2010 – I SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3

2010 – I SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3

2010 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - A
Curso
Docente
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
Turno
Sección
:
:
Noche
3-28
Ciclo
:
VI
1. Indique los valores de z para los cuales se cumple que el área sombreada es el valor indicado:
(2,7 puntos)
z
z
z
Área = 0,9131
Área = 0,2061
Área = 0,3783
z = 1,36
z = 0,82
z = - 0,31
2. Sabiendo que X ∼ N(15, 1.69), se pide:
P[ X ≥ t ] = 0,2451
P[ X ≥ t ] = P[ Z ≥ (t – 15)/1,3 ] = 0,2451
→ P[ 0 < Z < (t – 15)/1,3 ] = 0,5 – 0,2451 = 0,2549
→ (t – 15)/1,3 = 0,69 → t – 15 = 0,897 → t = 15,897
a. Halle el valor de t para el cual:
(2,0 puntos)
15 t
b. Calcule el percentil 45 de la variable aleatoria X.
(2,0 puntos)
P[ X < P45 ] = 0,45 → P[ Z < (P45 – 15)/1,3 ] = 0,45
→ P[ Z > -(P45 – 15)/1,3 ] = 0,45 → P[ 0 < Z < -(P45 – 15)/1,3 ]= 0,05
→ -(P45 – 15)/1,3 = 0,13 → 15 – P45 = 0,169 → P45 = 14,831
P45 15
3. Se sabe que en el próximo mundial de fútbol, la estatura (en cm) de los jugadores se distribuye
normalmente, con una media de 176 cm y una varianza de 9 cm. Calcule la probabilidad de que un
jugador elegido al azar tenga una estatura:
a. entre 174 y 178,6 cm.
(1,7 puntos)
P[ 174 < X < 178,6 ] = P[ (174 – 176)/3 < Z < (178,6 – 176)/3 ] = P[ -0,67 < Z < 0,87 ] =
P[ 0 < Z < 0,67 ] + P[ 0 < Z < 0,87 ] = 0,2486 + 0,3078 = 0,5564
(1,6 puntos)
b. menor de 177 cm.
P[ X < 177 ] = P[ Z < (177 – 176)/3 ] = P[ Z < 0,33 ] = 0,5 + P[ 0 < Z < 0,33 ]
0,5 + 0,1293 = 0,6293
4. Estime el promedio de clientes atendidos por cajero en una hora, considerando muestras de
tamaño 8 sin reposición empleando: a) muestreo aleatorio simple y b) muestreo por
conglomerados (conglomerado: agencia).
(5 puntos)
Zona Sur:
Agencia
Cajero
N° clientes
1
1
9
2
8
2
3
7
4
8
5
6
6
10
3
7
8
8
8
9
7
10
11
4
11
9
12
7
13
12
14
9
27
9
28
10
29
10
30
8
47
8
48
9
15
9
16
8
31
13
32
7
Zona Centro:
Agencia
Cajero
N° clientes
17
12
5
18 19
7 7
6
20 21 22 23
9 12 10 8
24 25
6 8
26
8
7
10
38 39
11 10
11
40 41 42 43
13 8 8 7
44 45
12 9
46
10
8
Zona Norte:
Agencia
Cajero
N° clientes
37
8
12
9
33
8
34
9
35
9
36
10
a) Muestreo aleatorio simple.
mínimo 8 veces:
Ran # × 48 N° de cajero
14,448
44,88
24,624
39,024
33,888
12,24
42,528
18,144
2,016
N° de clientes
14
45
25
39
34
12
43
18
2
9
9
8
10
9
7
7
7
8
m(x) = 74/8 = 9,25
b) Muestreo por conglomerados.
mínimo 2 veces:
Ran # × 12
N° de agencia N° de clientes
11,676
4,56
12
5
9 10 8 9
12 7 7 9
m(x) = 71/8 = 8,875
5. Considerando como población los cinco números: 25, 26, 24, 25, 26, calcule μ y σ, luego halle
todas las muestras de tamaño dos con reposición, elabore la distribución muestral de medias y
calcule μx y σx.
