Ejemplos de problemas de Optimización

Ejemplos de problemas de
Optimización
Antonio H. Escobar Z.
Universidad Tecnólogica de Pereira
Ejemplo 1
Localización de centros de
suministro (servicio)
Centros de
suministro: proveen
Centros de
demanda: solicitan
un producto.
el producto.
Mejor
Solucion?
Forma general del problema de Localizacion:
• Un conjunto de clientes requieren de un cierto producto
(o servicio).
•
La demanda de los consumidores puede ser atendida
por uno o varios Productores.
• Un proceso de decision debe establecer donde localizar
los centros de suministro y cuanto transportar hacia cada
consumidor.
• Deben cumplirse ciertos requerimientos como uso de
rutas cortas, satisfacción de la demanda, respuesta
rápida, etc, lo que depende de la ubicación del centro de
suministro.
Elementos requeridos por los modelos
de localización:
• Un universo, U, del cual es seleccionado
un subconjunto n de clientes, con
localizaciones y demandas conocidas: rj,
(aj,bj).
• Una métrica para determinar la distancia,
dij.
• Un entero, m ≥ 1, que representa el
número de centros de suministro a ser
Planteamiento del Problema
• Determinar subconjunto de localizaciones de los m
centros de suministro del universo U, que minimiza
f(d,w). d es la distancia y w la cantidad transportada.
Espacio de Soluciones
Donde debe localizarse un centro comercial
en una ciudad?
• En cualquier lugar – (continuo)
• Existen k lugares posibles – (discreto)
• Al lado del camino – (grafo)
Espacio de Soluciones
• Espacio de soluciones continuo:
El Universo U es definido como una región, donde
los centros de suministro y los de demanda pueden ocupar
cualquier posición. El número de posibles localizaciones
es incontable e infinito.
Espacio de Soluciones
• Espacio Discreto
El Universo U esta definido por un
subconjunto de posiciones predefinidas.
• Espacio en grafo
El Universo esta definido por un grafo. Las
posiciones de los centros de demanda se
encuentran en los vértices del grafo. Los
centros de consumo pueden estar en cualquier
parte del grafo.
Métrica para la distancia
La métrica usada para determinar la distancia entre dos
elementos dentro del universo U puede asumir las
siguientes formas:
• distancia rectangular (Manhattan)
• distancia euclidiana
• distancia usando norma lp
Rectangular
Euclidiana
[
d ij = ( xi − a j ) 2 + ( yi − b j )
]
1
2 2
d ij = xi − a j + yi − b j
Norma lp
[
p
d ij = xi − a j + yi − b j
p
]
1
p
Ejemplo 2
Modelamiento matemático:
Ejemplo: Una empresa fabrica transformadores y motores eléctricos, para lo cual
requiere de tres tipos de materia prima: fleje de hierro, alambre aislado de cobre y
alambre aislado de aluminio, en la proporción que se muestra en la tabla. El tiempo de
producción es de 3 horas-hombre para fabricar un transformador y ¾ de horashombre para fabricar un motor. La cantidad de horas-hombre disponibles es de 1800.
Materia prima
Kilos de materia prima necesarias para construir
una unidad de:
transformador
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
motor
hierro
2
1
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
Lucro líquido por
unidad fabricada
$ 15
$ 10
Cual debe ser la producción semanal de transformadores y motores para maximizar
el lucro?
Variables de decisión:
x1
Materia prima
x2
Kilos de materia prima necesarias para construir
una unidad de:
transformador
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
motor
hierro
2
1
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
Lucro líquido por
unidad fabricada
$ 500
$ 450
x1
: cantidad de transformadores producidos
x2
: cantidad de motores producidos
Modelamiento matemático:
Función Objetivo
Lucro ($) = f (x1 , x2) = 500 x1 + 450 x2
El lucro líquido por unidad fabricada representa la diferencia entre el precio de
venta de una unidad producida y los costos en que se incurre para producir dicha
unidad. Los costos involucran materia prima, personal, costos de energía, agua,
gas, pagos de arrendamiento de locales y bodegas, etc.
Modelamiento matemático:
Restricciones de materia prima:
Materia prima
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
hierro
1500
cobre
1200
aluminio
500
Las restricciones de los recursos se relacionan con las
variables de decisión a través de ecuaciones
matemáticas algebráicas de igualdad o desigualdad.
Modelamiento matemático:
Forma matemática de las restricciones de
materia prima:
transformador
motor
hierro
2
1
Cantidad máxima
disponible
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
2x1 + x2 ≤ 1500
x1 + x2 ≤ 1200
x1
≤ 500
Modelamiento matemático:
Forma matemática de la restricción de
mano de obra:
Transformador
tiempo de fabricación de
una unidad (horas)
3
Motor
3/4
Tiempo total
(horas)
1800
3 x1 + (3/4) x2 ≤ 1800
Modelamiento matemático:
Forma matemática de las restricciones
asociadas a la condición de positividad de
las variables:
x1
x2
≥ 0
≥ 0
Modelo matemático completo:
F.O.
Lucro ($) = f (x1 , x2) = 500 x1 + 450 x2
s.a.
Restricciones
2 x1 +
x2
x1 +
x2
x1
3 x1 + (3/4) x2
x1
x2
≤
≤
≤
≤
≥ 0
≥ 0
1500
1200
500
1800
Ejemplo 3
El encargado de la invasión norteamericana a Irak propone usar un modelo de
optimización. El plan consiste en desembarcar tropas y vehículos militares
cerca a Basora y avanzar por tierra hacia Nasiriya, luego a Karbala, luego a
Bagdad y finalmente a Mosul.
Condiciones del problema (Tomados de experiencias anteriores):
•Ti : Tropas requeridas para tomar cada ciudad. i = 1,2,3,4,5
•k ij : costo unitario de traslado de tropas de la ciudad i a la ciudad j.
•m ij : costo unitario de traslado de vehículos de la ciudad i a la ciudad j.
•C i : número de soldados necesarios para asegurar el control de la ciudad i.
•P: costo de enviar un soldado paracaidista en avión, independientemente del
destino.
•d : costo de traslado de los paracaidistas hasta la ciudad 1.
•b: costo unitario de traslado de tropas y sus vehículos asociados hasta la
ciudad 1, en función de la tropa transportada.
•En cada asalto perecen cerca de 5% de las tropas.
•En cada asalto se pierden el 2% de los vehículos.
•Las tropas dejadas en una ciudad para asegurar el control no pueden seguir en
la campaña de invasión.
•Durante la invasión y en el control de las ciudades debe existir un vehículo por
cada 10 soldados.
•Antes de la invasión de cada ciudad se puede reforzar la tropa con
paracaidistas.