Métodos Matemáticos III

Métodos Matemáticos III
Ana Isabel Salvador Junco
1.Calcular la expresión de los coeficientes Anm de P
Tnm = Anm sen(ωnm t) + Bnm cos(ωnm t),dónde u(x, y, t) =
nm Tnm (t)vnm (x, y) es
∂2u
2
solución de la ecuación ∂t2 = c ∆u en una membrana rectangular.
Para hallar los Anm suponemos que en t = 0 la membrana está estática pero con
una cierta velocidad inicial ψ(x, y).
u0 (x, y, 0) =
X
0
Tnm
(0)vnm (x, y) = ψ(x, y)
nm
u0 (x, y, 0) =
X
[ωnm Anm cos(ωnm t) − ωnm Bnm sen(ωnm t)] vnm (x, y) =
nm
=
X
ωnm Anm vnm (x, y) = ψ(x, y)
nm
Enronces tenemos que
X
ωnm Anm |vnm i = |ψi
nm
hvn0 m0 |
X
ωnm Anm |vnm i =
X
ωnm Anm hvn0 m0 |vnm i = |ψi =
nm
nm
XX
n
ωnm Anm δnn0 δmm0 = ωn0 m0 An0 m0
m
Entonces ωn0 m0 An0 m0 = hvn0 m0 |ψi, y como las variables n0 y m0 son mudas volvemos a
tomar n y m y tenemos que:
Anm
1
=
ωnm
Z
0
Lx
Z
0
Ly
?
vnm
(x, y)ψ(x, y)dxdy
1
=
ωnm
1
Z
0
Lx
Z
0
Ly
2
p
sen(kx x)sen(ky y)ψ(x, y)dxdy
Lx Ly
2.Hallar la solución de la ecuación
rectangular.
∂2u
∂t2
− c2 ∆u = f (x, y, t) en una membrana
Podemos expandir la función en la base ortonormal vnm :
X
f (x, y, t) =
γnm (t)vnm (x, y)
nm
siendo los coeficientes
Lx
Z
Z
γnm (t) =
Ly
?
(x, y)f (x, y, t)dxdy
vnm
0
0
.
P
Si sustituimos ésto y u(x, y, t) = nm Tnm (t)vnm (x, y) en la ecuación tenemos:
X
X
X
Tnm (t)∆vnm (x, y) =
γnm (t)vnm (x, y)
T̈nm (t)vnm (x, y) − c2
nm
X
nm
nm
T̈nm (t)vnm (x, y) − c2
X
nm
Tnm (t)λnm vnm (x, y) =
nm
X
γnm (t)vnm (x, y)
nm
Y como los vnm son una base ortonormal, ya que son solución de la ecuación
∆vnm (x, y) = λnm vnm (x, y), podemos separar término a término:
T̈nm (t) − c2 λnm Tnm (t) = γnm (t)
Entonces el problema se reduce a la resolución de un sistema de osciladores desacoplados forzados.
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