Una Representación Esférica de la Carta de Smith

Una Representación Esférica de la Carta de Smith

Una Representación
Esférica de la
Carta de Smith
Chris Zelley
C
on
anterioridad
al viaje de
Cristóbal
Colón todo el
mundo creía que la Tierra
era plana… Durante una
serie de años he venido
usando una extensión de la
carta
de
Smith
convencional
para
ayudarme a comprender
problemas de RF, tales
como
el
diseño
de
osciladores
y
la
estabilización
de
amplificadores, en los que
aparecen
impedancias
negativas. El concepto me
ha permitido profundizar
en problemas relativos a
impedancias y ha resultado ser una útil ayuda
adicional.
Recientemente, en el
transcurso
de
una
discusión
con
otros
ingenieros durante una
cena, se me ocurrió
mencionar mis ideas.
Éstas
fueron
bien
recibidas
y
desde
entonces
he
sido
persuadido para publicar
mi extensión a la carta de
Smith. Llegados a este
punto, este artículo es mi
intención de explicar, lo
más simplemente posible,
las ideas detrás de mi
herramienta conceptual
basada
en
la
bien
conocida carta de Smith.
La gran ventaja de la
carta de Smith es que ésta es en esencia una
“calculadora gráfica”.
Chris Zelley, Nanotech Semiconductor, Bristol, UK ([email protected])
Traductora: Pilar Molina Gaudó (E-mail: [email protected])
60
IEEE microwave magazine
1527-3442/07/$25.00©2007 IEEE
Junio 2007
Figura 1. La carta de Smith de impedancias convencional (imagen cortesía de RF café 2002).
Esto permite hallar soluciones de adaptación (o
acoplamiento)
de
impedancias
simplemente
dibujando en la carta, en lugar de tener que realizar
complejos cálculos. Esto hace que los cálculos de
impedancias sean accesibles a todos los ingenieros a
todos los niveles y les ayuda a desarrollar un sexto
sentido acerca de buenas redes candidatas para
adaptar. De hecho, cuando un ingeniero se ha
familiarizado con la carta de Smith y tiene una
fotografía clara de ésta en su mente, resulta posible
visualizar soluciones de adaptación a priori
mentalmente.
La extensión de la carta de Smith descrita en este
artículo implica el moverse de una carta circular en un
plano bidimensional (2-D) (como por ejemplo un
gráfico sobre un papel o una pantalla) a una carta
tridimensional en la superficie de una esfera. Esta
formulación de la carta de Smith puede, por supuesto,
ser expresada matemáticamente usando las
transformaciones de coordenadas apropiadas y sus
correspondientes coordenadas 3-D, no obstante ese
trabajo sobrepasa las intenciones de este artículo.
Algunas supuestas cartas de Smith 3-D están
disponibles. Sin embargo, éstas son en esencia, unas
Junio 2007
cartas 2-D con los datos de los contornos de medida
transferidos a una altura en la tercera dimensión.
Según el conocimiento del autor, este es el primer
trabajo de una verdadera versión 3-D de la carta de
Smith. Esta implementación se basa en el uso de una
esfera y un sistema de coordenadas esféricas.
Este artículo supone que el lector está
familiarizado de forma básica con la carta de Smith.
No intenta ser un tutorial acerca de ésta. Para ello, el
lector es referido a alguno de los muchos libros sobre
líneas de transmisión y teoría de adaptación en RF.
Por ejemplo, [1] y [2]. Este artículo ha sido
intencionadamente escrito de forma llana, libre de
intimidantes ecuaciones matemáticas.
Los orígenes de la carta de Smith
La carta de Smith fue ideada y desarrollada por
Philip H. Smith. Está disponible una biografía en [3].
Smith trabajó para los Laboratorios Telefónicos Bell
(Bell Telephone Laboratorios) en Nueva Jersey.
