen de manera independientemente; sino que se usan de manera
interdependiente y relacionada para verificar una propiedad. En este sentido,
el teorema de Pitágoras es usado para hallar la atura del triángulo necesaria
para determinar su área, o el uso del modelo de área de un triángulo imposible
de construir para verificar el teorema de la desigualdad triangular. En este
punto es necesario aclarar que los estudiantes no usan los modelos y
fórmulas de manera aleatoria o por la simple solución de un ejercicio, sino que
su uso se da por la necesidad de representar una relación o encontrar una
regularidad, esto es la dependencia entre área y perímetro de una figura-
Utilizar un lenguaje Los estudiantes usan un lenguaje formal dentro de la disciplina matemática;
simbólico, formal y cuando abordan conjeturas de tipo matemático dentro de las cuales nombran
técnico.
conceptos propios de esta disciplina, como los de polígonos regulares e
irregulares, figuras curvilíneas y rectilíneas, utilizan simbología matemáticas al
relacionar los modelos de área y perímetro, los anunciamientos de teoremas
como el de Pitágoras o el de la desigualdad triangular; hace evidente que los
estudiantes abordan el problema desde las matemáticas y el contexto del
agricultor es totalmente olvidado.
Generalizar
Lograr construir y abordar conjeturas
matemáticas con un lenguaje propio
de la disciplina y con un carácter
generalizable, como cuando afirman
que “De los triángulos isósceles del
mismo perímetro el equilátero es el
de mayor área”; con lo que se puede
evidenciar que los estudiantes
reconocen al triángulo equilátero
como un tipo especial de triángulo
isósceles; o el descubrimiento del
teorema de la desigualdad triangular.
Lograr construir y abordar conjeturas
matemáticas con un lenguaje propio
de la disciplina y con un carácter
generalizable, como cuando afirman
que “De los rectángulos de perímetro
100 cm, el cuadrado es el de mayor
área”; con lo que se evidencia que los
estudiantes reconocen al cuadrado
como un tipo especial de rectángulo.
Refinar y ajustar los
modelos
matemáticos
mediante
un
proceso
de
combinación
e
integración
de
modelos
Los estudiantes logran relacionar los
modelos de área del triángulo y el
teorema de Pitágoras para evaluar la
imposibilidad de construcción de
triángulos. En el momento en el que
comprueban que valores nulos para
la altura y el área de un triángulo
significan la imposibilidad de su
construcción, es la manera en que
constituyen el teorema de la
desigualdad triangular. Es decir, la
combinación, integración y reflexión
El uso de las tablas como método
efectivo para organizar los datos que
obtienen a la hora de considerar
varios ejemplos, son los que permiten
evaluar y analizar cualquier tipo de
rectángulo, aún aquellos que aunque
no se muestran en la tabla se pueden
apreciar y estudiar de manera
implícita; como es el caso de
rectángulos con longitudes de lado
continuas; que aunque no se
presentan en la tabla de manera
98
del modelo del teorema de Pitágoras
y la fórmula del área del triángulo,
permiten acceder a la comprensión
de un tercer modelo, el de la
desigualdad triangular.
explícita, cualquier valor que se
considere de este tipo, puede ser
ubicado entre sus valores enteros
más cercanos e inferir que
efectivamente los infinitos rectángulos
de perímetro 100 cm se presentan en
la tabla.
Tabla N°8: Matematización vertical en un nivel general en la tarea N°4
Continuando con el análisis de esta última tarea; podemos evidenciar que los estudiantes empiezan
un proceso de conjeturado y un trabajo progresivo por intentar probar la veracidad de sus hipótesis.
Podemos inscribir su actividad argumentativa dentro de la categoría de matematización vertical, ya
que sus acciones se caracterizan por moverse dentro de la matemática formal; cuando empiezan a
construir tablas de datos, usar una fórmula matemática para dar cuenta de una relación directa entre
el área y el perímetro de una figura, que a su vez les permite procesos de inferencias y deducciones
lógicas, hasta el punto de crear enunciados de tipo matemático; son algunas acciones descriptoras
dentro de la matematización vertical.
A su vez, estos procesos de matematización vertical de la situación, se caracterizan por ser de tipo
general, ya que se identifican en las acciones de los estudiantes procesos de exploración, reflexión
y generalización focalizadas a la matemática; donde el contexto de donde surge el problema (esto
es el problema del agricultor) es superado y abordado usando elementos propios de la disciplina
(teoremas, fórmulas, algoritmos, ejemplificaciones, tablas de datos, etc.). Vemos en esta tarea, que
en el momento que se piensan en todas las variables que afectan al problema de encontrar el
rectángulo de área mayor construible con un perímetro de 100 cm, y que los lleva a realizar
ejemplificaciones de varios casos, considerar y dibujar algunos rectángulos específicos, construir
tablas para organizar los datos obtenidos y poder evidenciar alguna recurrencia en ellos, son
procesos de reflexión sobre los conceptos, procedimientos, estrategias y modelos utilizados en el
nivel anterior (esto es en los procesos de matematización vertical en el nivel referencial
evidenciados en la N° 2 y 3) de los cuales surgen aspectos generalizables de los mismos como
llegar a concluir que el cuadrado de 25 cm de lado es el de mayor área.
