Parte 7. Derivación e integración numérica

Transcripción

Introducción a la derivación e integración numérica
Derivación numérica
Integración numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Fórmulas de cuadratura de Gauss
Fórmulas de cuadratura de compuestas
Resumen
Parte 7. Derivación e integración numérica
Gustavo Montero
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2004-2005
Resumen
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Los problemas de derivación e integración numérica
Comentarios sobre diferencias divididas
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
El problema de derivación numérica
Se trata de aproximar el valor de la derivada de una función f en un punto
8
>
>
f 0 (a) ≈
>
<
f (a + h) − f (a)
0
f (a) = lim
; Casos particulares
>
h→0
h
>
>
: f 0 (a) ≈
En general,
0
f (a) =
n
X
i=1
αi f (xi ) + R(f )
a,
1
h
f (a + h) −
1
2h
1
h
f (a + h) −
f (a)
1
2h
f (a − h)
Resumen
El problema de derivación numérica
Se trata de aproximar el valor de la derivada de una función f en un punto
8
>
>
f 0 (a) ≈
>
<
f (a + h) − f (a)
0
f (a) = lim
; Casos particulares
>
h→0
h
>
>
: f 0 (a) ≈
0
En general,
f (a) =
n
X
a,
1
h
f (a + h) −
1
2h
1
h
f (a + h) −
f (a)
1
2h
f (a − h)
αi f (xi ) + R(f )
i=1
El problema de integración numérica
Se trata de aproximar el valor de la integral de f (x) definida en [a, b],
Z b
Z c
f (x) dx =
a
En general,
Z b
f (x) dx ≈ (c − a)f (a) + (b − c)f (b)
f (x) dx +
a
c
Z b
f (x)dx =
a
n
X
i=1
αi f (xi ) + R(f )
Resumen
Cálculo de derivadas
Sea x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ,
Si x0 6= xn : f [x0 , . . . , xn ] =
Si x0 = xn : f [x0 , . . . , xn ] =
f [x0 , . . . , xn−1 ] − f [x1 , . . . , xn ]
x0 − xn
f (n (x0 )
n!
Entonces si,
g (x) = f [x0 , . . . , xn , x]
según lo anterior,
0
g (x)
00
g (x)
=
=
·········
g
(n
(x)
f [x0 , . . . , xn , x, x]
2!f [x0 , . . . , xn , x, x, x]
·····················
=
n!f [x0 , . . . , xn , x, x, . . . , x ]
|
{z
}
n+1
Resumen
Fórmulas de tipo interpolatorio
Resolución del problema
Estudio del error
Fórmulas usuales de derivación numérica
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Estudio del error
Construcción de los polinomios de Lagrange
Sea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,
f (x) = p(x) + e(x)
⇒
0
0
0
f (c) = p (c) + e (c)
Si p(x) es el polinomio de Lagrange,
0
f (c) =
n
X
0
0
li (c) f (xi ) + e (c)
| {z }
i=0 | {z }
αi
R(f )
0
(exacta si e (c) = 0)
Resumen
Estudio del error
Sea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,
f (x) = p(x) + e(x)
⇒
0
0
0
f (c) = p (c) + e (c)
Si p(x) es el polinomio de Lagrange,
0
f (c) =
n
X
0
0
li (c) f (xi ) + e (c)
| {z }
i=0 | {z }
αi
0
(exacta si e (c) = 0)
R(f )
Teorema
Esta fórmula de tipo interpolatorio es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n.
Resumen
Estudio del error
Derivación del polinomio de Lagrange
Calcular los li (x) y entonces hacer αi = li0 (c)
Resumen
Estudio del error
Derivación del polinomio de Lagrange
Calcular los li (x) y entonces hacer αi = li0 (c)
Fórmula exacta para 1, x, x 2 , . . . , x n
Resolver,
nc
0
=
α0 + α1 + · · · + αn
1
=
α0 x0 + α1 x1 + · · · + αn xn
2c
=
···
···
n−1
=
2
2
2
α0 x0 + α1 x1 + · · · + αn xn
·····················
n
n
n
α0 x0 + α1 x1 + · · · + αn xn
Resumen
Estudio del error
Estudio del error
En la derivación de primer orden
Si e(x) es de clase C n+1 en [a, b],
e(x) = f [x0 , . . . , xn , x]
n
Y
i=0
|
(x − xi ) =
Q(x)
{z
f (n+1 (ξ) Y
(n + 1)!
