Aplicación de los métodos mars, holt

Meteorología Colombiana
W 10
pp. 36-46
Marzo 2006
Bogotá, O.e.
rSSN: 0124-6984
APLICACiÓN DE LOS MÉTODOS MARS, HOLT-WINTERS y ARIMA GENERALIZADO EN EL PRONÓSTICO DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES EN Ríos DE ANTIOQUIA APPlICATION OF THE METHODS: MARS, HOLT-WINTERS ANO GENERAlIZED ARIMA TO FORECASTING OF MONTHL Y-MEAN FLOW OF RIVERS IN AN1"IOQUIA JOANY SÁNCHEZ MOLlNA
Maestría en Ingeniería-Recursos Hidráulicos Escuela de Geociencias y Medio Ambiente, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín GERMÁN POVEDA JARAMILLO
Profesor Asociado, Posgrado en Recursos Hidráulicos, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
[email protected]
Sánchez, J. & G. Poveda. 2006: Aplicación de los métodos Mars, Holt-Winters y Arima generalizado en el pronóstico de caudales me­
dios mensuales en ríos de Antioquia. Meteoro!. Colomb. 10: 36-46.ISSN 0124-6984. Bogotá, D. e - Colombia.
RESUMEN
Se implementan tres metodologías para el pronóstico de caudales medios mensuales en ríos de Antioquia: i) MARS (Multivariate
Adaptative Regression Splines), ii) un método ARIMA generalizado no paramétrico a priori, y iii) el método para métrico de Holt-Win­
terso El método no paramétrico de MARS permite incorporar la persistencia hidrológica y la influencia de fenómenos macroclimáticos
como el ENSO. Las predicciones se implementan durante el período 1990-2004 para cuatro ríos de Antioquia, importantes en la
generación de energía eléctrica en Colombia: Nare, Guatapé, Guadalupe y río Grande 11. Se evalúan los tres métodos de predicción
usando intervalos de pronóstico de 1 mes, para horizontes de pronóstico de 12 meses. El desempeño de 105 modelos se cuantifica
mediante medidas del error en el horizonte de validación, la bondad del pronóstico se cuantifica a partir del error cuadrático medio,
dependiendo del mes en el que se inicia el pronóstico. Los resultados indican ganancias importantes en la capacidad de predicción
en comparación con métodos tradicionales en hidroclimatología.
Palabras clave: caudales medios mensuales, flredicción, ARIMA, Holt-Winters, MARS.
ABSTRAeT
Three forecasting methodologies are implemented to forecast monthly average flows in rivars in Antioquia, namely: i) MARS (Multi­
variate Regression Splines), ii) a generalized ARIMA nonparametric method, and iii) the parametric "Holt Winters" method. The MARS
method includes the hydrological persistence and the influence of macro-climatic phenomena like ENSO. Forecasts are implemented
for the period 1990-2004 at four major rivers used for hydropower generation in Colombia: Nare, Guatapé, Guadalupe and rio Grande
11. Forecasting methods are evaluated using prediction intervals of 1 month for prediction horizons of 12 months. Forecasting skills
of each method is quantified through diverse error metrics, including the mean square error, as well as forecasting skill depending
on ínitial month of prediction and percentage of terciles. Our results indicate a very important predictability capacity gain using the
implemented methods in comparison to traditional methods used in hydro-climatology.
Key words: monthly river flows, forecasting, MARS, ARIMA, Holt-Winters.
1. INTRODUCCiÓN
les para los ríos Guadalupe y Grande 11 corresponden al
período común entre 1951 y 2004, mientras que para los
Las metodologías de regresión se utilizan ampliamente
ríos Nare y Guatapé corresponden al período entre 1959
en todos los campos de la ciencia como herramientas de
y 2004. El período de calibración de los modelos se se­
análisis de datos; fundamentalmente en el modelamien­
leccionó desde el inicio de las series hasta diciembre de
to y predicción de series. En general una regresión se usa
1989; los siguientes 15 años se utilizaron en la validación
para desarrollar un modelo matemático que relaciona
de los modelos. En la Figura 1 se presenta el ciclo anual
variables dependientes o respuesta con variables expli­
de cada uno de los caudales medios mensuales de los
cativas o de entrada.
ríos en estudio.