Durante su carrera de ingeniero de líneas de
transmisión, Smith publicó dos artículos clave, [4] y
[5], que describen su trabajo. La bien conocida carta
de Smith aparece en la Figura 1.
IEEE microwave magazine
61
Este artículo supone que el lector
está familiarizado de forma básica
con la carta de Smith.
Originalmente, la carta de Smith era una herramienta
de diseño en papel. Se podían comprar bloques o
cuadernos de papel preimpreso con ella. El ingeniero
de diseño podía realizar sus ejercicios de adaptación
de impedancias con un lápiz, una regla y un compás.
Más recientemente, las actividades de RF se han
convertido casi únicamente en una cuestión de
computadores. Sofisticadas herramientas de diseño
asistido por ordenador (CAD, por sus siglas en inglés)
han permitido incrementar significativamente la
complejidad de los problemas que pueden ser
afrontados y el tiempo de diseño reducido. Sin
embargo, el extendido uso de las
Figura 2. Ejemplo de círculo de estabilidad grande.
Figura 3. Plano de impedancias.
Junio 2007
herramientas de CAD no ha reducido para nada el
uso de cartas de Smith. Los paquetes de software de
diseño permiten que los resultados se muestren en
gráficos con este formato. De la misma manera, los
analizadores de redes más modernos también
permiten visualizar resultados gráficamente en una
carta de Smith.
Limitaciones
Existen muchas características atractivas asociadas al
uso de la carta de Smith. Entre ellas está su
simplicidad, su facilidad de uso debido a que
convierte problemas matemáticos en un problema
gráfico y la posibilidad de que todas las impedancias
con parte real positiva se puedan representar en un
solo trozo de papel. Sin embargo, existe una
limitación importante de la carta de Smith
convencional, relacionada con la forma en la que se
maneja la mitad real negativa del dominio de
impedancias. En el proceso de conversión de
coordenadas que posiciona todo el dominio de
resistencias positivas en un circulo manejable (la
carta de Smith), la parte real negativa se expande.
Esto hace que dibujar impedancias con una parte real
negativa sea problemático. Adicionalmente, el punto
de -50Ω se convierte en un círculo con radio igual a
infinito. Por lo tanto, el uso de impedancias
negativas en la carta de Smith puede resultar
incómodo. Un ejemplo de esto ocurre cuando se
investigan círculos de estabilidad para el diseño y
estabilización de una etapa amplificadora de RF. El
centro y el radio de estos círculos de estabilidad
pueden llegar a hacer que los círculos sean
extremadamente grandes comparados con el tamaño
de la carta. Un ejemplo de esto se puede ver en la
Figura 2. Los programas de diseño asistido por
ordenador que automáticamente
Figura 4. Transformación del plano de impedancia con
parte real positiva en un círculo tal y como hace Smith.
IEEE microwave magazine
62
Figura 5. Cartas tangentes que cubren el plano de impedancias entero (imagen cortesía de RF Café 2002)
escalan el tamaño de la carta reducirían el rango del
dominio de parte real positiva a sólo unos pocos
píxeles. Alternativamente, el centro del círculo de
estabilidad y su circunferencia se dibujarían fuera
de la parte visible de la carta de Smith.
Otras áreas del diseño de RF/microondas
requieren el manejo de resistencias negativas, como
es el caso del diseño de osciladores, así como el
diseño de filtros activos de microondas. En el
diseño de osciladores, un dispositivo activo es
intencionadamente inestabilizado mediante el uso
de algún tipo de realimentación serie o paralelo. La
resistencia negativa resultante se conecta a un
circuito tanque o a un circuito resonante. En el
diseño de filtros activos, se crea una resistencia
negativa para tratar de compensar las resistencias
parásitas de los componentes L y C. En ambos casos,
una
comprensión
gráfica
de
cómo
las
transformaciones de impedancia y la carga
afectarían a las impedancias negativas vistas podría
resultar muy útil.
