Modulo 3ro Sec 4to Bimmate

Unidad Educativa
“Caranavi Bolivia”
MÓDULO 4
ALGEBRA
(Cuarto Bimestre)
Caranavi, La Paz, Bolivia
2016
1
MÓDULO: ALGEBRA
1. DATOS INFORMATIVOS:
2. NOMBRE DE LA U. E.
3. DIRECTOR
4. GRADO
5. ÁREA
6. DOCENTE
7. NOTA APROBATORIA
8. BIMESTRE
: Caranavi Bolivia
: Lic. Juan Edwin UñoAriviri
: Tercero de Secundaria
: Matemática
: Prof. Elior Choque Quispe
: Prof. J. Magdalena Laura F.
: 51
: Cuarto
2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO: “Comunicación y educación sobre el uso y disposición
final de residuos sólidos”.
3. CONTENIDOS: EL ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y SU VALOR EN LA DIVERSIDAD CULTURAL.
Factorización.
Fracciones
algebraicas.
de primer grado con una variable.
Ecuaciones
Finalmente llegamos al último módulo del año, siguiendo los conocimientos sobre algebra. En este
bimestrese calificará sobre 100 puntos, la puntualidad, responsabilidad, participación con argumentos
y el trabajo coordinado en grupos. Luego se calificará el dominio de los conocimientos y saberes
desarrollados, totalizando 100 puntos. Seguidamente se calificará el proceso de elaboración del
producto de la unidad uno y el producto final como tal, totalizando 100 puntos. Finalmente se
calificará la educación y concientización plasmado en acciones y conductas, sobre 100 puntos.
PRACTICA
Lea el siguiente fragmento de textosobre la clasificación de la basura, según la característica de cada
residuo:
Fuente: Residuos Sólidos
2
Con esta información, colecciona fotografías y vídeos de cada tipo de basura según la clasificación
propuesta y preséntalo en un CD.
TEORÍA
Identifica el componente común en todos los residuos que se genera en Caranavi y otras ciudades.
………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………
Seguro que observarás cartones, bolsas plásticas y otros, sin embargo, si separamos solamente los
plásticos, cartones, o metales, la basura llega a ser menos contaminante.
Platos y vasos
desechables, bolsas
plásticas, latas, silla
rotas, cds,
Huesos, latas, papel
Cascaras,
encenderos
Naylon, vidrio,
cascaras, latas
Clasificar significaría descomponer el conjunto de la basura en sus distintos componentes, lo que
equivaldría a representar la misma basura pero separada según su característica.
Basura
orgánica o
biodegradable
Plásticos
Periódicos y
cartones
Metálicos
Pilas y
baterías
usadas
vidrios
Basura digital
Este proceso de clasificación y separación de la basura, según el tipo, en algebra se llama factorización.
3
FACTORIZACIÓN
Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores
primos.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que
multiplicadas entres sí dan como producto la primera expresión.
En la multiplicación algebraica se tiene:
( + 2)( + 3) =
Factores
∙
+5 +6
=
Factores Producto
Producto
Ahora estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos o más factores distintos de 1.
I. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN
Factor Común Monomio
Ejemplo 1. Descomponer en factores
+3 .
Los dos términos y 3 tienen en común . Anotamos el factor común delante de un paréntesis;
dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada término entre el factor común.
+3 = ( + )
=
y =
Ejemplo 2. Descomponer en factores 10 − 30
Los coeficientes 10 y 30 tienen como máximo común divisor a 10. De las letras el único factor común
es b, porque está en los dos términos de la expresión dada. Consideramos con su menor exponente.
( −
)
10 − 30
=
=
=−
Factor común polinomio
Ejemplo 3.Descomponer en factores 2 ( + 1) − ( + 1)
El factor común es ( + 1), dividiendo los dos términos entre el factor común ( + 1) tendremos:
(
)
=2
(
)
=
2
(
+ 1) −
(
+ 1) =
− .
Ejemplo 4. Descomponer en factores ( + )( + 1) − 3( + 1)
El factor común es ( + 1), por lo que se divide cada termino entre ésta.
( + )( + 1)
3( + 1)
=( + )
=3
+1
+1
Por tanto:
( + )( + 1) − 3( + 1) = ( + 1)[( + ) − 3] = ( + )[ +
− ] R.
Ahora te toca a ti.