(5 puntos)
μ = 25,2
σ = √ 0,56 ≈ 0,7483
Muestras:
# de muestras = 52 = 25
Medias muestrales:
25, 25 25, 26 25, 24 25, 25 25, 26
25
25,5 24,5 25
26, 25 26, 26 26, 24 26, 25 26, 26
25,5 26
25
25,5 26
24, 25 24, 26 24, 24 24, 25 24, 26
24,5 25
24
24,5 25
25, 25 25, 26 25, 24 25, 25 25, 26
25
26, 25 26, 26 26, 24 26, 25 26, 26
25,5 26
25,5 24,5 25
25
25,5
25,5
25,5 26
Distribución muestral de medias:
M(x)
P[M(x) = m(x)]
24
1/25
24,5
4/25
25
8/25
25,5
8/25
26
4/25
Media y desviación típica de la distribución muestral de medias:
μ x = 25,2 σ x = √ 0,56 /√ 2 → σ x = √ 0,28 ≈ 0,5292
EL PROFESOR
2010 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - B
Curso
Docente
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
Turno
Sección
:
:
Noche
3-28
Ciclo
:
VI
1. Indique los valores de z para los cuales se cumple que el área sombreada es el valor indicado:
(2,7 puntos)
z
z
z
Área = 0,6554
Área = 0,2119
Área = 0,3372
z = 0,40
z = 0,80
z = - 0,42
2. Sabiendo que X ∼ N(14, 1.96), se pide:
P[ X ≥ t ] = 0,2148
P[ X ≥ t ] = P[ Z ≥ (t – 14)/1,4 ] = 0,2148
→ P[ 0 < Z < (t – 14)/1,4 ] = 0,5 – 0,2148 = 0,2852
→ (t – 14)/1,4 = 0,79 → t – 14 = 1,106 → t = 15,106
a. Halle el valor de t para el cual:
(2,0 puntos)
14 t
b. Calcule el percentil 60 de la variable aleatoria X.
(2,0 puntos)
P[ X < P60 ] = 0,6 → P[ Z < (P60 – 14)/1,4 ] = 0,6
→ P[ 0 < Z < (P60 – 14)/1,4 ]= 0,1
→ (P60 – 14)/1,4 ≈ 0,25 → P60 – 14 ≈ 0,35 → P60 ≈ 14,35
14 P60
3. Se sabe que en el próximo mundial de fútbol, la estatura (en cm) de los jugadores se distribuye
normalmente, con una media de 177 cm y una varianza de 9 cm. Calcule la probabilidad de que un
jugador elegido al azar tenga una estatura:
a. entre 176 y 178,6 cm.
(1,7 puntos)
P[ 176 < X < 178,6 ] = P[ (176 – 177)/3 < Z < (178,6 – 177)/3 ] = P[ -0,33 < Z < 0,53 ] =
P[ 0 < Z < 0,33 ] + P[ 0 < Z < 0,53 ] = 0,1293 + 0,2019 = 0,3312
(1,6 puntos)
b. menor de 180 cm.
P[ X < 180 ] = P[ Z < (180 – 177)/3 ] = P[ Z < 1 ] = 0,5 + P[ 0 < Z < 1 ]
0,5 + 0,3413 = 0,8413
4. Estime el promedio de clientes atendidos por cajero en una hora, considerando muestras de
tamaño 10 sin reposición empleando: a) muestreo sistemático y b) muestreo estratificado
(considere que los estratos son las zonas).
(5 puntos)
Zona Sur:
Agencia
Cajero
N° clientes
1
1
10
2
8
2
3
7
4
9
5
6
6
10
3
7
8
8
8
9
7
10
11
22
8
11
9
12
7
23
9
24
10
Zona Centro:
Agencia
Cajero
N° clientes
13
12
4
14 15
7 7
5
16 17 18 19
9 12 10 8
20 21
6 8
6
9
34 35
11 10
10
36 37 38 39
13 8 8 7
40
12
Zona Norte:
Agencia
Cajero
N° clientes
33
8
7
25
10
26
8
8
27
13
28
7
29
8
30
9
31
9
32
10
a. Muestreo sistemático.
k = 40/10 = 4
una vez: Ran # × 4 N° de cajero
3,032
N° de clientes
3
7
11
15
19
23
27
31
35
39
7
8
9
7
8
9
13
9
10
7
m(x) = 87/10 = 8,7
b. Muestreo estratificado.
