UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ecuaciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Ecuaciones Diferenciales
Taller No. 1
En los problemas 1 al 6, determine el orden de la E.D. dada; diga también si la ecuación es
lineal o no lineal.
1. x2
d2 y
dy
+x
+ 2y = sen x
dx2
dx
2. (1 + y 2 )
3.
d2 y
dy
+ y = ex
+x
dx2
dx
d4 y
d3 y
d2 y
dy
+y =1
+
+
+
4
3
2
dx
dx
dx
dx
4.
dy
+ xy 2 = 0
dx
5.
d2 y
+ sen(x + y) = sen x
dx2
6.
d3 y
dy
+ (cos2 x)y = x3
+x
3
dx
dx
En los problemas 7 al 10, determine si la función dada es una solución de la E.D. correspondiente
7.
d2 y
+ y = x2 + 2; y = sen x + x2
dx2
9. y ′′ − y = 0; y1 = ex ; y2 = cosh x
10. y (4) + 4y ′′′ + 3y = x; y1 = x/3;
y2 = e−x + x/3
dx
8.
+ tx = sen 2t; x = cos 2t
dt
En los problemas 11 al 14, determine si la relación dada es solución implı́cita de la E.D. correspondiente. Suponga que y está definida de manera implı́cita como función de x y use derivación
implı́cita.
11.
12.
x
dy
= ; x2 + y 2 = 6
dx
y
13.
dy
= 2x sec(x+y)−1; x2 −sen(x+y) = 1
dx
6xy ′ + (y ′ )3 sen y − 2(y ′ )2
;
3x2 − y
sen y + xy − x3 = 2
14. y ′′ =
dy
2xy
=
; y − ln y = x2 + 1
dx
y−1
Determine los valores de m para los cuales la función ϕ(x) = emx es solución de la E.D.
15.
d2 y
dy
+6
+ 5y = 0
dx2
dx
16.
d3 y
d2 y
dy
+
3
+2
=0
dx3
dx2
dx
Determine los valores de m para los cuales la función ϕ(x) = xm es solución de la E.D.
17. 3x2
d2 y
dy
+ 11x
− 3y = 0
dx2
dx
18. x2
Continua en la parte posterior...
1
d2 y
dy
−x
− 5y = 0
dx2
dx
Verifique que la función ϕ(x) = c1 ex + c2 e−2x es solución de
d2 y
dy
+
− 2y = 0
dx2
dx
Para cualquier elección de las constantes c1 y c2 . Determine c1 y c2 de modo que se satisfagan las
siguientes condiciones iniciales.
19. y(0) = 2, y ′ (0) = 1.
20. y(1) = 1, y ′ (1) = 0.
¿A cuales de los siguientes P.V.I se les puede aplicar el teorema (primer orden: caso general)
para asegurar la existencia y unicidad de la solución?
21.
dy
= x3 − y 3 , y(0) = 6.
dx
22. x
dx
+ 4y = 0, x(2) = −π.
dt
23. y
dy
= x, y(1) = 0.
dx
24. y
dy
= x, y(1) = 1.
dx
En los problemas 25 al 30, bosqueje manualmente el campo direccional de la E.D. dada. Compruebe su dibujo usando una computadora, si es posible. Dé caracterı́sticas acerca de las soluciones
de la E.D.
25. y ′ = −1 − 2y
27. y ′ = y(4 − y)
29. y ′ = −y(1 + y 2 )
26. y ′ = −2 + x − y
28. y ′ = x2 + y 2
30. y ′ = 2x − 3y
31. Tómese un K y descanse!
2