Matemática DETERMINANTES dc ba 03 21

Matemática
DETERMINANTES
Introducción:
Calculando el determinante de una matriz se puede determinar la cantidad de soluciones que tiene un
sistema de ecuaciones lineales de igual número de ecuaciones que de incógnitas.
Además, sirve para saber si una matriz tiene o no inversa (ya hablaremos de esto más tarde).
Por ahora diremos que el determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Veamos cómo
calcularlo, sus propiedades y algunas de sus múltiples utilidades.
Notación: Notaremos det (A) ó A al determinante de la matriz A (no confundir con el módulo o valor
absoluto: el determinante es un número no necesariamente positivo)
Determinantes de segundo orden: (para matrices de 2x2)
a b 
 , det(A) = a.d – b.c
c d
Si A = 
Ejemplo:
−1 2
= (-1).0 – 2.3 = 0 – 6 = -6
3 0
Determinantes de tercer orden: (para matrices de 3x3)
Regla de Sarrus:
a11
a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a 23 =a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 – a13.a22.a31 – a23.a32.a11 – a33.a12.a21
a 33
Esto parece imposible de recordar pero no lo es tanto; veámoslo de otra forma:
dada la matriz, construímos otra de 5x3, repitiendo nuevamente las 2 primeras, debajo de las tres filas.
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
a 31
a11
a 21
a32
a12
a 22
a 33
a13
a 23
Trazamos las diagonales de tres elementos como se indica abajo:
6to AÑO
Determinantes
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Matemática
El determinante es el producto de las rojas, sumadas entre sí, menos el producto de las azules también
sumadas entre sí.
Veamos un ejemplo:
1 2 3
Calculemos 4 5 6
7 8 9
Procedemos como antes:
Det (A) = 1.5.9 + 4.8.3 + 7.2.6 – 3.5.7 – 6.8.1 – 9.2.4 =
= 45 + 96 + 84 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 = 0
Determinantes de cualquier orden: (para matrices de nxn)
Este método sirve para calcular determinantes de matrices de cualquier orden, por eso recomendamos
su utilización.
Definición: Dada cualquier matriz cuadrada, se llama cofactor de aij al determinante de la matriz que
resulta de suprimirle a la original la fila i y la columna j multiplicado por (-1) elevado a la i más j. Lo
notaremos Cij
 − 1 0 5


4 1
= 25
Por ejemplo: si A =  − 2 4 1  , C11 = (-1)1+1.
3 7
 2 3 7


6to AÑO
Determinantes
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Matemática
C12 =
−2 1
2
7
= (-1)1+2.(-16) = 16 y así sucesivamente
Método de Laplace:
Dada una matriz, elegimos cualquier fila o columna de la matriz y hacemos la siguiente operación:
a11
si A = a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a 23 , supongamos que elijo la segunda columna, el determinante de A es:
a 33
Det (A) = a12 .C12 + a22 .C22 + a32 .C32
Veamos nuestro ejemplo:
1 2 3
Calculemos 4 5 6
7 8 9
Elijamos primero la tercera fila:
= 7.(-1)3+1.
2 3
5 6
+ 8.(-1)3+2
1 3
4 6
+ 9.(-1)3+3.
1 2
4 5
=
= (-1)4. 7.(12 - 15) + (-1)5. 8 . (6 – 12) + (-1)6. 9. (5 – 8) =
= 1. 7 . (-3) + (-1) . 8 . (-6) + 1 . 9 . (-3) = -21 + 48 – 27 = 0
Hagámoslo nuevamente: elijamos ahora la primera columna:
6to AÑO
Determinantes
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= 1.(-1)1+1.
5 6
8 9
+ 4.(-1)2+1.
2 3
8 9
+ 7.(-1)3+1.
2 3
5 6
=
= (-1)2. 1.(45 - 48) + (-1)3. 4 . (18 – 24) + (-1)4. 7. (12 – 15) =
= 1. 1 . (-3) + (-1) . 4 . (-6) + 1 . 7 . (-3) = -3 + 24 – 21 = 0
Como verán, por cualquier método da lo mismo.
Conviene tomar la fila o columna que tenga más cantidad de ceros porque si el coeficiente es cero nos
ahorramos el cálculo de un determinante. No se olviden que si la matriz original tiene orden 5,
tenemos que calcular 5 determinantes de orden 4 y, para cada uno de estos 4 de orden 3. Pero nos
preocuparemos por esto más adelante cuando hablemos de las propiedades de los determinantes.
Ejercicio 1: Calcular los siguientes determinantes:
i)
1
2
3 −4
6
ii) 3
5
5
1
2
 x
 2
Ejercicio 2: Dada A =  x
3

