(a,F)

PLANTEAMIENTO GLOBAL
DE LA FRACTURA:
CÁLCULO DE G
Sólido Elástico Bidimensional
-F y u variables conjugadas:
δW = F du
F,u
∆a
-Relación elástica:
F = F(a,u)
a1
a2
a3
F
a
u
B
Variables : a, u , F
-Energía elástica:
F
Λ = Λ(a,u,F)
Λ
u
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
REPRESENTACIÓN (a,u) - (I)
Cálculo de G :
∆W - ∆Λ
∆A → 0 ∆A
G = lim
G ∆A = G B da = δW - dΛ = F du - dΛ
dΛ =
∂Λ
∂a
da +
u
G B da = F -
∂Λ
∂u
∂Λ
∂u
du
a
du a
∂Λ
∂a
da
u
REPRESENTACIÓN (a,u) - (II)
∂Λ
∂a
GB+
da = F u
∂Λ
∂u
du
a
a y u variables independientes:
F-
GB+
∂Λ
∂u
∂Λ
∂a
=0
F=
a
=0
u
G=-
∂Λ
∂u
1
B
a
∂Λ(a,u)
∂a
u
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
REPRESENTACIÓN (a,F) - (I)
Energía Elástica Complementaria :
F
Γ
Γ=Fu-Λ
Λ
dΓ = F du + u dF - dΛ
u
Definición de G :
G B da = δW - dΛ = F du - dΛ = dΓ - u dF
G B da = dΓ - u dF =
∂Γ
∂a
da +
F
∂Γ
∂F
dF - u dF
a
REPRESENTACIÓN (a,F) - (II)
∂Γ
∂a
GB-
da = u F
∂Γ
∂F
dF
a
a y F variables independientes:
u-
GB-
∂Γ
∂F
∂Γ
∂a
=0
u=
a
=0
G=
F
∂Γ
∂F
1
B
a
∂Γ(a,F)
∂a
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
F
ELASTICIDAD LINEAL
F
u = C(a) F
Γ
Λ
u
1
1
F
u
=
Fu
Λ=
Γ=Fu-Λ=
2
2
Λ=Γ=
G=
1
B
∂Γ(a,F)
∂a
F
1
1
C(a) F2 =
u2
2
2 C(a)
1
=B
∂Λ(a,u)
∂a
u
F2 dC(a)
=
2B da
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
EJEMPLO: Panel fisurado
F=σBH
u
FL
2 π a2
u=
+
F
EBH
E B H2
L
2a
C(a) =
L
2 π a2
+
EBH
E B H2
B
H
EJEMPLO: Panel fisurado (II)
L
2 π a2
C(a) =
+
EBH
E B H2
?
2 π a F2
F2 dC(a)
F2 4 π a
G=
=
=
E B2 H 2
2B da
2B E B H2
2a
π a F2
F2 dC(a)
F2 2 π a
G=
=
=
E B2 H 2
2B d(2a)
2B E B H2

EJEMPLO: Probeta DCB
F
H
H
u
a
F
B
Aproximación RM :
a
F
F a3
f = u/2 =
3EI
H
B
EJEMPLO: Probeta DCB (II)
Aproximación RM :
F a3
F a3
f = u/2 =
=
3EI
3 E (B H3/12)
8 a3 F
u=
E B H3
8 a3
C(a) =
E B H3
F2 dC(a) 12 a2 F2
G=
=
E B2 H 3
2B da
EJEMPLO: Probeta DCB (III)
θ
M
H
H
a
B
M
Variables conjugadas :
M,θ
δW = M dθ
Relación Elástica :
θ = g(a) M
M2 dg(a)
G=
2B da
EJEMPLO: Probeta DCB (IV)
Aproximación RM :
θ/2
a
H
M
θ/2 =
B
θ=
2Ma
24 a M
=
E (BH3/12)
E BH3
M2 dg(a)
12 M2
G=
=
E B2 H 3
2B da
Ma
EI
Sólido Elástico Bidimensional
Efecto del peso propio (Elasticidad Lineal)
σ = ρgL
σext
L/2
g
σ = ρgL
=
L/2
g
σext
σ = ρgL/2
x2
σ = ρgL/2
+
x1
solución particular
σ11 = σ12 = 0
σ22 = ρgx2
problema sin
peso propio
Sólido Elástico Bidimensional
Fuerzas en la grieta (Elasticidad Lineal)
σ∗= σ
σ
=
σ
σ∗= σ
+
problema sin grieta
σ∗ tal que se obtenga σ
(p.ej. si σ =cte, σ *= σ)
REPRESENTACIÓN (a,u)
REPRESENTACIÓN (a,F)
ELASTICIDAD LINEAL
EJEMPLOS
INTEGRAL J
INTEGRAL J : Hipótesis
Integral J = G como integral de contorno
Hipótesis:
– No hay fuerzas sobre la fisura
– La grieta se propaga paralelamente a sí misma
a
∆a
INTEGRAL J : Definición
G=J=
∫ [ω dx – t • ∂u
∂x
2
C
ds ]
1
x2
∫
t
ds
ω = σ•dε
u
C
x1
INTEGRAL J : Propiedades
Integral independiente de C ( al serlo G)
J = G ; si C encierra la punta de la grieta
J = 0 ; si C no encierra la punta de la grieta
x2
G
–G
x1
C
PLANTEAMIENTO GLOBAL
DE LA FRACTURA:
CÁLCULO DE G