Tarea 2

INTRODUCCIÓN A LA INFORMACIÓN
CUÁNTICA
Trabajo 2
(Fecha de entrega: Viernes 7 de Noviembre)
Escoge una pregunta de cada bloque y responde razonadamente:
1. “Pack” Transfinito.
A.- Demuestra que hay el mismo número de puntos en una circunferencia que en
la recta real.
(Lo que es lo mismo: Prueba que la cardinalidad del conjunto de puntos de una
circunferencia es igual a la del continuo).
B.- El Hotel Infinito prospera tanto debido a su impecable historial de disponibilidad de habitaciones que el dueño decide comprar un planeta. Además de abrir
el Hotel Infinito 2 y el Hotel Infinito 3, inaugura una red infinita de Hoteles
Infinitos. Cada hotel se identifica con un número natural y tiene, como el original, una habitación por cada número natural. Tras varios años de lucrativo
negocio, el planeta debe ser demolido para hacer paso a una Autoestopista
Interespacial. El dueño de la cadena no suele leer el tablón de demoliciones, en
el cercano planeta Tweenis 12, y se entera a tan sólo un dı́a de la demolición.
¿Cómo puede realojar a todos sus clientes en el Hotel Infinito original?
(Lo que es lo mismo: Demuestra que ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 )
2. “Pack” contable.
A.- Calcula el número de puertas lógicas de n bits diferentes que son:
- Reversibles y conservativas a la vez.
- Conservativas (aunque no necesariamente reversibles).
B.- Se desea fabricar una puerta de m entradas y m salidas con lógica conservativa
(y reversible). Cada uno de los bits de salida tiene como valor el OR lógico de
todos los bits de entrada.
- ¿Cuál es el número mı́nimo de bits que debe tener una puerta n × n conservativa y reversible para poder implementar esa función? Explica el resultado separando el valor mı́nimo de n para puertas conservativas (no
necesariamente reversibles) y el valor mı́nimo necesario para puertas reversibles (no necesariamente conservativas).
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- ¿Puedes dar alguna cota superior al número de bits (un valor de n para el
que se pueda asegurar que no hacen falta más entradas/salidas)?
3. “Pack” puertas.
A.- Se tiene una puerta lógica de 3 entradas y tres salidas con la tabla de verdad:
ENTRADA
a b c
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
SALIDA
a b c
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 1 0
1 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
- ¿Es reversible?
- ¿Y conservativa?
- Describe la puerta de forma alternativa con un modelo circuital en el que
se asocie a una primitiva más intuitiva.
- ¿Es una puerta universal? Demuestra que lo es/no lo es.
B.- Para una puerta de Toffoli:
- Demuestra que es universal.
- Escribe, de forma matricial, la función que resulta de aplicar a una entrada
de 3 bits una puerta de Toffoli seguida de una puerta de Fredkin. ¿Es
conservativa?
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