prolemas resueltos sobre cocientes resueltos

prolemas resueltos sobre cocientes resueltos

Á L G E B R A
donde:
2.- Hallar el término independiente del cociente:
pr = m
m
r = ––
p
∴
(x + a)n - an
––––––––––
x
(α)
Solución:
qr = n
Dando la forma de C.N. y desarrollando:
n
r = ––
q
∴
(x + a)n - an
–––––––––– = (x + a)n-1 + (x + a)n-2a1
(x + a) - a
+ (x + a)n-3a2 + … + an-1
(β)
m y ––
n , deben ser
Es decir, los cocientes entre ––
p
q
enteros e iguales.
El término independiente del C.N. es:
NÚMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE
n-1
P(0) = a1444442444443
+ an-2a1 + an-3. a2 + … + an-1
“n términos”
De (α) y (β):
= 144424443
an-1+ an-1+ an-1+...+an-1
m = ––
n
––
p
q = # de términos del cociente notable.
“n veces”
n-1
T.I.C. = na
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Simplificar:
3.- Simplificar:
2
3
n
n-1
1 + ––
x + ––
x + ––
x + … + ––––
x + ––––––––
x
E = ––
a
a2 a3 a4
an+1 an+1(a - x)
x78 + x76 + x74 + … + x4 + x2 + 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
x38 + x36 + x34 + … + x4 + x2 + 1
Solución:
Solución:
Sumando todos menos el último sumando:
Escribiendo el numerador y denominador como C.N.:
1 + ––
x + ––
x2 +…+ ––––
xn
––
2
3
a a
a
an+1
an + an-1x + an-2x2 + an-3x3 +…+ xn
= –––––––––––––––––––––––––––
(x2)40 - 140
–––––––––––
(x2) - 1
E = –––––––––––
(x2)20 - 120
–––––––––––
(x2) - 1
an+1
escribiendo el numerador como C.N.:
an+1 - xn+1
–––––––––
1
x
x
x
a-x
–– + –– + –– + …+ ––– = –––––––––
2
3
n+1
a a
a
a
an+1
2
efectuando y simplificando:
n
n+1
x80 - 1
(x40)2 - 12
E = –––––––
= –––––––––
40
x40 - 1
x -1
n+1
a -x
= –––––––––
an+1(a - x)
(x40 + 1) (x40- 1)2
E = ––––––––––––––– = x40 + 1
(x40- 1)
Sustituyendo en la expresión:
an+1 - xn+1
xn+1
an+1 - xn+1 + xn+1
E = ––––––––– + ––––––––– = –––––––––––––––
n+1
n+1
a (a - x)
an+1(a - x)
a (a - x)
4.- Hallar el cociente y el resto en:
x34 + x2-1
––––––––––––––––––––––––––––––
x32 + x30 + x28 + … + x4 + x2 + 1
simplificando:
an+1
1 = (a - x) -1
E = –––––––––
= ––––
an+1(a - x) a - x
Solución:
Rpta.: E = (a - x)-1
Transformando el divisor a Cociente Notable:
- 129 -
34
2
34
2
α
2
x + x - 1 (x + x - 1)(x - 1)
––––––––––
= –––––––––––––––––
x34 - 1
x34 - 1
––––––
2
x -1
x36 + x4 - x2 - x34 - x2 + 1
= ––––––––––––––––––––––
x34 - 1
α
6.- Si los grados absolutos de todos los términos van
disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su
desarrollo tiene grado absoluto (G.A.) = 87, hallar
el número de términos siendo el C.N.:
xnp - ap
–––––––
xn - a
Dividiendo por el método normal:
Solución:
x36 - x34 + x4 - 2x2 + 1
x34 - 1
1) Cálculo del t(40):
-x36
+ x2
x2 - 1
t(40) = (xn)p-40 (a)40-1
- x34 + x4 - x2 + 1
Por dato:
+ x34
-1
G.A.t(40) = n(p - 40) + 39 = 87
+ x4 - x2
n(p - 40) = 48
Resto Verdadero
Como Resto verdadero = –––––––––––––––
x2 - 1
(α)
2) Cálculo del t(41):
t(41) = (xn)p-41 (a)41-1
x4 - x2
= ––––––
= x2
x2 - 1
t(41) = (xn)p-41 (a)40
Rpta.: El cociente es : q(x) = x2 - 1
por ser término consecutivo, y los grados absolutos según el problema disminuyen de 3 en 3, se
tiene:
5.- Hallar (m + n) si el t (25) del desarrollo de:
G.A.t(41) = n(p - 41) + 40 = 84
x129m - a86n
––––––––––
x3m - a2n
n(p - 41) = 44
(β)
270 288
es x
a
Dividiendo (α) : (β):
Solución:
n(p - 40) 48
12
–––––––– = ––– = –––
n(p - 41) 44 11
Cálculo de t(25):
Escribiendo la división como C.N.:
3m 43
∴ p = 52
2n 43
(x ) - (a )
–––––––––––––––
(x3m) - (a2n)
3m 43-25
t(25) = + (x )
2n 25-1
(a )
7.- Si el siguiente cociente:
54m 48n
=x
a
α
=x
270 288
a
x6n+3 + a6n-22
––––––––––––––
n-6
n-8
(––––)
x
Por datos:
2
es notable. Calcular:
identificando los exponentes:
a) El valor de n.