99
En este nivel de matematización, los estudiantes logran utilizar diferentes tipos de representación e
ir alternando entre ellos, para poder mostrar la veracidad de las conjeturas que van construyendo a
medida que ahondan en la situación (Ver Esquema N° 4). Esto lo podemos evidenciar cuando los
estudiantes usan diferentes modelos para poder probar sus conjeturas, y además que alternan entre
ellos como una necesidad por encontrar y dar a conocer la veracidad de sus enunciados y evitar
que las refutaciones de sus compañeros socaven su cadena argumentativa. Si organizáramos los
modelos usados por los estudiantes, podríamos empezar por las ejemplificaciones de casos
particulares en la que comienzan a dibujar y construir algunos rectángulos de 100 cm de perímetro;
para luego determinar el área exacta de los mismos a partir de algunas fórmulas matemáticas;
durante este proceso algorítmico en el que dan cuenta de una recurrencia y dependencia entre el
área y el perímetro de una figura, deciden construir tablas que les permitan organizar los datos
obtenidos y poder evidenciar con mayor exactitud esta recurrencia numérica, para finalmente poder
darle poder de validez a su conjetura inicial.
Dichos modelos son refinados y ajustados cuando se hace necesario, dadas las refutaciones e
inconformidades de sus compañeros; por ejemplo, cuando ante la tabla que contiene los
rectángulos de 100 cm de perímetro, en el que aparentemente el cuadrado es el de mayor área; en
determinado momento es refutado por un estudiante, quien explica que en dicha tabla no están los
infinitos rectángulos construibles con un perímetro de 100 cm, pues nota la ausencia de aquellos
que poseen medidas continuas. Sin embargo, al volver al usar el modelo de fórmulas matemáticas y
algunos ejemplos de estos tipos de rectángulos, los estudiantes muestran que aunque no se
presentan en la tabla de manera explícita, cualquier valor que se considere de este tipo, puede ser
ubicado entre sus valores enteros más cercanos, e inferir que efectivamente los infinitos rectángulos
de perímetro 100 cm se presentan en la tabla. Un muy acertado proceso de refinamiento y ajuste de
sus modelos, en el que también se muestra que logran alternar entre ellos y así van de la tabla a los
ejemplos específicos y viceversa.
En el caso de los triángulos isósceles de 100 cm de perímetro, en el que el equilátero es el de
mayor área; los estudiantes logran comprender teoremas como el de la desigualdad triangular; ya
que al intentar usar el modelo de teorema de Pitágoras para hallar la altura en un triángulo isósceles
imposible de construir (80cm, 10 cm, 10 cm), con el fin de determinar su área exacta y al llegar a
100
valores nulos, es lo que les permite remitirse nuevamente a la representación graficas de los
triángulos, encontrando que efectivamente no se ha considerado un triángulo, porque dos de las
longitudes tomadas juntas no son mayores que la restante. En este caso, la combinación y reflexión
del modelo del teorema de Pitágoras y la fórmula del área del triángulo, permiten acceder a la
comprensión del teorema de la desigualdad triangular.
Uso de ejemplos
especificos
Construcción de
rectángulos con las
condiciones pedidas
De todos los
rectángulos de 100
cm de perímetro, el
de mayor área es el
cuadrado
Uso de fómulas
matemáticas de
área y perimetro
para dar cuenta de
una posible
dependencia
Organización de datos
mediante tablas para
dar cuenta de una
relación
Esquema N°4: Uso y alternancia de modelos para abordar la conjetura de los rectángulos
Ahora bien; es importante aclarar que hasta el momento he usado la palabra “modelo” en el sentido
aceptado por Freudenthal (1991), se concibe como “intermediario, a menudo indispensable, a través
del cual una realidad o teoría compleja es idealizada o simplificada con el fin de volverla susceptible
a un tratamiento matemático formal.”; esto para mostrar que el uso de una fórmula matemática, una
tabla de datos, la representación gráfica de los rectángulos y los triángulos, y demás procesos de
los estudiantes, son consideramos modelos matemáticos, ya que surgen como una necesidad por
comprender y validar su afirmación inicial; es decir, su conjetura, a la vez útiles para poder
comprender, reflexionar y actuar ante ella y con la finalidad de poder probarla.
