Apunte Cayley-Hamilton Archivo

Teoría de Circuitos
TRABAJO PRÁCTICO
CONVOLUCIÓN MULTIVARIABLE
MÉTODO UTILIZANDO CAYLEY-HAMILTON Y SYLVESTER
La representación mediante variables de estado de un sistema con
varias entradas y salidas relacionadas entre si nos permite combinar
las ecuaciones diferenciales en una única expresión matricial de
primer orden .
x  A x B u
x: vector n dimensional
u: vector r dimensional
A: matiz constante nxn
B: matiz constante nxr
Operando mediante la aplicación del Teorema de Laplace, se llega
a la siguiente expresión:
t
x(t )  e  x(0)   eAt    B u( ) d
 At
0
donde
t   e  At
La complejidad de la resolución de problemas mediante la
convolución multivariable reside, fundamentalmente, en la
determinación de la matriz de transición de estados (t). No solo
hallarla, sino expresarla de manera conveniente para facilitar su
posterior integración. Para tal fin se utilizan herramientas matemáticas
muy poderosas que permiten, a través de la obtención de los
autovalores de la matriz A, una ligera resolución de dicho
inconveniente.
Los autovalores de una matriz determinada A se obtienen de la
siguiente manera:
Página 1 de 11
Teoría de Circuitos
I  A
donde mediante la resolución de dicho determinante se obtiene el
llamado polinomio característico, cuyas raíces son los autovalores de
la matriz A.
Según el teorema de Cayley – Hamilton, toda matriz cuadrada
satisface su propia ecuación característica (ver APÉNDICE A)
An  an1  An1  a1  A a0  I   0
Desarrollando en serie la matriz de transición de estados (t) se
obtiene la siguiente expresión:
e
 At
2
n
A t  A t  A t  A  t 2 
A t  A  t n 


 
 
 I   A t  

 
 



2
 1! 
3

2! 
n 1 
n! 
Por lo visto en el teorema de Cayley-Hamilton se puede expresar
cada potencia de A como una combinación lineal de las restantes
potencias (n-1)
Reemplazando en la serie se llega a la siguiente ecuación:
e At   0 t  I  1 t  A  2 t  A     n1 t  A
2
n1
Un método para evaluar la anterior ecuación es apelando a la
formula de interpolación de Sylvester (ver APÉNDICE B). Este método
utiliza los autovalores de la matriz A.
Página 2 de 11
Teoría de Circuitos
CASO 1 – El polinomio característico de A incluye solamente
raíces distintas
Se supone que el grado del polinomio característico de A es m.
e At   0 t  I  1 t  A  2 t  A     m1 t  A
m1
2
Para determinar las  k t  (k=0,...,m-1) se expresa la anterior
ecuación matricial en forma escalar, obteniendo el siguiente conjunto
de ecuaciones.
e 1t   0 t   1 t   1   2 t   1     m1 t   1
2
m1
e 2 t   0 t   1 t   2   2 t   2     m1 t   2
2
m1

e m t   0 t   1 t   m   2 t   m     m1 t   1
2
m1
del cual se extraen los valores de los  k t  .
CASO 2 – El polinomio característico de A incluye raíces
múltiples
Como ejemplo, considérese el caso en que el polinomio
característico de A tiene dos raíces iguales ( 1  2 ) y el resto distintas
( 4 , 5 , 6 ,, m ).
e At   0 t  I  1 t  A  2 t  A     m1 t  A
2
m1
Para este caso se procede de igual manera que el caso 1, pero la
expresión escalar de la anterior ecuación matricial es distinta, dando
como resultado el siguiente sistema de ecuaciones:
Página 3 de 11
Teoría de Circuitos
t  e 1t  1 t   2  2 t   1    m  1  m1 t   1
e 1t   0 t   1 t   1   2 t   1     m1 t   1
2
m2
m 1
e 3 t   0 t   1 t   3   2 t   3     m1 t   3
2
m 1

e m t   0 t   1 t   m   2 t   m     m1 t   1
2
m 1
Para ambos casos, el paso de la ecuación matricial a su forma
escalar está demostrado en el APÉNDICE C, para el caso de tres
autovalores iguales y el resto distintos. Dicho proceso no es simple,
matemáticamente hablando, y no se puede generalizar, por lo cual es
necesario resolverlo en cada caso en particular.
EJEMPLO CASO 1
Obtener e At , donde
0 1
A 


2

3


Se obtienen los autovalores de A
I   A  0
 1
0
2  3
Así,
1  1
2  2
Página 4 de 11
Teoría de Circuitos
Reemplazando los autovalores en el sistema de ecuaciones:
e t   0 t   1 t 
e 2t   0 t   2  1 t 
Despejando se tiene:
 0 t   2  e t  e 2t
1 t   e t  e 2t
Substituyendo en e At :
e
 At

t
 2e  e
 2t
 I  e
t
e
 2t
 2  e t  e 2t
e t  e 2t 
 A  
t
 2t
t
 2t 

2

e

2

e

e

2

e



EJEMPLO CASO 2
Obtener e At , donde
 2 1 4
A  0 2 0
0 3 1
Se obtienen los autovalores de A
I   A  0
Página 5 de 11
Teoría de Circuitos
 1
0
2  3
Así,
1  2  2
3  1
Reemplazando los autovalores en el sistema de ecuaciones:
t  e 2t  1 t   4   2 t 
e 2t   0 t   2  1 t   4   2 t 
e t   0 t   1 t    2 t 
Despejando se tiene:
 0 t   4  et  3  e 2t  2  t  e 2t
1 t   4  et  4  e 2t  3  t  e 2t
 2 t   et  e 2t  t  e 2t
Substituyendo en e At :






e At  4  et  3  e 2t  2  t  e 2t  I    4  et  4  e 2t  3  t  e 2t  A  et  e 2t  t  e 2t  A
e 2t 12  et  12  e 2t  13  t  e 2t  4  et  4  e 2t 


 0
e 2t
0

t
2

t
t
0

 3 e  3 e
e


Página 6 de 11
2
Teoría de Circuitos
APÉNDICE A
APÉNDICE B
Página 7 de 11
Teoría de Circuitos
Página 8 de 11
Teoría de Circuitos
APÉNDICE C
Página 9 de 11
Teoría de Circuitos
Página 10 de 11
Teoría de Circuitos
Página 11 de 11