Estrato
Zona sur
Zona centro
Zona norte
TOTAL
Cant.
12
20
8
40
p
3/10
5/10
2/10
1
Muestra
3
5
2
10
Zona sur:
mínimo 3 veces:
Ran # × 12
N° de cajero
5,244
0,768
5,868
N° de clientes
5
1
6
6
10
10
Zona centro:
mínimo 5 veces:
Ran # × 20
N° de cajero
N° de clientes
5 → 17
18 → 30
13 → 25
3 → 15
0 → 20 → 32
5,12
17,96
13,26
2,62
0,38
12
9
10
7
10
Zona norte:
mínimo 2 veces:
Ran # × 8
N° de cajero
3,496
0,52
N° de clientes
3 → 35
1 → 33
10
8
∴
m(x) = 92/10 = 9,2
5. Considerando como población los cinco números: 26, 24, 24, 25, 26, calcule μ y σ, luego halle
todas las muestras de tamaño dos sin reposición, elabore la distribución muestral de medias y
calcule μx y σx.
(5 puntos)
μ = 25
σ = √ 0,8 ≈ 0,8944
Muestras:
# de muestras = 5×4 = 20
26, 24
24, 26
24, 26
25, 26
26, 26
26, 24
24, 24
24, 24
25, 24
26, 24
26, 25
24, 25
24, 25
25, 24
26, 24
26, 26
24, 26
24, 26
25, 26
26, 25
Medias muestrales:
25
25
25
25,5
26
25
24
24
24,5
25
25,5
24,5
24,5
24,5
25
26
25
25
25,5
25,5
Distribución muestral de medias:
M(x)
P[M(x) = m(x)]
24
2/20
24,5
4/20
25
8/20
25,5
4/20
26
2/20
Media y desviación típica de la distribución muestral de medias:
μ x = 25
σ x = √ 0,8 /√ 2 × (√ 3 /√ 4) → σ x ≈ 0,5477
EL PROFESOR
2010 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - C
Curso
Docente
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
Turno
Sección
:
:
Noche
3-29
Ciclo
:
VI
1. Indique los valores de z para los cuales se cumple que el área sombreada es el valor indicado:
(2,7 puntos)
z
z
z
Área = 0,6554
Área = 0,2119
Área = 0,3372
z = 0,40
z = 0,80
z = - 0,42
2. Sabiendo que X ∼ N(15, 1.69), se pide:
a. Halle el valor de t para el cual: P[ X ≥ t ] = 0,2451
(2,0 puntos)
P[ X ≥ t ] = P[ Z ≥ (t – 15)/1,3 ] = 0,2451
→ P[ 0 < Z < (t – 15)/1,3 ] = 0,5 – 0,2451 = 0,2549
→ (t – 15)/1,3 = 0,69 → t – 15 = 0,897 → t = 15,897
15 t
b. Calcule el percentil 45 de la variable aleatoria X.
(2,0 puntos)
P[ X < P45 ] = 0,45 → P[ Z < (P45 – 15)/1,3 ] = 0,45
→ P[ Z > -(P45 – 15)/1,3 ] = 0,45 → P[ 0 < Z < -(P45 – 15)/1,3 ]= 0,05
→ -(P45 – 15)/1,3 = 0,13 → 15 – P45 = 0,169 → P45 = 14,831
P45 15
3. Se sabe que en el próximo mundial de fútbol, la estatura (en cm) de los jugadores se distribuye
normalmente, con una media de 176 cm y una varianza de 9 cm. Calcule la probabilidad de que un
jugador elegido al azar tenga una estatura:
a. entre 174 y 178,6 cm.
(1,7 puntos)
P[ 174 < X < 178,6 ] = P[ (174 – 176)/3 < Z < (178,6 – 176)/3 ] = P[ -0,67 < Z < 0,87 ] =
P[ 0 < Z < 0,67 ] + P[ 0 < Z < 0,87 ] = 0,2486 + 0,3078 = 0,5564
(1,6 puntos)
b. menor de 177 cm.
