Ortogonalizacion - Universidad de Santiago de Chile

Ortogonalización
Ricardo Santander Baeza
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Universidad de Santiago de Chile
Enero 2009
Idea inicial de producto interno
Planteamiento de la idea en bruto
Consideremos un K espacio vectorial de dimensión n y α = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V
entonces automáticamente pensamos en el meollo del Algebra Lineal, es decir que, para
cada v ∈ V existen únicos escalares que representan al vector v, en forma teórica o práctica
respecto de esa base. En sı́mbolos
v
=
n
X
i=1
Más aún,
[ ]α : V
v



ai vi ⇐⇒ [v]α = 

7−→ MR (n × 1)
7−→
[v]α
Es una biyección de espacios vectoriales...
a1
a2
..
.
an





Primeros cuestionamientos
1. Dada la base y el vector v, la determinación de los escalares ai , para (i = 1, 2, . . . , n) se
realiza a través de un sistema de ecuaciones.
2. Lamentablemente la resolución del sistema de ecuaciones implica que la búsqueda es
secuencial, esto es, para conocer ai , por ejemplo debo conocer ai−1 .
3. ¿Y qué tiene de malo una búsqueda secuencial?. Una respuesta es depende de ¿quién?
y ¿qué se ejecuta?.
Por ejemplo
Por ejemplo
De grano en grano un zorzal se comió una viña, en este caso para el zorzal no hay
problema, probablemente se encuentre ” feliz ”.
Por ejemplo
De grano en grano un zorzal se comió una viña, en este caso para el zorzal no hay
problema, probablemente se encuentre ” feliz ”.
Suponga que desea pedir un préstamo en el Banco U, entonces en esta empresa usted
es lo siguiente para su Ejecutivo de Cuentas:
Por ejemplo
De grano en grano un zorzal se comió una viña, en este caso para el zorzal no hay
problema, probablemente se encuentre ” feliz ”.
Suponga que desea pedir un préstamo en el Banco U, entonces en esta empresa usted
es lo siguiente para su Ejecutivo de Cuentas:

Usted
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.






= 


 pocos miles

 morro 2
latino













Por ejemplo
De grano en grano un zorzal se comió una viña, en este caso para el zorzal no hay
problema, probablemente se encuentre ” feliz ”.
Suponga que desea pedir un préstamo en el Banco U, entonces en esta empresa usted
es lo siguiente para su Ejecutivo de Cuentas:

Usted
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.






= 


 pocos miles

 morro 2
latino
¿Cuál cree Ud. qué es la casilla favorita del ejecutivo?.













Por ejemplo
De grano en grano un zorzal se comió una viña, en este caso para el zorzal no hay
problema, probablemente se encuentre ” feliz ”.
Suponga que desea pedir un préstamo en el Banco U, entonces en esta empresa usted
es lo siguiente para su Ejecutivo de Cuentas:

Usted
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.






= 


 pocos miles

 morro 2
latino













¿Cuál cree Ud. qué es la casilla favorita del ejecutivo?.
Acertó en pleno, imagina que el tuviese que leer todas las casillas (posiciones) anteriores
a los pocos miles para pensar en su préstamo, si ası́ fuese, lo más probable es que se
quedará sin comprar su portátil favorito.
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir
hEjecutivo, Usted i
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir
hEjecutivo, Usted i =
¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

hEjecutivo, Usted i =
0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0




+








¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

hEjecutivo, Usted i =
0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0




+


 =





¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

hEjecutivo, Usted i =
0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0


0
0
0
0
..
.
t 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  

  


  
  
+

  

  
 =   

  
  


 1   pocos miles

  
 0   morro 2

0
latino













¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

hEjecutivo, Usted i =
=
0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0


0
0
0
0
..
.
t 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  

  


  
  
+

  

  
 =   

  
  


 1   pocos miles

  
 0   morro 2

0
latino













¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
hEjecutivo, Usted i =
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0
= pocos miles


0
0
0
0
..
.
t 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  

  


  
  
+

  

  
 =   

  
  


 1   pocos miles

  
 0   morro 2

0
latino













¿Cómo cree que el ejecutivo accedió a la casilla correcta.? Probablemente el procedió de la
siguiente forma:
Generó una matriz adecuada, con ceros en la posición que no le interesa, es decir
construyó:
 
0
 0 
 
 .. 
 
