Universidad de Costa Rica III Examen Parcial Facultad de Ciencias

Universidad de Costa Rica III Examen Parcial Facultad de Ciencias

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
MA0125: Matemática Elemental
1. Considere
terminal de
III Examen Parcial
Tiempo 3 horas
Total puntos: 84
II Ciclo 2008
y
dos ángulos en posición estándar. El punto P (2; 4) se encuentra en el lado
; cos < 0 y csc = 3: Determine el valor exacto de:
(17 puntos)
Solución:
a) sin( + )
= sin cos
+ sin cos
1
2
4
p + p
=
3 2 5 2 5
p
1
4 2
= p + p
3 5 3 5
p
1+4 2
p
=
3 5
b) cos (2 )
= cos cos
sin2
= cos2
2
p
=
=
=
2 5
1
5
4
5
3
5
sin sin
2
4
p
2 5
2
p
2 2
3
c)
tan
csc
cos( + )
tan
cos cos
=
2
=
1
3
p
2 2
3
1
p
2 2
3
=
d) sec (
csc
sin sin
3
= p
2 2
= sec
)
=
1
cos
3
= p
2 2
2. Determine el valor exacto de:
a) cot
1
p
2
=
=
1
p
2
p
8
3
=
3
2
7
4
b) sin
c) sec
11
3
p !
3
=
2
d) arcsin
e) tan
4 sin
1
i) sin
sin =
=
3
2
+ sin
1
1
2
1
,
2
(17 puntos)
1
=
1
11
cos
3
p
) sin =
3
;
2
1
2
=
2
2
6
ii) tan
4
6
+ sin
= tan
2
3
=
p
3
2
3
2
=
2
1
+ 1=2
1
2
)
=
3
1=1
f ) arccos
1
cot
2
5
6
5
6
=
i) cot
ii) arccos
cos =
=
p
3
p
1
3
2
p
3
, 0
2
=
5
6
3. Un campanario está en el techo de una iglesia, la altura de la iglesia es de 12m. En un punto
deteminado en el plano horizontal de la base de la iglesia, el ángulo de elevación a la base del campanario mide 26 y el ángulo de elevación al extremo superior del campanario es de 35 : Determine
la medida de la altura del campanario. Dibuje un diagrama de la situación planteada. (10 puntos)
Solución:
Sea x la altura del campanario
Sea y la distancia de la base de la iglesia al punto A
Si se trabaja con el triángulo de lado 12 y ángulo 260 se puede obtener la distancia y:
tan 26 =
12
) y = 24:6
y
Si se trabaja con el triángulo cuyos catetos miden 12 + x; 24:6 y ángulo 350 se obtiene la siguiente …gura
donde tan 35 =
12 + x
) x = 5:2:
24:6
Respuesta. La altura del campanario es de 5.2 metros aproximadamente.
4. Demuestre cada una de las siguientes identidades
a) cot(2 ) =
1
(cot
2
tan )
(7 puntos)
Demostración:
cot(2 ) =
cos(2 )
cos2
sin2 x
=
sin(2 )
2 sin cos
sin2
2 sin cos
=
cos2
2 sin cos
=
cos
2 sin
sin
2 cos
=
1
(cot
2
tan )
b)
factor común
cot x cos x
csc x
=
3
cos x
1 + sin x
Demostración:
cot x cos x
cot x
=
3
cos x
cos3 x
cos x
= sin3x
cos x
1
cos2 x
cos x
cos3 x
1
2
(7 puntos)
cos x
sin x cos3 x
1
=
sin x cos2 x
=
1
cos2 x
1
cos2 x
=
1 sin x
cos2 x sin x
=
1 sin x
(1 sin2 x) sin x
=
1 sin x
sin x(1 + sin x)(1
=
1
sin x(1 + sin x)
=
1
1
sin x 1 + sin x
= csc x
=
sin x)
1
1 + sin x
csc x
1 + sin x
5. Considere f : R ! R tal que f (x) =
2 sin 3x
(10 puntos)
4
a) Determine la amplitud y el periodo de la curva y = f (x).
b) Trace dos ondas completas de la grá…ca de f .
c) Indique la intersección de la curva con el eje Y y las intersecciones con el eje X.
6. Determine todas las soluciones reales de 2 sin2 x + 5 =
5 cos x
7. Determine las soluciones de sin x tan2 x = 3 sin x en el intervalo [0; 2 [
(8 puntos)
(8 puntos)