Funciones

Seminario Universitario – Matemática
Módulo 5
Funciones
“Una función no es: ni una tabla de valores, ni una representación gráfica, ni una serie de
teclas de una calculadora, ni una fórmula. Es todo eso a la vez”.
Miguel de Guzmán
La primera idea de la palabra función es dependencia, por ejemplo, el área de un círculo es
función de su radio, el costo de envío de una carta es función de su peso y así podemos
encontrar muchos ejemplos dentro de la matemática y en cuestiones de la vida diaria donde
aparece este concepto.
El objeto de este módulo es precisar la idea de función, para hacerlo, recordemos algunos
conceptos importantes:
Empecemos con un ejemplo:
Supongamos que vas al cine, y tu entrada dice: “fila 4 asiento 15”. Evidentemente, no es lo
mismo que diga “fila 15, asiento 4”, es decir, el orden en el que están dados los números es
muy importante para poder ubicar correctamente tu asiento.
Cuando estudiaste geografía, usaste un sistema de coordenadas para ubicar puntos de la
Tierra (latitud y longitud), y te habrás dado cuenta que el punto ubicado en 60° de latitud
sur y 30° de longitud oeste, no es el mismo que el que tiene por coordenadas 30° de latitud
sur y 60° de longitud oeste.
Podemos escribir estos dos ejemplos de la siguiente forma:
 4 ; 15 
 60 ; 30  
O sea, tenemos un conjunto de dos elementos dados en un cierto orden. A ese conjunto lo
llamaremos par ordenado. El primer elemento del par se llama primera componente y el
segundo elemento, segunda componente.
Importante:
a ; b   b ; a 
Consideremos dos conjuntos: A  1; 2; 3
B  m , n 
Vamos a formar un conjunto que tenga por elementos pares ordenados con la siguiente
condición: la primera componente del par ordenado debe pertenecer al conjunto A, y la
segunda al B. A ese conjunto lo denotaremos AxB y lo llamaremos producto cartesiano.
A  B  1, m  ; 1, n  ; 2, m  ; 2, n  ; 3, m  ; 3, n 
1
Módulo 5
¿Cuántos pares ordenados tiene AxB?.... Se obtiene multiplicando la cantidad de elementos
de A por la cantidad de elementos de B.
Ahora, forma el producto cartesiano BxA:
B  A  ...............................................................................................
¿Son iguales?... ¿Por qué?...
ACTIVIDAD 1
Dados los siguientes conjuntos, hallar AxB, BxA, AxA = A2, B2:
a ) A  2; 4; 5  ; B  2; 7; 0 
b ) A  x , y , z 
;
B   ,  
c ) A  1; 3; 5; 7  ; B  2; 4; 6; 8 
RELACIONES
Partamos de un producto cartesiano: A  B  1; 4  ; 1; 5  ; 1; 6  ; 2; 4  ; 2; 5  ; 2; 6  .
Y ahora formemos un subconjunto R1 con todos aquellos pares ordenados del producto AxB
que cumplen con la condición de que la segunda componente es igual a la primera
aumentada en tres.
Simbólicamente podemos escribir:
R1   x ; y  y  x  3
Definido por extensión este conjunto es:
R1

 1; 4  ;  2; 5 

Hemos definido una relación, es decir un subconjunto de un producto cartesiano.
4 es imagen de 1
1 es preimagen de 4
Atención: Diremos que
Esta relación puede representarse gráficamente:
Por diagramas de Venn - Euler:
O por gráfico cartesiano:
A
B
1
4
5
4
3
2
1
5
2
0.5
6
1
1.5
2
ACTIVIDAD 2
a) Dados los siguientes conjuntos, definirlos por extensión, hallar AxB y dar por extensión
las siguientes relaciones incluidas en el producto cartesiano:
A  x x 
2
 2  x  6
B  x x 
 5  x  9
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 x ; y  x  y 
  x ; y  x  y  11
 x ; y  x  y 
  x ; y  x  y  1
 x ; y  x  y 
  x ; y  x y 
R1 
R2 
R3 
R4
R5
R6
b) Representar en diagramas de Venn-Euler y en gráficos cartesianos las relaciones dadas.
Algunas precisiones
Al conjunto A, lo llamaremos conjunto de partida de la relación, y al conjunto B, conjunto de
llegada.
Al subconjunto del conjunto de partida formado por los elementos que son primeras
componentes de la relación lo llamaremos Dominio (conjunto de las preimágenes) y al
subconjunto de B, cuyos elementos son segundas componentes de la relación, lo
llamaremos Recorrido (conjunto de las imágenes).
El dominio puede coincidir con el conjunto de partida y el recorrido con el de llegada.
ACTIVIDAD 3
Definir por extensión el dominio y el recorrido de las relaciones de la Actividad 2.
FUNCIONES
Dentro de las relaciones, estudiaremos un tipo especial de éstas, llamadas funciones.
Diremos que una relación es función, si y sólo si se cumplen dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos del conjunto tienen imagen en el
segundo conjunto.