Estos métodos cobran gran importancia en la predicción
Las variables macroclimáticas usadas como variables
de caudales medios mensuales, en países como Colom­
predictoras son: índice Multivariado del ENSO (MEI), ín­
bia, donde la mayor parte de la energía generada es de
dice de Oscilación del Sur (SOl) y Temperatura Superficial
carácter hídrico, y su implementación es necesaria en la
del Mar en las regiones Niño 3 y 4. En el cálculo del ín­
predicción de dichos caudales. En el posgrado en Apro­
dice Multivariado del ENSO (Wolter, 1987, en Poveda et
vechamiento de los Recursos Hidráulicos se han llevado a
ál., 2002) se utilizan 6 variables en las cuales tiene gran
cabo diversas investigaciones en las que se implementan
influencia el fenómeno ENSO (presión a nivel del mar,
varias metodologías de predicción.
componentes zonales y meridionales del viento superfi­
cial, SST, temperatura del aire en la superficie y nubosi­
En este trabajo se aplican tres metodologías de predic­
dad tota!), mientras que el índice de Oscilación del Sur
ción: el método MARS que es no paramétrico y en se­
se calcula como la diferencia estandarizada de presiones
gundo lugar las metodologías de Holt-Winters y ARIMA
atmosféricas entre Tahití y Darwin (Trenberth, 1976, en
generalizado, las cuales son para métricas. Después de
Poveda et ál., 2002).
describir los métodos se evalúan los resultados obteni­
dos por las diversas metodologías mediante los criterios
En la Figura 2 se presentan los correlogramas cruzados
de RMS y el de acierto por terciles en la predicción de
entre la serie de caudales del río Nare y las variables ma­
caudales medios mensuales de los ríos Nare, Guatapé,
croclimáticas que se usaron en la predicción.
Guadalupe y Grande 11. Finalmente se hace una discusión
sobre la bondad de los métodos para predecir los medios
mensuales de los cuatro ríos en cuestión.
2.2 Métodos de predicción
2.2.1 Holt-Winters
2. ASPECTOS METODOLÓGICOS
El método de Holt-Winters es básicamente un proce­
2.1 Información utilizada
dimiento de suavizamiento exponencial. Este tipo de
Las metodologías de predicción se evaluaron usando los
querimientos de almacenamiento en las bases de datos,
procedimient,ps faCilitan los cálculos y reducen los re­
registros de caudales medios mensuales de los ríos Nare,
lo cual cobra importancia cuando se están prediciendo
Guatapé, Guadalupe y Grande 11. Los registros mensua­
muchas series de tiempo.
Guatapé
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FIGURA 1. Ciclo anual de caudales en los ríos de interés.
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FIGURA 2. Correlaciones cruzadas entre la serie del río Nare y las variables macroclimáticas.
Los modelos de suaviza miento exponencial se basan en
Todo depende de si se considera estacionalidad aditiva
la actualización, para cada período, de hasta tres paráme­
o multiplicativa (~), donde F representa la media y e, es
tros:
el error de predicción. La actualización global en el caso
multiplicativo está dada por
Media (modelo de suaviza miento simple). + (1
Media y tendencia (Holt, 1957). R
Media, tendencia y estacionalidad (modelo de Holt­ b¡
p(R - F;-l)
Winters). L
r~..;... (1
- a)(F;-l
+ (1 -
+ b'-l)' p)b, h
(2) - r)/,-p
Estos modelos se conocen en la literatu'ra como de sua­
donde D,es el caudal actual; F;, b, e 1, son las predicciones
vizamiento exponencial de uno, dos y tres parámetros,
de la media, la tendencia y la estacionalidad; a, f3 y y son los
respectivamente.
parámetros de suavizamiento, los cuales están contenidos
en el intervalo (0,1), y Pel número de períodos a predecir. La
Al usar el modelo de Holt-Winters, en un período t, el
predicción para el pefíodo siguiente está dada por
patrón de comportamiento en la predicción puede estar
l = (F;
dado por
D,
(F
bOl + é,
o por
DI
=
F
bt
l
+ é,
(1)
+ b,ll+l-p
(3)
Para predicciones de más de un período hacia el futuro el
ajuste se hace como se muestra a continuación:
rbt)L+-- p ;
(E;
1 S r S
p
(4)
.,r
flx)
¿
(7)
amBn¡ (x)
m=l
(Segura y Vercher, 2001).
donde M es el número de subregiones, a1Jl son los coefi­
cientes de la función y Bm(x) es una función base dada
Para el caso del modelo aditivo se tiene
por:
(5)
donde
E;
a(D,
b,
L
/3(E;
y(D,
+ (1 - a)(E;-1 + bt - 1) + (1 {J)bt-¡
E;) + (1- y)L LL p)
(8)
donde Hes una función de paso que va desde k = 1 has­
,)
J
(6) .9
Para modelos estacionales el método trata de encontrar
valores óptimos para a, f3 y y por minimización del error
cuadrático a un paso.
Para modelos estacionales los valores iniciales de ~ , bt e
1t se establecen por la ejecución de una descomposición
simple en la tendencia yen la componente de estaciona­
lidad usando medias móviles.
2.2.2 MARS
MARS es una implementación de técnicas propuestas por
Friedman (1991) para resolver problemas de regresión.
