EJERCICIOS PROPUESTOS COMPLEMENTOS MAT

EJERCICIOS PROPUESTOS COMPLEMENTOS MAT

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS COMPLEMENTOS
MAT - 021
NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcule las raı́ces cuadradas de i y escrı́balas en forma binomial.
1
Respuesta: wo = √ (1 + i),
2
1
w1 = √ (−1 − i)
2
2. Calcule todos los z ∈ C que satisfacen las siguientes tres condiciones:
·
¸
√
√
3π
Arg z ∈ π,
; Re z = 3 Im z; |z|2 + 3 zz − 4 = 0
2
√
3 1
Respuesta: z = −
− i
2
2
3. Obtenga las tres raı́ces de la ecuación: z 3 − 1 = 0. Denótelas por
1, α, β. Comprobar que: α = β 2 ; β = α2 ; α β = 1
Indicación: use la Forma Polar.
4. a) Con la noción usual de potencias enteras positivas, calcule in ,
N.
b) Calcule i21 ,
i164 ,
n∈
i70
Respuesta:
a) Sea n ≥ 4, luego n = 4p + q,
Luego :




donde n ≥ 0,
1,
i,
in = i4p · iq = iq =
−1,



−i,
b) i21 = i,
i164 = 1,
i70 = −1
si
si
si
si
q
q
q
q
=0
=1
=2
=3
q = 0, 1, 2, 3
2
5. Escriba en la forma x + iy:
a)
1−i
2+i
b)
iz 3 , donde z = x + iy
Respuesta:
a)
/mjm
1 3
− i
5 5
b)
y 3 − 3x2 y + (x3 − 3xy 2 )i