He descubierto que visualizar la carta de Smith
como una esfera 3-D en lugar de un círculo en dos
dimensiones me ha permitido una mejor percepción
de los problemas de adaptación siempre que
intervienen impedancias negativas. En la siguiente
sección
se
presenta
un
método
para,
convenientemente,
incorporar
la
mitad
correspondiente a la parte real negativa del dominio
de impedancias en un formato de carta de Smith
extendida.
Junio 2007
Debe notarse que, a lo largo de este artículo, se
considera una carta de Smith de impedancia 50Ω.
Aunque no va a mostrarse, es también posible
producir una carta de Smith esférica de admitancias
o una carta híbrida impedancia/admitancia para
cualquier valor de impedancia característica.
Extensión propuesta a la carta de Smith
La impedancia compleja Z = R + jX se dibuja en el
plano x-y en la Figura 3. En este diagrama, las letras
se usan para indicar varios puntos de impedancia.
A = -∞ + 0j , B = −50 + 0j , C = 0 + 0j , D = 50 + 0j y
E = ∞ + 0j. También F = 0 − ∞j , G = 0 − 50j , H = 0 +
50j , y J = 0 + ∞j .
Figura 6. Transformación del plano entero en dos
círculos tangentes.
IEEE microwave magazine
63
Desde hace varios años utilizo una
extensión de la carta de Smith
convencional para ayudarme a
entender problemas de RF en los
que intervienen impedancias
negativas, tales como el diseño de
osciladores y la estabilización de
amplificadores.
Adicionalmente, la línea vertical discontinua se
traza para R = 50 Ω, y la línea horizontal se dibuja
para X = 50 Ω. Se puede ver que en la parte
izquierda del plano x-y, R es mejor que cero (por lo
tanto una R negativa) y que la mirad derecha del
plano x-y representa una resistencia positiva.
La carta de Smith surge llevando a cabo una
transformación del plano de impedancias para
producir la Figura 4. El detalle de la transformación
de coordenadas usada aparece en [1]. Se puede ver
que en la Figura 4 los puntos E, F y J coinciden con
la parte derecha del círculo. El punto C,
representando el origen, con cero resistencia y cero
reactancia, aparece en la parte izquierda del círculo.
Así mismo, los puntos G y H, representando una
capacidad de −50j y una inductancia de +50j
respectivamente, ahora quedan transformados a
sendos puntos en la parte baja y alta del círculo. La
parte real positiva del plano de impedancias (R > 0)
está dentro del círculo formado por el perímetro de
la carta de Smith y el semiplano de parte real
negativa (R < 0) queda fuera del círculo.
Las líneas discontinuas que en la Figura 3
representaban una línea de resistencia constante y
de reactancia constante, también se reflejan en la
Figura 4.
Desgraciadamente, durante esta transformación de
coordenadas, la parte real negativa del dominio se
expande. Esto hace que trabajar con resistencias
negativas sea incómodo.
Una posible solución para contener el semiplano
de resistencia negativa dentro de un tamaño
manejable podría ser el crear dos cartas de Smith
tangentes la una a la otra [6], con una de ellas
cubriendo la parte real positiva y la otra la parte
negativa. Las dos cartas juntas permiten al
ingeniero visualizar de forma fácil todo el dominio
de las impedancias de un solo vistazo. Un ejemplo
de esto se muestra en la Figura 5.
Las cartas de Smith tangentes se producen al
llevar a cabo dos transformaciones de coordenadas
diferentes, una para el lado derecho del plano de
impedancias, tal y como hizo Smith y otra para el
semiplano de la izquierda, el de las resistencias
negativas.
