Tema 2 Problemas de Rutas Abiertas de Vehiculos.cdr

Tema 2 Problemas de Rutas Abiertas de Vehiculos.cdr

ImásD
Innovación más Desarrollo
Revista de Difusión Técnico Científica de Instituto Tecnológico de Nogales.
PROBLEMAS DE RUTAS ABIERTAS DE VEHÍCULOS CON
RESTRICCIONES DE CAPACIDAD HETEROGÉNEAS
1
1
Dr. Héctor Efraín Ruiz y Ruiz, 2 M.A. Alma Danisa Romero Ocaño, 3 M.A. Víctor Manuel Valenzuela Alcaraz,
Universidad Autónoma de Baja California, Campus Ensenada, [email protected], 2 Instituto Tecnológico
de Agua Prieta, [email protected], 3 Instituto Tecnológico de Agua Prieta, [email protected],
Resumen
En problemas de rutas abiertas de vehículo, los vehículos no
están obligados a volver al depósito después de terminar el
servicio. En este artículo se presenta una formulación
matemática para el problema de rutas de vehículos abierto
(OVRP) con una variante importante, considerar una flota
de vehículos encargada de la distribución de bienes o
servicios, con capacidad y costos diferentes. Este tipo de
problemas se conoce como el OVRP con flota mixta o como
OVRP con flota heterogénea.
recientemente, se ha dedicado una mayor atención a variables
más complejas del VRP, a veces llamados “VRP
enriquecidos”, que están más cerca de los problemas reales de
distribución que los modelos de VRP tradicional. En
particular, estas variantes se caracterizan por múltiples
depósitos, múltiples viajes a realizar por los vehículos,
múltiples tipos de vehículos, y/o otras cuestiones operativas
como las limitaciones de carga. Tratar de implementar las
propuestas que se encuentran en la literatura, es una actividad
desafiante y útil que ha atraído considerables esfuerzos en la
comunidad científica [Baldacci et al., 2008].
Abstract
In open vehicle routing problems, the vehicles are not
required to return to the depot after completing service. In
this paper, we present the math formulation for the open
version of the well-known capacitated vehicle routing
problem (OVRP) with an important variant, when a fleet of
vehicles characterized by diferent capacities and costs, is
available for distribution activities. The problem is known as
the Mixed Fleet OVRP or as the Heterogeneous Fleet OVRP.
En la versión clásica de los problemas de ruta de vehículos
(VRPs), se requiere que los vehículos regresen al depósito
una vez terminado el servicio [Toth y Vigo, 2002]. En la
versión abierta del VRP, los vehículos no tienen que hacerlo.
Como resultado, las rutas de vehículos no son caminos
cerrados, comenzando en el depósito y terminando en uno de
los clientes. En general, la solución óptima para la versión
abierta de un VRP puede ser bastante diferente que la de su
versión de rutas cerradas [Yilmaz Eroglu et al., 2014].
Introducción
El problema de ruteo de vehículos (VRP) es uno de los
problemas de optimización combinatoria más estudiados, y
tiene que ver con el diseño óptimo de rutas utilizado por una
flota de vehículos para servir a un conjunto de clientes. Fue
propuesto por primera vez por Dantzig y Ramser [ 1959 ] , y
ha sido objeto de cientos de artículos que han propuesto
métodos de solución exactos y aproximados de muchas
variantes de este problema. Entre dichas variantes podemos
mencionar el problema de rutas de vehículo con capacidad
(CVRP ) , que es cuando una flota homogénea de vehículos
está disponible y la restricción sólo considerada la capacidad
de los vehículos [ Toth y Vigo , 2002] , o el VRP con ventanas
de tiempo ( VRPTW ) , en donde los clientes se deben de
atender dentro de un intervalo de tiempo especificado y el
horario de atención para la ruta debe ser considerado. Más
En este trabajo se considera una variante importante del
OVRP, una flota de vehículos que se caracterizan por tener
diferentes capacidades y costos de distribución. El problema
se conoce como el OVRP con flota mixta o como el OVRP
con flota heterogénea. Nos enfocaremos principalmente en
los problemas básicos que incluyen sólo restricciones de
capacidad, la cual ha tenido mayor atención en la literatura.