Ejecutivo =  . 
 1 
 
 0 
0
Procedió a multiplicar por cero, como antaño, para eliminar lo indeseable, es decir

0
0
0
0
..
.
 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  
  
  
*  
  
  
hEjecutivo, Usted i =
 ,
  
  
 1   pocos miles
  
 0   morro 2
latino
0
= pocos miles
Conclusión: No califica


0
0
0
0
..
.
t 
fulano de tal
5204401-4
casado
empleado
..
.
  

  


  
  
+

  

  
 =   

  
  


 1   pocos miles

  
 0   morro 2

0
latino













Definición de Producto Interno
Sea V un K - espacio vectorial. V se dice un espacio con ”Producto Interno” ó un espacio
”Prehilbertiano” si y sólo si existe una función.
h, i : V × V 7−→ K
(u, v) 7−→ hu, vi
tal que satisface las condiciones:
hv, vi ≥ 0 (∀v, v ∈ V ) ∧ hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0
hu + v, w i = hu, w i + hv, w i
hu, v + w i = hu, vi + hu, w i
hλu, vi = λhu, vi
hu, λvi = λ̄hu, vi
hu, vi = hv, ui
Algunos Ejemplos
En Kn definimos:
h(x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )i =
n
X
xj ȳj
(1)
j=1
El producto definido en (1) se llama producto interno canónico de Kn , debe observarse
que si K = R entonces (1) se transforma en:
h(x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )i =
n
X
j=1
xj yj
(2)
En MR (n) define
hA, Bi = tr (B t · A)
(3)
El producto definido en (3) se llama producto interno canónico de MR (n)
En C([a, b]) = {f : [a, b] 7−→ R | f continua} define
hf , gi =
Z
b
f (t)g(t) dt
(4)
a
El producto definido en (4) se llama producto interno canónico de C([a, b])
En el espacio vectorial R2 [x] define para cada p(x) ∈ R2 [x] y q(x) ∈ R2 [x] el producto
hp(x), q(x)i = p(0) · q(0) + p(1) · q(1) + p(2) · q(2)
entonces el producto definido en (5) es un producto interno
(5)
Bases Ortogonales
Aunque nuestro astuto ejecutivo, encontró la forma de determinar la coordenada que a él le
interesaba, no obstante hay todavı́a un pequeño problema.
Entonces parece natural que debamos analizar el efecto del producto interno (si es que lo
hay) en el proceso de búsqueda de coordenadas. Es inmediato de observar que la ventaja
del producto es que, permite implementar la preconcebida máxima ” multiplicate por cero ” la
cual sin duda para bien ó para mal reduce en cualquier caso el problema.
Bases Ortogonales
Sea α = {v1 , v2 } una R - base de R2 tal que hv1 , v2 i = 0 entonces como α es base, para
v ∈ R2 existen únicos a1 , a2 en K tales que
v = a1 v1 + a2 v2
Como hv1 , v2 i = 0 entonces podemos multiplicar (6) por v1 para obtener;
hv, v1 i = ha1 v1 + a2 v2 , v1 i = a1 hv1 , v1 i + a2 hv2 , v1 i = a1 hv1 , v1 i
hv, v1 i
, observe que hv1 , v1 i > 0, pues es un vector no nulo.
hv1 , v1 i
hv, v2 i
De una forma absolutamente análoga a la anterior obtenemos que a2 =
hv2 , v2 i
Ası́ que, si α = {v1 , v2 } una K - base de R2 tal quehv1 , v2 i = 0 entonces
De donde sigue que, a1 =
v
=
hv, v1 i
hv, v2 i
v1 +
v2
hv1 , v1 i
hv2 , v2 i
(6)
Supongamos que en un V espacio vectorial con producto interno h, i existe una base
α = {v1 , v2 , . . . , vn } tal que hvi , vj i = 0 si i 6= j entonces
u ∈ V =⇒ u =
n
X
ai vi
i=1
Ahora, como consecuencia de que hvi , vj i = 0 si i 6= j sigue que
u=
n
X
ai vi
=⇒ hu, vj i =
i=1
* n
X
i=1
ai vi , vj
+
=
n
X
ai hvi , vj i
i=1
=⇒ hu, vj i = aj hvj , vj i
hu, vj i
=⇒ aj =
(j = 1, 2, . . . n)
hvj , vj i
Esto es extraordinario, pues en esta condiciones tenemos ”casi el máximo de eficiencia,” ya
que,
u=
n
X
hu, vi i
vi
hvi , vi i
i=1
 hu, v i
1
 hv1 , v1 i
 hu, v i

2


⇐⇒ [u]α =  hv2 , v2 i
..