Condición de unicidad: Todos los elementos del primer conjunto tienen una sola
imagen en el segundo. (Aunque un elemento del segundo puede tener varias
preimágenes en el primero).
Veamos algunos ejemplos gráficamente:
A
B
A
B
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
No es función, no se cumple la condición de
existencia.
No es función, aunque se cumple la
condición de existencia, no se cumple la
condición de unicidad.
3
Módulo 5
B
A
A
B
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
No es función, no se cumple ninguna de las
dos condiciones.
*
Este sí es el gráfico de una función
(¡por fin!), se cumplen ambas condiciones.
¿Cómo representar funciones?...
Hay diferentes formas de representar una función:
a) Por extensión: f 
b) Por tabla:
1; 2  ; 3; 6  ; 5; 6 
x
y
1
3
5
2
6
6
c) Por diagrama de Venn - Euler:
A
B
1
2
3
6
5
d) Por diagrama cartesiano:
El tipo de representación que elijamos estará condicionada por las necesidades de cada
caso.
4
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FUNCIONES ESCALARES
Dentro del conjunto de las funciones tienen especial interés para nosotros las funciones
escalares, que son aquellas cuyo dominio y recorrido son subconjuntos de los números
reales.
Las funciones escalares también se conocen como funciones numéricas.
Es usual dar la relación entre las variables de las funciones numéricas mediante fórmulas,
así por ejemplo:
f1(x )  3 x  2
f 2(x ) 
x 1
x 3
f 3 ( x )  cos x
2
etc...
Estudiaremos con más detalle algunas funciones numéricas.
FUNCIONES POLINÓMICAS
Tienen la forma f ( x )  an x n  an 1 x n 1  .....  a2 x 2  a1 x  a0 .
Profundicemos el estudio de algunas funciones polinómicas.
FUNCIÓN LINEAL
Llamaremos función lineal a toda función dada por un polinomio de primer grado, podemos
simbolizar su forma así:
y=mx+b
Son ejemplos de funciones lineales:
f 1 ( x )  2 x  4 ; f 2 ( x )  3 x ; f 3 ( x ) 
2
5
x 
1
2
ACTIVIDAD 4
Completar la siguiente tabla de valores para la función y = 3 x – 2 y representarla en un
sistema de ejes cartesianos.
x
y
-2
-1
0
1
2
Si hiciste las cosas bien, la gráfica seguramente
habrá resultado una recta.
En efecto, todas las funciones del tipo
y=m
x + b tienen por representación gráfica una recta.
5
Módulo 5
Esta es la gráfica que tenías que hacer:
Al coeficiente m se lo llama pendiente de la recta, y b se llama ordenada al origen.
¿Cómo representar gráficamente una función lineal?...
Seguramente recordarás de la escuela secundaria, que al comenzar a estudiar geometría
enunciaste los axiomas de Euclides, uno de ellos decía más o menos así: por dos puntos
pasa una y sólo una recta, o alguna expresión similar. Entonces bastará con determinar dos
puntos que verifiquen la ecuación dada para poder representarla gráficamente.
Consideremos por ejemplo, la recta y = 2 x + 1.
Como su ordenada al origen es 1, podemos asegurar que la recta pasa por el punto (0; 1),
entonces sólo falta determinar otro punto de la misma para poder trazarla.
El segundo punto se halla de la siguiente forma: como la
y
pendiente de la recta es 2 construimos un triángulo
rectángulo cuyo cateto adyacente a  mida 1 y cuyo
cateto opuesto mida 2. O sea, desde la ordenada al
origen “salimos” 1 unidad a la derecha y “subimos” 2
2