P[ X < 177 ] = P[ Z < (177 – 176)/3 ] = P[ Z < 0,33 ] = 0,5 + P[ 0 < Z < 0,33 ]
0,5 + 0,1293 = 0,6293
4. Estime el promedio de clientes atendidos por cajero en una hora, considerando muestras de
tamaño 10 sin reposición empleando: a) muestreo sistemático y b) muestreo estratificado
(considere que los estratos son las zonas).
(5 puntos)
Zona Sur:
Agencia
Cajero
N° clientes
1
1
10
2
8
2
3
7
4
9
5
6
6
10
3
7
8
8
8
9
7
10
11
22
8
11
9
12
7
23
9
24
10
Zona Centro:
Agencia
Cajero
N° clientes
13
12
4
14 15
7 7
5
16 17 18 19
9 12 10 8
20 21
6 8
6
9
34 35
11 10
10
36 37 38 39
13 8 8 7
40
12
Zona Norte:
Agencia
Cajero
N° clientes
33
8
7
25
10
26
8
8
27
13
28
7
29
8
30
9
31
9
32
10
a. Muestreo sistemático.
k = 40/10 = 4
una vez: Ran # × 4 N° de cajero
3,032
N° de clientes
3
7
11
15
19
23
27
31
35
39
7
8
9
7
8
9
13
9
10
7
m(x) = 87/10 = 8,7
b. Muestreo estratificado.
Estrato
Zona sur
Zona centro
Zona norte
TOTAL
Cant.
12
20
8
40
p
3/10
5/10
2/10
1
Muestra
3
5
2
10
Zona sur:
mínimo 3 veces:
Ran # × 12
N° de cajero
5,244
0,768
5,868
N° de clientes
5
1
6
6
10
10
Zona centro:
mínimo 5 veces:
Ran # × 20
N° de cajero
N° de clientes
5 → 17
18 → 30
13 → 25
3 → 15
0 → 20 → 32
5,12
17,96
13,26
2,62
0,38
12
9
10
7
10
Zona norte:
mínimo 2 veces:
Ran # × 8
N° de cajero
N° de clientes
3,496
3 → 35
10
0,52
1 → 33
8
∴
m(x) = 92/10 = 9,2
5. Considerando como población los cinco números: 25, 26, 24, 25, 26, calcule μ y σ, luego halle
todas las muestras de tamaño dos sin reposición, elabore la distribución muestral de medias y
calcule μx y σx.
(5 puntos)
μ = 25,2
σ = √ 0,56 ≈ 0,7483
Muestras:
# de muestras = 5×4 = 20
Medias muestrales:
25, 26 25, 24 25, 25 25, 26
25,5 24,5 25
25,5
26, 25 26, 24 26, 25 26, 26
25,5 25
25,5 26
24, 25 24, 26 24, 25 24, 26
24,5 25
24,5 25
25, 25 25, 26 25, 24 25, 26
25
26, 25 26, 26 26, 24 26, 25
25,5 26
25,5 24,5 25,5
25
25,5
Distribución muestral de medias:
M(x)
24,5
25
25,5
26
P[M(x) = m(x)]
4/20
6/20
8/20
2/20
Media y desviación típica de la distribución muestral de medias:
μ x = 25,2 σ x = √ 0,56 /√ 2 × (√ 3 /√ 4) → σ x ≈ 0,4583
EL PROFESOR
2010 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - D
Curso
Docente
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
Turno
Sección
:
:
Noche
3-29
Ciclo
:
VI
1. Indique los valores de z para los cuales se cumple que el área sombreada es el valor indicado:
(2,7 puntos)
z
z
z
Área = 0,9131
Área = 0,2061
Área = 0,3783
z = 1,36
z = 0,82
z = - 0,31
2. Sabiendo que X ∼ N(14, 1.96), se pide:
a. Halle el valor de t para el cual: P[ X ≥ t ] = 0,2148
(2,0 puntos)
P[ X ≥ t ] = P[ Z ≥ (t – 14)/1,4 ] = 0,2148
→ P[ 0 < Z < (t – 14)/1,4 ] = 0,5 – 0,2148 = 0,2852
→ (t – 14)/1,4 = 0,79 → t – 14 = 1,106 → t = 15,106
14 t
b. Calcule el percentil 60 de la variable aleatoria X.
