Cap´ıtulo 5 Endomorfismos: autovalores, autovectores y

Cap´ıtulo 5 Endomorfismos: autovalores, autovectores y

Capı́tulo 5
Endomorfismos: autovalores, autovectores y
diagonalización
5.1
Endomorfismos
Un endomorfismo f es una aplicación lineal (también llamada homomorfismo) con el mismo dominio
y codominio. Consideraremos en este capı́tulo endomorfismos f : IR n 7→ IR n , siendo IR n espacio
vectorial sobre IR.
5.2
Valores y vectores propios
Definición 5.1 Se dice que λ ∈ IR es autovalor o valor propio del endomorfismo f en IR n , si
existe ⃗x ̸= ⃗0 ∈ IR n tal que f (⃗x) = λ⃗x.
Definición 5.2 Sea f un endomorfismo en IR n con autovalor λ. Los vectores ⃗x ∈ IR n tales que
f (⃗x) = λ⃗x se denominan vectores propios o autovectores de f correspondientes al autovalor λ.
λ puede ser nulo
Si ⃗x = ⃗0
∀λ se cumple que f (⃗0) = λ⃗0, por eso para aceptar λ como autovalor debe existir ⃗x ̸= ⃗0
tal que f (⃗x) = λ⃗x.
2
2
Ejemplo
[
]5.1 Sea la aplicación lineal f : IR 7−→ IR , sobre IR, cuya matriz asociada es A =
10 −18
. Determina si los vectores ⃗u = (2, 1) y ⃗v = (3, 2) son vectores propios de A. En caso
6 −11
afirmativo da el valor del autovalor asociado.
[
][ ] [ ]
[
][ ] [ ]
10 −18 2
2
10 −18 3
−6
A⃗u =
=
A⃗v =
=
6 −11 1
1
6 −11 2
−4
⃗v es vector propio porque A⃗v = −2⃗v
el autovalor asociado es λ = −2
⃗u es vector propio porque A⃗u = 1⃗u
el autovalor asociado es λ = 1
[
Ejemplo 5.2 Sea la aplicación lineal f :
IR 2
7−→
IR 2 ,
cuya matriz asociada es A =
Determina si los vectores ⃗u = (6, −5) y ⃗v = (3, −2) son vectores propios de A.
[
][ ] [
]
[
][ ] [ ]
1 6
6
−24
1 6
3
−9
A⃗u =
=
A⃗v =
=
5 2 −5
20
5 2 −2
11
⃗u es vector propio porque A⃗u = −4⃗u
⃗v no es vector propio porque no existe s tal
que A⃗v = s⃗v , o lo que es lo mismo,
(−9, 11) no es múltiplo de (3, −2).
228
1
5
]
6
.
2
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN229
Ejemplo 5.3 Consideremos el endomorfismo identidad id: IR n −
7 → IR n . Sabemos que su matriz
asociada es la identidad.
id(⃗x) = I⃗x = ⃗x
La aplicación tiene un único valor propio, que es 1. Todos los vectores de IR n son autovectores
correspondientes a ese autovalor.
Ejemplo 5.4 Consideremos la aplicación lineal f : IR n 7−→ IR n cuya matriz asociada es la matriz
λIn con λ ∈ IR.
f (⃗x) = λI⃗x = λ⃗x
La aplicación tiene un único valor propio, que es λ. Todos los vectores de IR n son autovectores
correspondientes a ese autovalor.
5.3
Obtención de los valores propios. Polinomio caracterı́stico
Teorema 5.1 Sea el endomorfismo f : IR n 7−→ IR n y An su matriz asociada respecto de la base
estándar. λ es valor propio de f ⇔ |A − λI| = 0 ⇔ rg(A − λI) < n.
Demostración: λ valor propio si ∃ ⃗x ̸= ⃗0 tal que f (⃗x) = A⃗x = λ⃗x = λI⃗x, siendo I la matriz
identidad de orden n, o lo que es lo mismo, si ∃ ⃗x ̸= ⃗0 tal que (A − λI)⃗x = ⃗0
Por tanto λ es valor propio ⇔ el SL (A − λI)⃗x = ⃗0 es compatible indeterminado ⇔ rg (A − λI) < n