unidades.
1
1
En el extremo del último segmento encontramos el

segundo punto que necesitamos para trazar la recta.
x
Veamos otros ejemplos:
y
y
2
O
x
O
1
x
3
–2
2
En este caso, hemos representado la recta
3
Esta recta tiene por ecuación y  x  2 .
1
2
y   x , observemos que su ordenada al
2
origen es 0 y que como la pendiente es
negativa, después de “salir” 2 unidades
hacia la derecha, “bajamos” 1 unidad.
ACTIVIDAD 5
Graficar las siguientes rectas:
6
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a) y  3 x  5
b ) y  x 
3
2
Intersecciones de una recta con los ejes coordenados
Los puntos donde la recta corta a los ejes coordenados se llaman abscisa y ordenada al
origen. Para hallarlos procedemos así:
La abscisa al origen, es el “valor de x” para el cual y = 0, por lo tanto:
0=mx+b
b
Despejando x:
x= 
m
Este valor también se conoce como cero o raíz de la función lineal.
La ordenada al origen es el “valor de y” que se obtiene para x = 0:
y=m0+b
y=b
Expresión que ya conocíamos.
Características de las funciones escalares
Además del dominio, codominio y recorrido de una función, interesa analizar las siguientes
características:
Función continua
Podemos hacernos una idea intuitiva de lo que es una función continua pensando en su
gráfica, y decir que es aquella en la cual no es necesario levantar el trazo del lápiz para
realizar su representación gráfica.
Las funciones polinómicas son funciones continuas.
Si la función no es continua se llama discontinua.
Conjunto de positividad
Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales
dicha función toma valores positivos.
Se representa como C+.
C+ = {x  Domf / f(x) > 0}
Conjunto de negatividad
Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales
dicha función toma valores negativos.
Se representa como C–.
C– = {x  Domf / f(x) < 0}
Conjunto de ceros
Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales
dicha función vale cero.
Se representa como C0.
C0 = {x  Domf / f(x) = 0}
7
Módulo 5
Funciones monótonas
Función estrictamente creciente
Una función y = f(x) es estrictamente creciente en un intervalo incluido en su dominio si y
sólo si para todo par de valores distintos de la variable independiente pertenecientes a
dicho intervalo se verifica que la imagen del menor es menor que la imagen del mayor.
f es estrictamente creciente en (a; b)  Domf 
  x1  (a; b)  x2  (a; b)  x1  x2 : [x1 < x2  f(x1) < f(x2)]
El conjunto de crecimiento, que se representa como C, es el intervalo o la unión de
intervalos donde la función es creciente.
Función estrictamente decreciente
Una función y = f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo incluido en su dominio si y
sólo si para todo par de valores distintos de la variable independiente pertenecientes a
dicho intervalo se verifica que la imagen del menor es mayor que la imagen del mayor.
f es estrictamente decreciente en (a; b)  Domf 
  x1  (a; b)  x2  (a; b)  x1  x2 : [x1 < x2  f(x1) > f(x2)]
El conjunto de crecimiento, que se representa como C, es el intervalo o la unión de
intervalos donde la función es creciente.
Función Periódica
Una función y = f(x) es periódica si existe un número real positivo T, tal que para todo x
que pertenece al dominio de la función se verifica que:
f(x) = f(x + k T)
donde k es un número entero, y el número real positivo T se llama período.
De las funciones que se estudian en este curso, sólo las trigonométricas son periódicas.
Posiciones especiales de la recta
1. Recta horizontal
Una recta horizontal tiene por ecuación y = b, siendo
b constante. Es una recta paralela al eje x, que no lo
corta si b  0, y pasa por el punto (0; b). Es la
representación gráfica de la función constante.
En consecuencia, en el plano de coordenadas
cartesianas, como el eje x es una recta horizontal que
pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es y
= 0.
2. Recta vertical
Una recta vertical tiene por ecuación x = a, con a
constante. Es una recta paralela al eje y, que no lo
corta si a  0, y pasa por el punto (a; 0). No
representa una función.
Por consiguiente, en el plano de coordenadas
cartesianas, como el eje y es una recta vertical que
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Seminario Universitario – Matemática
pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es x = 0.
Ecuación de la recta que pasa por un punto
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por un punto (x0; y0), procederemos de la
siguiente manera:
Sabemos que la ecuación de una recta es y = m x + b [ 1 ]
Además si el punto (x0; y0) pertenece a la recta, verifica su ecuación, es decir:
y 0  mx 0  b [ 2 ]
Restando miembro a miembro las ecuaciones [ 1 ] y [ 2 ]:
y  y 0  m x  b  m x 0  b 
y  y 0  mx  b  mx 0  b
Cancelando b y extrayendo factor común m:
y  y 0  m x  x 0 
Que es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x0; y0) y tiene pendiente m.
Veamos un ejemplo:
Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (–3; 2) y tiene pendiente 5.
Aplicando la fórmula deducida:
y – 2 = 5 (x + 3)
Operando queda:
y – 2 = 5 x + 15
y = 5 x + 17
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Ahora vamos a deducir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1; y1) y (x2; y2).
Para ello, observemos que según la ecuación de la recta que pasa por un punto, la
pendiente de una recta puede escribirse de la siguiente forma:
m 
y y0
x  x0
Donde x0 e y0 son las coordenadas de un punto en particular de la recta, y “x” e “y” son las
coordenadas de un punto cualquiera perteneciente a la misma.
Entonces, ya que los puntos (x1; y1) y (x2; y2) pertenecen a la recta, podemos escribir:
m 
y2  y1
x 2  x1
Entonces, hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1; y1) (podríamos haber
elegido el otro punto), y que tiene la pendiente m:
y  y 1  m x  x 1 
y reemplazando m por la expresión que obtuvimos queda:
y  y1 
y2  y1
x  x 1 
x 2  x1
Esta expresión puede escribirse también como:
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Ejemplo:
9
Módulo 5
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3; 5) y (2; –2).
y 5 
2  5
 x   3  
2   3 
2  5
x  3 
2 3
7
y 5 
x  3 
5
7
21
y 5   x 
5
5
7
4
y  x 
5
5
y 5 
ACTIVIDAD 6
Encontrar las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) que pasa por el punto (–2; 2) y tiene pendiente 3;
b) que pasa por los puntos (–1; 4) y (2; 5).
Paralelismo y perpendicularidad entre rectas
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
Por ejemplo, las rectas y  2 x ; y  2 x  5 ; y  2 x  4 son paralelas.
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la recíproca y
opuesta de la pendiente de la otra.
Podemos decir que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares (que no
sean una vertical y la otra horizontal) entre sí es igual a –1.
Por ejemplo, las rectas y  3 x  2 e y  
1
3
x  4 son perpendiculares.
Forma implícita de la ecuación de la recta
Se escribe: A x + B y + C = 0, siendo A, B y C números reales, y A y B no simultáneamente
nulos. Si B  0, podemos despejar “y”, resultando:
y 
Siendo 
A
A
B
C
x 
C
B
la pendiente de la recta y 
su ordenada al origen. Como vemos, en la
B
B
ecuación implícita de una recta no se leen directamente los valores de m y b.
Intersección entre rectas
Sabemos que dadas dos rectas en el plano, pueden darse tres situaciones:
a) Que se corten en un punto. (Rectas concurrentes.)
b) Que no tengan ningún punto en común. (Rectas paralelas.)
c) Que tengan todos sus puntos en común. (Rectas coincidentes.)
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Para determinar, si existe, el punto de intersección de dos rectas, se plantea un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas. Usando la forma implícita:
 a1 x  b1 y  c 1

 a2 x  b2 y  c 2
Si este sistema tiene solución (única), los valores de x e y son las coordenadas del punto de
intersección de las rectas dadas.
La resolución de un sistema de 2x2 se puede hacer por varios métodos, aquí sólo veremos
dos: método de sustitución y método de determinantes.
Método de sustitución
Para conocer el Método de Sustitución resolvamos el siguiente sistema para explicarlo:
[1]
2x y  8