Tales técnicas tienen como objetivo principal predecir va­
lores de una variable continua dependiente o de salida, a
partir de un grupo de variables independientes llamadas
comúnmente variables predictoras. El método MARS es
de regresión no paramétrica y no lineal, se basa en una
generalización del particionamiento recursivo y ha sido
utilizado en gran cantidad de áreas del conocimiento.
El modelamiento no para métrico se caracteriza porque
ta kAl' el número de divisiones resultantes en la función
básica;
SKMes igual a :!:: 1 según sea la división derecha o
izquierda, respectivamente;
es el nudo o partición de
la variable y es la variable predictora. El signo ( + ) como
subíndice de dicha expresión significa que solo se toma
como resultado cuando el argumento de la función es
positivo; de lo contrario se hace igual a cero.
En Friedman (1991) se encuentran los aspectos relaciona­
dos con la modelación no para métrica y la computación
adaptativa. Además allí se presenta completamente el
algoritmo de ajuste de MARS.
En general, MARS intenta superar las limitaciones de la
modelación no para métrica y el particionamiento recur­
sivo, planteando algunas generalizaciones a los procedi­
mientos; por ejemplo, garantizando modelos continuos
y derivadas continuas. El modelo de ajuste de MARS se
puede escribir de la forma
(9)
!(x)=a.+
MARS utiliza el criterio de falta de ajuste,
LOF: para la
selección del modelo, que se define como el máximo nú­
mero de funciones básicas
Una función para LOF
se define como
no aproxima una función única en todo el dominio, sino
(10)
que ajusta una función con varias funciones para métricas
simples, generalmente polinomios de bajo orden, defini­
das sobre una subregión del dominio (ajuste para métrico
por tramost o ajusta una función simple para cada valor
de la variable (ajuste global). Los parámetros en cada re­
gión también se hallan por mínimos cuadrados.
La función de aproximación ajustada puede ser de la for­
ma:
El criterio GCV(M) es el promedio de los residuos al cua­
drado afectado por un factor de penalización, el cual se
presenta en el denominador. La función C(k!), que es
una función de costo, está dada por
CUy!) = traza (B(BT B) LBT)
1
(11)
donde B es la matriz de datos de las Mfunciones básicas
(Bij
2.2.4 Climatología
Bi(x).
Es el más simple de todos los métodos de predicción y
consiste en tomar como valor de predicción para cada
2.2.3 ARIMA generalizado
mes el promedio mensual multianual.
Se basa en la descomposición de la serie de tiempo en un
determinado número de componentes, los cuales se es­
3. RESULTADOS y ANÁLISIS
pecifican por un sistema de varianzas en el error. Algunos
de ellos pueden llegar a ser cero.
En la Figura 4 se muestran las series de tiempo predichas
por los diferentes métodos y las series observadas. Solo
El modelo más simple utilizado es del tipo
se muestran los resultados de las predicciones con una
ventana de 12 meses, y se inicia siempre en el mes de
(12)
enero. El desempeño de los modelos se evalúa para to­
das las series mediante el error cuadrático medio (RMS),
Los valores observados son
m,
X,
é, ~
el cual se define como se muestra a continuación:
lV( 0, (J~
(13)
(17)
Hay dos parámetros,
(J2 ~t;,
Y 0" J" Este es un modelo
ARIMA (0,1,1), pero con restricciones en el sistema de pa­
En la Figura 5 se muestran los resultados obtenidos por
rámetros.
esta metodología; para los diferentes ríos se compara el
El programa también tiene incorporado un modelo con
RMS promedio de las predicciones hechas con inicio en
tendencia lineal loca" el cual tiene la misma ecuación,
cada uno de los meses de todos los años en el período
pero con una pendiente que varia en el tiempo. A conti­
de validación de las metodologías, con una ventana de
nuación se presenta la ecuación para dicho modelo.
predicción de doce meses.
mi
f
1
=
n'~l
m, + ni t;" t;, - iV(O,(J2_t;,)
n, e, ,e, ~ N(0,(J2 ~et)
No es común encontrar
°
0'2 _e.
(14)
Por ejemplo, se quiere evaluar el RMS de predecir julio
de cualquier año comenzando en diciembre del año an­
0, con lo
terior; lo que hace el criterio es establecer una diferencia
cual se asegura una suavidad en la tendencia. El ante­
entre el valor real del caudal de julio de ese año y el valor
rior corresponde a un modelo restringido de tipo ARIMA
predicho para julio de ese mismo; los valores de las pre­
(J2
Ó
(0,2,2).
dicciones de todos los julios con mes de inicio diciembre
en todo el período de validación se almacenan en un vec­
Un tercer modelo utilizado por el programa es el mode­
tor. La n de la fórmula representa el número de años de
lo básico estructural, el cual tiene tendencia local y una
validación de los modelos que para nuestro caso es igual
componente estacional adicional. Su ecuación se mues­
a 15, que es igual al número de julios predichos con mes
tra a continuación:
de inicio diciembre. El procedimiento anterior es análo­
go para todas las predicciones con mes de inicio enero,
(15)
febrero, marzo, etc. Es importante tener en cuenta que el
período de calibraeión se actualiza a medida que se pasa
donde SI es la componente estacional con dinámica
de un mes de inicio a otro. En la Figura 3 se ilustra lo plan­
teado anteriormente.