101
CAPÍTULO VI
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
En este apartado se presentan conclusiones y reflexiones en torno a tres aspectos transversales que
permitieron documentar la forma en que los estudiantes se involucraron en prácticas argumentativas
a la vez que desarrollaron procesos de matematización; estos son:
-
La caracterización de los esquemas argumentativos de los estudiantes durante la
matematización de la situación “El terreno más óptimo”, desde los elementos constitutivos
del argumento que son puestos en juego al abordar cada una de las tareas propuestas.
-
El proceso evolutivo y progresivo de matematización del objeto mental “figura geométrica”
involucrado en la situación y que se hace explícito en las prácticas argumentativas de los
estudiantes al abordar el problema.
-
La relación que debe darse entre la labor didactizadora del profesor y la matematizadora de
los estudiantes dentro del enfoque de la EMR, como requisito primordial para lograr
desarrollar prácticas argumentativas en los estudiantes en torno a las matemáticas.
LA CARACTERIZACIÓN DE LOS ESQUEMAS ARGUMENTATIVOS DE LOS ESTUDIANTES
DURANTE LA MATEMATIZACIÓN DE LA SITUACIÓN “EL TERRENO MÁS ÓPTIMO”, DESDE
LOS ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DEL ARGUMENTO QUE SON PUESTOS EN JUEGO AL
ABORDAR CADA UNA DE LAS TAREAS PROPUESTAS.
102
Realizando un análisis retrospectivo sobre las prácticas argumentativas de los estudiantes al abordar
la situación durante el diseño e implementación instruccional, se evidencia un notable proceso
evolutivo de los esquemas argumentativos de los que se valen los estudiantes para apoyar sus
afirmaciones, intuiciones y/o aseveraciones. Basta con comparar los esquemas argumentativos
usados por los estudiantes en las primeras y últimas tareas propuestas para abordar la situación del
cultivo del agricultor. En la primera tarea los estudiantes restringen sus esquemas argumentativos a
dos acciones básicas, estas son las de afirmar y concluir; por ejemplo, cuando manifiestan que la
forma del terreno debería ser un rectángulo (afirmación) por la razón de que la mayoría de así lo
hacen (conclusión). Esta clase de esquemas argumentativos contemplan lo que sería análogo a los
elementos del dato y la pretensión en el esquema de Toulmin. Estos esquemas iniciales de los
estudiantes evidenciaban la costumbre tan arraigada de restringir sus respuestas y trivializar sus
intervenciones; como en el caso de quienes consideran que la forma del terreno debería ser un
cuadrado (dato), por la sencilla razón de que evidencian la recurrencia de estos diseños en los
cultivos de sus familiares y amigos agricultores (conclusión); lo que pone de manifiesto el poco
análisis y reflexión que logran al abordar una situación, probablemente porque no están
acostumbrados a dar razones para validar sus afirmaciones y porque las oportunidades que da el
profesor a las prácticas de justificación en el aula son escasas en algunos casos o nulas en muchos
otros. Además, se muestra que sus afirmaciones e intervenciones están muy ligadas al contexto y a
la propia experiencia del estudiante, el poco análisis que usan para responder la situación y la
premura con la que actúan para abordarla. Esto hace posible ubicarlos en procesos de
matematización horizontal en un nivel situacional, donde la interpretación de la situación y el uso de
estrategias están ligadas totalmente al contexto de la situación misma. Los estudiantes se apoyan,
en sus conocimientos informales, su sentido común y su experiencia, no pueden identificar y
describir la matemática que yace en el contexto, con un uso ausente de análisis profundo y
exhaustivo dentro de la disciplina.
En contraste, en las últimas tareas aparecían esquemas argumentativos mucho más elaborados, en
donde se hacían presentes los demás elementos del esquema argumentativo de Toulmin, como lo
son las garantías y los respaldos; como por ejemplo, durante la tarea N°3, donde construían un
círculo (dato/afirmación) porque era la figura geométrica de mayor área construible con un perímetro
103
de 100 metros de alambre (pretensión/conclusión). Las garantías que permitían aseverar esta
conclusión, eran básicamente decir que “el circulo era la única figura geométrica que tenía ausencia
de ángulos rectilíneos, los cuales a su vez, lo que hacen en una figura rectilínea es desperdiciar el
espacio contenido entre las rectas”. Frente a esto, el ambiente de controversia cuando el problema
es tomado como algo más personal, en el que se procura defender las propias ideas y afirmaciones,
es lo que provoca que los estudiantes produzcan argumentos matemáticos, pues al ser expuestos al
juicio social del aula de clase, se eleva su capacidad de argumentar matemáticamente. Es aquí
donde aparecen los respaldos, como leyes más formales que son usadas para darle mayor fuerza a
la garantía y poder dar paso a la conclusión. En este caso, el respaldo que aparece para apoyar a la
garantía, es precisamente la deducción del área exacta de un círculo de 100 metros de perímetro, en
comparación con las demás figuras geométricas del mismo perímetro, encontrando que ninguna era
mayor que la del círculo. Durante el abarcamiento de esta tarea, vemos que el problema es visto
desde un punto de vista matemático; y por lo tanto la matematización de la situación se da en un
nivel referencial, donde la situación dentro del contexto de la agricultura pasa a convertirse en un
problema con características matemáticas, porque la preocupación no se centra con mayor atención
en el cultivo de tomate de árbol, sino en la maximización de áreas a partir de un perímetro fijo.