(x)
}
entonces,
0
e (c) = f [x0 , . . . , xn , c, c]
Y
(x) + f [x0 , . . . , xn , c]
Y 0
(c) =
f (n+2 (ξ) Y
(n + 2)!
(c) +
f (n+1 (η) Y 0
(c)
(n + 1)!
ξ, η ∈ [a, b]
Resumen
Estudio del error
Estudio del error
En la derivación de primer orden
Si e(x) es de clase C n+1 en [a, b],
e(x) = f [x0 , . . . , xn , x]
n
Y
i=0
|
(x − xi ) =
Q(x)
{z
f (n+1 (ξ) Y
(n + 1)!
(x)
}
entonces,
0
e (c) = f [x0 , . . . , xn , c, c]
Y
(x) + f [x0 , . . . , xn , c]
Y 0
(c) =
f (n+2 (ξ) Y
(n + 2)!
(c) +
f (n+1 (η) Y 0
(c)
(n + 1)!
ξ, η ∈ [a, b]
En derivadas de orden superior
Se utiliza en mismo procedimiento, derivando hasta el orden necesario
Resumen
Estudio del error
Derivadas de primer orden
Fórmulas de 2 puntos
c, c + h
c − h, c + h
f 0 (c) =
f (c + h) − f (c)
f 0 (c) =
h
h
R(f ) = − f 00 (ξ)
2
f (c + h) − f (c − h)
2h
R(f ) = −
h2 000
f (ξ)
6
Resumen
Estudio del error
c, c + h
f 0 (c) =
c − h, c + h
f (c + h) − f (c)
h
R(f ) = − f 00 (ξ)
2
h
f 0 (c) =
f (c + h) − f (c − h)
2h
R(f ) = −
h2 000
f (ξ)
6
c, c + h, c + 2h
c − h, c, c + h
f 0 (c) =
f 0 (c) =
(igual que con dos puntos)
−f (c + 2h) + 4f (c + h) − 3f (c)
2h
f (c + h) − f (c − h)
2h
R(f ) = −
R(f ) =
h2 000
f (ξ),
6
h2 000
f (ξ)
3
Resumen
Estudio del error
c, c + h
f (c + h) − f (c)
f 0 (c) =
c − h, c + h
h
R(f ) = − f 00 (ξ)
2
h
f 0 (c) =
f (c + h) − f (c − h)
2h
R(f ) = −
h2 000
f (ξ)
6
c, c + h, c + 2h
c − h, c, c + h
f 0 (c) =
f 0 (c) =
−f (c + 2h) + 4f (c + h) − 3f (c)
2h
f (c + h) − f (c − h)
2h
R(f ) = −
R(f ) =
h2 000
f (ξ)
3
h2 000
f (ξ),
6
(igual que con dos puntos)
Fórmula de 4 puntos
c − 2h, c − h, c + h, c + 2h
f 0 (c) =
−f (c + 2h) + 8f (c + h) − 8f (c − h) + f (c − 2h)
12h
R(f ) =
h4 v
f (ξ)
30
Resumen
Estudio del error
Derivadas de orden superior
c, c + h, c + 2h
c − h, c, c + h
f 00 (c) =
f 00 (c) =
f (c + 2h) − 2f (c + h) + f (c)
h2
f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)
h2
R(f ) = −hf 000 (ξ)
R(f ) = −
h2 iv
f (ξ)
12
Resumen
Fórmulas usuales de integración numérica
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Sea f (x) definida en [a, b]. Entonces si
f (x) = p(x) + e(x)
se tiene que,
Z b
Z b
f (x) dx =
a
Z b
p(x) dx +
a
e(x) dx =
a
siendo p(x) el polinomio de Lagrange.