Si nos fijamos en la Figura 3, puede verse que los
puntos F, G, H y J están en el eje y que forma la
frontera entre las dos mitades del plano de
impedancias. Por lo tanto, debido a la doble
transformación para generar las dos cartas de
Smith, estos puntos aparecen por partida doble. En
el caso del punto G por ejemplo, se crean los puntos
G y G’ en la Figura 6. La desventaja de esta
aproximación es que aparece una discontinuidad
entre las dos cartas en el eje de las mismas. Por
ejemplo, los puntos de +50j se dibujan en el eje
externo de ambas cartas simultáneamente pero con
un espacio en blanco entre ambas.
Una posible solución al problema anterior sería
el visualizar las cartas no tangencialmente la una a
la otra sino de espaldas. Por ejemplo, pegadas cada
una a un lado de una raqueta de tenis de mesa
(ping-pong) De nuevo, tampoco existe una
transición suave de un lado al otro. Al contrario, el
ingeniero de diseño se vería obligado a
continuamente girar la raqueta de un lado al otro.
Formato esférico expandido de la carta de
Smith
Figura 7. Plano de impedancias tras su transformación
a una superficie esférica.
Junio 2007
Para formar la carta de Smith esférica incluyendo el
dominio entero de impedancias, el que se puede ver
en la Figura 3, es necesario envolver con éste la
superficie de una esfera. Esto se muestra en la
Figura 7. Los puntos etiquetados en la Figura 3
también se muestran en la superficie de la esfera. Se
puede ver que el origen (punto C) de la Figura 3,
ahora aparece en la parte izquierda de la esfera. Su
coordenada normalizada (x,y,z) sería (−1, 0, 0).
(Nótese que al original de la Figura 3 se le ha dado
un offset de x = −1 por conveniencia). Los puntos A,
E, F, y J, que eran donde los ejes x e y se hacían
infinito positivo y negativo, coinciden ahora todos
IEEE microwave magazine
64
en el punto (1, 0, 0). Los puntos B y D, que
representan −50Ω y +50Ω, están ahora en las
posiciones (0, −1, 0) y (0, 1, 0), respectivamente.
En esta nueva formulación de la carta de Smith,
las impedancias cero e infinito ocurren en el eje x.
Visualizar la esfera desde la dirección de z positiva,
nos daría una visión similar a la de la carta
convencional. Por supuesto la forma de los círculos
quedaría algo distorsionada debido a la naturaleza
curva de la superficie de la esfera. Se puede ver que
con el plano de impedancias proyectado sobre la
superficie de una esfera, el dominio entero está
contenido en un área manejable y las transiciones de
resistencias positivas a negativas pueden hacerse de
forma continua.
La superficie del hemisferio donde z > 0 contiene
todos los valores de impedancia con una parte real
positiva, y el hemisferio correspondiente a z < 0
contiene todos los valores donde existe un término
de resistencia negativa. De la misma forma, el
hemisferio de y > 0 contiene todas las impedancias
inductivas y el hemisferio de y > 0 contiene todas
las impedancias capacitivas. Sólo los puntos en la
superficie de la esfera tienen significado, los puntos
interiores no lo tienen.
Ahora que la carta de Smith esférica ya ha sido
construida,
podemos
considerar
diversas
representaciones del dominio de las impedancias,
de la misma forma que se hace en la carta de Smith
2-D.
En primer lugar, se pueden representar líneas de
resistencia y reactancia constante. Estas líneas
forman una serie de círculos entrecruzados que
empiezan y termina en el punto (1, 0, 0). Así, por
La extensión de la carta de Smith
implica pasar de una carta circular
en un plano 2-D a una carta 3-D en
la superficie de una esfera.
ejemplo, las líneas para +50, +50j, −50 y −50j todas
empiezan en el punto AEFJ (polo norte), luego van
barriendo líneas hasta los puntos D, H, B, y G (en el
ecuador), antes de volver otra vez al principio.
Representar estas líneas para otros valores de
resistencia y reactancia darían las líneas sobre la
esfera que la harían parecer similar a la carta 2-D.