En este punto, es fundamental aclarar que lo que permite que aparezcan estos elementos tan
importantes en los esquemas argumentativos de los estudiantes, es el cuestionamiento de “¿Por
qué?”, la palabra clave que abre la posibilidad de una discusión abierta a la controversia y la
aparición de cualidades como la responsabilidad por encontrar la verdad y defender las opiniones.
La ausencia de esta palabra en las aulas de matemáticas es precisamente otro hecho que
contribuye a la manifestación limitante en los argumentos de los estudiantes, en su conformismo
tanto para dar razones como para aceptarlas. El no pedir explicaciones, no contemplar actitudes de
duda y aclaración o simplemente no preguntarse por qué de las afirmaciones de los demás, hace
que el argumento se convierta en un acto totalmente trivial y que termina aceptándose por la
ausencia de las dudas, interrogaciones o aclaraciones. Aquí es donde debe intervenir la labor del
docente con un aporte innovador para el diseño de tareas, que al ser presentadas a los estudiantes,
procuren en ellos actividades de matematización, donde se transforme la concepción tradicionalista
104
de currículo, sirviéndose para “fomentar un cambio en la marcha de la enseñanza actual de la
clase” (Gravemeijer y Tewuel, 2000).
Al ser tan recurrente este modus operando de los estudiantes, se hacen necesarias tareas en el
diseño instruccional que permitan la posibilidad de cuestiones permeadas de incertidumbre, que
despierten el interés de los estudiantes por deliberar y reflexionar sobre los actos de argumentación
propios y de los demás. Frente a este aspecto, Toulmin habla de la refutación como un elemento
que puede aparecer en el esquema argumentativo, cuando se presenta una negación por aceptar la
pretensión del otro; como en el caso de la tarea N° 4 del diseño instruccional, donde un grupo
afirmaba que el diseño del terreno podría ser de cualquier forma (dato) porque todos tendrían la
misma área (pretensión), dado que todos estaban hechos a partir del mismo perímetro (garantía).
Este esquema argumentativo se ve socavado en el momento en que otro grupo al no aceptar dichas
aseveraciones, la refuta ante el grupo entero haciendo uso de un contraejemplo, al comparar las
áreas exactas entre dos figuras del mismo perímetro (el cuadrado de lado 25 unidades y el
rectángulo de lado 30x20 unidades) que al resolverse no correspondían. En este sentido, en las
dinámicas de confrontación de argumentos también se hace evidente la mecánica de la refutación a
partir del cuestionamiento a la regla usada, pues marca una pauta frente a cómo debe
argumentarse en la clase, donde se empieza a usar elementos propios de la matemática para poder
validar las ideas propias y refutar la de los demás, comprendiendo así la ventaja de la matemática
como una disciplina útil para darle validez y firmeza a los argumentos usados.
