Práctico 01 - Centro de Matematica

Análisis Real–Curso 2006
Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Práctico 1
1.
2.
Sea B la σ-álgebra de Borel sobre R, es decir, B es la σ-álgebra generada por los subconjuntos
abiertos de R. Probar que B también está generada por los siguientes conjuntos:
a)
Los intervalos abiertos: E1 = {(a, b) : a < b}.
b)
Los intervalos cerrados: E2 = {[a, b] : a < b}.
c)
Los intervalos semiabiertos: E3 = {(a, b] : a < b} o E4 = {[a, b) : a < b}.
d)
Las semirrectas abiertas: E5 = {(−∞, b) : a < b} o E6 = {(a, ∞) : a < b}.
e)
Las semirrectas cerradas: E7 = {(−∞, b] : a < b} o E8 = {[a, ∞) : a < b}.
f)
l
Los intervalos con extremos en los diádicos: E9 = {( 2km , 2m
) : k, l ∈ Z, m ∈ N}
En los siguientes ejemplos averiguar si M tiene estructura de σ-álgebra.
a)
Sean X un conjunto y τ : X −→ X una biyección. Se dice que un subconjunto E de X es
τ -invariante si τ (E) = E. Sea M = {E ⊆ X : E es τ − invariante}.
b)
Sean X e Y dos conjuntos, y T : X −→ Y . Sea M = {T −1 (E) : E ∈ P(Y )}. Considerar la
misma pregunta sustituyendo P(Y ) por una σ-álgebra cualquiera de subconjuntos de Y .
c)
Diremos que E ⊆ R3 es un cilindro si siempre que (a, b, c) ∈ E, entonces (a, b, z) ∈ E,
∀z ∈ R. Ahora M es la clase de todos los cilindros.
d)
M = {E ⊆ R2 : E puede ser cubierto por una cantidad numerable de rectas horizontales}.
3.
Mostrar que un álgebra A es una σ-álgebra si y sólo si es una clase monótona, es decir, es
cerrada por uniones numerables crecientes.
4.
Una familia elemental de subconjuntos de un conjunto no vacı́o X es una familia E ⊆ P(X) tal
que:
a)
∅∈E
b)
Si E, F ∈ E, entonces E ∩ F ∈ E
c)
Si E ∈ E, entonces E c es una unión disjunta y finita de elementos de E.
Supongamos que E es una familia elemental, y sea A la colección de uniones finitas de miembros
de E. Probar que A es un álgebra de conjuntos sobre X.
5.
Dados un espacio de medida (X, M, µ) y A ∈ M, definamos µA (E) = µ(A ∩ E), ∀E ∈ M.
Probar que µA es una medida.
6.
En los casos siguientes, decidir si µ∗
calcular la σ-álgebra de los conjuntos
(
1
a) Sean x0 ∈ X fijo, µ∗ (E) =
0
b)
c)
es una medida exterior sobre X, y cuando corresponda
µ∗ -medibles.
si x0 ∈ E
si x0 ∈
/E
µ∗ (E) = 1, ∀E ⊆ X.
(
0 si E = ∅
∗
µ (E) =
1 si E 6= ∅
1
d)
e)
f)
g)
7.
8.
X no numerable, y µ∗ (E) es 0, 1 según que E sea numerable o tenga complemento numerable respectivamente, y µ∗ (E) = +∞ en otro caso.
©
ª
T
X = N, y µ∗ (E) = lı́m sup k1 #(E {1, 2, . . . , k})
X tiene 100 elementos dispuestos en 10 columnas y 10 filas y, para E ⊆ X, µ ∗ (E) es el
número de columnas en las que hay algún elemento de E.
X = R, µ∗ (E) = 0 si E es numerable, µ∗ (E) = 1 si E no es numerable y existe un intervalo
acotado I tal que E \ I es numerable, y µ∗ (E) = ∞ en otro caso.
Sean A ⊆ P(X) un álgebra, Aσ la colección de uniones numerables de elementos de A, y Aσδ
la colección de intersecciones numerables de elementos de Aσ . Sean µ0 una premedida sobre A,
y µ∗ la medida exterior inducida.
a)
Para cada E ⊆ X y cada ² > 0, existe A ∈ Aσ con E ⊂ A y µ∗ (A) ≤ µ∗ (E) + ².
b)
Si µ∗ (E) < ∞, entonces E es µ∗ -medible si y sólo si existe B ∈ Aσδ tal que E ⊆ B y
µ∗ (B \ E) = 0.
c)
Si µ0 es σ-finita, la restricción µ∗ (E) < ∞ hecha en (b) no es necesaria.
Sea µ∗ una medida exterior sobre X, inducida por una premedida finita µ0 . Si E ⊆ X, definimos
la medida interior de E como: µ∗ (E) = µ0 (X) − µ∗ (X \ E). Probar que E es µ∗ -medible si y
sólo si µ∗ (E) = µ∗ (E) (Sugerencia: Usar la parte (a) del ejercicio anterior.)
Entregar un ejercicio a elección entre los ocho primeros. Plazo: 2 de mayo.
Ejercicios optativos
9.
Sea X es un conjunto y M := {E ⊆ X : E o E c es numerable}. Probar que M es una σ-álgebra
sobre X.
10.
Sea B la σ-álgebra de Borel sobre R, y sea M la σ-álgebra generada por los conjuntos que tienen
apenas un punto. Mostrar que M ⊂ B, y que la inclusión es estricta.
11.
Probar que si M es una σ-álgebra generada por una familia E, entonces M es la unión de las
σ-álgebras generadas por F, donde F varı́a sobre todas las subfamilias numerables de E.
12.
Si (X, M, µ) es un espacio de medida y E, F ∈ M, entonces µ(E ∪F )+µ(E ∩F ) = µ(E)+µ(F ).
13.
¿Existe alguna σ-álgebra infinita y numerable?
14.
Sea R un anillo de conjuntos sobre X (es decir: R es una familia no vacı́a de subconjuntos de
X, que es cerrada por uniones finitas y por diferencia de conjuntos).
a)
Probar que si E, F ∈ R, entonces E∆F y E ∩ F ∈ R.
b)
Demostrar que (R, ∆, ∩) es un anillo (en el sentido algebraico) con suma ∆ y producto ∩,
y que este anillo tiene unidad sii R es un álgebra. Notar que es un anillo de Boole, i.e.:
cada elemento es idempotente.
c)
¿Cuáles son los divisores de cero de R? Si R es un álgebra, ¿cuáles son los elementos
invertibles?
d)
Si µ : R → [0, ∞] es una medida, probar que la familia de conjuntos de R cuya medida es
nula forman un ideal de R.
2