⇔ |A − λI| = 0
a11 − λ
a
.
.
.
a
12
1n
a22 − λ . . .
a2n Desarrollemos |A − λI| = 0
a21
..
=0
..
..
..
.
.
.
.
an1
an2
. . . ann − λ
El primer miembro de esta ecuación es un polinomio en λ de grado n, que tiene la forma
(−1)n p(λ), siendo p(λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 .
En efecto p(λ) = |λI − A| = (−1)n |A − λI|.
A p(λ) se le denomina polinomio caracterı́stico de f o polinomio caracterı́stico de la matriz
A. Se trata de un polinomio mónico, es decir, con coeficiente uno para el término de mayor grado.
Las ecuaciones |λI − A| = 0 y |A − λI| = 0 son iguales, y por tanto tienen las mismas soluciones λ.
Esa ecuación se denomina ecuación caracterı́stica de la matriz A.
Dada A, la expresión |A − λI| del determinante es la más sencilla de utilizar para cálculos realizados
a mano. Sólo debemos tener en cuenta que ese determinante es p(λ) si la matriz es de orden par y
−p(λ) si la matriz es de orden impar, ya que p(λ) debe ser mónico. p(λ) y −p(λ) tienen las mismas
raı́ces, y esas raı́ces son las soluciones λ que buscamos.
De acuerdo con el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes reales tiene exactamente n raı́ces reales o complejas (contando multiplicidades). Denotamos
la multiplicidad de la raı́z λ como pλ .
El polinomio (λ − 1)5 tiene 5 raı́ces, todas iguales a 1. El polinomio tiene raı́z 1 con multiplicidad 5.
El polinomio λ2 + 1 tiene dos raı́ces complejas, +i y −i. (Las raı́ces complejas siempre forman pares
conjugados).
El polinomio (λ2 + 1)(1 − λ2 ) tiene dos raı́ces complejas, i y −i y dos raı́ces reales 1 y −1.
El polinomio caracterı́stico de A, p(λ), tendrá n raı́ces. Las raı́ces reales del polinomio son los valores propios del endomorfismo f , también designados como valores propios de A. La multiplicidad
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN230
algebraica de un autovalor λi se define como su multiplicidad como raı́z del polinomio caracterı́stico, que habı́amos denotado como pλi . Al limitarnos a endomorfismos en el espacio vectorial
IR n sobre IR, y no al espacio Cn sobre C, las raı́ces complejas de p(λ) no pueden considerarse como
valores propios de A.
Suponiendo s raı́ces distintas, incluyendo reales y complejas:
p(λ) = (λ − λ1 )pλ1 (λ − λ2 )pλ2 . . . (λ − λs )pλs
pλ1 + pλ2 + . . . + pλs = n
Si r es el número de raı́ces reales y distintas, r <= s , entonces tenemos r autovalores distintos, y:
pλ1 + pλ2 + . . . + pλr ≤ n
pλ1 + pλ2 + . . . + pλr = n ⇔ todas las raı́ces son reales
Si p(λ) tiene las n raı́ces reales y distintas (por tanto de multiplicidad algebraica 1), entonces:
p(λ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λn )
y el endomorfismo tiene n autovalores distintos.
Obtención de valores propios: Obtención de las raı́ces reales del polinomio |A − λI|, o lo que es lo
mismo, de las soluciones de la ecuación caracterı́stica |A − λI| = 0.