Durante la socialización de las diferentes conjeturas de los estudiantes y el debate abierto a cada
afirmación que salía a relucir durante el desarrollo de esta tarea (en el curso de la resolución del
problema), surgían variados tipos de afirmaciones y pretensiones, que al ser cuestionadas por el
grupo exigían la emergencia de garantías y respaldos; en este caso, lo interesante en la presente
investigación, es que dichos elementos del esquema argumentativo de Toulmin no aparecen
solamente en forma verbal (enunciados, definiciones o teoremas matemáticos) como por ejemplo,
cuando un grupo aludía a la definición del objeto geométrico “circunferencia” como respaldo para
garantizar la imposibilidad de construir un terreno en forma circular en la realidad, por su infinitud de
puntos (postes). También aparecen respaldos en forma esquemática, como por ejemplo cuando los
estudiantes recurren al uso de tablas para organizar todos los rectángulos de igual perímetro
105
haciendo la relación con el área respectiva, para respaldar que de todos los rectángulos (dato), el de
mayor área es el cuadrado (pretensión) o el uso de teoremas como el de Pitágoras y el modelo del
área de un triángulo para lograr la comprensión del teorema de la desigualdad triangular; son
aspectos importantes para poder categorizar a los estudiantes en un proceso de matematización
vertical en un nivel general de las matemáticas. En este sentido, las manifestaciones argumentativas
de los estudiantes son razones o puntos de vista en pro o en contra de una afirmación con el objeto
de dar cuenta de la plausibilidad de un enunciado, establecer un cierto grado de certeza de éste y
postularlo como candidato para hacer una demostración (Duval, 1999), donde las razones o puntos
de vista pueden ser manifestaciones verbales, visuales, numéricas o de cualquier índole (Duval,
1999). Otro ejemplo de este aspecto, que se logró evidenciar durante esta tarea, fue el uso de las
formulas convencionales para hallar el área de dos figuras del mismo perímetro, como garantía para
asegurar que dos figuras del mismo perímetro (dato) no tienen la misma área (pretensión), que a su
vez permitió procesos de conjeturado, en donde aludían que “de los polígonos del mismo perímetro,
los regulares son los de mayor área”. Es decir, en esta tarea se hace evidente la marcada necesidad
de los estudiantes por procesos de generalización, donde se valen de axiomas, teoremas y tablas de
datos para poder darle valides y poder mostrar su veracidad ante los demás; por ejemplo, cuando la
necesidad por generalizar la conjetura “de todos los rectángulos de 100 cm de perímetro, el de
mayor área es el cuadrado” los lleva a diseñar tablas como método efectivo para organizar los datos
que obtienen a la hora de considerar varios ejemplos, que a su vez es lo que les permite evaluar y
analizar cualquier tipo de rectángulo, aún aquellos que aunque no se muestran en la tabla se pueden
apreciar y estudiar de manera implícita; como es el caso de rectángulos con longitudes de lado
continuas; que aunque no se presentan en la tabla de manera explícita, cualquier valor que se
considere de este tipo, puede ser ubicado entre sus valores enteros más cercanos e inferir que
efectivamente los infinitos rectángulos de perímetro 100 cm se presentan en la tabla y por tanto
validar su hipótesis inicial. Todas estas acciones descriptoras que se dieron en la tarea N°4, son
características de procesos de matematización vertical en un nivel general; ya que como en este
caso, a partir de la reflexión que se hace sobre los conceptos, procedimientos, conjeturas y modelos,
surgen aspectos generalizables de los mismos.
106
EL PROCESO EVOLUTIVO Y PROGRESIVO DE MATEMATIZACIÓN DEL OBJETO MENTAL
“FIGURA GEOMÉTRICA” INVOLUCRADO EN LA SITUACIÓN Y QUE SE HACE EXPLÍCITO EN
LAS PRÁCTICAS ARGUMENTATIVAS DE LOS ESTUDIANTES AL ABORDAR EL PROBLEMA.
Otro aspecto de gran relevancia, es determinar el proceso evolutivo que lograron los estudiantes en
cuanto a la matematización del objeto mental “figura geométrica”, aclarando que dicho progreso se
evidencia gracias a los esquemas argumentativos de los estudiantes; porque, muy probablemente si
no se hubiese garantizado un ambiente de debate y discusión frente a cada afirmación y
aseveración, no hubiese sido tan claro de observar este avance; es decir, que el desarrollo cognitivo
sobre este objeto mental se hace explicito dentro de los esquemas argumentativos que logran al
debatir, explicar, formular preguntas y generar refutaciones.
El progreso en los procesos de matematización del objeto mental “figura geométrica” se puede
resumir de la tabla N°9:
Fenómenos
relacionados
con el objeto
mental
Forma
Objeto
geométrico
Perímetros y
Áreas
Progreso en los procesos de
matematización
Ejemplo desde la situación del
agricultor y los esquemas de
argumentación
Los fenómenos organizados inicialmente
son formas y configuraciones que se
encuentran en un contexto visual
(contornos y líneas de visión), con
explicaciones muy ligadas a la propia
situación y a la experiencia de los
estudiantes.
La forma se convierte en objeto
geométrico, cuando de ellas se logran
extraer características y propiedades
espaciales que permiten identificarla y
diferenciarla de las demás; donde las
propiedades que logran extraerle los
estudiantes se desprenden de las
meramente sensibles. Aquí aparecen el
uso de atributos geométricos de las
figuras, para justificar y validar sus
afirmaciones; así hablan de ángulos,
lados rectilíneos, superficie, etc.
Los
estudiantes
encuentran las
relaciones existentes entre el área y
El terreno debe tener forma cuadrada
o rectangular (dato) porque todos
son diseñados así (pretensión). Mi
abuelo tiene un cultivo en forma
rectangular (garantía).
El terreno debe ser en forma circular
(Dato inicial) porque es ausente de
lados rectilíneos y por tanto de
ángulos (Garantía) y dado que no
tiene ángulos, el aprovechamiento de
espacio es mayor (respaldo), y por lo
tanto será la figura de mayor área
(pretensión), al contrario de lo que
pasa con el triángulo de Paula o el
cuadrado
de
Ángel,
que…
(Refutación).