A primera vista, tener rutas abiertas en lugar de rutas cerradas
parece ser una pequeña modificación. En efecto, si los costos
de viaje son asimétricos, esencialmente no hay diferencia
entre las versiones abiertas y cerradas: Para transformar la
versión cerrada en una abierta, es suficiente con establecer
que el costo de viajar desde cualquier cliente al depósito sea
cero. Sin embargo, si los costos de viaje son simétricos, el
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problema resulta ser más profundo. De hecho, en la siguiente
sección mostraremos que, sorprendentemente, la versión
abierta resulta ser más general que la cerrada, en el sentido de
que cualquier VRP cerrado con n clientes se puede
transformar en un VRP abierto con n clientes, pero no hay
cambios en la dirección inversa. Este trabajo considera
grafos dirigidos, de esta manera permite considerar costos de
viaje asimétricos y simplicidad en la formulación
matemática.
vértice i ∈ V \{v1} tienen una demanda no negativa qi. En
este contexto, cij representa el costo del viaje, de tiempo y de
la distancia para cada uno de los vehículos de ir del cliente vi
al cliente vj . En el VRP básico el objetivo es atender a todos
los clientes durante la ruta, saliendo y llegando al depósito, a
cada cliente se le surte la demanda y el costo total de viaje se
minimiza [Joubert, 2007]. La siguiente formulación
matemática de VRP con rutas abiertas es adaptada de Ball et
al. [1983] and Filipec et al. [1998]. Durante este periodo se
hicieron pequeños cambios a la formulación del problema.
Por otra parte, hay muchas aplicaciones prácticas en el que el
problema de rutas abiertas que surgen naturalmente. Esto
sucede, por ejemplo, cuando una empresa no es propietaria
de una flota de vehículos y todas sus entregas se hacen desde
un depósito central con vehículos alquilados y no están
obligados a regresar al depósito central. En tales situaciones,
el costo de la distribución puede ser proporcional a la
distancia recorrida mientras el vehículo está cargado [Serna
and Bonrostro, 2000].
k
La variable de decisión, x ij es definida como:
Formulación Matemática
El problema de distribución donde los vehículos de un
deposito central son obligados a visitar (durante un periodo
de tiempo determinado) a clientes dispersos geográficamente
con el fin de cumplir con sus demandas conocidas se conoce
como VRP [Hadjiconstantinou et al., 1995]. El objetivo
principal del VRP es minimizar el costo de distribución de
cada vehículo, y puede ser descrito como el problema de la
asignación óptima de entrega o recolección de rutas desde un
depósito a un número de clientes distribuidos
geográficamente, sujeto a restricciones [ Yilmaz Eroglu et al.
, 2014 ]. La versión más básica del VRP también ha sido
llamada programación de vehículos, o simplemente el
problema de entrega. Un número de formulaciones diferentes
aparecen en el trabajo de Christofides [Hadjiconstantinou et
al. 1995].
El problema puede ser definido en un grafo G = (V, A), donde
V = {v1,...,vn} y representa el conjunto de vértices de n
clientes, y donde v1 representa el depósito, donde se
encuentran M vehículos con capacidad Q. Por otro lado está
el conjunto de arcos, A = {(vi, vj ), vi, vj ∈ V, i =
̸ j}que nos dice
que es posible visitar al cliente vj partiendo del vi. . Cada
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Si bien fue posible resolver la relajación lineal del problema,
la obtención de una solución óptima requirió de un esfuerzo
computacional importante, y es previsible, que a medida que
aumenten el número de clientes resultará difícil para el
modelo encontrar la solución óptima en un tiempo razonable
Las restricciones de grado están representadas por (2) y (3).
La continuidad de la ruta está representada por (4) es para
indicar que un vehículo debe de llegar y salir del mismo
nodo. La restricción de que ningún vehículo puede dar
servicio a las demandas del cliente si supera la capacidad del
vehículo en (5). Las restricciones (6) y (7) aseguran que
cada vehículo no está programado más de una vez.
