Certamen 3 - Alberto Mercado
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Certamen 3 - Alberto Mercado
UTFSM Departamento de Matemática. Prof.: Alberto Mercado Saucedo. Ayud.: Fernando Roldán. MAT-125 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA AVANZADA. CERTAMEN 3. MARTES 19 DE ENERO 150 MINS. x2 Problema 1. (35 pts.) Considere fn (x) = p x2 + 1/n (1) Determine el lı́mite puntual de {fn } en R. (2) Determine si hay convergencia uniforme en [−1, 1]. Sugerencia: Intentar acotar |fn (x) − f (x)| por alguna expresión convergente a cero cuando n → ∞. (3) Determine si la sucesión de derivadas {fn0 } converge uniformemente en (−1, 1). Problema 2. (35 pts.) a) Determine si la función continua f : R −→ R dada por f (x) = cos(x2 ) es uniformemente continua. c) Sea f : R −→ R continua tal que lim f (x) = lim f (x) = +∞. Probar que existe x0 ∈ R x→−∞ x→+∞ tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R. Problema 3. (30 pts.) Sean f y g dos funciones derivables en R tales que f 0 ≤ g 0 en R, y f (a) = g(a) para algún a ∈ R. Probar que f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ a. Sugerencia: Aplicar el TVI. 1