1.- Demostrar que B(R n) = σ(C), para C = {{x i ≤ b} : i ∈ {1,...,n},b

1.- Demostrar que B(R n) = σ(C), para C = {{x i ≤ b} : i ∈ {1,...,n},b

Hoja 1.- Ejercicios de Teorı́a de la Medida
Nombre y Apellidos:
Fecha: 12–Noviembre–2012
1.- Demostrar que B(Rn ) = σ(C), para
C = {{xi ≤ b} : i ∈ {1, . . . , n}, b ∈ R}.
2.- Dada una sucesión creciente de medidas µn ≤ µn+1 y µ = lı́m µn en un espacio medible
(Ω, A). Demostrar que si En ∈ A y µn (En ) = 0, entonces µ(lı́m sup En ) = 0.
3.- Demostrar que para cada A ⊂ R,
X
X
ı́nf{ (bn − an ) : A ⊂ ∪(an , bn ]} = ı́nf{ (bn − an ) : A ⊂ ∪[an , bn )}.
4.- Sea C ⊂ P(Ω), demostrar que son equivalentes las siguientes propiedades:
1) Si A, B ∈ C, entonces A ∪ B, A\B ∈ C
2) Si A, B ∈ C, entonces A ∩ B, A∆B ∈ C.
3) Si A, B ∈ C, entonces A ∪ B, A∆B ∈ C.
5.- Sea F una función de distribución en R. Demostrar que el conjunto de puntos de discontinuidad de F es numerable y el de continuidad es denso.
6.- Demostrar que F (x, y) = x, si x ≤ y y F (x, y) = y si y ≤ x es una función de distribución
en R2 ¿donde está concentrada toda la masa de su medida de L–S asociada, y de qué forma?.
7.- Sea X un espacio topológico Hausdorff y µ una medida en B(X ) tal que para todo abierto
V
µ(V ) = sup{µ(K) : K ⊂ V (compacto)}.
Demostrar que la unión A de todos los abiertos de medida cero por µ, es un abierto con
µ(A) = 0.
8.- Demostrar que si F : (Ω, A, µ) → (Ω0 , A0 ) es medible, µF = F∗ µ, para µF (B) = µ[F −1 (B)],
es una medida, llamada medida imagen, para la que se verifica que si g es medible en Ω0 y
B ∈ A0 , entonces
Z
Z
(g ◦ T ) dµ.
g dµF =
B
F −1 (B)
en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales.
9.- Sea f : [0, 1] → R+ , tal que f = 0 en Q y f (x) = n si en la representación decimal de
Rx hay n ceros exactamente tras la coma decimal. Demostrar que f es medible y calcular
f dm.
10.- Sean An conjuntos medibles tales que µ(An ) ≤ 2−n . Demostrar que casi seguro todo
punto está a lo sumo en un número finito de conjuntos An .
Hoja 2.- Ejercicios de Teorı́a de la Medida
Fecha: 19–Diciembre–2012
Nombre y Apellidos:
11.- Considérese el toro T de revolución obtenido al hacer girar una circunferencia de radio
r alrededor de una recta de su plano, de la que su centro dista R > r. Calcular su volumen.
12.- Sea f ∈ L1 (R), tal que para n, m ∈ N,
Z
Z
n
f dm = f m dm,
probar que existe un boreliano B, tal que f = IB c.s.
13.- Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)},
{x ∈ Ω : h(x) ≤ g(x)},
{x ∈ Ω : h(x) = g(x)},
son medibles.
14.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ–finita, f : Ω → [0, ∞] medible y 1 ≤ p < ∞.
Demostrar que
Z
Z
p
f dµ =
ptp−1 µ{f > t} dm,
[0,∞)
t
y que si e µ{f > t} ≤ 1, entonces
R
p
f dµ ≤ Π(p).
15.- Demostrar que
r > 0 y A ∈ B(Rn ), f (x) = m[A ∩ B[x, r]] es medible en Rn ,
R para cada
y demostrar que f dm = rn · m(A) · m[B[0, 1]].
16.- Si denotamos con p1 · · · pk la envolvente convexa de los puntos pi , demostrar que la
medida n–dimensional de una pirámide P = p1 · · · pn+1 , definida por n + 1 puntos pi ∈ Rn
(que no están en un hiperplano) es
mn−1 (B) · h
,
n
para la base n − 1–dimensional B = p1 · · · pn , que está en un hiperplano a distancia h de
pn+1 . Como consecuencia si denotamos con hi la distancia de pi+1 al subespacio generado
por p1 , . . . , pi , demostrar que
h1 · · · hn
mn (P ) =
.
n!
mn (P ) =
17.- Calcular el volumen de la pseudoesfera1 , de radio 1.
18.- Demostrar que el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, entre dos bases
cuadradas de areas A y B a una altura h es2
√
h
(A + B + AB).
3
1
Es la superficie de revolución de la tractriz
z(x) = log
1+
√
1 − x2 p
− 1 − x2 ,
x
(solución de z 02 = (1 − x2 )/x2 , ver los Apuntes de Ecuaciones diferenciales) y su imagen especular respecto
del eje x, alrededor de su eje y.
2
Este problema es uno de los que se encuentran en el Papiro de Moscú, uno de los mas antiguos documentos
egipcios (junto con el de Rhind) con problemas matemáticos (ver la introducción de los Apuntes).