54m = 270
⇒
m=5
b) El número de términos.
48n = 288
⇒
n=6
c) El término 19.
- 130 -
(––––)
+ a
2
Á L G E B R A
Solución:
Luego, el k- ésimo término será:
Si es C.N., por fórmula:
t(k) = (x3)m-k (y7)k-1
6n + 3 6n - 22
–––––– = ––––––– = # de términos.
n-6
n-8
–––––
–––––
2
2
si hay término central, entonces:
(x3)m-k(y7)k-1 = xcy231
identificando exponentes:
a) Simplificando:
3(m - k) = c
6n + 3 6n - 22
–––––– = –––––––
n-6
n-8
(β)
7(k - 1) = 231
∴
Multiplicando medios y extremos:
k = 34
El lugar del término central es 34, entonces habrá:
(6n + 3)(n - 8) = (6n - 22)(n - 6)
……………
34
……………
14424431442443
33
33
14444444244444443
6n2- 48n + 3n - 24 = 6n2 - 36n - 22n + 132
13n = 156
m = 33 + 33 + 1 = 67 términos
∴
n = 12
a = ––
b = m = 67
En (α) : ––
3
7
b) El número de términos es:
6n + 3 6(12) + 3
75
# = –––––– = ––––––––– = –––– = 25
n
6
12
6
3
–––––
––––––
2
2
a = 67
de aquí: ––
b
⇒
a = 201
b = 67
––
7
⇒
b = 469
3(67 - 34) = c
⇒
c = 99
c) El cociente notable es:
En (β):
x75 + a50 (x3)25 + (a2)25
––––––––
= ––––––––––––
x3 + a2
(x3) + (a2)
Por fórmula:
Luego, el valor pedido es:
3 25-19
t19 = +(x )
2 19-1
(a )
E = 201 + 469 + 99 = 769
18 36
t19 = x a
9.- Sabiendo que el t(5) del cociente notable:
8.- En el cociente notable:
a
x
x -y
–––––––
x3 - y7
es: a176 b64. Calcular el número de términos.
hay un término central, que es igual a:
Solución:
xc y231
Desarrollando el Cociente Notable:
Hallar: E = a + b + c
x
Solución:
Si es cociente notable, llamando m al número de
términos, se tiene:
a = ––
b =m
––
3
7
x
a4 - b4
––––––––––––
y
y
a5 -9 - b5 -9
b
(α)
a4 - b4 = a4x -(5y - 9) + a4x -2(5y - 9)
–––––––––––
y
y
a5 -9 - b5 -9
y-9
. b5
x -3(5y -9)
+ a4
. b3(5
- 131 -
y -9)
. b2(5
y -9)
x -5(5y -9)
+ a4
x -4(5y -9)
+ a4
y -9)
+ b4 (5
+…
α
Por dato:
x -5(5y -9)
t(5) = a4
b4(5
y -9)
= a176 b64
G.A.t(k) = 5(70 - k) + 2(k - 1) = 348 - 3k
b) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo
final.
identificando exponentes de a:
4x- 5(5y - 9) = 176
α
T(k) = (x5)70-k (y2)k-1
(α)
Sean los términos y sus respectivas posiciones.
exponentes de b:
4(5y - 9) = 64
“n”
644444447444444448
y
5 - 9 = 16
y
1 , 2 , 3, 4 , … ……, k, …… ……,
n
1442443
2
5 =5
↑
678
de donde: y = 2
(n - k)
(n - k + 1)
En (α): 4x - 5(16) = 176
α
El t(k) contado a partir del extremo final ocupa la
posición n - k + 1 contado a partir del extremo
inicial. Luego:
4x = 256 = 44
∴ x=4
t(n - k + 1) = t(70 - k + 1) = t(71 - k)
El número de términos es:
4x
44
256
––––––
= ––––––
= –––– = 16
y
2
5 -9
5 -9
16
= (x5)70-(71-k) (y2)71-k-1
t(71 - k) = (x5)k-1 (y2)70-k
10.- Cuál es el lugar que ocupa un término en el
sigueinte C.N.:
G.A. :
x350 - y140
––––––––––
x5 - y2
t(71 - k) = 5(k - 1) + 2(70 - k) = 3K + 135
contado a partir del primer término sabiendo que
la diferencia del grado absoluto (G.A.) de éste
con el G.A. del término que ocupa la misma posición contado a partir del extremo final es 9.
Por la condición del problema:
Solución:
de donde: k = 34
a) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo
inicial:
El término ocupa el lugar 34.
- 132 -
(348 - 3k) - (3k + 135) = 9