Factorizar o descomponer en dos factores:
1)
−
2)
−
3)
+ +
4) 8
− 12
5)
+
6) 2
+2
−3
7)
+6
8) 8
− 24
9)
+ + −
10) 10
−2
4
14) ( − 3)( − 4) + ( − 3)( + 4)
15) ( + 1) − ( + 1) − − 1
11) 2( − 1) + ( − 1)
12) 3 ( − 2) − 2 ( − 2)
13) ( + 1) − − 1
II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se aplica sobre trinomios que son exactamente el desarrollo del Cuadrado de un Binomio.
+
+
=( + )
Para verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, se debe buscar que el primer y último
tenga para extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y parte literal. Luego verificar que el doble
producto de ellos corresponda al segundo término del trinomio.
Ejemplo 1.Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto.
a − 10a + 25 = ( − 5)
Las raíces del primer y último término son exactas,
√ √
√ = y√ =
5
El doble producto de estas raíces es el segundo tér2∙ ∙5
mino del trinomio.
Se verifica que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto, entonces sus factores serán el cuadrado
de estos últimos términos.
Ejemplo 2. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto.
9 + 30
+ 25 = (3 + 5 ) . El signo del binomio depende del signo del
segundo término del trinomio. En éste caso es (+)
3 5
2∙3 ∙5
Ahora te toca a ti
1) 4 − 20
+ 25
2)
−2 +
3)
−2 +1
4) 9 − 6 +
5)
− 10 + 25
6)
−2 +1
7) 4 − 12 + 9
8) 9 − 30
+ 25
9)
+6 +9
10)
−2 +1
x
x
5
5x
5x
s55x
x
+5
5
25
x
5
=
+ 25 =
25
x
5
x
5
+ 10
5
5x
Geométricamente se la comprueba así:
( + 5)
+5
III. MÉTODO DE DIFERENCIA DE CUADRADOS
5
Se aplica a binomios que contengan una diferencia entre sus términos cuadráticos. Es una aplicación de
productos notables de la Diferencia de Cuadrados.
−
= ( + )( − )
si se presenta un caso de Diferencia de Cuadrados, se extrae la raíz de ambos términos y se expresa
como el producto de una Suma por la Diferencia de las raíces.
Ejemplo 1. Factorizar
− 25.
Las raíces cuadradas de ambos términos esa y 5.
El producto de la suma por la diferencia de estas
Raíces es la factorización.
5
− 25 = ( + )( − )
Ejemplo 2. Factorizar100 −
100 −
=(
+
)(
−
)
10
Ahora te toca ti
Factorizar o descomponer en dos factores
1)
− 81 =
2)
−
=
3)
−9
4)
−4
5) 1 − 4
6) 4 − 9
7) 16 −
8) 25
9)
− 49
10)
−
−1
IV. MÉTODO DE TRINOMIOS DE LA FORMA +
+
)(
). Los signos de
Se descompone como producto de factores que serán de la forma (
operación en el primer factor corresponden al coeficiente b, y del segundo factor del producto de
signos de los coeficientes b y c.
Luego se buscan dos números m y n tal que su producto sea c y la suma b.
Ejemplo 1. Factorizar por el método de trinomios
+5
+ 6 = ( + 3)( + 2)
Los signos en ambos factores resultan positivos.
Los números multiplicados que resulten en 6 son 3 y 2.
( + 3)( + 2 )
Ejemplo 2.Factorizar por el método de trinomios de la forma
+
+
+ 4 − 32 = ( + 8)( − 4) El signo del primer factor ( + 8) es positivo, como el
coeficiente +4del trinomio.
( + 8)( − 4 )
El segundo factor ( − 4)lleva el signo negativo,
como el producto de los signos de los coeficientes
+4 − 32. Es decir(+) ∙ (−) = (−) .
El producto (+8)(−4) = −32y la resta son+8 − 4 = +4. Por lo tanto los factores buscados son
( + 8)( − 4).
6
Ahora te toca a ti.
Factorizar o descomponer en dos factores:
+ +7 + 10
+ 5 − 14
− − 20
+ 10 + 21
− 2 − 35
1)
2)
3)
4)
5)
6)
− 13 − 14
7)
+ 7 − 60
8)
+ 7 + 10
9) 20 + − 21
10) + 4 + 3
V. MÉTODO DE RUFFINI
Se emplea para factorizar polinomios de grado superior. Se trata de la división sintética de un
polinomio entre el binomio de la forma − , donde es un divisor del término independiente del
polinomio.
