27/04/2009 - Departamento de Estadística

27/04/2009 - Departamento de Estadística

Ejercicios de Vectores Aleatorios
Bernardo D’Auria
Departamento de Estadística
Universidad Carlos III de Madrid
G RUPO 66
G RADO
EN I NGENIERÍA DE
S ISTEMAS AUDIOVISUALES
27/04/2009
Ejercicios de Vectores Aleatorios
Ejercicio
SEP2006 I NG . T EL . (C2)
Sean X, Y variables aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial
con media 1.
Se definen las variables aleatorias U y V como:
U = X/(X + Y),
V = X + Y.
Encuentra la función de densidad conjunta de U y V.
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
Ejercicio
SEP2006 I NG . T EL . (C2)
Sean X, Y variables aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial
con media 1.
Se definen las variables aleatorias U y V como:
U = X/(X + Y),
V = X + Y.
Encuentra la función de densidad conjunta de U y V.
S OLUCIÓN:
f(U,V) (u, v) = v e−v
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0 < u < 1, v > 0
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
Ejercicio
T EL .T EC.J UN .2007.P2
Sea el vector aleatorio bidimensional (X, Y) con función de densidad:
8
si − 1 < x < 0, − x − 1 < y < 1;
< a,
f (x, y) =
a + 12 , si 0 < x < 1, x − 1 < y < 1;
:
0,
en el resto.
a) Determinar a para que f (x, y) sea función de densidad.
b) Calcula la probabilidad de que el producto de ambas variables X e Y sea negativo.
c) Calcula la función de densidad de X.
d) Calcular la función de densidad de Y|X = 0.5.
e) Calcular E[Y 2 |X = 0.5]
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
S OLUCIÓN:
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a. Determinar a para que f (x, y) sea función de densidad.
Para que fX,Y (x, y) sea función de densidad se tiene que verificar que fX,Y (x, y) ≥ 0 y
R +∞ R +∞
que x=−∞
y=−∞ fX,Y (x, y)dydx = 1. Por tanto
1
=
=
=
«
« «
Z 1 „Z 1 „
1
a+
ady dx +
dy dx =
2
x−1
−x−1
«
Z 1„ 0
Z−1
0
1
a (x + 2)dx +
a+
(−x + 2)dx =
2
0
−1
3
3
3
1
a+ a+ =1⇒a=
2
2
4
12
Z
0
„Z
1
Luego la función de densidad conjunta será:
8
1
>
si −1 < x < 0, −x − 1 < y < 1
>
< 12
7
f (x, y) =
si 0 < x < 1, x − 1 < y < 1
>
12
>
:
0
en el resto
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
S OLUCIÓN:
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a) Determinar a para que f (x, y) sea función de densidad.
Podríamos haber calculado el valor de a por razonamiento geométrico, siendo el
recinto
y
Calculamos el volumen de un prisma:
„
«
„
«
1·1
1
1·1
1
1·a+
+1· a+
+
a+
2
2
2
2
1
-1
0
1
-1
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x
y imponiendo que sea igual a 1 obtenemos
que
1
a=
.
12
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
S OLUCIÓN:
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b) Calcula la probabilidad de que el producto de ambas
variables X e Y sea negativo.
Sea S el suceso “el producto de ambas variables X e Y es negativo”. Sobre el recinto
anterior, nos están pidiendo la parte sombreada
y
P(S) = P ([X < 0 ∩ Y > 0] ∪ [X > 0 ∩ Y < 0])
«
«
Z 1 „Z 0
Z 0 „Z 1
7
1
1
dy dx +
dy dx
=
x−1 12
0
0 12
−1
1
7
3
=
+
=
12
24
8
x
-1
0
1
Geométricamente, y una vez que sabemos que
a = 1/12,
-1
1·
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1
1·1 7
3
+
·
=
12
2
12
8
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
S OLUCIÓN:
4/5
c) Calcula la función de densidad de X.
La función de densidad marginal de X es:
8 R
1
1
1
>
>
< −x−1 12 dy = 12 (x + 2)
R1 7
7
fX (x) =
dy = 12 (−x + 2)
>
> x−1 12
:
0
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si − 1 ≤ x ≤ 0
si
0≤x≤1
resto
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Ejercicios de Vectores Aleatorios
S OLUCIÓN T EÓRICA:
5/5
d) Calcular la función de densidad de Y|X = 0.5.
La función de densidad de Y|X = 0.5 es:
(
fY|X= 1 (y) =
2
2
3
1
2
si −
0
≤y≤1
resto
Ya que
1
Si − ≤ y ≤ 1
2
f
fY|X= 1 (y) =
2
“
fX
”
1
,y
2
“ ” =
1
2
7
7
12
2
“ 12
” =
3
− 12 + 2
e) Calcular E[Y 2 |X = 0.5]
»
– Z +∞
„
«
Z 1
1
2 1
1
1
2
y2 fY|X= 1 (y)dy =
E Y 2 |X =
=
+
=
y2 dy =
2
2
3
3 3
24
4
− 12
−∞
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