Los modelos descritos anteriormente son no estacionarios.
caudal
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FIGURA 3. Actualización de los períodos de calibración para cada mes de inicio.
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MARS - -Holt-Winters
- ARIMA Generalizado
FIGURA 4. Series de caudales medios mensuales en el período de validación.
Climatología
Los valores más altos del RMS se presentan para el
generacionlCe ntra leshid roelectrica si centralg uatape,
río Grande 11, mientras que el río Guatapé se muestra
como el de mejor predictibilidad. El resultado obteni­
htm.
do es de gran importancia pues el río Guatapé al igual
Por medio del análisis de los errores es posible concluir
que el Nare alimentan el embalse de El Peñol que es
que en general MARS presenta los menores errores en las
el de mayor capacidad de regulación del país; esta in­
predicciones, mientras que los métodos ARIMA generali­
formación puede consultarse en http://www.eeppm.
zado y Holt-Winters tienen los más altos. La influencia del
com/epm coml conte n idol acercade/i nfraest ruct u ral
ciclo anual se puede visualizar en la Figura 5.
Holt-Winters
MARS
ARIMA
Climatología
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FIGURA 5. Porcentaje de RMS de las predicciones en el período de validación.
En estos gráficos se presenta el mes de inicio de la pre­
Nare el método que mejor se comporta según este criterio
dicción en las abscisas y el mes que se va a predecir en
es la climatología pues muestra los porcentajes de acierto
las ordenadas.
más altos para todos los terciles y en la mayoría de los me­
ses; entre tanto, para el río Guatapé, los mejores resulta­
En general, las mayores dificultades en la predicción se
dos los muestra la climatología, que solo es sobrepasada
presentan en el trimestre mayo, junio, julio, al igual que
en el tercil inferior, en el cual los mejores resultados los
en noviembre, diciembre, enero.
presentan los métodos de Holt-Winters y ARIMA generali­
zado. Para el río Grande 11 y el río Guadalupe los resultados
Todos los ríos en estudio presentan una dificultad pa­
son más variados pues no hay un método que sea mejor
recida en lo que se refiere a la predicción de sus series
que otro, dado que para algunos meses y de acuerdo con
de caudales medios mensuales. Sin embargo, solo el
el tercil hay métodos que son superiores a los otros.
método MARS se comporta de manera coherente en
períodos con presencia del fenómeno El Niño o La
Niña; tal efecto se puede observar claramente durante
CONCLUSION ES
el periodo de validación comprendido entre los años
1998 y 2000, que corresponden a un periodo del fe­
nómeno La Niña, durante el cual los métodos de Holt­
Winters y AR1MA hacen estimaciones muy pobres de
los caudales medios mensuales, mientras que MARS
se aproxima bastante bien a los valores reales de los
caudales durante dicho período; así se puede apreciar
en la Figura 4.
Para la estimación de los aciertos en los pronósticos por
En este trabajo se compararon diferentes metodologías
de predicción, entre las cuales se encuentran las de tipo
para métrico y no paramétrico. MARS, que corresponde
a las metodologías de tipo no paramétrico, es capaz de
incorporar la influencia de fenómenos macroclimáticos
como el ENSO.
Los resultados muestran que el mejor método de predic­
ción es MARS, pues tiene el menor RSM en cada uno de
terciles, se puede comparar si el valor de la variable pro­
los ríos, y además presenta resultados parecidos, en el
nosticada corresponde al tercil observado. En caso afir­
acierto por terciles, a las otras metodologías. Los resul­
mativo, se considera como un acierto. Un valor de 100%
tados también indican que en un clima como el de Co­
implica que todos los valores predichos para un tercil
lombia, que es altamente influenciado por fenómenos
determinado, realmente se observaron en ese tercil. Para
macroclimáticos como el ENSO, se deben utilizar meto­
realizar este análisis es necesario conocer los límites que
dologías de predicción no paramétricas, como MARS, las
permiten discriminar si un valor determinado está en el
cuales incluyen la influencia de estos fenómenos en sus
tercil superior, medio o inferior (Poveda et ál., 2002). Al
predicciones de caudales medios mensuales.
aplicar este criterio a las series obtenidas para todos los
ríos y para cada método se obtienen comportamientos
Agradecimientos: a Jesús David Gómez por su extensa
muy diversos de la bondad de los métodos. Así, para el río
colaboración.
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Fecha de recibo: 20.03.2006
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