Ejercicios, set No. 5 (a entregar a lo más tarde el 5 de octubre)

Ejercicios, set No. 5 (a entregar a lo más tarde el 5 de octubre)

Curso de maestrı́a
Geometrı́a Diferencial
UNAM, semestre 2017-1
Ejercicios, set No. 5 (a entregar a lo más tarde el 5 de
octubre)
Ejercicio 0.1. Sea X un campo vectorial C ∞ en un abierto U de Rn . Sea p un punto de U donde
X(p) 6= 0. El objetivo del ejercicio es demostrar que existe un difeomorfismo G de una vecindad
de p sobre una vecindad de 0 en Rn tal que G∗ X sea un campo constante. Por ejemplo siempre se
∂
.
puede construir G tal que G∗ X = ∂x
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Escribimos
X=
n
X
j=1
Xj
∂
.
∂xj
Como X(p) 6= 0 uno de los Xj (p) es distinto de 0. Suponemos X1 (p) 6= 0. Sea (t, q) 7→ ϕt (q) el
flujo de X. Está definido en una vecindad de (0, p) ∈ R × U .
1. Sea F el mapeo definido en una vecindad de p por F (q1 , . . . , qn ) = ϕq1 −p1 (p1 , q2 , . . . , qn ).
Demostrar que F es un difeomorfismo local de una vecindad de p sobre una vecindad de p.
∂
2. Demostrar que F∗ ( ∂x
) = X.
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Esto demuestra que en una vecindad de un punto no-singular (donde X(p) 6= 0) un campo vectorial
siempre puede ser transformado en un campo constante, modulo aplicar un difeomorfismo local.
Ejercicio 0.2.
1. Sea B una bola abierta de Rn centrada en 0. Demostrar que para todo p ∈ B
existe un difeomorfismo C ∞ f : B → B con soporte compacto en B tal que f (0) = p. Se
puede tomar f de la forma f = ϕ1X donde X es un campo vectorial con soporte compacto en
B. Demostrar que para X se puede tomar un campo constante multiplicado por una función
chipote.
2. Deducir que si M es una variedad conexa, el grupo Dif (M ) de todos los difeomorfismos de
M actua de manera transitiva en M .
Ejercicio 0.3. Demostrar que existe exactamente dos clases de isomorfismo de fibrados vectoriales
de rango 1 sobre el cı́rculo S 1 .
Ejercicio 0.4. Sea φ : P → M un mapeo C ∞ entre dos variedades. Sea N ⊂ M una subvariedad.
Se dice que φ es transverso a N si para todo x ∈ φ−1 (N ) ⊂ P tenemos :
Tφ(x) M = Tφ(x) N + Dφx (Tx P ).
Demostrar que si φ y N son transversos, φ−1 (N ) es una subvariedad de P . ¿ Cual es su dimensión ?
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