.

 hu, v i
n
hvn , vn i










Definición de Base Ortogonal
Sea V un K-espacio con producto interno h, i y considera α = {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V entonces α
será llamada una ”Base Ortogonal” si
α es una base de V
Si j 6= k entonces hvj , vk i = 0
La coordenada respecto de la base ortogonal α, ai =
coeficiente de Fourier del vector u.”
hu, vi i
se llamará el ”i−ésimo
hvi , vi i
Ejemplos
c(n) la base canónica de Kn con el producto interno canónico h, i es una base ortogonal,
pues
(
1: i=j
hei , ej i =
0 : i 6= j
Si V = h{1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, . . . , sen nx, cos nx}i y define en V el producto
interno:
hf , gi =
Z
π
f (t)g(t) dt
(7)
−π
entonces α = {1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, . . . , sen nx, cos nx} es una base ortogonal de
V , respecto de (7)
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
v2 = (x2 , y2 )
v1 = (x1 , y1 )
θ2
θ
Figura 1
θ1
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
v2 = (x2 , y2 )
v1 = (x1 , y1 )
θ2
θ
Figura 1
θ1
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
v1 = (x1 , y1 )
θ2
θ
Figura 1
θ1
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
⇐⇒ l(v1 ) cos θ1 l(v2 ) cos θ2 +
l(v1 ) sen θ1 l(v2 ) sen θ2 = 0
v1 = (x1 , y1 )
θ2
θ
Figura 1
θ1
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
⇐⇒ l(v1 ) cos θ1 l(v2 ) cos θ2 +
l(v1 ) sen θ1 l(v2 ) sen θ2 = 0
v1 = (x1 , y1 )
θ2
θ
Figura 1
θ1
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos(θ2 − θ1 ) = 0
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
⇐⇒ l(v1 ) cos θ1 l(v2 ) cos θ2 +
l(v1 ) sen θ1 l(v2 ) sen θ2 = 0
v1 = (x1 , y1 )
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos(θ2 − θ1 ) = 0
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos θ = 0
θ2
θ
Figura 1
θ1
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
⇐⇒ l(v1 ) cos θ1 l(v2 ) cos θ2 +
l(v1 ) sen θ1 l(v2 ) sen θ2 = 0
v1 = (x1 , y1 )
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos(θ2 − θ1 ) = 0
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos θ = 0
θ2
θ
Figura 1
θ1
⇐⇒ θ =
π
2
Observación Importante
¿Qué significa geométricamente el hecho hvi , vk i = 0?, para i 6= k. Para responder a esto,
consideremos la Figura , y a partir de ese modelo, usemos el producto interno usual en R2 ,
hv1 , v2 i = 0 ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 = 0
v2 = (x2 , y2 )
⇐⇒ l(v1 ) cos θ1 l(v2 ) cos θ2 +
l(v1 ) sen θ1 l(v2 ) sen θ2 = 0
v1 = (x1 , y1 )
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos(θ2 − θ1 ) = 0
⇐⇒ l(v1 )l(v2 ) cos θ = 0
θ2
θ
θ1
⇐⇒ θ =
π
2
Figura 1
Ası́ que la conclusión es que en el plano R2 la condición hv1 , v2 i = 0, significa que las rectas
generadas por los vectores v1 y v2 son perpendiculares.
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
0 R2
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
0 R2
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
0 R2
v1
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
0 R2
v1
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
v2
0 R2
v1
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
v2
α
0 R2
v1
Modelamiento del caso hv1 , v2 i =
6 0
Planteamiento de la idea en bruto
v2
α
v1
0 R2
Figura 1: α 6= 90
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
v1
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
v1
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
|
{z
Proyección ortogonal
P(v2 )
}
v1
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
|
{z
Proyección ortogonal
P(v2 )
}
v1
Refinamiento 1
v2
α
0 R2
|
{z
Proyección ortogonal
P(v2 )
}
Figura 2: Aparece la sombra completa
v1
Refinamiento 2
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 2
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 2