Determinadas transformaciones de
las figuras (dato) conservan el
107
perímetro de figuras planas, deduciendo perímetro pero no el área
ciertas conjeturas matemáticas, como (pretensión). <Para garantizar esto,
que figuras construidas a partir del los estudiantes comparan el área de
mismo perímetro no tienen la misma figuras
de
igual
perímetro,
área. Para hacer explicita esta relación, concluyendo que no hay equivalencia
se valen del uso de fórmulas entre ellas>.
matemáticas constituidas.
Conjeturas de Los estudiantes logran constituir ciertas De todos los rectángulos de 100
tipo geométrico conjeturas de tipo geométrico en forma metros de perímetro (dato), el de
de enunciados que se someten a mayor área es el cuadrado
discusión a partir del trabajo (pretensión). Para garantizar esto,
experimental de los estudiantes, como usan una tabla de organización de
una necesidad de validar lo que datos
donde
relacionan
los
aseveran; básicamente en tres procesos: rectángulos construibles a partir de
formular, adecuar y evaluar las un perímetro de 100 metros de
conjeturas
que
se
discuten perímetro con su respectiva área,
colectivamente. Además hay un garantizando que allí se encuentran
acercamiento bastante importante de todos los rectángulos de estas
conjeturas de tipo analítico, dinámico características y por tanto es prueba
muy cercanas al cálculo diferencial e fiable de su conjetura.
integral, como el trabajo con la idea de
límites, optimización y maximización de
áreas.
Tabla N°9 Progreso en los procesos de matematización del objeto mental “figura geométrica”
durante el abordaje de la situación
Como se puede ver en el cuadro, así como en el transcurso del trabajo, básicamente los progresos
en la matematización del objeto mental y por tanto de la situación misma, se hacen explícitos en los
elementos de las garantías y los respaldos del argumento; porque solo cuando se pide justificar,
explicar y validar las afirmaciones, es cuando los estudiantes recurren a la formulación de conjeturas
de índole geométrico, al uso de fórmulas para poner a prueba una relación, el uso de definiciones y
teoremas matemáticos para validar sus hipótesis y la construcción de modelos, tablas y diagramas
que apoyen sus afirmaciones. Esto muestra que el estudiante hace explicito su nivel de
matematización así como su progreso en el mismo, cuando logra esquemas argumentativos más
elaborados, donde tiene la posibilidad de discutir, inferir, expresar ideas y verificar. Este hallazgo que
es recurrente en muchos esquemas argumentativos que surgieron durante la resolución del
problema del agricultor, muestra la necesidad cada vez más urgente de generar en las aulas de
clase un ambiente abierto al debate y la confrontación de ideas; una dinámica de clase diferente a la
108
convencional, donde no hay preguntas, el conformismo y aceptación por lo dicho es frecuente y
donde erróneamente los estudiantes conciben que la verdad absoluta la tiene el profesor y que su
labor se limita a escuchar y en la mayoría de casos a retener información, memorizar y reproducir;
donde las prácticas de justificación en el aula son escasas y por tanto la posibilidad de
matematización de cualquier objeto mental por parte de los estudiantes es nula.
Lo anterior muestra la necesidad cada vez más urgente de reivindicar a la argumentación dentro de
procesos de socialización en el aula, lo cual se hace posible como lo muestran los resultados de la
presente investigación, mediante la matematización de situaciones, sin ser esta la única opción, pero
si al parecer una de las más significantes, en tanto ayudan a involucrar a los estudiantes en
circunstancias y escenarios de su propio interés, para lograr una toma de conciencia de la necesidad
y responsabilidad que debe darse a los procesos de justificación en el aula. En este sentido, los
docentes en su labor didactizadora, deben en primera medida concientizarse sobre la importancia de
las prácticas argumentativas de los estudiantes en torno a las matemáticas y de procesos como la
validación y justificación como un requisito primordial que debe darse en un contexto de
socialización de saberes al interior del aula en torno a problemas propios de la matemática, donde el
estudiante en lugar de memorizar y reproducir, se concientice sobre la responsabilidad de crear,
justificar y validar, lo que sin duda alguna ayudará a superar los problemas relacionados con la
incapacidad de los estudiantes por abordar un problema desde sus propias ideas, conjeturas y
opiniones; acciones primordiales dentro la competencia argumentativa para desarrollar procesos
mucho más complejos como el de la demostración, que tiende cada vez más a trivializarse en las
prácticas docentes actuales; o como lo menciona Camargo (2007) al manifestar que, “Las
dificultades con las que se enfrentan los estudiantes al interpretar, realizar o usar demostraciones
deductivas llevan a muchos profesores, desde hace algunos años, a evadir la enseñanza de la
demostración llegando al grado de eliminar la práctica de la justificación en las aulas de
matemáticas, con las funestas consecuencias que esto trae para la formación matemática de los
estudiantes”(p. 42).
