Modelos para el plano digital

Modelos para el plano digital
Consideraremos como modelo del plano digital a Z2.
Dos puntos de Z2 son 8-adyacentes si son distintos y sus coordenadas difieren
a lo sumo en una unidad. Se dice que son 4-adyacentes si son 8-adyacentes y
difieren a lo sumo en una coordenada. Dos puntos de Z3 son 26-adyacentes
si son distintos y sus coordenadas difieren a lo sumo en una unidad. Se dice que
son 18-adyacentes si son 26-adyacentes y difieren a lo sumo en dos coordenadas.
Se dice que son 6-adyacentes si son 26-adyacentes y difieren a lo sumo en una
coordenada.
Dado p ∈ Z2 se define N8(p) o N (p) como el conjunto de los puntos 8-adyacentes
a p excluido p, y N4(p) como el conjunto de los puntos 4-adyacentes.
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
}
}
}
m
m
m
}
m
m
m
}
m
}
m
m
}
m
}
m
m
}
}
}
m
m
m
}
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
p
1
p
Caminos. Conexión
Un k-camino P en Z2 es una sucesión {p0, p1, p2, . . . , pn} de puntos tales que pi
es k-adyacente a pi+1, para todo i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Se dice entonces que es
un camino de p0 a pn. Se dice que es un camino cerrado si p0 = pn. Se define el
k-grado de cada pi como el cardinal |Nk (pi) ∩ P |. Se llaman puntos extremos a
aquellos que tienen k-grado 1. Los únicos puntos que pueden ser puntos extremos
son p0 y pn.
Un k-camino {p0, p1, p2, . . . , pn} en Z2 es un k-arco si no se “autointerseca”,
excepto posiblemente en sus puntos extremos (esto es, siempre que 0 ≤ i < i + 1 <
j < n ó 0 < i < i + 1 < j ≤ n se tiene que pi no es k-adyacente a pj ). Todo punto
de un arco tiene k-grado 2 ó 1.
Proposición. Todo k-camino P con dos puntos extremos contiene un k-arco
con sus mismos extremos.
Definición. Un conjunto S es k-conexo si para cada par de puntos de S existe un
k-camino contenido en S que los une.
Una componente k-conexa es un conjunto k-conexo maximal.
Proposición. Un conjunto S es k-conexo si para cada par de puntos de S
existe un k-arco contenido en S que los une.
2
El teorema de la curva de Jordan
Es fácil encontrar ejemplos de 8 y 4-arcos cerrados, con 3 y 4 únicos puntos
respectivamente, sin interior.
j
j
j
j
j
j
j
j
j
z
j
j
j
z
z
j
j
z
z
j
j
z
z
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Para evitar estos casos patológicos hemos de imponer que todo 8-arco cerrado tenga
al menos 4 puntos y que todo 4-arco cerrado tenga más de 4 puntos.
Sin embargo, aún imponiendo estas condiciones existen ejemplos de 8-arcos cerrado cuyo complementario tiene una única 8-componente conexa, y ejemplos de
4-arcos cerrado cuyo complementario tiene más de dos 4-componentes conexas.
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
z
z
z
j
j
j
z
j
j
j
z
z
j
z
j
j
z
j
z
j
j
z
j
z
z
j
j
j
z
j
j
j
z
z
z
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
3
En 1967, Duda, Hart y Munson observaron que la solución a estas paradojas
estaba en considerar diferentes relaciones de adyacencia para un conjunto y para
su complementario. En 1979, Rosenfeld probó el siguiente teorema.
Teorema (Teorema digital de la curva de Jordan). Si P es un k-arco
cerrado en Z2 entonces Z2 \P tiene exactamente 2 k ′-componentes conexas,
una finita o acotada (que se llama interior de P ) y otra infinita o no acotada
llamada exterior de P , donde k ′ = 8 si k = 4 y k ′ = 4 si k = 8.
Este teorema permite justificar algoritmos de relleno de contornos.
Por otra parte, permite codificar conjuntos de puntos almacenando solamente los
puntos del borde o frontera.
Por otra parte, los puntos de un camino se pueden codificar usando un “código en
cadena” que consiste en almacenar un punto inicial e ir indicando posteriormente el
ı́ndice correspondiente al lugar que ocupa el 8-vecino que se visita a continuación, y
ası́ sucesivamente. Como los ocho vértices se pueden codificar con 3 bits, un camino
con n puntos podrá almacenarse con 3n bits si despreciamos los bits necesarios para
almacenar el punto inicial.
Observación. Existe un teorema análogo para superficies digitales S en R3 para
los siguientes valores de (k, k ′): (6,26), (26,6), (6,18) y (18,6).
4