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 2
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 2
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Figura 3: Aparece la sombra de menor tamaño
Refinamiento 3
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 3
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 3
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 3
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 3
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Figura 4: Aparece la sombra de menor tamaño
Refinamiento 4
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 4
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 4
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 4
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 4
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Figura 5: Aparece la sombra de menor tamaño
Refinamiento 5
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 5
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Refinamiento 5
v2
0 R2
P(v2 )
Figura 6: No aparece la sombra
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
v1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
(1)
v1
v2
= v2′ + P(v2 )
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
(1)
(2)
v1
v2
P(v2 )
= v2′ + P(v2 )
= av1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
v1
v2
P(v2 )
v2
= v2′ + P(v2 )
= av1
= v2′ + av1
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
v2
0 R2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
v1
v2
P(v2 )
v2
= v2′ + P(v2 )
= av1
= v2′ + av1
⇓
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
a
=
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
a
=
⇓
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
a
=
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
⇓
v2′
= v2 −
hv2 , v1 i
v1
hv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
a
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
⇓
v2′
Conclusión:
=
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
= v2 −
hv2 , v1 i
v1
hv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v1
v2
P(v2 )
v2
a
=
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
⇓
v2′
= v2 −
Conclusión:
hv1 , v2 i =
6 0 =⇒ hv1 , v2′ i = 0
Si
hv2 , v1 i
v1
hv1 , v1 i
Método Cientı́fico: Planteamiento de la ecuación básica
v2′
0 R2
v2
P(v2 )
(1)
(2)
(3)
=
=
=
⇓
(4) hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
hv2 , v1 i =
⇓
v2
P(v2 )
v2
a
v1
=
v2′ + P(v2 )
av1
v2′ + av1
hv2′ + av1 , v1 i
hv2′ , v1 i + ahv1 , v1 i
ahv1 , v1 i
hv2 , v1 i
hv1 , v1 i
⇓
v2′
= v2 −
Conclusión:
hv1 , v2 i =
6 0 =⇒ hv1 , v2′ i = 0
v2′
=
v2 −
Si
hv2 , v1 i
v1
hv1 , v1 i
hv2 , v1 i
v1
hv1 , v1 i
Generalización
Si hv1 , v2 i = 0 entonces para v3 ∈ V tenemos que
v3′
v3
a2 v2
0 R3
a1 v1
P(v3 )
v1
Entonces
v3′ = v3 − P(v3 )
= v3 − a2 v2 − a1 v1
hv3 , v2 i
hv3 , v1 i
= v3 −
v2 −
v1
hv2 , v2 i
hv1 , v1 i
v2
Proceso de Ortogonalización de Gram Schmidt
Si α = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V entonces es posible construir, a partir de α una
nueva base α′ = {v1′ , v2′ , . . . , vn′ } tal que
v1 = v1
hv2 , v1′ i ′
v
hv1′ , v1′ i 1
hv3 , v ′ i
hv3 , v ′ i
= v3 − ′ 2′ v2′ − ′ 1′ v1′
hv2 , v2 i
hv1 , v1 i
..
.
′
hvs , vs−1
i ′
hvs , v2′ i ′ hvs , v1′ i ′
= vs − ′
−
·
·
·
−
v
v −
v
′
hvs−1 , vs−1
i s−1
hv2′ , v2′ i 2 hv1′ , v1′ i 1
..
.
′
hvn , vn−1
i ′
hvn , v2′ i ′ hvn , v1′ i ′
v
v −
v
= vn − ′
−
·
·
·
−
′
hvn−1 , vn−1
i n−1
hv2′ , v2′ i 2 hv1′ , v1′ i 1
v2′ = v2 −
v3′
vs′
vn′
En particular esta nueva base es una base ortogonal, pues si i 6= j entonces
hvi′ , vj′ i = 0
Norma Inducida por el producto interno
Sea α = {v1 , v2 , . . . , vn } una base ortogonal entonces para cada u ∈ V, tenemos la
representación única en términos de la base α.
n
X
hu, vi i
u =
vi
hvi , vi i