Esta fórmula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.
n
X
i=0
Z b
f (xi )
|
a
Z b
li (x) dx +
{z
αi
}
e(x) dx
|
a
{z
R(f )
}
Resumen
Sea f (x) definida en [a, b]. Entonces si
f (x) = p(x) + e(x)
se tiene que,
Z b
Z b
f (x) dx =
a
Z b
p(x) dx +
a
e(x) dx =
a
n
X
Z b
f (xi )
i=0
|
a
Z b
li (x) dx +
{z
}
αi
siendo p(x) el polinomio de Lagrange.
Esta fórmula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.
e(x) dx
|
a
{z
}
R(f )
Estudio del error
Z b
R(f ) =
Z b
e(x) dx =
a
f [x0 , x1 , . . . , xn , x]
Y
(x) dx
a
Aplicando el segundo teorema de la media del Cálculo Integral:
Sea g integrable y no cambia de signo en [a, b], y sea f continua en [a, b]. Entonces,
Z b
Z b
f (x)g (x) dx = f (ξ)
g (x) dx,
ξ ∈ [a, b]
a
resulta
R(f ) = f [x0 , x1 , . . . , xn , ξ]
a
Z bY
a
(x) dx =
f (n+1 (η)
(n + 1)!
Z bY
a
(x) dx
η ∈ [a, b]
Resumen
Fórmulas de 1 punto
Rb
x0 = a
a
Rb
x0 = b
x0 =
a
(b − a)2 0
f (ξ)
2
f (x) dx = (b − a)f (a)
R(f ) =
f (x) dx = (b − a)f (b)
R(f ) = −
a+b
Rb
2
a
f (x) dx = (b − a)f (
a+b
2
)
(b − a)2 0
f (ξ)
2
R(f ) =
(b − a)3 00
f (ξ)
24
Resumen
Fórmulas de 1 punto
Rb
x0 = a
a
Rb
x0 = b
x0 =
a
(b − a)2 0
f (ξ)
2
f (x) dx = (b − a)f (a)
R(f ) =
f (x) dx = (b − a)f (b)
R(f ) = −
a+b
Rb
2
a
f (x) dx = (b − a)f (
a+b
2
)
(b − a)2 0
f (ξ)
2
R(f ) =
(b − a)3 00
f (ξ)
24
Fórmula de 2 puntos (Fórmula del trapecio)
x0 = a, x1 = b
Rb
a
f (x) dx =
(b − a)
2
(f (b) + f (a))
R(f ) = −
(b − a)3 00
f (ξ)
12
Resumen
Obtención de las fórmulas de Newton-Cotes
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Fórmulas abiertas y fórmulas cerradas
Las fórmulas de Newton-Cotes resultan de utilizar como puntos de integración los xi
intervalo [a, b] en partes iguales,
b−a
x0 = a
h=
xj = x0 + h j
n
Si consideramos xj , ∀j = 0, 1, . . . , n
⇒ Fórmulas de Newton-Cotes
Si consideramos xj , ∀j = 1, . . . , n − 1
que se obtienen dividiendo el
j = 0, 1, 2, . . . , n
cerradas
abiertas
Resumen
b−a
x0 = a
h=
xj = x0 + h j
n
j = 0, 1, 2, . . . , n
cerradas
abiertas
Fórmulas cerradas
2 puntos (n = 1) ⇒ Fórmula del trapecio
b−a
Rb
3 puntos (n = 2) ⇒ F. de Simpson
[f0 + 4f1 + f2 ]
a f (x) dx =
6
4 puntos (n = 3)
Rb
5 puntos (n = 4)
Rb
a
a
f (x) dx =
f (x) dx =
b−a
8
b−a
90
[f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ]
R(f ) = −
[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ]
R(f ) = −
h5 iv
f (ξ)
90
3h5 iv
f (ξ)
80
R(f ) = −
8h7 vi
f (ξ)
945
Resumen
b−a
x0 = a
h=
xj = x0 + h j
n
j = 0, 1, 2, . . . , n
cerradas
abiertas
Fórmulas cerradas
2 puntos (n = 1) ⇒ Fórmula del trapecio
b−a
Rb
3 puntos (n = 2) ⇒ F. de Simpson
[f0 + 4f1 + f2 ]
a f (x) dx =
6
4 puntos (n = 3)
Rb
5 puntos (n = 4)
Rb
a
a
f (x) dx =
f (x) dx =
b−a
8
b−a
90
[f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ]
R(f ) = −