Volviendo a los procesos de conjeturado a los que llegan los estudiantes en los respectivos
progresos en sus niveles de matematización del objeto mental, se muestra una evidente emergencia
109
de razonamiento de carácter inductivo por parte de ellos, que básicamente se basan en la
elaboración de hipótesis que partiendo de un conjunto de observaciones y casos particulares,
trabajadas bajo la ejemplificación, conducen a la generalización de ciertas propiedades. En la
matemática, este método puede ser el punto de partida para la búsqueda de regularidades en un
grupo de datos que pueden ser de naturaleza diversa (números, gráficas, formas geométricas, etc.)
hacia la formulación de generalizaciones sobre la base de lo observado y la enunciación de
conjeturas que posteriormente puedan trabajar como punto de partida para el aprendizaje de la
demostración. Esto se puede observar durante el transcurso de la tarea en la que uno de los grupos
debía trabajar con la familia de rectángulos de perímetro 100 unidades, para establecer una relación
entre sus áreas respectivas; para lo que se valen de tablas y organización de datos, llegando a la
conjetura de que de todos los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado es el de mayor área.
La formulación de conjeturas hace ver que la situación problema abordada y el trabajo con las
figuras geométricas, están garantizando el descubrimiento de ciertos teoremas y propiedades
matemáticas por parte de los estudiantes. Lo interesante sobre esto, es que aunque Freudenthal no
realiza una fenomenología didáctica profunda sobre la figura geométrica, como la que hace con la
fracción o la proporción, si realiza algunos pronunciamientos sobre el tema, como por ejemplo el
siguiente:
“… En un nivel superior, el fenómeno de la figura geométrica se organiza mediante
las construcciones y demostraciones geométricas”. (Freudenthal H, 1983).
Lo que es interesante de esta afirmación, es evidenciar que en el desarrollo del diseño instruccional,
lo que inicio con la organización de fenómenos relacionados con la forma y posteriormente con
perímetro y área de figuras geométricas, los estudiantes logran construir y abordar conjeturas
formales dentro de la disciplina matemática como un intento inicial por probar la validez de sus
afirmaciones; lo que muestra un acercamiento y preocupación bastante fuerte por procesos de
demostración matemática; que si bien no son abordados desde la matemática formal y con
elementos propios de la disciplina, el hecho de poder descubrirlos, enunciarlos y abordarlos, se
convierte en un buen punto de partida para formalizar procesos de prueba en los estudiantes, como
ya lo había pronosticado el propio Freudenthal, siendo este trabajo una muestra fiable de ello.
110
Para resumir, el proceso evolutivo de matematización se da cuando en la tarea N°1, se trabajaban
con representaciones y dibujos de los que se afirmaban aspectos relacionados con las propiedades
empíricas del objeto; es decir desde un nivel situacional; posteriormente, las actividades de medición,
cuantificación y análisis geométrico que convierte a la forma o dibujo en un objeto geométrico durante
la tarea N°2, hace que el nivel de comprensión sea superior; en este caso superado por el primero; es
decir, el referencial. Para que finalmente en la tarea N° 3, los procesos de conjeturado que realizan
cuando ahondan en la situación y el uso de modelos matemáticos para relacionar dos variables
dentro del problema, como la relación de dependencia entre área y perímetro que les ayuda a deducir
que figuras del mismo perímetro, no tienen la misma área; son acciones descriptoras que permiten
ubicar a los estudiantes en procesos de matematización vertical en un nivel general; ya que, se hace
evidente un proceso de exploración de diferentes modelos que posibilitan la solución del problema,
abordados desde de
reflexión, y finalmente se presentan procesos de generalización cuando
concluyen proposiciones dentro de la matemática y aplicables a la situación misma.
Finalmente, respecto al nivel de matematización en el nivel formal de las matemáticas, podemos
concluir que no fue posible que los estudiantes llegaran a abordar una demostración formal de sus
conjeturas desde esta disciplina; sin embargo, el progreso en procesos de prueba fue bastante
interesante, en el sentido que al finalizar el diseño instruccional se logra concientizar a los
estudiantes de la necesidad por generalizar, conjeturar, reflexionar y demostrar fiablemente sus
afirmaciones; valerse de diversas estrategias para poder dar veracidad y fuerza a sus argumentos,
algunos de ellos muy ligados a su contextos y sin el uso formal del lenguaje matemático, en otros
casos de manera muy trivial, pero en ambos los procesos de prueba son considerados por los
estudiantes como indispensables dentro de una ruta argumentativa para probar un enunciado y
evitar las refutaciones de su contraparte.