Esto se muestra en la Figura 8. La Figura 8(a) ilustra
la carta de Smith esférica tal y como se vería desde
le polo sur (Z = 0), mientras que la Figura 8(b)
muestra la vista de la esfera desde el polo norte (Z =
∞).
También se pueden considerar las líneas de Q
(factor de calidad) constante que pueden
representarse en la carta de Smith estándar. Estas
forman una serie de arcos que se extienden desde la
impedancia cero a la impedancia infinita. Cuando el
Q es cero (una resistencia ideal), el arco es una línea
recta entre cero e infinito, y cuando Q es infinito
(una L ideal o una C ideal) el arco sigue el perímetro
de la carta de Smith. En la carta esférica, las líneas
de Q constante ahora forman líneas de longitud
(meridianos) desde el polo norte en Z= infinito
hasta el polo sur en Z = 0. Esto se muestra en la
Figura 9. El círculo de Q constante que existe en el
plano x-z tiene un valor de 0, mientras que el
círculo que existe en el plano x-y tiene un valor de
infinito. El uso de la carta de Smith esférica permite
Figura 8. Carta de Smith esférica con líneas de resistencia constante y reactancia constante. (a) Visto desde el polo
sur. (b) Perspectiva desde el polo norte.
Junio 2007
IEEE microwave magazine
65
Hay muchas ventajas asociadas al
uso de la carta de Smith.
líneas de Q fácilmente utilizables incluso con
resistencia negativa.
En la Figura 9 se han añadido líneas de latitud.
Estas se han construido dibujado líneas de |Z|
constante. El ecuador por ejemplo, es la línea de
|Z| = 50. Visualizar la esfera con Q como líneas de
longitud y |Z| como líneas de latitud es
equivalente a ver la carta de Smith en coordenadas
polares, en lugar de cartesianas, dónde mag(Z) =
raiz(R2 + X2) y fase(Z) = arctan(X/R) = arctan(Q).
La carta de Smith también es útil para trabajar con
coeficientes de reflexión. El coeficiente de reflexión
ρ se representa generalmente en la carta de Smith
z
y
D
H
Representación gráfica y diseño asistido por
ordenador (CAD)
AEFJ
C
x
G
B
Figura 9. Carta de Smith esférica con líneas de Q
constante (continuas) y de |Z| constante (discontinuas).
z
y
D
H
AEFJ
C
G
x
B
Figura 10. Carta de Smith esférica con líneas de |ρ|
constante (discontinuas) y de fase de reflexión constante
(continuas).
Junio 2007
para varios valores de | ρ | constante. Estos forman
una serie de círculos concéntricos centrados en la
impedancia característica de la línea de transmisión
(50 Ω en nuestro caso). Estos empiezan con un radio
de cero en el centro de la carta y van aumentando
de tamaño hasta que un coeficiente de reflexión de
la unidad se representa justo en el perímetro de la
carta. Se pueden dibujar también coeficientes de
reflexión con | ρ | > 1. Esto representa una
situación donde la onda reflejada es mayor que la
incidente. Esta ganancia de reflexión es
consecuencia de la existencia de una resistencia
negativa. La Figura 10 muestra líneas de | ρ |
constante y líneas de fase(ρ) constante. El polo norte
está en 50 Ω con un coeficiente de reflexión de cero
(línea de transmisión perfectamente adaptada) y el
polo sur está en −50 Ω, donde el coeficiente de
reflexión es infinito. El ecuador representa un | ρ |
= 1.
Considerando los coeficientes de reflexión, se ve
cómo los polos norte y sur se han desplazado 90º
comparándolo con el caso de las impedancias.
La naturaleza bidimensional de la carta de Smith se
ajusta muy bien para representarla en un papel o
una pantalla de ordenador. No se puede decir lo
mismo en el caso de la versión tridimensional.
Representar la carta esférica y trazar las líneas y los
contornos sobre ella presenta algunas dificultades
prácticas.