[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ]
Fórmulas abiertas
1 puntos (n = 2) ⇒ Fórmula del punto medio
b−a
Rb
2 puntos (n = 3)
[f1 + f2 ]
a f (x) dx =
2
R(f ) = −
3h3 00
f (ξ)
4
R(f ) = −
h5 iv
f (ξ)
90
3h5 iv
f (ξ)
80
R(f ) = −
8h7 vi
f (ξ)
945
Resumen
Introducción
Fórmulas de Gauss con función de peso
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Introducción
Introducción
Definición
Consideremos,
Z b
f (x) dx =
a
n
X
aj f (xj ) + R(f )
j=0
x − xj
R
Q
con aj = ab lj (x) dx y lj (x) = ni=0
(fórmula exacta para 1, x, x 2 , . . . , x n ).
i6=j xi − xj
Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la fórmula sea exacta para 1, x, x 2 , . . . , x m , con m > n,
calculando asimismo cuál es el mayor valor de m.
Resumen
Introducción
Introducción
Definición
Consideremos,
Z b
f (x) dx =
a
n
X
aj f (xj ) + R(f )
j=0
x − xj
R
Q
con aj = ab lj (x) dx y lj (x) = ni=0
(fórmula exacta para 1, x, x 2 , . . . , x n ).
i6=j xi − xj
Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la fórmula sea exacta para 1, x, x 2 , . . . , x m , con m > n,
calculando asimismo cuál es el mayor valor de m.
Exactitud de la fórmula
La fórmula de cuadratura anterior es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n + q (q ≥ 1) si y sólo si,
Rb Q
Q
Q
(x) x k dx = 0,
con k = 0, 1, . . . , q − 1
y
(x) = ni=0 (x − xi ).
a
La fórmula es de tipo interpolatorio.
Resumen
Introducción
Teoremas
No existe ninguna fórmula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2
Existen n + 1 únicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una fórmula de cuadratura de tipo
interpolatorio como la anterior, dicha fórmula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que
2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].
Esta única fórmula se denomina Fórmula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.
Resumen
Introducción
Teoremas
No existe ninguna fórmula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2
Existen n + 1 únicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una fórmula de cuadratura de tipo
interpolatorio como la anterior, dicha fórmula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que
2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].
Esta única fórmula se denomina Fórmula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.
Comentarios
Existen tablas para las integrales definidas en [−1, 1]. En caso de integrales definidas en el intervalo
b−a
b+a
[a, b] 6= [−1, 1], se realiza el cambio de variables x =
t+
, resultando
2
2
Z b
Z 1
f (x) dx =
g (t) dt
−1
a
Las fórmulas de Gauss tienen la siguiente propiedad de la que carecen las de Newton-Cotes,
Z b
n
X
lim
ain f (xin ) =
f (x) dx
n→∞
R(f ) =
a
i=0
Cuando f ∈ C 2n+2 ([a, b]),
f (2n+2 (ξ)
(2n + 2)!