(2,0 puntos)
P[ X < P60 ] = 0,6 → P[ Z < (P60 – 14)/1,4 ] = 0,6
→ P[ 0 < Z < (P60 – 14)/1,4 ]= 0,1
→ (P60 – 14)/1,4 ≈ 0,25 → P60 – 14 ≈ 0,35 → P60 ≈ 14,35
14 P60
3. Se sabe que en el próximo mundial de fútbol, la estatura (en cm) de los jugadores se distribuye
normalmente, con una media de 177 cm y una varianza de 9 cm. Calcule la probabilidad de que un
jugador elegido al azar tenga una estatura:
a. entre 176 y 178,6 cm.
(1,7 puntos)
P[ 176 < X < 178,6 ] = P[ (176 – 177)/3 < Z < (178,6 – 177)/3 ] = P[ -0,33 < Z < 0,53 ] =
P[ 0 < Z < 0,33 ] + P[ 0 < Z < 0,53 ] = 0,1293 + 0,2019 = 0,3312
b. menor de 180 cm.
(1,6 puntos)
P[ X < 180 ] = P[ Z < (180 – 177)/3 ] = P[ Z < 1 ] = 0,5 + P[ 0 < Z < 1 ]
0,5 + 0,3413 = 0,8413
4. Estime el promedio de clientes atendidos por cajero en una hora, considerando muestras de
tamaño 8 sin reposición empleando: a) muestreo aleatorio simple y b) muestreo por
conglomerados (conglomerado: agencia).
(5 puntos)
Zona Sur:
Agencia
Cajero
N° clientes
1
1
9
2
8
2
3
7
4
8
5
6
6
10
3
7
8
8
8
9
7
10
11
4
11
9
12
7
13
12
14
9
27
9
28
10
29
10
30
8
47
8
48
9
15
9
16
8
31
13
32
7
Zona Centro:
Agencia
Cajero
N° clientes
17
12
5
18 19
7 7
6
20 21 22 23
9 12 10 8
24 25
6 8
26
8
7
10
38 39
11 10
11
40 41 42 43
13 8 8 7
44 45
12 9
46
10
8
Zona Norte:
Agencia
Cajero
N° clientes
37
8
12
9
33
8
34
9
35
9
36
10
a. Muestreo aleatorio simple.
mínimo 8 veces:
Ran # × 48 N° de cajero
14,448
44,88
24,624
39,024
33,888
12,24
42,528
18,144
2,016
N° de clientes
14
45
25
39
34
12
43
18
2
9
9
8
10
9
7
7
7
8
m(x) = 74/8 = 9,25
b. Muestreo por conglomerados.
mínimo 2 veces:
Ran # × 12
N° de agencia N° de clientes
11,676
4,56
12
5
9 10 8 9
12 7 7 9
m(x) = 71/8 = 8,875
5. Considerando como población los cinco números: 26, 24, 24, 25, 26, calcule μ y σ, luego halle
todas las muestras de tamaño dos con reposición, elabore la distribución muestral de medias y
calcule μx y σx.
(5 puntos)
μ = 25
σ = √ 0,8 ≈ 0,8944
Muestras:
# de muestras = 52 = 25
26, 26
24, 26
24, 26
25, 26
26, 26
26, 24
24, 24
24, 24
25, 24
26, 24
26, 24
24, 24
24, 24
25, 24
26, 24
26, 25
24, 25
24, 25
25, 25
26, 25
26, 26
24, 26
24, 26
25, 26
26, 26
Medias muestrales:
26
25
25
25,5
26
25
24
24
24,5
25
25
24
24
24,5
25
25,5
24,5
24,5
25
25,5
26
25
25
25,5
26
Distribución muestral de medias:
M(x)
P[M(x) = m(x)]
24
4/25
24,5
4/25
25
9/25
25,5
4/25
26
4/25
Media y desviación típica de la distribución muestral de medias:
μ x = 25
σ x = √ 0,8 /√ 2 → σ x ≈ 0,6325
EL PROFESOR