 3 x  2 y  2 [2]
En primer lugar de una de las ecuaciones despejamos una variable cualquiera, por ejemplo,
despejaremos la variable y de la ecuación [1]:
de [ 1] : y  8  2 x [3]
Luego, reemplazamos esta expresión en la otra ecuación:
[ 3] en [ 2] : 3 x  2 8  2 x   2
Obtuvimos una ecuación de primer grado con una incógnita. Resolviendo:
3 x  16  4 x  2
7 x  2  16
7 x  14
14
7
x 2
x 
Por último, reemplazamos el valor de x en la ecuación [3]:
en [ 3] : y  8  2  2  8  4  4
Por lo tanto, vemos que el punto de intersección de las rectas es (2; 4), y el conjunto
solución del sistema es S = {(2; 4)}.
Verificamos esto haciendo las gráficas:
11
Módulo 5
Cuando, como en este caso, el sistema tiene solución única (las rectas se intersecan en un
punto), se denomina sistema compatible determinado.
Resolvamos otro sistema:
[1]
2x y  4


1
x  y  2 [2]


2
de [ 1] : y  2 x  4 [3]
[ 3] en [ 2] :  x 
1
2 x  4   2
2
 x  x  2  2
 2  2
¿Qué ha sucedido?, hemos eliminado la incógnita x y obtuvimos una igualdad (verdadera).
Aquí debemos detener el método. Llevemos ambas ecuaciones a su forma explícita:
de [ 1] : y  2 x  4
1
y  x 2
2
 y  2 x  2   2 x  4
de [ 2] :
Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo tanto el sistema admite infinitas
soluciones, (cualquier punto de la recta y = 2 x – 4 verificará ambas ecuaciones del
sistema). En este caso, decimos que el sistema es compatible indeterminado.
Gráficamente, las rectas son coincidentes.
Para obtener algunas de las infinitas soluciones del sistema, damos valores a x, para
obtener los correspondientes de y, el conjunto solución es:
S  0; 4  ; 1; 2  ;  1; 6  ; .............
Por último resolvamos el sistema:
 3 x  y  2 [1]

 6 x  2 y  4 [2]
12
Seminario Universitario – Matemática
de [ 1] : y  3 x  2 [3]
[ 3] en [ 2] : 6 x  2 3 x  2   4
6 x  6 x  4  4
4 4
También en este caso se ha eliminado la incógnita x pero la igualdad que se obtuvo es
evidentemente falsa. Llevando las ecuaciones a su forma explícita:
de [ 1] :
y  3x 2
de [ 2] :  2 y  6 x  4
6 x  4 6
4
y 

x 
2
2
2
y  3x 2
Ambas rectas tienen igual pendiente (son paralelas), es decir, no existe punto de
intersección, en este caso el sistema es incompatible: S   .
Método de determinantes
Para desarrollar el método de determinantes comencemos definiendo un determinante
de segundo orden. Un determinante es una disposición de números como la siguiente:
a
b
c
d
Llamaremos filas a las formadas por los elementos a _ b, y c _ d; y columnas a las
formadas por a _ c, y b _ d. Las diagonales son a _ d (diagonal principal), y b _ c
(contradiagonal).
Un determinante, da por resultado un número, que se calcula así:
a
b
c
d
 a d b c
ACTIVIDAD 7
Calcular los siguientes determinantes:
13
Módulo 5
a)
1 4
2 5

b)
1
6
c) 3

4 9
9 2

9 6
Ahora, apliquemos los determinantes a la solución de sistemas de 2x2:
 a1 x  b1 y  c1
 a2 x  b2 y  c 2
Consideremos el sistema: 
Llamaremos determinante principal del sistema y lo designamos con  al formado por los
coeficientes de las incógnitas:
a
 1
a2
b1
b2
Además, formaremos otros dos determinantes llamados x y y:
c
x  1
c2
b1
y 
b2
a1
c1
a2
c2
Estos determinantes son muy fáciles de recordar, teniendo en cuenta que x se forma
cambiando la columna de coeficientes de x por los términos independientes, y lo mismo
sucede para y.
Se puede demostrar que los valores de x y de y se obtienen haciendo los cocientes:
x 
x

y 
y

Ejemplo:
3 x  2 y  1
 x  y  3
Resolver 
Formamos los determinantes:
3
 
1 1
x 
y 
Calculamos las incógnitas:
2
1
 3  2  5
2
3 1
3
1
1 3
 1  6  5
 9  1  10
x
5

 1

5
y
10
y 

2

5
 S   1; 2 
x 
ACTIVIDAD 8
La compatibilidad de un sistema puede analizarse fácilmente en base a los valores de los
determinantes. Aplica el método de determinantes a los sistemas que hemos resuelto por
14
Seminario Universitario – Matemática
sustitución y completa el siguiente cuadro (Importa el hecho de saber si los determinantes
son nulos o no):
Tipo de sistema

x
y
Interpretación
Gráfica
Aplicaciones
Los sistemas de 2x2 sirven para resolver un gran número de problemas, por ejemplo:
Hallar dos números sabiendo que el duplo del primero más el triplo del segundo es igual a –
10 y que la diferencia entre el primero y el segundo también es –10.
De la primera parte del enunciado podemos deducir la ecuación 2 x  3 y  10 , y de la
segunda x – y = – 10. Formando el sistema:
2 x  3 y  10