Z b Y
a
(x)
2
dx
ξ ∈ [a, b]
Resumen
Introducción
Definición
Supongamos una integral de la forma,
Z b
ω(x) f (x) dx
con ω(x) continua y estrictamente positiva en [a, b]
a
Todo el desarrollo anterior es válido excepto que,
Z b
aj =
ω(x) lj (x) dx
a
Z b
y
ω(x)
a
Y
k
(x) x dx = 0
Resumen
Introducción
Definición
Z b
ω(x) f (x) dx
a
Z b
aj =
ω(x) lj (x) dx
a
Gauss-Legendre
Z 1
f (x) dx
(ω(x) = 1)
−1
n
2
3
4
5
xi
±0.57735
0
±0.774597
±0.339981
±0.861136
0
±0.538469
±0.90618
ωi
1.000000
0.888889
0.555556
0.652145
0.347855
0.568889
0.478629
0.236927
Z b
y
ω(x)
a
Y
k
(x) x dx = 0
Resumen
Introducción
Definición
Z b
ω(x) f (x) dx
a
Z b
aj =
ω(x) lj (x) dx
a
Gauss-Legendre
Z 1
f (x) dx
(ω(x) = 1)
−1
4
5
ω(x)
−1
xi
±0.57735
0
±0.774597
±0.339981
±0.861136
0
±0.538469
±0.90618
Y
k
(x) x dx = 0
a
Gauss-Chebyshev
Z 1
n
2
3
Z b
y
ωi
1.000000
0.888889
0.555556
0.652145
0.347855
0.568889
0.478629
0.236927
p
f (x)
1 − x2
n
2
3
4
5
dx
xi
±0.707107
0
±0.866025
±0.382683
±0.92388
0
±0.587785
±0.951057
(ω(x) = p
ωi
1.5708
1.0472
1.0472
0.785398
0.785398
0.628319
0.628319
0.628319
1
1 − x2
)
Resumen
Introducción
Gauss-Laguerre
Z ∞
−x
e
f (x) dx
(ω(x) = e
0
n
2
3
4
5
xi
0.585786
3.41421
0.415775
2.29428
6.28995
0.322548
1.74576
4.53662
9.39507
0.26356
1.4134
3.59643
7.08581
12.6408
ωi
0.853553
0.146447
0.711093
0.278518
0.0103893
0.603154
0.357419
0.0388879
0.000539295
0.521756
0.398667
0.0759424
0.00361176
0.00002337
−x
)
Resumen
Introducción
Gauss-Laguerre
Z ∞
−x
e
f (x) dx
(ω(x) = e
0
−x
)
Gauss-Hermite
Z ∞
n
2
3
4
5
xi
0.585786
3.41421
0.415775
2.29428
6.28995
0.322548
1.74576
4.53662
9.39507
0.26356
1.4134
3.59643
7.08581
12.6408
ωi
0.853553
0.146447
0.711093
0.278518
0.0103893
0.603154
0.357419
0.0388879
0.000539295
0.521756
0.398667
0.0759424
0.00361176
0.00002337
e
−x 2
f (x) dx
(ω(x) = e
−∞
n
2
3
4
5
xi
±0.7071067812
0
±1.2247448714
±0.5246476233
±1.6506801239
0
±0.9585724646
±2.0201828705
ωi
0.88622693
1.1816359
0.29540898
0.80491409
0.081312835
0.94530872
0.39361932
0.019953242
−x 2
)
Resumen
Introducción
Fórmulas más usuales
Error en las fórmulas de cuadratura compuestas
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Introducción
Introducción
Motivación
Cuando el intervalo de integración es grande,
Se comete un error considerable en las fórmulas de integración.
Los coeficientes de la fórmula de Newton son también grandes y se producen grandes errores de redondeo.
Resumen
Introducción
Introducción
Motivación
Cuando el intervalo de integración es grande,
Se comete un error considerable en las fórmulas de integración.
Los coeficientes de la fórmula de Newton son también grandes y se producen grandes errores de redondeo.
Estrategia
Vamos a dividir el intervalo de integración en varios subintervalos y a aplicar a cada subintervalo una fórmula de
integración sencilla.
La suma de resultados genera una Fórmula de Cuadratura Compuesta.