6 −3 1
0 5?
Ejemplo 5.5 ¿Es 5 un valor propio de A = 3
2
2 6
5 es autovalor de A ⇔ 5 es solución de la ecuación |A − λI| = 0 ⇔
1 −3 1
|A − 5I| = 3 −5 5 = −30, por tanto 5 no es autovalor.
2
2 1
[
]
1 2
Ejemplo 5.6 a) Averigua si λ = 4 es autovalor de A =
4 5
[
1
b) Determina el valor de c para que λ = 4 sea autovalor de A =
4
|A − 5 I| = 0
2
c
]
Sol:
−3 2
= −3 − 8 = −11 ̸= 0 ⇒ λ = 4 no es autovalor.
a) |A − 4I| = 4 1
−3
2 = −3c + 12 − 8 = −3c + 4 = 0 ⇒ c = 4/3.
b) |A − 4I| = 4 c − 4
[
]
2
3
Ejemplo 5.7 Encuentra los valores propios de A =
y un autovector distinto de ⃗0 corres3 −6
pondiente a cada uno de los autovalores encontrados.
2 − s
3 = (2 − s)(−6 − s) − 9 = s2 + 4s − 21
|A − sI| = 3
−6 − s
Los autovalores, que son las raı́ces reales del polinomio anterior, son s = −7 y s = 3.
[
2
3
3 −6
][ ]
[ ]
x
x
= −7
y
y
{
2x + 3y = −7x
3x − 6y = −7y
{
9x + 3y = 0
3x + y = 0
⇒ y = −3x
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN231
(1, −3) es autovector correspondiente al autovalor −7
[
][ ] [ ]
[ ]
2
3
1
−7
1
Comprobación:
=
= −7
3 −6 −3
21
−3
Por el mismo procedimiento se puede calcular un vector propio asociado a λ = 3