 x  y  10
y resolviéndolo por cualquier método se obtiene la solución x  8 ; y  2 .
FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO
Su forma general es f ( x )  a x 2  b x  c (a  0) y su representación gráfica es una curva
llamada parábola.
Estudiemos la parábola más sencilla, la
llamaremos parábola matriz, su ecuación es
y = x2.
Vemos que la parábola está compuesta por
dos ramas, que se unen en el punto (0; 0).
A ese punto lo denominaremos vértice.
También se observa a simple vista que la
curva presenta simetría axial con respecto al
eje y, que es el eje de simetría. Por lo tanto,
podemos resumir esta información diciendo
que la parábola matriz y = x2 tiene vértice
en el punto (0; 0) y eje de simetría x = 0.
Ahora veamos el efecto que produce en la
gráfica la variación del coeficiente “a”, para
ello, grafiquemos las siguientes funciones:
15
Módulo 5
a) y  2 x 2
b)y 
1
x2
2
Por ser a un número positivo, decimos que estas parábolas tienen concavidad positiva.
Hemos usado el trazo (– – – –) para y = 2 x2, el (– · – · – · – ·) para y 
1
x 2 , y en línea
2
continua graficamos la parábola matriz. Observemos que cuando el coeficiente a es mayor
que 1, las ramas de la parábola se acercan al eje de ordenadas (podríamos decir que la
parábola se “cierra”), en cambio, si 0 < a < 1, las ramas de la curva se acercan al eje de
abscisas (la parábola se “abre”).
Pero, ¿qué sucede si a es negativo? Veamos las gráficas correspondientes a las siguientes
1
parábolas: y  x 2
y  2 x 2
y   x2
2
Hemos usado el trazo (– – – –) para y  2 x 2 , el (– · – · – · – ·) para y  
1
x , y en
2
línea continua y = –x2, y observamos que todas ellas tienen en común que su concavidad es
negativa y a medida que el valor absoluto de a aumenta, las curvas tienden a acercarse al
eje de ordenadas y si está comprendido entre 0 y 1, al de abscisas.
16
2
Seminario Universitario – Matemática
Notemos que todas ellas, tienen por vértice al punto (0; 0) y por eje de simetría a la recta x
= 0.
Resumiendo: Todas las parábolas cuya ecuación es de la forma y = a x2 tienen vértice en
(0; 0) y eje de simetría el eje de ordenadas. El signo de a define la concavidad de la curva y
si |a| > 1, las ramas se cierran, mientras que si
0 < |a| < 1, las ramas se abren.
Estudiemos ahora la función y = a x2 + k.
Para ello grafiquemos la función:
y = x2 + 2
Vemos ahora que el vértice tiene coordenadas
(0; 2) pero el eje de simetría sigue siendo el
eje de ordenadas.
Veamos ahora la gráfica de: y = x2 – 3:
Las coordenadas del vértice son ahora (0; –3)
y el eje de simetría es el eje de ordenadas.
Podemos concluir que y = a x2+ k es el
2
gráfico de la función y = a x trasladado k
unidades hacia arriba si k > 0 y k unidades
hacia abajo en caso contrario.
El vértice tiene coordenadas (0; k), y el eje de
simetría tiene por ecuación x = 0.
Veamos ahora las parábolas de la forma y = a
(x – h)2:
17
Módulo 5
La ecuación de esta parábola es:
y = (x – 2)2,
El vértice tiene coordenadas
(2; 0).
El eje de simetría es la recta de ecuación:
x = 2.
Gráfico de: y = –(x + 2)2.
Vértice: (–2; 0)
Eje de simetría: x = –2.
Vemos que el término h desplaza el vértice h unidades hacia la derecha si h > 0 o a la
izquierda si h < 0. Esto produce un desplazamiento del eje de simetría, cuya ecuación es x
= h.
Resumiendo: La parábola y = a (x – h)2 tiene vértice en el punto (h; 0), siendo la ecuación
del eje de simetría x = h.
En general:
La gráfica de la función y = a (x – h)2 + k es una parábola cuyo vértice es el punto de
coordenadas (h; k) y tiene por eje de simetría a la recta x = h.
Gráfica de y = ½ (x + 2)2 – 4
Como a es positivo y 0 < a < 1, tiene
concavidad positiva y es más abierta que la
parábola matriz. Su vértice es el punto (–2; –
4) y su eje de simetría es la recta vertical x =
–2.
18
Seminario Universitario – Matemática
A esta forma de escribir la ecuación de una parábola se la llama forma canónica. En ella es
muy fácil determinar las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría. Estos
datos no se obtienen directamente de la forma polinómica, pero veremos cómo hacer para
lograrlo.
Pasaje de la forma polinómica a la canónica
2
a  x  h  k  a x  b x  c
2
forma canónica
forma polinómica
Desarrollemos el cuadrado del primer miembro y agrupemos términos semejantes:
a (x2 – 2 h x + h2) + k = a x2 + b x + c
a x2 – 2 a h x + a h2 + k = a x2 + b x + c
a x2 – 2 a h x + (a h2 + k) = a x2 + b x + c
Por igualdad de polinomios debe ser:
a a
 2 a h  b [1]
a h  k  c [2]
2
de [ 1] : h 
b
2a
de [ 2] : k  c  a h 2
 b
reem plazando h : k  c  a 
 2a

k c 
b
2

b2
  c  a 


4 a2

2
4a
2
Por lo tanto, las coordenadas del vértice de la parábola y = a x + b x + c son:
2
 b
b 
V 
; c 

 2a
4 a 

b
Y la ecuación del eje de simetría es: x 
.
2a
Observación: Existe una forma más simple de encontrar la ordenada del vértice, es el valor
numérico de la función para x 
 b
 b
expresar como: V  
; f 
 2a
 2a


b
2a
, con lo que las coordenadas del vértice se pueden

 .