1 0 3
iii) 0 1 4
2 1 0
−2 3 1
iv) 4 6 5
0 2 1
2 0 3 1
v)
0 1 4 2
0 0 1 5
1 2 3 0
3 0

9 0  , hallar x ∈ R tal que A
= 0.
3 1 
Propiedades de los determinantes:
La aplicación de las propiedades es relativamente fácil y muy útil, sobre todo si queremos calcular el
determinante de una matriz de orden mayor o igual a 4.
Lamentablemente, la demostración de estas propiedades excede ampliamente las posibilidades de este
curso y las dejaremos para aquellos que decidan tomar un curso de matemática superior.
Propiedad 1: El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
Propiedad 2: El determinante de una matriz que tiene una fila o columna nula es cero (esto es obvio si
pensamos en la forma en que calculamos el determinante por el método de Laplace).
Propiedad 3: Si en una matriz se permutan entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia
de signo.
Propiedad 4: El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los
elementos de la diagonal principal: (se llama diagonal principal a la formada por a11 ; a22 ; a33; a44, etc)
6to AÑO
Determinantes
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Ejemplo:
3

0
si A =  0

0

0
7
8
9
2
3
4
0 −5 7
0
0
9
0
0
0
1

5
1

11

7
Para calcular el determinante de A, elijo la primera columna.
2
Det (A) = 3.(-1)1+1.
3
4
5
0 −5 7
1
0
0
9 11
0
0
0
2
= 3.
7
3
4
5
0 −5 7
1
0
0
9 11
0
0
0
7
Para este nuevo determinante también elijo la primera columna; entonces,
2
Det(A) = 3.
3
4
5
0 −5 7
1
0
0
0
0
−5 7 1
−5 7 1
= 3. 2.(-1) . 0 9 11 = 3. 2 . 0 9 11
9 11
0 0 7
0 0 7
0 7
1+1
Para este nuevo determinante también elijo la primera columna, entonces,
−5 7 1
9 11
9 11
Det(A) = 3.2. 0 9 11 = 3.2.(-5).(-1)1+1.
= 3. 2.(-5).
= 3.2.(-5).(9.7- 11.0) =
0 7
0 7
0 0 7
= 3.2.(-5).9.7
Como vemos, el determinante de A es el producto de los elementos de la diagonal principal.
Propiedad 5: det(A.B) = det(A).det(B)
Propiedad 6: Si en una matriz, se multiplica toda una fila o toda una columna por un número el
determinante queda multiplicado por el mismo número, por ejemplo:
−2 3 1
−2 3 7
4 6 5 = 4. Si multiplicamos por 7 la tercera columna, 4 6 35 = 7.4 = 28
0 2 1
0 2 7
6to AÑO
Determinantes
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Propiedad 7: Si en una matriz se sustituye una fila o columna por ésta más un múltiplo de otra, el
determinante no cambia.
La propiedad 7, es sin duda la más útil de todas.
Veamos un ejemplo de cómo calcular el determinante de una matriz de 5x5 utilizando propiedades:
2

3
Sea A =  7

0

4
5
0
8
6
6
2

4
9 − 1
−3 −2 0 

7 −7 5 

− 3 12 0 
11
6
Multiplicamos la primera fila por
1
, utilizando la propiedad 6,
2
1 5 / 2 11 / 2
3
1
3
0
4
9
−1
det(A) = 2. 7
8
−3
−2
0 .
0
6
7
−7
5
4
6
−3
12
0
Aclaración: como el determinante de la nueva matriz es la mitad del determinante de A, para que sea
igual, debemos multiplicar por 2.
Ahora reemplazaremos la segunda fila por ésta más (-3) por la primera, es decir,
F2 = F2 – 3.F1. Aplicamos la propiedad 7 y vemos que esto no cambia nuestro determinante.
1
5/ 2
11 / 2
0 − 15 / 2 − 25 / 2
3
1
0
−4
det(A) = 2. 7
8
−3
−2
0 .
0
6
7
−7
5
4
6
−3
12
0
Utilizando la misma propiedad reemplazaremos:
F3 = F3 – 7.F1
F5 = F5 – 4.F1
1
5/2
11 / 2
0 − 15 / 2 − 25 / 2
det(A) = 2. 0
6to AÑO
3
1
0
−4
− 19 / 2 − 83 / 2 − 23 − 7
0
6
7
−7
5
0
−4
− 25
0
−4
Determinantes
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Matemática
Como vemos, conseguimos una columna con el primer elemento 1 y el resto ceros. Si elegimos esta
columna para calcular el determinante, queda:
− 15 / 2 − 25 / 2
det(A) = 2.
−4
0
− 19 / 2 − 83 / 2 − 23 − 7
6
7
−7
5
−4
− 25
0
−4
Multiplicamos la primera fila por −
1
5/3
2
, utilizando la propiedad 6:
15
0
8 / 15
 15  − 19 / 2 − 83 / 2 − 23

