φ = φ - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

φ = φ - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 14: ÓPTICA GEOMÉTRICA-SFI (SUPERFICIES REFLECTORAS)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
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Temas
Introducción
La ley de reflexión desde la refracción
Espejos esféricos
Aspecto 1: Propiedades focales para las superficies reflectoras
Aspecto 2: Fórmula de Gauss para los espejos esféricos
Aspecto 3: Ecuación del constructor para los espejos esféricos
Aspecto 4: Trazado de imágenes en los espejos esféricos
Aspecto 5: Aumento en los espejos esféricos
Espejos planos
Taller sobre espejos
Introducción
En este módulo se estudiará los espejos esféricos en aproximación paraxial. El tema se aborda desde una
visión moderna, considerando el fenómeno de reflexión como un “caso particular del fenómeno de
refracción”, lo que permite articular mejor los conceptos sobre Sistemas Formadores de Imágenes (SFI).
Sin embargo, para enriquecer la comprensión de los SFI, se hará paralelamente un análisis de estos SFI tal
y como normalmente aparecen en los textos de física básica.
La ley de reflexión desde la refracción
La reflexión se puede interpretar como la refracción desde un medio de índice de refracción n hacia otro
medio de índice de refracción n’=-n. Para mostrar esto se deducirá a continuación la ley de reflexión a
partir de la ley de refracción con base es esa interpretación.
En la Figura 1 (a) se ilustra la ley de reflexión mediante un rayo que incide con ángulo  y el cual se refleja
con un ángulo ’ tal que según esta ley se cumple,
φ = φ'
En la Figura 1 (b) se ilustra la ley de reflexión desde la interpretación que se propone en este módulo. Para
la demostración se está empleando las normas DIN de convención de signos para la óptica geométrica.
2
Figura 1
Aplicando la ley de Snell para el rayo que incide desde un medio de índice de refracción n con ángulo  y se
refracta hacia el medio de índice de refracción n’= -n con ángulo ’ se obtiene,
sen φ
n'
=
sen φ'
n
sen φ
-n
=
sen φ'
n
n sen φ = n sen (- φ')
φ = - φ'
Como se sabe de las normas DIN si se observa la Figura 1, el ángulo  es positivo y el ángulo ’es negativo,
por lo tanto,
φ = φ'
que corresponde a la ley de reflexión. Con base en esta interpretación las expresiones obtenidas para
las superficies refractoras esféricas se aplican a las superficies reflectoras reemplazando en ellas n’
por –n.
Nota: Una posible interpretación física que se le podría dar al artificio empleado (hacer n’= - n) es que la
reflexión se puede interpretar como una refracción en donde la onda de luz viaja al “refractarse” (al pasar
al material de índice n’=-n) desde el medio de índice n’ hacia el mismo material de donde incidió (de índice
n), es decir, es como si se “regresara” en la refracción, Figura 2. Sin embargo se debe tener cuidado que
como se está interpretando aquí el signo MENOS del índice de refracción no es afirmando que se están
considerando materiales con índices de refracción negativos (n’< -1). Actualmente la física permite hablar
de materiales que si se les puede asignar índices negativos pero en un contexto diferente al que se
interpreta en este módulo. Se insiste, en este módulo es un simple artificio que permite analizar más
integralmente los SFI.
3
Figura 2
Espejos esféricos
Hay dos tipos de espejos esféricos: cóncavos y convexos, Figura 3. En esta Figura V es el vértice del
espejo y C el entro de curvatura. Bajo la convención DIN para el espejo cóncavo R es negativo y para el
convexo R es positivo. Las superficies reflectoras como SFI, es decir, como espejos, tienen el espacio
objeto y el espacio imagen del mismo lado (en la convención DIN, a la izquierda).
Figura 3
Aspecto 1: Propiedades focales para las superficies reflectoras
¿Qué forma debe tener una superficie reflectora para que rayos que incidan paralelos al eje óptico al
reflejarse converjan a un punto (que se denominará foco imagen del espejo)?
En el módulo # 13 se mostró que las superficies refractoras enfocan bien si son sus superficies cónicas,
hipérbolas o elipses, cuya excentricidad es,
e=
n
n'
y que por lo tanto si n’ > n deben ser superficies refractoras elípticas y si n ’< n hipérbolas. También se
mostró que las superficies refractoras se pueden considerar que enfocan bien bajo aproximación paraxial.
En el caso de las superficies reflectoras haciendo n’=n se obtiene que,
4
e  1
Indicando que las superficies reflectoras enfocan bien si son parábolas, Figura 4. Es decir los espejos
