Práctica 12
Transcripción
Práctica 12
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Práctica 12 Cálculo integral en una variable (Curso 2009-2010) 1.– Calcular las siguientes primitivas: √ x + 1 + x2 √ dx, 2 1 + x Z sen x sen(cos x)dx, Z x2 dx, 1 + x2 Z Z 1 dx α2 + x2 Z tan2 xdx Z √ 1 dx α 2 − x2 2.– Calcular, mediante un cambio de variable, las siguientes primitivas: Z 1 √ dx, 1+ x Z 1 dx, x e +1 Z Z √ 1 dx −1 sen3 x √ dx cos x ex 3.– Calcular las siguientes primitivas: Z x dx, cos2 x Z ln x dx, x3 Z x2 ln xdx √ Z e x dx 4.– Calcular el área encerrada por las siguientes curvas: a) xy = 12, y = 0, x = 1 y x = e2 . b) y = 9 − x2 y y = x + 3. c) y = x2 − 4, y = 8 − 2x2 d) y = e−x , y = ex , x = 0 y x = 2. 5.– Sabiendo que el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la curva y = f (x) Z entre x = a y x = b alrededor del eje de abscisas viene dado por para dos constantes arbitrarias r y h: b π(f (x))2 dx, determinar, a a) El volumen del sólido generado al rotar y1 = r en torno al eje de abscisas entre 0 y h. b) El volumen del sólido generado al rotar y2 = x en torno al eje de abscisas entre 0 y h. c) El volumen del sólido generado al rotar y3 = x2 en torno al eje de abscisas entre 0 y 1. d) El volumen de una esfera de radio r centrada en el origen. 6.– Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana limitada por la curva dada en torno al eje X: a) y 2 = 8x; y = 0; x = 2 7.– Sabiendo que la longitud de la curva y = f (x) entre x = a y x = b viene dada por Z bp 1 + (f 0 (x))2 dx, determinar a a) La longitud de 24xy = x4 + 48 entre x = 2 y x = 4. 8.– Hallar el área de la superficie generada al girar el arco que se indica en torno al eje X: a) y = aCh( xa ); entre x = a y x = −a, a > 0. b) Superficie de una esfera de centro el origen y radio r. Z ∞ 9.– Se dice que la integral Z c f (x)dx es convergente si Z f (x)dx y −∞ −∞ ∞ f (x)dx son ambas c convergentes para un c ∈ IR. En este caso, se define el valor de la primera integral del siguiente modo: Z ∞ Z c Z ∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx −∞ −∞ c Se pide: Z ∞ a) Demostrar que el valor de f (x)dx es independiente de la elección de c. −∞ Z ∞ b) Calcular e−|x| dx tomando c = 0. −∞ 10.– Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z ∞ 2 −x x e Z dx, 0 0 Z 2 ∞ π 2 senx dx √ cosx 1 dx lnx 11.– Calcular el valor de α para el que es convergente la integral Z ∞ ( 2 αx 1 − )dx 1 + x2 1 + 2x