5 −2
6 −1
0
3 −8
0

Ejemplo 5.8 Encuentra la ecuación caracterı́stica de A = 
0
0
5
4
0
0
0
1
Por ser A − λI una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal
principal.
p(λ) = (5 − λ)(3 − λ)(5 − λ)(1 − λ) = 0
Ejemplo 5.9 El polinomio caracterı́stico de una matriz 6 × 6 es λ6 − 4λ5 − 12λ4 . Encuentra los
valores propios y su multiplicidad algebraica.
p(λ) = (λ2 − 4λ − 12)λ4
Tenemos la raı́z λ = 0 con multiplicidad 4 y las raı́ces de λ2 −4λ −12 = 0. Éstas últimas son λ = −2
y λ = 6.
Ejemplo
5.10 
Obtén los autovalores y multiplicidades del endomorfismo con matriz asociada A =

−5 9
7 1
−1 1 −2 0

.
 0 0
2 0
0 0
9 0
−5 − λ
9
7
1 −1
1−λ
−2
0 Desarrollando | A−λI | = por cofactores de la tercera fila tenemos:
0
0
2−λ
0 0
0
9
0 − λ
−5 − λ
9
1 −5 − λ
9 1 − λ 0 = (2 − λ) (−λ) | A − λI | = (2 − λ) −1
=
−1
1 − λ
0
0
−λ
(2 − λ) (−λ) ((−5 − λ)(1 − λ) + 9) = (2 − λ) (−λ) (−5 + 5λ − λ + λ2 + 9) =
(λ2 + 4λ + 4)(2 − λ)(−λ) = (λ + 2)2 (2 − λ)(−λ)
Los autovalores son λ = −2 con multiplicidad 2, λ = 2 con multiplicidad 1, y λ = 0 con multiplicidad
1.
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN232
5.4
Subespacio propio
El conjunto de los vectores propios de un endomorfismo f de IR n correspondientes a un autovalor λ
es un subespacio de IR n , denotado como Vλ . En efecto, considerando la matriz estándar A asociada
a f , tenemos:
Vλ = {⃗x ∈ IR n / A⃗x = λ⃗x} = {⃗x ∈ IR n / (A − λI)⃗x = ⃗0} = Ker(A − λI)
En el capı́tulo anterior ya vimos que el núcleo de una aplicación lineal es subespacio vectorial del
espacio vectorial inicial.
Definición 5.3 Sea f endomorfismo de IR n con matriz estándar asociada A y sea λi un autovalor
de f . Al subespacio vectorial de IR n Ker(A − λi I) = {⃗x ∈ IR n /(A − λi I)⃗x = ⃗0} se le denomina
subespacio propio correspondiente al valor propio λi . Se denota como Vλi .
Observación: Por ser Vλ subespacio vectorial está garantizado que ⃗0 pertenece al conjunto, que la
suma de autovectores de λ es cerrada, que el producto por un escalar también, y, cómo consecuencia
de lo anterior, que la combinación lineal de autovectores de λ es autovector de λ. A modo de revisión
presentamos las demostraciones de estos resultados:
• Vλ contiene el vector ⃗0 pues f (⃗0) = ⃗0 = λ⃗0.
• El producto por un escalar es cerrado, pues ⃗x ∈ Vλ ⇒ α ⃗x ∈ Vλ
f (⃗x) = λ⃗x, entonces f (α ⃗x) = α f (⃗x) = α λ⃗x = λ α⃗x, por tanto α⃗x ∈ Vλ
• La suma es cerrada: ⃗x, x⃗′ ∈ Vλ ⇒ ⃗x + x⃗′ ∈ Vλ
f (⃗x + x⃗′ ) = f (⃗x) + f (x⃗′ ) = λ⃗x + λx⃗′ = λ(⃗x + x⃗′ )
• Toda combinación lineal de autovectores de un valor propio λ de A es también autovector de
ese valor propio.
A⃗x = λ⃗x,
Ax⃗′ = λx⃗′
A(α⃗x + β x⃗′ ) = αA⃗x + βAx⃗′ = αλ⃗x + βλx⃗′ = λ(α⃗x + β x⃗′ )
luego
α⃗x + β x⃗′ es autovector de A correspondiente al autovalor λ.
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN233
5.5
Dimensión del subespacio propio
Considerando el endomorfismo A − λI : IR n 7−→ IR n
dim IR n = dim Ker(A − λI) + dim Im(A − λI)
(propiedad de las aplicaciones lineales vista
en el capı́tulo anterior)
n = dim Vλ + rango (A − λI)
dim Vλ = n − rango (A − λI)
por ser λ autovalor, rango (A − λI) < n
⇒
1 ≤ dim Vλ ≤ n
dim Vλ = n cuando A − λI sea la matriz nula, es decir, A = λI. En este caso A⃗x = λ⃗x
y por tanto Vλ = IR n
∀⃗x ∈ IR n ,
Se define multiplicidad geométrica de un autovalor λ como la dimensión de Vλ .
Teorema 5.2 dimVλ es menor o igual que la multiplicidad algebraica del valor propio λ.
1 ≤ dim Vλ ≤ pλ ≤ n
5.6
Obtención de los subespacios propios
En primer lugar se calculan los valores propios, es decir, las raı́ces reales de la ecuación |A − λI| = 0.
A continuación:
• Se determina Vλi = Ker(A − λi I) para cada valor propio λi , que es lo mismo que determinar
la solución de cada sistema homogéneo (A − λi I)⃗x = ⃗0 (un sistema para cada autovalor). La
resolución del sistema nos permitirá obtener una base y la dimensión del subespacio propio.
• Es conveniente comprobar que dim Vλi esté dentro del rango permitido, 1 ≤ dim Vλi ≤ pλi ,
siendo pλi la multiplicidad algebraica de λi .
5.7
Propiedades de autovalores y autovectores
Teorema 5.3 Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.
Demostración:
Se demuestra para una

 
λ
a11 a12 a13



A − λI = 0 a22 a23 − 0
0
0
0 a33
λ es un autovalor ⇐⇒
matriz triangular superior y n = 3
 

