Acerca de la construcción de ideales

Revista INTEGRACIÓN
Universidad IndU8trial de Santander
Escuela de MatemáticasVol. 13, No 2, p. 67-70, julio-diciembre de 1995
Acerca de la construcción de ideales·
DIANA·· JARAMILLot
YANETH ORELLANAt
Resumen
El prop6sito del presente artículo es el de exponer una forma de construir
ideales de un anillo, utilizando el anulador de uno o más elementos del
mismo.
Los ideales conforman la espina dorsal de la teoría de anillos. En ellos se basa
la construcción de radicales de anillos, de extensiones de anillos, de anillos
cocientes y de suma directa de anillos, entre otros.
Por esta razón es útil tener a la mano un método que permita construir ideales
de forma segura, sin que se haga necesaria la verificación del criterio para
ideales.
Con base en algunos problemas planteados en [1], y en comentarios realizados
en [2]y [3], describimos a continuación un método que satisface esta condición.
Definición 1 (Anulador
derecho).
Sea R un anillo y S cualquier subconjunto no vacío de R; entonces el conjunto
Definición 2 (Anulador
izquierdo).
Sea R un anillo y S cualquier subconjunto no vacío de R; entonces el conjunto
• A la memoria del Profesor Carlos LEZAMA.
tEstudiante de la Maestría. en Enseñanza de la Matemática, Escuela. de Matemáticas de
la Universidad Industrial de Santander, A.A.678, Bucaramanga, COLOMBIA.
Observación 1. Cuando R es un anillo conmutativo
solamente
decimos anu-
lador de S (annS).
(i) CVMI.dS(anniS)
es un ideal derecho (izquierdo)
de R.
(ii) Si S es un ideal derecho (izt¡tJ.ierdo) de R, entonces anndS
un ideal de R.
.
(anniS)
es
Demostración.
ideales. Veamos:
(i)
a) anndS
=1=
0, puesto que O E anndS,
b) Si rI, r2 E anndS, entonces ar¡ = O = ar2, para todo a E S. Así,
a(r¡ -r2) = Opara todo a E S, lo cual implica que rI -r2 E anndS,
c) Sean x E R Y r E anndS. Entonces ar = O, para todo a E S, luego
arx = O para todo a E S, es decir a(rx) = O, para todo a E S;
por tanto, rx E annd de S. .
De a), b) y c) tenemos que el anndS es un ideal derecho de R.
El lector puede demostrar, análogamente, el resultado para anniS,
(ii) Del resultado anterior se tiene que anndS es un ideal derecho de R; solo
falta ver que también es un ideal izquierdo de R. Sea x E R Y r E anndS;
entonces ar = Opara todo a E S, en particular para ax, luego a(xr) = O.
Es decir, xr E anndS, Así, anndS es ideal izquierdo de R.
El lector puede demostrar, análogamente, el resultado para anniS,
•
Vemos de la parte (i) del teorema que, hallando el anuladoI\ derecho (izquierdo)
de un elemento cualquiera del anillo, automáticamente se obtiene un ideal
derecho (izquierdo) del anillo. Calculando el anulador derecho (izquierdo) de
este último ideal derecho (izquierdo) encontramos, por (ii), un ideal del anillo.
Ilustraremos
lo anteriormente
Ejemplo 1. Sea R =
tanto, (12)
es
Z24 y
un ideal de
expuesto con algunos ejemplos:
S
= {2}. Entonces
annS
= (12), Y por 10
Z24.
Nota 1. El lector puede verificar fácilmente que (12) es un ideal de Z24, recordando que los ideales de Zn son de la forma (d), donde d es divisor de n.
Ejemplo 2. Sea R :;:. M2 (Z2). Si estamos interesados Eln hallar un ideal,
digamos un ideal izquierdo de R, basta tomar cualquier elemento del anillo y
calcular su aDulador izquierdo. Veamos:
sea [~
~
J E M2 (~);
ann, {[ ~ ~
J}
se tiene que
= {[ ~ :
J ' [~ ~ J ' [~ ~ J ' [~ ~ j} ~A
es un ideal izquierdo de M2 (Z2) ..
Si quisiéramos encontrar un ideal del anillo M2 (Z2), bastaría con calcular
el anulador izquierdo de A. El lector puede realizar este sencillo cálculo y
verificar que el ideal buscado es { [~
~
J }.
Tomemos ahora otro elemento, digamos [~
ann¡ {[
~
~
J}
= { [~
J; se tiene que
~
~
J } = B.
En forma similar al
C8.''10 anterior, podemos encontrar
un ideal del anillo calculando el anulador izquierdo de B, el cual resulta ser M2 (Z2).
Observación 2. Los dos ideales obtenidos eran de esperarse, pues todo ideal
de M2(R) es de la forma M2(I). donde 1 es un ideal de R, y en nuestro caso
R = Z2. el cual es un anillo simple.
Ejemplo 3. Sean R
anndS
= M2(Z4)
= { [~ ~
y
S
= {[ ~ ~
1,[~ ~ J ' [~
J ' [~ ~ J}; se tiene que
~
J ' [~ ~ J}
= e,
Para construir COn él un ideal de R, basta encontrar
respectivos cálculos encontramos que:
anndC
= {[ ~
:]
I w,x,y,z
E
el anndC; haciendo los
{O,2}},
el cual es un ideal1 para M 2 (Z4).
Nota 2. Se deja al lector la tarea de realizar los cálculos respectivos2 para
encontrar los anuladores de los correspondientes ejemplos, así como la de construir otros ideales.
[1] D. M. BURTON,A First Course in Rings and 1deals, Addison- Wesley Publishing
Company, Philippines, 1970.
[2] J. B. FRALEIGH, Álgebr'a Abstracta, Addison- Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1987.
[3] N. JACOBSON, Basic AIgebra 1, Il, W.H. Freeman and Company, San Francisco,
1980.
lRecordemos que {O,2} es un ideal de Z4.
2Puede hacerlos manualmente, o si prefiere, y más rápidamente, con ayuda del programa
Matlab, el cual nos permitió encontrar este curioso dato: en M2(Z4) existen 2464 multiplicaciones entre los elementos, por parejas, cuyo producto es la matriz nula.