Fórmulas de reducción

Fórmulas de reducción
1. Sea una integral, a la que llamaremos I(n), cuyo integrando depende de un parámetro n ∈ R. Si aplicando algún método (habitualmente el de integración por partes)
podemos expresarla en función de I(n−1), I(n−2), etc, hemos hallado una fórmula
de reducción, válida en principio ∀n ∈ R.
Lo más frecuente será que I(n) resulte en función de I(n − 1) o I(n − 2) o ambas.
Z
Ejemplo: I(n) = lnn x dx = x lnn x − nI(n − 1).
2. Si el parámetro toma sólo valores naturales, n ∈ N, aplicando sucesivamente la
fórmula irı́amos reduciendo el grado, llegando a I(3), I(2) . . . , que se pueden calcular en función de I(0), o bien I(1) e I(0). Éstas se integran directamente, pues
suelen ser muy sencillas. A veces se observa que son casos particulares de la fórmula
general.
3. En ocasiones, reiterando el método, podemos llegar a una fórmula explı́cita que
nos da directamente el valor de I(n), aunque suele ser complicado.
Z
Ejemplo: lnn x dx = x lnn x − n lnn−1 x + n(n − 1) lnn−2 x + · · · + (−1)n n! .
4. Supongamos que el parámetro n es entero negativo y calculemos, por medio de
la fórmula de reducción, I(n) en función de I(n − 1). Esto da lugar a un proceso
indefinido, en el que n toma valores negativos decrecientes. En estos casos interesa
despejar al revés, I(n − 1) en función de I(n) o, lo que es lo mismo, I(n) en
función de I(n + 1). Ası́, en cada paso aumenta el valor del parámetro hasta llegar
a I(−1), I(0), que se calculan directamente.
5. Al ser la fórmula de reducción válida ∀n ∈ R, podemos obtener la fórmula de una
integral a partir de la de otra similar, cambiando de signo el parámetro.
Z
Z
dx
n
.
Ejemplo: Sean I(n) = sen x dx; J(n) =
senn x
Se cumple J(n) = I(−n) por lo que, si conocemos la fórmula de reducción para
I(n), podemos obtener la de J(n) sin necesidad de integrar. Basta cambiar de
signo el parámetro en la fórmula de reducción de I(n) y operar.
Si, por ejemplo, tenemos I(n) en función de I(n−1), entonces J(n) (que es I(−n))
se puede escribir en función de I(−n − 1), que es igual a J(n + 1). Para terminar,
hemos de despejar J(n + 1) en función de J(n).