0 0
a11 − λ
a12
a13
λ 0 =  0
a22 − λ
a23 
0 λ
0
0
a33 − λ
|A − λI| = (a11 − λ)(a22 − λ)(a33 − λ) = 0
Las raı́ces de p(λ) son a11 , a22 , a33
Se obtiene el mismo resultado para una matriz triangular inferior.
Teorema 5.4 Si λ es autovalor de A con autovector asociado ⃗x, entonces λk (k = 2, 3, ...) es
autovalor de Ak con el mismo autovector asociado ⃗x.
k veces
Demostración:
z }| {
Ak ⃗x = A ... A ⃗x = λk ⃗x
Teorema 5.5 An es invertible ⇐⇒ el escalar 0 no es autovalor de A.
Demostración:
A es invertible ⇐⇒ |A| ̸= 0 ⇐⇒ |A − 0I| ̸= 0 ⇐⇒ 0 no es autovalor de A
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS: AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y DIAGONALIZACIÓN234
Teorema 5.6 Si A es invertible y λ autovalor de A con autovector asociado ⃗x, entonces λ−1 es
autovalor de A−1 con autovector asociado también ⃗x.
Demostración:
A⃗x = λ⃗x,
A invertible =⇒ ∃A−1 y λ ̸= 0
Multiplicando por A−1 por la izquierda,
⃗x = λA−1 ⃗x
A−1 A⃗x = λA−1 ⃗x
λ−1 ⃗x = A−1 ⃗x
Teorema 5.7 A y At tienen el mismo polinomio caracterı́stico, y por tanto los mismos autovalores
y con la misma multiplicidad algebraica.
Demostración:
It = I
=⇒ |At − λI| = |At − λI t | = |(A − λI)t | = |A − λI|
|At − λI| = |A − λI| =⇒ A y At tienen el mismo polinomio caracterı́stico y por tanto los mismos
autovalores y con la misma multiplicidad algebraica.
Ejemplo 5.11 Determina los valores



3 6 −8
4 0
6  B =  −2 1
A = 0 0
0 0
2
5 3
propios de las matrices A y B.

0
0
4
Son matrices triangulares, y por tanto sus autovalores son los elementos de la diagonal principal.
Los autovalores de A son 3,0,6 y los autovalores de B 4 (multiplicidad algebraica 2) y 1.
RECORDAMOS: Dadas dos matrices An y Fn se dice que A es semejante a F si
tal que A = P F P −1 .
∃ P invertible
Si An es la matriz asociada a un endomorfismo respecto a una determinada base, la misma en el
espacio inicial y final, y Fn es semejante a A, entonces F está asociada al mismo endomorfismo
relativo a otra base, de nuevo la misma en los espacios inicial y final.
Teorema 5.8 Si dos matrices An y Fn son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio caracterı́stico, y por tanto los mismos autovalores y con la misma multiplicidad algebraica.
Demostración:
A y F semejantes =⇒ ∃ P / A = P F P −1
A − λI = P F P −1 − λI = P F P −1 − P λIP −1 = P (F − λI)P −1
|A − λI| = |P ||F − λI||P −1 | = |F − λI|
⇒
|A − λI| = |F − λI|
—————————————————————Nota importante: La relación de equivalencia por filas, equivalencia por columnas, o equivalencia en
general (filas y/o columnas), no implica la igualdad del polinomio caracterı́stico.
[
]
2
3
Ejemplo 5.12 Calcula el polinomio caracterı́stico y raı́ces de A =
y de una matriz equi3 −6
valente por filas a A.
Habı́amos calculado el polinomio caracterı́stico de A en un ejemplo anterior (Ejemplo 5.7), resultando p(s) = s2 + 4s − 21, con raı́ces s = −7 y s = 3.
Puesto que A es invertible, |A| = −21, A es equivalente por filas a I2 . El polinomio caracterı́stico
de I2 es p(s) = (1 − s)2 y con raı́z s = 1 doble.
—————————————————————-