LA RELACIÓN QUE DEBE DARSE ENTRE LA LABOR DIDACTIZADORA DEL PROFESOR Y LA
MATEMATIZADORA DE LOS ESTUDIANTES DENTRO DEL ENFOQUE DE LA EMR, COMO
REQUISITO PRIMORDIAL PARA LOGRAR DESARROLLAR PRÁCTICAS ARGUMENTATIVAS
EN LOS ESTUDIANTES EN TORNO A LAS MATEMÁTICAS
111
Desarrollar un trabajo que lograra evidenciar procesos en los cuales el profesor se permitiera
fomentar el desarrollo de prácticas argumentativas en el aula bajo el enfoque de la EMR, desde
procesos de matematización de una situación, permitió vislumbrar otra posibilidad de trabajo en el
aula para la Educación Matemática, desde el cual hablar de un verdadero aprendizaje matemático,
cambiaba notablemente los roles y características que usualmente se le asignan a estudiantes y
profesores.
Los resultados de la actual investigación permiten evidenciar que los procesos de matematización
que se dan en la situación problema, garantizan el surgimiento de una actividad argumentativa en
los estudiantes, que intenta en este caso, constituir el objeto mental de figura geométrica; donde se
ponen en juego los elementos del modelo argumentativo de Toulmin, apoyado fundamentalmente en
justificaciones que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas. En
este sentido, se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin, es aplicable en
cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al diálogo, no solo con el fin de
esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes; sino también de caracterizar las acciones de
reflexión sobre la argumentación de las que debe valerse en el maestro en su labor didactizadora.
Este proceso contempla tanto reflexionar sobre la información que es tratada, como reflexionar sobre
la secuencia de argumentación. La presencia de este proceso muestra que el desarrollo de una
tarea matemática puede alcanzar un nivel de complejidad elevado donde el modelo termina con el
proceso de concluir o lograr la pretensión inicialmente planteada.
Este asunto debe por tanto corresponder a la labor didactizadora del docente, quien debe buscar
aquellos fenómenos del entorno de los estudiantes que puedan ser susceptibles de ser
matematizados por algunos conceptos o estructuras matemáticas. Dicha actividad organizadora, al
igual que la actividad de matematizar, debe presentarse de manera horizontal como vertical.
Horizontalmente, los docentes trabajan en torno a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que
emergen en los contextos de sus estudiantes y de otros; verticalmente, reflexionan y generalizan
dentro de las mismas matemáticas a partir de estas situaciones, para proporcionar de herramientas
didácticas a sus estudiantes que le faciliten la actividad de matematización.
112
Por lo tanto, ésta propuesta investigativa debería suscitar elementos de reflexión a las actuales
maneras de llevar a cabo las prácticas argumentativas en torno a las matemáticas por parte del
docente, donde se privilegie a los estudiantes, a sus propias ideas y maneras de construir
conocimiento, creándole la necesidad de justificar cada afirmación u opinión que declare durante un
proceso de resolución de problemas y su matematización, ya que así se posibilitan oportunidades de
descubrimiento de aprendizajes; es decir, una manera muy eficaz de que lo aprendido no sea gracias
a las imposiciones del profesor o a procesos fútiles como la memorización o la repetición; pues como
lo muestran los resultados de la actual investigación, se evidencia que al tomar en cuenta las
primeras afirmaciones e intuiciones que posee el estudiante y las primeras explicaciones que logra al
abordar un problema y al matematizar situaciones, podrían ser la base para darle un significado a
procesos más complejos relacionados con la argumentación y la validación, como el acto mismo de
demostrar (Bravo, 2002), pues partir de estas concepciones de los estudiantes, muchas veces de
carácter empírico, podrían ser la base para desarrollar conocimiento matemático formal, siendo este
un proceso de carácter evolutivo, en tanto se logra solo si la labor matematizadora del estudiante y la
didactizadora del profesor, mantienen una estrecha e íntima relación de coherencia; donde los
problemas que lleva el profesor al aula logren motivar la acción resolutora del estudiante y el
desarrollo de sus prácticas argumentativas; es decir, lo que se procura es la búsqueda de problemas,
donde el contexto del estudiante debe ser considerado como un aspecto intrínseco a los mismos y
no como un mero ropaje a eliminar o sustituir por la matemática (Tomado de Freudenthal por Puig,
L. 1997, pág. 67); problemas vistos como una posibilidad de construir cadenas deductivas por parte
de los estudiantes, inicialmente fundamentadas en sus creencias, para llevarlas a discusión y
aceptación grupal en forma de argumentos, donde la validación sea un aspecto de común acuerdo
entre los integrantes del grupo y una responsabilidad por encontrar la verdad por ambas partes.
113
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Caracterización de la actividad argumentativa de estudiantes de

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