6
7
−7
 2
−4
− 25
0
det(A) = 2.  −
−7
5
−4
Utilizando la propiedad 7 reemplazaremos:
F2 = F2 + 19/2.F1
F3 = F3 – 6.F1
F4 = F4 + 4.F1
1
5/3
0
8 / 15
 15  0 − 77 / 3 − 23 − 29 / 15

9/5
−3
−7
 2 0
0 − 55 / 3
0
− 28 / 15
det(A) = 2.  −
Como vemos, conseguimos una columna con el primer elemento 1 y el resto ceros. Si elegimos esta
columna para calcular el determinante, queda:
 15 
det(A) = 2.  − 
 2
− 77 / 3 − 23 − 29 / 15
−3
−7
9/5
− 55 / 3
0
− 28 / 15
Vamos a multiplicar la fila 1 por 15, la fila 2 por 5 y la fila 3 por 15 para conseguir todos números
enteros, entonces:
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Determinantes
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 15  1
det(A) = 2.  −  . .
 2  15
 15  1 1
= 2.  −  . .
 2  15 5
− 385 − 345
− 29
−3
−7
9/5 =
− 55 / 3
0
− 28 / 15
− 385 − 345
− 29
=
− 15
− 35
9
− 55 / 3
0
− 28 / 15
− 385 − 345 − 29
 15  1 1 1
= 2.  −  . . .
− 15 − 35
9
 2  15 5 15
− 275
0
− 28
Permutemos las dos primeras filas, hacemos esto porque la segunda fila tiene números más chicos.
− 385 − 345 − 29
 15  1 1 1
det(A) = 2.  −  . . .
− 15 − 35
9 = (utilizando la propiedad 3)
 2  15 5 15
− 275
0
− 28
− 15 − 35
9
 15  1 1 1
.(-1). − 385 − 345 − 29
= 2.  −  . . .
 2  15 5 15
− 275
0
− 28
Multiplicamos la primera fila por −
1
, utilizando la propiedad 6,
15
1
7 / 3 3/ 5
 15  1 1 1
.(-1). (-15). − 385 − 345 − 29
det(A) = 2.  −  . . .
 2  15 5 15
− 275
0
− 28
Utilizando la propiedad 7 reemplazaremos:
F2 = F2 + 385.F1
F3 = F3 + 275.F1
1
7/3
3/ 5
 15  1 1 1
.(-1). (-15). 0 1660 / 3 202
det(A) = 2.  −  . . .
 2  15 5 15
0 1925 / 3 137
6to AÑO
Determinantes
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Matemática
Como vemos, conseguimos una columna con el primer elemento 1 y el resto, ceros. Si elegimos esta
columna para calcular el determinante, queda:
1660 / 3 202
 15  1 1 1
.(-1). (-15).
=
. . .
1925 / 3 137
 2  15 5 15
det(A) = 2.  −
1925
 15  1 1 1
 1660

.(-1). (-15). 
.137 −
.202  =
. . .
3
 2  15 5 15
 3

= 2.  −
 15  1 1 1
.(-1). (-15). (-53810) = 10762
. . .
 2  15 5 15
= 2.  −
Por supuesto, las propiedades que utilizamos las vamos eligiendo según nuestra comodidad.
Si una vez que llegamos a una matriz de 3x3, no queremos aplicar más propiedades y preferimos
calcularlo, no hay problema.
Ejercicio 3: Calcular los siguientes determinantes utilizando propiedades:
−2 3 1
ii) 4 6 5
0 2 1
1 0 3
i) 0 1 4
2 1 0
2 0 3 1
iii)
0 1 4 2
0 0 1 5
1 2 3 0
1 7 1/ 8 9 1 


 0 − 1 3 14 53 
Ejercicio 4: Dada A =  0 0
− 1 7 1  Calcular det (A2009)


0
1 12 
0 0
0 0
0
0 − 1

Respuestas:
Ejercicio 1:
i) -10
ii) 0
iii) -10
iv) 4
v) 56
Ejercicio 2: x = 0 ó x = 3
Ejercicio 3:
i) -10
ii) 4
iii) 56
Ejercicio 4: -1
6to AÑO
Determinantes
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