Resumen
Descomposición de una integral en
suma de integrales
Consideremos una integral en [a, b] como suma de integrales
en n subintervalos,
Z b
n−1
X Z xj+1
f (x) dx =
f (x) dx
a
j=0
xj
siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h
Introducción
Resumen
Introducción
suma de integrales
en n subintervalos,
Z b
n−1
X Z xj+1
f (x) dx =
f (x) dx
a
j=0
xj
Con la fórmula del trapecio
Z x
j+1
f (x) dx
≈
f (x) dx
≈
xj
2
fj + fj+1
2
Z b
a
h h
2
4f0 + 2
n−1
X
j=1
3
fj + fn 5
Resumen
Introducción
suma de integrales
en n subintervalos,
Z b
n−1
X Z xj+1
f (x) dx =
f (x) dx
a
j=0
xj
Con la fórmula de Simpson
Z x
j+1
f (x) dx
≈
f (x) dx
≈
xj
Z b
a
i
h h
fj + 4fj+1/2 + fj+1
6
2
3
n−1
n−1
X
X
h
4f0 + 4
fj+1/2 + 2
fj + fn 5
6
j=0
j=1
Z x
j+1
f (x) dx
≈
f (x) dx
≈
xj
2
fj + fj+1
2
Z b
a
h h
2
4f0 + 2
n−1
X
j=1
3
fj + fn 5
Resumen
Introducción
suma de integrales
en n subintervalos,
Z b
n−1
X Z xj+1
f (x) dx =
f (x) dx
a
j=0
xj
Z x
j+1
f (x) dx
≈
f (x) dx
≈
xj
h 2
fj + fj+1
2
Z b
a
h
2
4f0 + 2
Z x
j+1
f (x) dx
≈
xj
Z b
f (x) dx
a
≈
i
h h
fj + 4fj+1/2 + fj+1
6
2
3
n−1
n−1
X
X
h
4f0 + 4
fj+1/2 + 2
fj + fn 5
6
j=0
j=1
n−1
X
3
fj + fn 5
j=1
Con la fórmula del rectángulo
Z x
j+1
f (x) dx
≈
h fj
f (x) dx
≈
h
xj
Z b
a
n−1
X
j=0
fj
Resumen
Introducción
Teorema
Si f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] para
i = 1, 2,
P.n. . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,
yα=
i=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que
n
X
i=1
αi f (ξi ) = αf (ξ)
Resumen
Introducción
Teorema
i = 1, 2,
P.n. . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,
yα=
n
X
i=1
Rj (f )
=
R(f )
=
h3 00
f (ξj )
12
b − a 2 00
−
h f (ξ)
12
−
Resumen
Introducción
Teorema
i = 1, 2,
P.n. . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,
yα=
n
X
i=1
Rj (f )
=
R(f )
=
h5 iv
f (ξj )
90
b − a 4 iv
−
h f (ξ)
180
−
Rj (f )
=
R(f )
=
h3 00
f (ξj )
12
b − a 2 00
−
h f (ξ)
12
−
Resumen
Introducción
Teorema
i = 1, 2,
P.n. . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,
yα=
n
X
i=1
Rj (f )
=
R(f )
=
h5 iv
− f (ξj )
90
b − a 4 iv
−
h f (ξ)
180
Rj (f )
=
R(f )
=
h3 00
f (ξj )
12
b − a 2 00
−
h f (ξ)
12
−
Con la fórmula del rectángulo
Rj (f )
=
R(f )
=
h2 0
f (ξj )
2
b−a
0
−
h f (ξ)
2
Resumen
1
2
3
4
5
6
7
Resumen
Resumen
Resumen
Podemos encontrar una fórmula de tipo interpolatorio de derivación numérica
tan precisa como se desee, si podemos emplear un número de puntos tan grande
como se quiera. El error cometido viene dado en función de la amplitud de los
subintervalos.
Lo mismo se puede decir de las fórmulas de tipo interpolatorio de integración
numérica.
Las fórmulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios de
grado no mayor que n.
Las fórmulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de forma
exacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las fórmulas de cuadratura compuestas reducen
considerablemente el error cometido por las fórmulas simples.
Resumen
Resumen
subintervalos.
numérica.
Resumen
Resumen
subintervalos.
numérica.
Resumen
Resumen
subintervalos.
numérica.
Resumen
Resumen
subintervalos.
numérica.
Resumen
Resumen
subintervalos.
numérica.

Parte 7. Derivación e integración numérica

Transcripción

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