´Algebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas

´Algebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas

Álgebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas.
Expansión de un Determinante por Columnas.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas mostraremos la relación entre los determinantes de matrices transpuestas y la expansión
de un determinante por columnas.
1.
Determinante de una matriz transpuesta.
En esta sección mostraremos primeramente que para m = 3 el determinante de una matriz M ∈
Mm×m es igual al determinante de su matriz transpuesta. Después, generalizaremos este resultado para
un valor arbitrario de m.
Teorema. Sea M ∈ M3×3 . Entonces
detM = detM T .
⎡
Prueba: Considere
m11
M = ⎣ m21
m31
m12
m22
m32
⎡
Entonces
MT
m21
m22
m23
m11
= ⎣ m12
m13
⎤
m13
m23 ⎦
m33
⎤
m31
m32 ⎦
m33
Por lo tanto
detM T = m11 m22 m33 + m21 m32 m13 + m31 m12 m23 − m13 m22 m31 − m23 m32 m11 − m33 m12 m21 = detM.
Ahora generalizaremos este resultado para valores arbitrarios de m.
Teorema. Sea M ∈ Mm×m , con m arbitrario. Entonces
detM = detM T .
y el determinante de M puede calcularse a partir de la expansión del determinante en base a la i-ésima
fila o a la i-ésima columna; es decir
| M |= detM =
m
mij M ij =
j=1
m
j=1
1
mji M ji .
Prueba: La prueba se hará por inducción. El paso inicial, para m = 3, está probado por el teorema
anterior, por la hipótesis de inducción, se supondrá que el resultado es válido para m − 1 y probaremos
el resultado para m. Empleando la expansión de cofactores empleando la primera fila
det M =
m
m
m1j M 1j =
j=1
j=1
⎡
Donde
m1j (−1)1+j M1j = m11 M11 +
⎢
⎢
M1j = ⎢
⎣
m
m1j (−1)1+j M1j .
m22
m32
..
.
···
···
..
.
m2,j+1
m3,j+1
..
.
m2,j+1
m3,j+1
..
.
···
···
..
.
m2m
m3m
..
.
mm1 mm2
···
mm,j+1
mm,j+1
···
mmm
m21
m31
..
.
(1)
j=2
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎦
Ahora bien, para j > 2 se expandirá M1j , que es un determinante de orden m − 1, en base a la
expansión en base a la primera columna, empleando la hipótesis de inducción. Además denotaremos
k1
el determinante de orden m − 2 obtenido eliminando la primera fila y la j-ésima columna, de allı́ los
N1j
subı́ndices 1j y eliminando la primera columna y la k-ésima fila, de allı́ los superı́ndices k1.
M1j =
m
k1
mk1 (−1)(k−1)+1 N1j
=
k=2
m
k1
mk1 (−1)k N1j
k=2
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación (1), se tiene que
det M
= m11 M11 +
m
m1j (−1)1+j
j=2
= m11 M11 +
= m11 M11 +
= m11 M11 +
m
k=2
m
k=2
m
m
k1
mk1 (−1)k N1j
k=2
mk1 (−1)k
m
k1
m1j (−1)1+j N1j
j=2
m
(−1)k+1 mk1
k1
(−1)j m1j N1j
j=2
(−1)k+1 mk1 Mk1 = m11 M 11 +
k=2
m
mk1 M k1 =
k=2
m
mk1 M k1
k=1
La última expresión corresponde a la expansión del determinante de la matriz en base a la primera
columna.
Una vez que sea ha probado que el determinante de la transpuesta de una matriz es igual al determinante
de la matriz original, entonces todas las propiedades de los determinantes que se han expresado
en términos de las columnas de la matriz son igualmente válidas cuando se expresan en
términos de las filas de la matriz.
Teorema. Considere una matriz M ∈ Mm×m entonces el determinante de la matriz M tiene las
siguientes propiedades:
1. Si la j-ésima fila 1 ≤ j ≤ p de M está dada por Mj + Mj ∗, se tiene que
⎡
⎡
⎡
⎤
⎤
M1
M1
M1
⎢ M2 ⎥
⎢ M2
⎢
⎥
M
2
⎢
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ .. ⎥
⎢ ..
⎢
⎥
..
⎢
⎢
⎢
⎥
⎥
.
⎥ = det ⎢ . ⎥ + det ⎢ .
det ⎢
⎢ Mj ⎥
⎢ Mj ∗
⎢ Mj + Mj ∗ ⎥
⎢
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ . ⎥
⎢ .
⎢
⎥
..
.
⎣ . ⎦
⎣ ..
⎣
⎦
.
Mp
Mp
Mp
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2. Si la j-ésima columna 1 ≤ j ≤ p de M está dada por λM j, donde λ ∈ K se tiene que
⎡
⎤
⎤
⎡
M1
M1
⎢ M2 ⎥
⎢ M2 ⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢ .. ⎥
⎢ .. ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎥
⎥
⎢
det ⎢
⎢ λMj ⎥ = λ det ⎢ Mj ⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎣ .. ⎦
⎣ .. ⎦
Mp
Mp
3. Si Mj = Mj+1 para cualquier fila j tal que 1 ≤ j ≤ p ≤ 1 entonces
| M |= det(M ) = 0.
4. Sea M ∈ Mp×p y sea det la función determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del determinante
de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos filas adyacentes de M es (−1)det(M ).
5. Si dos filas de M son iguales; es decir si Mi = Mj para i = j, entonces
det(M ) = 0.
6. Sea M ∈ Mp×p y sea det la función determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del determinante
de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos filas cualesquiera de M es (−1)det(M ).
7. La adición del múltiplo escalar de una fila de la matriz a otra fila de la matriz deja sin cambio al
valor del determinante.
2.
Problemas Resueltos.
Problema 1. En el apunte Álgebra Lineal XXII: Determinantes y Singularidad se mostró que
si la matriz M está dada por
⎡
⎤
1 −2 3
2 ⎦
M = ⎣ −1 1
1
3 −1
Su determinante está dado por
| M |= −21
Verifique, que | M |=| M T |
Solución. M T , la matriz transpuesta de M está dada por
⎡
⎤
1 −1 1
3 ⎦
M T = ⎣ −2 1
3
2 −1
Por lo tanto
MT
1 −1 1
3
= −2 1
3
2 −1
= −1 − 9 − 4 − 3 − 6 + 2 = −21.
3
3.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere la matriz del problema propuesto 3, de las notas Álgebra Lineal XIX:
Rango de una Matriz y Matriz Inversa, dada por
⎡
⎤
1 −2 2
1 0 ⎦
M1 = ⎣ 3
−1 2 1
verifique que
| M1T |=| M1 | .
4