19
Módulo 5
Dominio y recorrido de la función de segundo grado
Por ser una función polinómica, el dominio de la función de segundo grado es el conjunto
de los números reales. Su recorrido, en cambio, es un subconjunto que depende de la
posición del vértice y de la concavidad.
La función no toma valores menores que 1, que
es la ordenada del vértice.
Por lo tanto:
Rec = {y   / y  1}
En este caso, la función no toma valores mayores
que la ordenada del vértice, que es 2, por lo que
su recorrido es:
Rec = {y   / y  2}
En consecuencia, podemos afirmar que, si la
parábola tiene concavidad alcanza su valor mínimo en el vértice y que si tiene concavidad
negativa, alcanza su valor máximo en dicho punto.
Intersección de la parábola con los ejes coordenados
 Intersección de la parábola con el eje de ordenadas
La intersección de la curva con el eje de ordenadas se obtiene para x = 0. Entonces, la
parábola y = a x2 + b x + c corta al eje x en el punto (0; c), pues:
f (0) = a 02 + b 0 + c = c
 Intersecciones de la parábola con el eje de abscisas
Las intersecciones con el eje de abscisas se obtienen para y = 0, resulta entonces:
a x2 + b x + c = 0
Los valores de x se obtienen, como ya hemos visto mediante la fórmula resolvente.
Pero, pueden darse tres casos:
20
Seminario Universitario – Matemática
Caso 1: La parábola corta al Caso 2: La parábola tiene un Caso 3: La parábola no corta
eje de
puntos.
abscisas
en
dos solo punto de contacto con al eje de abscisas.
el eje de abscisas.
Evidentemente, el hecho de que la curva corte o no al eje x depende del tipo de raíces que
presenta la ecuación. Para ello hagamos un análisis más detallado de la misma:
b 
x 1;2 
b2  4a c
2a
La expresión que aparece debajo del radical se denomina discriminante de la ecuación de
segundo grado, lo simbolizamos con la letra griega delta mayúscula ().
  b  4a c
2
 Si  > 0, en la fórmula resolvente aparece la raíz cuadrada de un número positivo, (el
resultado es un número real). Por lo tanto, las raíces serán reales y distintas. (Dos
intersecciones con el eje de abscisas).
 Si  = 0, las raíces son reales e iguales (ya que se anula el segundo sumando del
numerador). Hay un solo punto de contacto entre la parábola y el eje de abscisas. (Este
punto es el vértice).
 Si  < 0, su raíz cuadrada es un número imaginario, en consecuencia las raíces son
números complejos conjugados. (no hay intersección con el eje de abscisas).
ACTIVIDAD 9
Dada la parábola cuya ecuación es: y = x2 – 4 x + 3,
a) Encontrar las coordenadas de su vértice.
b) Dar su dominio y recorrido.
c) Hallar sus intersecciones con los ejes coordenados.
Intersección entre recta y parábola
Encontrar las intersecciones entre una recta y una parábola es resolver un sistema de
ecuaciones del tipo:
 y  mx  n


2

 y  ax  bx  c
Este sistema, formado por una ecuación lineal y una no lineal se denomina sistema mixto.
21
Módulo 5
Ejemplo:
Encontrar los puntos de intersección de la parábola y = x2 – 3 x + 2 y la recta y = – x +
5.
El sistema mixto asociado al problema es:

 y  x2  3 x  2


 y  x  5
Igualando los segundos miembros:
x2 – 3 x + 2 = – x + 5
agrupando términos semejantes en el primer miembro:
x2 – 2 x – 3 = 0
Al resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las raíces:
x1 = 3
y
x2 = –1.
Estas soluciones son las abscisas de los puntos de intersección. Reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones, obtenemos las ordenadas correspondientes:
Si x1 = 3  y1 = –3 + 5 = 2
Si x2 = –1  y2 = –(–1) + 5 = 6
 S = {(–1; 6); (3; 2)}
Podemos comprobar en la figura, que los puntos hallados son los de intersección entre
ambas gráficas.
En este tipo de sistemas pueden darse tres situaciones:
 Dos puntos de intersección.
 Un punto de intersección (en este caso la recta es tangente a la curva).
 Ningún punto de intersección.
22
Seminario Universitario – Matemática
La recta es tangente a la parábola. La
ecuación que resuelve el sistema tiene
raíces reales e iguales.
La recta y la parábola no se intersecan. La
ecuación que resuelve el sistema tiene
raíces complejas.
Intersección entre dos parábolas
Los puntos de intersección entre dos parábolas se hallan de la misma manera que los de
una recta y una parábola.
Ejemplo: Hallar los puntos de intersección de:
y  x 2

2
y  2 x  x
Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior:
x 2  2x  x 2


x 2  2x  x 2  0
2x 2  2x  0
2x x  1   0
x1  0
x2  1
Los puntos de intersección son:
P1   0; 0  , P2  1; 1  .
FUNCIONES RACIONALES
Este tema será tratado ampliamente en Análisis Matemático I, sólo diremos aquí que una
función racional es aquella cuya expresión matemática es el cociente entre dos polinomios.
23
Módulo 5
f (x ) 
P(x )
Q(x )
El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales que no
anulan el denominador.
El ejemplo más simple de función racional es y 
1
x
, cuya gráfica se llama hipérbola
equilátera, y que has graficado cuando estudiaste el tema magnitudes inversamente
proporcionales en el secundario. Su gráfico es:
El dominio de esta función está formado por
todos los números reales distintos de cero, ya
que este valor anula el denominador:
Dom =  – {0}
FUNCIONES IRRACIONALES
Al igual que el tema anterior, este tema será desarrollado con mayor profundidad en
Análisis Matemático I. Sólo diremos que una función es irracional, si la variable está
afectada por la operación radicación.
Por ejemplo y  x , cuya gráfica es:
Observemos que esta función no existe para
valores negativos de x. (El valor de y es
imaginario si x < 0)
INECUACIONES RACIONALES
24
Seminario Universitario – Matemática
Una inecuación racional es de la forma
M (x )
N (x )
 0 , donde M(x) y N(x) son polinomios, y el
signo de desigualdad es alguno de los siguientes: “<” o “>” (desigualdad estrictas); o “” o
“” (desigualdades amplias).
3 x 1
Ejemplo 1:
2x 3