Una posibilidad podría ser fabricar una pelota
impresa. Sería similar a un balón de fútbol de
plástico pero con las líneas de resistencia y
reactancia en lugar de los hexágonos habituales. Un
ejemplo de esto se ve en la Figura 8. Desde hace
años tengo esto sobre mi mesa como herramienta de
diseño y ayuda gráfica. (Uno de mis colegas
anteriores lo bautizó como la esfera Zelley y se
divertía tirándomela cuando entraba a mi oficina.)
Quizás, en la tarima de cualquier aula universitaria
destinada a clase de microondas podría mostrarse la
mencionada pelota de forma similar a un globo
terráqueo usado en geografía! Desde luego
representar los resultados de simulación y los
contornos sobre una pelota sería costoso. Además,
el dibujar las líneas de forma manual sería
demasiado lento con respecto a la rápida generación
de resultados de un proceso automatizado.
Una alternativa podría ser el uso de un paquete de
software de diseño 3-D. Esto le daría al diseñador la
libertad de girar la carta de Smith esférica usando el
ratón o el teclado. Podría darse la facilidad al
diseñador de escoger, bien una carta de
IEEE microwave magazine
66
impedancias, bien de admitancias (o híbrida) con
líneas de Q constante, o bien con líneas de
coeficiente de reflexión constante impresas sobre la
esfera. Ésta podría ser opaca o incluso
semitransparente. Quizás múltiples proyecciones 2D de la superficie de la esfera satisfacerían
convenientemente el compromiso trabajando con
un ordenador.
Conclusiones
En este artículo se presenta y se ha discutido acerca
de una limitación de la carta de Smith convencional
en 2-D. Se propone una extensión de la carta de
Smith como un intento de solucionar estas
limitaciones. La extensión implica transformar el
plano 2-D de impedancias a tres dimensiones y
representarlas sobre la superficie de una esfera. Este
artículo pretende ser el primero que presenta esta
formulación para la carta de Smith.
Se
han
considerado
un
número
de
representaciones diferentes de la carta esférica de
Smith. Entre ellas, el uso de líneas de resistencia
constante, reactancia constante, impedancia o
coeficientes de reflexión. Finalmente se ha discutido
el asunto de su representación gráfica en tres
dimensiones.
Ha de quedar claro que muchas de las ideas aquí
presentadas
no
han
sido
desarrolladas
matemáticamente de forma rigurosa, así que, es
posible que pueda haber algunas inconsistencias en
la carta de Smith esférica. Sin embargo, el concepto
básico y las ideas presentadas han sido
consideradas por el autor como suficientemente
interesantes para garantizar su publicación.
Confío que la carta de Smith tridimensional
discutida en este artículo sea de utilidad a la
comunidad de diseñadores en RF y microondas,
bien como soporte gráfico, bien como herramienta
de diseño. Al menos espero que este artículo
proporcione a los lectores un hilo de discusión
interesante.
Junio 2007
Agradecimientos
El autor desea reconocer con gratitud la ayuda y las
sugerencias de Steve Cripps y Gord Rabjohn y
agradecerles su estímulo para escribir este artículo.
Referencias
[1] C.W. Davidson, Transmission Lines for Communications.
Londres: McMillon, 1989.
[2] D.M. Pozar, Microwave Engineering. Nueva York: Wiley, 1998.
[3] R. Rhea, Phillip H. Smith: A Brief Biography. Nueva York:
Noble, 1995.
[4] P.H. Smith, “Transmission-line calculator,” Electronics, vol. 12,
nº 1, pp. 29-31, 1939.
[5] P. H. Smith, “An improved transmission-line calculator,”
Electronics, vol. 17, nº 1 pp. 130, 1944.
[6] H. F. Lenzing y C. D.’Elio, “Transmission line parameters
with negative conductance loads and the “negative” Smith
chart,” Proc. IEEE, vol. 51, nº 3, pp. 481-482, Marzo 1963.
IEEE microwave magazine
67