Conclusiones
En este trabajo se estudia el problema de ruta de vehículos
abierto con flota heterogénea. En particular, se propone un
problema de ruta de vehículos con grafos dirigidos y los
costos de cualquier cliente al depósito igual a cero. En
AMPL, encontramos la solución óptima en 52 iteraciones en
instancias de 20 clientes. Si bien el algoritmo es capaz de
encontrar la solución óptima de la instancia de prueba, a
medida que crezca el tamaño del problema, resultará difícil al
modelo encontrar la solución óptima en tiempos
competitivos.
Experimentos Computacionales
Nuestro algoritmo ha sido codificado en AMPL para
resolver lpsolve. Probamos los casos de 20 clientes con
demandas iguales a uno, cuatro vehículos con flota
heterogénea, diferentes costos y hemos considerado el costo
de los clientes al depósito igual a 0, y de esta manera nuestro
problema VRP se convirtió en un problema OVRP. A
continuación, le mostramos los datos y el modelo:
MODEL
set depot;
set Vt ordered;
set V = depot union Vt;
set M;
param Q {j in M};
param q {i in Vt};
param cost{i in V, j in V};
var X {i in V, j in V, k in M : i<>j} binary;
minimize Total arc: sum {i in V, j in V, k in M : i<>j} cost[i,j]*X[i,j,k];
subject to influential_arc_a {j in Vt}: sum {i in V, k in M: i<>j} X[i,j,k] = 1;
subject to influential_arc_b {i in Vt}: sum {j in V, k in M: i<>j} X[i,j,k]= 1;
subject to route_continuity {p in Vt, k in M}: sum {i in V : i<>p}
X[i,p,k] - sum {j in V: j<>p} X[p,j,k] = 0;
subject to capacity {k in M}: sum {j in Vt, i in V: i<>j} q[j]*X[i,j,k] <=Q[k];
subject to depot customer {k in M}: sum {i in depot, j in V: i<>j}X[i,j,k] <= 1;
subject to customer depot {k in M}: sum {i in V, j in depot: i<>j}X[i,j,k] <= 1;
option solver lpsolve;
Bibliografía
1.
Roberto Baldacci, Maria Battarra, and Daniele Vigo. Routing a heterogeneous fleet of
vehicles. In The vehicle routing problem: latest advances and new challenges, pages 3–27.
Springer, 2008.
2.
Michael Ball, Lawrence Bodin, and Robert Dial. A matching based heuristic for scheduling
3.
George B Dantzig and John H Ramser. The truck dispatching problem. Management
4.
Minea Filipec, Davor Skrlec, and Slavko Krajcar. An efficient implementation of genetic
mass transit crews and vehicles. Transportation Science, 17(1): 4–31, 1983.
science, 6(1):80–91, 1959.
En estas instancias encontramos la solución óptima en 52
iteraciones. La figura 1 muestra los datos de una instancia del
problema
algorithms for constrained vehicle routing problem. In Systems, Man, and Cybernetics,
1998. 1998 IEEE International Conference on, volume 3, pages 2231–2236. IEEE, 1998.
5.
Eleni Hadjiconstantinou, Nicos Christofides, and Aristide Mingozzi. A new exact algorithm
for the vehicle routing problem based onq-paths andk-shortest paths relaxations. Annals of
Operations Research, 61(1):21–43, 1995.
6.
Johannes Wilhelm Joubert. An integrated and intelligent metaheuristic for constrained
7.
Cristina Rocío Delgado Serna and Joaquín A Pacheco Bonrostro. Diseño de metaheurísticos
vehicle routing. PhD thesis, University of Pretoria, 2007.
para problemas de rutas con flota heterogénea: concentración heurística. Estudios de
economía aplicada, (14):137–151, 2000.
8.
Paolo Toth and Daniele Vigo. Models, relaxations and exact approaches for the capacitated
vehicle routing problem. Discrete Applied Mathematics, 123(1): 487–512, 2002.
Duygu Yilmaz Eroglu, Burcu Caglar Gencosman, Fatih Cavdur, and H Cenk Ozmutlu. Introducing the
mchf/ovrp/sdmp: Multicapacitated/heterogeneous fleet/open vehicle routing problems with split deliveries
and multiproducts. The Scientific World Journal, 2014, 2014.
Fig. 1 Ejemplo de una Instancia
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