i=1
Pero, dando una nueva mirada, (interesante preguntarse ¿por qué no lo hicimos antes?),
podemos observar en primer lugar el siguiente fenómeno.
u =
n
X
hu, vi i
·v
hvi , vi i i
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
1
· hu, vi i · vi
hvi , vi i
hu, vi i ·
i=1
vi
hvi , vi i
vi
entonces tenemos el siguiente
hvi , vi i
”mejoramiento técnico en la representación de los vectores.”
Si llamamos β = {v1′ , v2′ , . . . , vn′ }, donde vi′ =
Primeras ideas de la base ortonormal
Si llamamos β = {v1′ , v2′ , . . . , vn′ }, donde vi′ =
vi
, para cada i = 1, 2, . . . , n entonces
hvi , vi i
hvi′ , vj′ i = 0 si i 6= j
n
X
u=
hu, vi i · vi′
i=1
En efecto
Para dilucidar el primer punto, hacemos lo siguiente.
vj
vi
′ ′
hvi , vj i =
,
hvi , vi i hvj , vj i
1
=
hvi , vj i = 0 Si i 6= j pues α es base ortogonal
hvi , vi i · hvi , vj i
Del punto anterior sigue que β es una base ortogonal y entonces cada u ∈ V se escribe de
forma única como
u=
n
X
i=1
hu, vi i · vi′
Definición de Norma
Nos queda pendiente dilucidar cuanto vale hvi′ , vi′ i. En esta dirección si calculamos
obtenemos lo siguiente
hvi′ , vi′ i
=
=
vi
vi
1
,
=
hvi , vi i
hvi , vi i hvi , vi i
hvi , vi i · hvi , vi i
1
hvi , vi i (Pues hvi , vi i ∈ R)
hvi , vi i2
Motivados por lo anterior, y aprovechando las propiedades del producto interno hacemos la
siguiente definición
Llamaremos normativa o norma inducida por el producto interno imperante en el espacio
vectorial V a la función
p
k k : V 7−→ R+ ∪ {0} tal que kuk = hu, ui
Definición de base ortonormal
Sea V un K-espacio con producto interno h, i y considera β = {w1 , w2 , . . . , wn } ⊂ V entonces
β será llamada una ”Base Ortonormal” si
β es una base ortogonal de V
kvi k = 1, es decir hvi , vi i = 1 para i = 1, 2, . . . n
Equivalentemente
β es una base ortonormal
(
1 : si i = j
⇐⇒ hvi , vj i =
0 : si i 6= j
Logros de las bases ortonormales
Si V es un R espacio vectorial con producto interno h, i y α y β son dos bases
ortonormales entonces
([I]βα )−1 = ([I]βα )t
Si α = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base ortonormal de V entonces el producto interno se
”canoniza”, en el siguiente sentido:
hv, ui = [v]tα · [u]α =
n
X
hv, vj ihu, vj i
j=1
Proyección Ortogonal
Si remiramos el cuadro entonces observamos que hemos resuelto uno de los tres problemas
planteados en él, en efecto sólo construimos el proceso de ortogonalización de Gram
Schmidt, que esencialmente ”consiste en controlar la sombra que un vector proyecta en un
subespacio del espacio, es decir un vector anula a otro si su proyección en el es nula.”
v
W
w1
0V
w2
Figura
PW (v)
Proyección Ortogonal
Sean V un K-espacio vectorial con producto interno, W ≤ V y α = {w1 , w2 , . . . , ss }, una base
ortogonal de W entonces llamaremos Proyección ortogonal a la función PW definida como
sigue:
PW : V 7−→ W
tal que PW (v) =
S
X
hv, wi i
i=1
kwi k2
wi
(8)
Una técnica que nos ha dado buenos dividendos es que cada proceso que hacemos, dentro
de lo posible, lo comprobamos a fin de asegurar la calidad y eficiencia del mismo, en este
caso aún no tenemos mecanismos de control, pero procedamos a formalizarlos.
Si V un K-espacio vectorial con producto interno, W ≤ V y α = {w1 , w2 , . . . , ss }, una base
ortogonal de W entonces
PW (w ) = w ⇐⇒ w ∈ W
PW ◦ PW = PW
Finalmente, Si volvemos a remirar el cuadro anterior entonces observamos que aún falta
desarrollar la idea de distancia de un vector a un subespacio,en realidad debemos generalizar
la idea de distancia entre vectores.
v
v’
w1
0V
w2
Distancia
W
PW (v)
Figura
Esto motiva hacer la siguiente definición
Si V es un K espacio vectorial con producto interno h, i, y W ≤ V entonces kv − PW (v)k es la
distancia del vector v al subespacio W.
Usaremos la notación: d (v, W) = kv − PW (v)k