1
es una inecuación racional.
2
Para resolverla, procedemos de la siguiente manera, aplicando propiedades:
3x 1 1 1 1
  
2x 3 2 2 2
2  3 x  1   1  2 x  3 
2 x
 3  2
6 x  2  2x  3
4x 6
4x 5
4x 6
0
0
0
Para que el cociente obtenido sea mayor que 0, es necesario que los polinomios, numerador
y denominador, tengan el mismo signo. Existen dos posibilidades, que ambos sean mayores
que 0, o que ambos sean menores que 0.
Para la primera posibilidad:
4x 5  0

4 x 5 5 0  5

4 x 5

4x 5


4
4
5
x 

4
5

S1   ;   
4


4x 6 0
4 x 6 6 0 6
4x 6
4x
4

x 
6
4
3
2
 3

S2    ;   
 2

5

y com o S1  S 2  S  S1   ;   
4

3 5
Además, sabemos que   , entonces, para que el cociente sea mayor que 0 el
2 4
5

conjunto solución de la primera posibilidad es el intervalo  ;    .
4

S  S1
S2
Para la segunda posibilidad:
25
Módulo 5
4x 5  0

4x 6  0
4 x 5 5 0  5

4 x 6 6 0 6
4 x 5

4x 6
4x

4x

x 
4
x 

5
4
5
4

5
S1    ; 
4

4

6
4
3
2

3
S 2    ;  
2



3
y com o S 2  S1  S  S 2    ;  
2

3 5
Además, sabemos que   , entonces, para que el cociente sea menor que 0 el conjunto
2 4

3
solución de la segunda posibilidad es el intervalo   ;   .
2

S  S1
S2
Los dos intervalos obtenidos verifican la inecuación, por lo que el resultado de la misma es
la unión de dichos intervalos.

S =   ; 


3 5
 ;  
2 4

Otra forma de solución es realizando un cuadro de signos como el siguiente:
(-∞; –3/2 )
(–3/2; 5/4)
(5/4; +∞)
4x–5
–
–
+
4x+6
–
+
+
(4 x – 5)/(4 x + 6)
+
–
+
Si observamos la última fila, resultan positivas o mayores que 0, la primera y tercera
columna, lo que indica que la inecuación se verifica para dichos intervalos.


3 5
Entonces: S =   ;     ;    es el conjunto solución de la misma y su representación
2 4


sobre la recta real es la que sigue.
)
–3/2
Ejemplo 2:
2 x 3
x 3

1
5
(
5/4
es una inecuación racional.
Para resolverla, procedemos de la siguiente manera, aplicando propiedades:
26
Seminario Universitario – Matemática
2x 3
x 3
2x 3
x 3
2 x
1

5

1
5

1
5

1
5
 3  5 1  x  3 
x
 3  5
10 x  15  x  3
5 x  15
9 x  18
5 x  15
0
0
0
Para que el cociente obtenido sea menor que 0, es necesario que los polinomios, numerador
y denominador, tengan distintos signos. Existen dos posibilidades, que el numerador sea
mayor que 0 y el denominador menor que 0, o que el numerador sea menor que 0 y el
denominador mayor que 0.
Recordamos que el denominador nunca puede ser nulo, por lo que la igualdad sólo es
considerada para el polinomio numerador.
Para la primera posibilidad:
9 x  18  0

9 x  18  18  0  18

9 x   18

9 x 18


9
9
x 2

S1   2 ;     S 2    ; 3 
S  S1 S 2   2 ; 3 
Para la segunda posibilidad:
9 x  18  0

9 x  18  18  0  18

9 x   18

9 x 18


9
9
x  2

S1    ;  2 
S  S1

S 2 pero S1
5 x  15  0
5 x  15  15  0  15
5 x  15
5x

15
5
5
x 3
5 x  15  0
5 x  15  15  0  15
5 x  15
5x

15
5
5
x 3
S 2  3 ;   
S2    S  
Como la solución de la inecuación es la unión de los intervalos y el segundo es vacío,
resulta: S   2 ; 3  .
Otra forma de solución es realizando un cuadro de signos como el siguiente:
9 x + 18
(–∞ ; –2)
(–2; 3)
(3; +∞)
–
+
+
27
Módulo 5
5 x – 15
–
–
+
(9 x + 18)/(5 x – 15)
+
–
+
Si observamos la última fila, resulta negativa, o sea menor que 0, para la segunda columna,
lo que indica que la expresión racional es negativa en dicho intervalo. Además es igual a
cero para x = –2.
Entonces: S   2 ; 3  es el conjunto solución de la misma y su representación sobre la
recta real es la que sigue.
[
–2
)
3
ACTIVIDAD 10:
Resolver las siguientes inecuaciones racionales.
a)
b)
c)
d)
5 x 3
2 x 2
4 x 5
x 2
x 4
2x 3
x 2
x 1