Ejemplo 1. Factorizar por la regla de Ruffini.
+2
− 11 −
El polinomio es de tercer grado.
independiente −12 tiene como divisores a
1,2,3,4,6,12, -1,-2,-3.-4,-6,-12;
valores que puede asumira.
Se considera el divisor = 2. Sin embargo
el residuo no es cero, tiene resto – . Por
tanto no es posible factorizar por − 2.
El término
1 + 2 − 11 − 12
1 +4
2 +2
8
−3 −
6
Entonces se considera el divisor = 3. El
1 + 2 − 11 − 12
residuo es cero, entonces uno de los factores
3 +3
15
12será ( − 3), ademas del cociente
1 +5
4
0
(1 + 5 + 4)
( − )(1 + 5 + 4)
luego factorizamos el ultimo trinomio por
( − )( + 5 + 4)
métodos conocidos, quedando asi:
( − )( + )( + )
Ahora te toca a ti.
Factorizar o descomponer en dos factores:
1)
−6 +5 +
2)
−3 −2
3) 2 + 9 + 4 − 21 −
4)
− 10 + 31 −
5)
+ 10 + 35 + 50 + 24
VI. MÉTODO DEL ASPA
Este método del aspa permite factorizar trinomios de la forma
+
+ ;
+
+ ;
a +
+
y otros. Por su versatilidad, permite mayor aplicación y sustitución de algunos
casos estudiados.
7
Ejemplo 1. Factorizar o descomponer en dos factores:
10
+
+ 36
=(
+
)(
+
y 10
y tercer
término36
en dos factores: 5 ∙ 2 = 10
y
4 ∙ 9 = 36
Verificar que la suma de los productos de diagonales
+
sea exactamente el segundo término del
trinomio:
,si no se cumple, buscar otros factores
para 10 y 36 .
Los factores de la primera fila (5 + 4 )
y segunda fila (2 + 9 ) son los factores requeridos.
Se disponen el primer término
)
5 4 =
2 9 =
Ejemplo 2. Factorizar o descomponer en dos factores:
8
−
4
+ 15
=(
+
)(
+
)
−5 = −
2
−3 = −
−
Ahora te toca a ti.
Factorizar o descomponer en dos factores
1)
2)
3)
4)
5)
15 + 7 − 4
3 + 13 + 4
8 + 43 + 15
14 − 19 − 3
4 + 18 + 8
6) 6 + 14 + 4
7)
+ 9 + 18
8) 5 + 4 − 1
9)
+ − 56
10) 9 + 30 + 25
Cuestionario argumentativo: lea, analice y responda las siguientes preguntas con argumento crítico y
propositivo.
1. ¿Por qué es necesario clasificar la basura según su característica?
R………………………………………………………………………………………………………
2. ¿Cómo ayuda esta clasificacion al medio ambiente?
R.-…………………………………………………………………………………………………….
3. ¿Cómo se aprovecha los cartones, vidrios, latas, plasticos o los orgánicos?
R…………………………………………………………………………………………………….
Actividad Final: Con las fotografias y vídeos logrados anteriormente, diseña y crea un spot televisivo,
meme o cuña radial, enfocado a las formas de uso responsable de los residuos y la formas correctas de
desechar, sin contaminar el medio ambiente.( 100 puntos)
8
EVALUACIÓN
FACTORIZACION
Apellidos y nombres:………………………………………………………………….Nota:…………….
Curso:…………………………………………………………...…Fecha:………………..……………..
Descomponer o factorizar en dos factores:
1) Los factores de
son:
(Factor Común Monomio)
a)
b)
c)
2) Los factores de
a)
b)
c)
son:
3) La descomposición en factores de
Perfecto)
a.
b.
c.
4) Los factores de
a)
b)
c)
es:
(Trinomio Cuadrado
son:
(Diferencia de Cuadrados)
5) Los factores de la expresión de
a)
b)
c)
6) Los factores de
a)
b)
c)
7) Los factores de
a)
b)
d)
(Factor Común Polinomio)
son:
(Trinomios de la forma
son:
son:
)
(Método por Ruffini)
(Método del Aspa)
BIBLIOGRAFÍA:
Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima.
Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz.
ChungaraVìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo.
Columba R. y Cascos F. (2000) Matemática práctica. Santa Cruz.
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