3
2
5
3

2
5
1
3
ACTIVIDAD 11
Representar en la recta real los conjuntos soluciones de las inecuaciones de la actividad
anterior.
FUNCIONES TRASCENDENTES
Hasta ahora hemos estudiado funciones en las que la variable x estaba afectada por
operaciones algebraicas (funciones algebraicas), pero existen otras funciones en las que la
variable está afectada por operaciones no algebraicas, dichas funciones reciben el nombre
de funciones trascendentes.
Ejemplos de funciones trascendentes son:
 La función exponencial
 La función logarítmica
 Las funciones trigonométricas
Nos referiremos brevemente a las dos primeras en este módulo, a las trigonométricas las
estudiaremos en el módulo siguiente.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Su expresión general es y = a x, con a > 0  a  1.
Veamos su gráfica, para ello se deben considerar dos casos:
28
Seminario Universitario – Matemática
Si a > 1, como ejemplo: y = 2x; y si 0 < a < 1, como ejemplo: y = (½)x.
Esta es
función
número
siempre
la gráfica correspondiente a la
y = 2x, como la base es un
mayor que 1, dicha función es
creciente.
Esta es la gráfica correspondiente a la
x
1 
función y    , como la base es un
2 
número comprendido entre 0 y 1, dicha
función es siempre decreciente.
El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales, su recorrido es el
+
conjunto de los reales positivos, al que simbolizaremos  .
Si la base utilizada es el número e, la función se denomina función exponencial natural.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si recordamos la definición de logaritmo vista en el módulo 2:
logb x  y

b
y
x
podremos observar que existe una relación importante entre las funciones exponencial y
logarítmica: son funciones inversas.
29
Módulo 5
x
Veamos las gráficas de las funciones y = e y la de su inversa y = ln x:
y = ex
y=x
y = ln x
Estas curvas presentan simetría axial con respecto a la bisectriz del primer cuadrante, que
es la recta y = x.
+
La función logarítmica tiene por dominio al conjunto de los reales positivos ( ) y por
recorrido al conjunto de los números reales.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
 Ecuaciones Exponenciales
En las ecuaciones exponenciales, la incógnita figura como exponente.
Ejemplo:
2 x  16
Para resolverlas, se aplican propiedades de los logaritmos (como utilizaremos la calculadora,
usaremos logaritmos naturales o decimales):
log 2 x  log16
x  log 2  log16
x 
log16
x 4
 Ecuaciones logarítmicas
30
log 2
Seminario Universitario – Matemática
La incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Ejemplo:
log2 x  5
aplicando la definición de logarit m o:
x 2
5
x  32
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS
Actividad 1:
a ) A  B  2; 2  ; 2; 7  ; 2; 0  ;  4; 2  ;  4; 7  ; 4; 0  ; 5; 2  ; 5; 7  ; 5; 0 
B  A  2; 2  ; 7; 2  ; 0; 2  ; 2; 4  ; 7; 4  ; 0; 4  ; 2; 5  ; 7; 5  ; 0; 5 
A2  2; 2  ; 2; 4  ; 2; 5  ;  4; 2  ;  4; 4  ;  4; 5  ; 5; 2  ; 5; 4  ; 5; 5 
B 2  2; 2  ; 2; 7  ; 2; 0  ; 7; 2  ; 7; 7  ; 7; 0  ; 0; 2  ; 0; 7  ; 0; 0 
Análogamente para los demás conjuntos.
Actividad 2:
31
Módulo 5
A  B  3; 5  ; 3; 6  ; 3; 7  ; 3; 8  ;  4; 5  ;  4; 6  ;  4; 7  ; 4; 8  ; 5; 5  ; 5; 6  ; 5; 7  ; 5; 8  ; 6; 5  ; 6; 6  ; 6; 7  ; 6; 8 
R1  3; 5  ; 3; 6  ; 3; 7  ; 3; 8  ;  4; 5  ;  4; 6  ;  4; 7  ;  4; 8  ; 5; 6  ; 5; 7  ; 5; 8  ;  6; 7  ; 6; 8 
R2  3; 5  ; 3; 6  ; 3; 7  ; 3; 8  ;  4; 5  ;  4; 6  ;  4; 7  ;  4; 8  ; 5; 5  ; 5; 6  ; 5; 7  ; 5; 8  ; 6; 6  ; 6; 7  ; 6; 8 
R3  5; 5  ; 6; 6 
R4  3; 8  ;  4; 7  ; 5; 6  ; 6; 5 
R5   6; 5 
R6  3; 6  ;  4; 8  ; 5; 5  ; 6; 6 
Actividad 3:
DR1  3; 4; 5; 6 
RecR1  5; 6; 7; 8
DR3  5; 6
RecR3  5; 6 
DR2  3; 4; 5; 6 
RecR2  5; 6; 7; 8
DR4  3; 4; 5; 6 
RecR4  5; 6; 7; 8
DR6  3; 4; 5; 6 
RecR6  5; 6; 8
DR5  6
RecR5  5
Actividad 4:
x
y
–2
–1
0
1
2
–8
–5
–2
1
4
Actividad 5: A cargo del alumno.
Actividad 6: a) y  3 x  8
b) y 
Actividad 7: a) –3
b) –72
1
3
x
13
3
c) 27
Actividad 8:

x
y
0
cualquier
valor
cualquier valor
=0
=0
=0
=0
0
0
Tipo de sistema
Compatible
determinado
Compatible
indeterminado
Incompatible
Actividad 9:
a )  2; 1 
b)D  R
Rec  y y  1
c ) I nt ersección con ej e de ordenadas:
I nt ersecciones con ej e de abscisas:
32
 0; 3 
1; 0  ;  3; 0 
Interpretación
gráfica
rectas
concurrentes
rectas
coincidentes
rectas paralelas
Seminario Universitario – Matemática
Actividad 10: a) S = (–; 0]  (1; +)
c) S = [–26/9; –3/2)
b) S = (5/7; 2)
d) S = (–; –1)  (7/2; +)
Actividad 11: A cargo del alumno.
33