parabólicos son los ideales para lograr enfoques perfectos. Esta es la razón del porque las antenas de TV
tienen esta forma.
Figura 4
En este módulo se consideran espejos esféricos bajo aproximación paraxial. Cuando se alejan de esta
aproximación aparece la denominada aberración esférica, en donde el enfoque de un conjunto de rayos que
inciden paralelos no convergen a un punto y se forma es una mancha, Figura 5. Los espejos cóncavos son
convergentes y los convexos divergentes.
Figura 5
Aspecto 2: Fórmula de Gauss para los espejos esféricos
Este módulo considera las superficies reflectoras esféricas bajo aproximación paraxial. En el módulo # 13
se dedujo la fórmula de Gauss para las superficies refractoras esféricas (SRE) bajo aproximación paraxial,
n' n
n' - n
- =
s' s
R
5
Para espejos esféricos bajo aproximación paraxial se obtiene la fórmula de Gauss haciendo n’=-n en la
expresión anterior,
-n n
-n - n
- =
s' s
R
1
1
2
+ =
s' s
R
[1]
Aspecto 3: Ecuación del constructor para los espejos esféricos
En el módulo # 13 se obtuvieron las ecuaciones del constructor para SRE bajo aproximación paraxial,
 n' 
f'= 
R
 n' - n 
 n 
f = -
R
 n' - n 
En donde f y f’ corresponden a las distancias focales objeto e imagen de la SRE.
Para el caso de los espejos esféricos se hace n’=-n en las expresiones anteriores,
f'=
R
2
f =
R
2
Es decir,
f =f'=
R
2
Es decir, bajo aproximación paraxial los focos imagen y objeto coinciden en la ubicación. Esta es
aproximadamente la mitad del segmento entre el centro de curvatura y el vértice del espejo. En la práctica
se habla entonces de que el espejo solo tiene un foco ubicado a la distancia focal f,
f =
R
2
[2]
Combinando las ecuaciones [1] y [2] se obtiene,
1
1 1
+ =
s' s
f
[3]
6
Ecuación básica para resolver el cálculo de las posiciones del objeto y la imagen en un espejo esférico bajo
aproximación paraxial. Para el caso de espejos planos, R es infinito ( R   ) por lo que,
s' = - s
En la Figura 6 se observa la gráfica 1/s’ VS 1/s correspondiente a la ecuación [3]. Se confirma lo afirmado
en el módulo # 13 para sistemas convergentes y divergentes, Tabla 1. Se debe anotar que el espejo cóncavo
es convergente y su foco es REAL mientras que el espejo convexo es divergente y su foco es VIRTUAL.
Tabla 1
OBJETO
REAL
REAL
VIRTUAL
VIRTUAL
IMAGEN
REAL
VIRTUAL
REAL
VIRTUAL
SISTEMA CONVERGENTE
ES POSIBLE
ES POSIBLE
ES POSIBLE
ES IMPOSIBLE
SISTEMA DIVERGENTE
ES IMPOSIBLE
ES POSIBLE
ES POSIBLE
ES POSIBLE
SISTEMA PLANO
ES IMPOSIBLE
ES POSIBLE
ES POSIBLE
ES IMPOSIBLE
Figura 6
En la Figura 7 se ilustra la convergencia de los rayos paralelos al eje óptico del espejo. En los cóncavos
convergen en el foco y en el convexo divergen (convergen virtualmente) desde el foco.
7
Figura 7
Forma tradicional de obtener las expresiones [1], [2] y [3] para espejos esféricos
Como ilustración se harán las demostraciones de las expresiones [1], [2] y [3]
como normalmente se
abordan en los textos de física general.
Para esto observar la Figura 8. Se supone un objeto puntual real ubicado en el eje óptico. Para encontrar la
imagen se trazaron dos rayos: uno que sigue el camino del eje óptico y por lo tanto su ángulo de incidencia
es cero y se regresa por el mismo eje óptico (ángulo de reflexión vero); el oro rayo se toma inclinado un
ángulo  respecto al eje óptico y se refleja en el espejo esférico en el punto P (ángulo de incidencia  y
ángulo de reflexión ’ ).
Figura 8
Del triángulo OPC se obtiene,
β = α + φ
Del triángulo O’CP se obtiene,
α' = β + φ'
Atendiendo la convención de signo de la DIN, todos los ángulo son negativos excepto el ángulo ’ que es
positivo. Por lo tanto las dos ecuaciones anteriores toman la siguiente forma,
-β =-α-φ
- α = - β + φ'
Combinando estas dos últimas ecuaciones con la ley de reflexión (teniendo en cuenta la convención de la
DIN),
φ = - φ'
Se obtiene,
α' + α = 2β
Para aproximación paraxial se cumple,
α'  tan  α' =
h
h

s' - x s'
α  tan  α  =
h
h

s-x s
β  tan β  =
h
h

R-x R
Y por lo tanto de α' + α = 2β se obtiene,
1 1
2
+ =
s' s
R
Observar ahora la Figura 9. Se trata de un rayo que incide paralelo al eje óptico y por lo tanto refleja por
el Foco F. Los ángulo  y ’ son lo de incidencia.
Figura 9
8
Como los ángulos  y  son alternos internos se obtiene,
φ = β
Por ley de reflexión,
φ = φ'
9
Por lo tanto,
φ' = β
Y se concluye que el triángulo CPF es isósceles, es decir,
CF = FP
Además en aproximación paraxial,
FP  FV
concluyéndose,
CF  FV
es decir, el foco F está aproximadamente ubicado en el centro del segmento CV, es decir,
f=
R
2
y por lo tanto también se llega a,
1 1 1
+ =
s' s
f
Aspecto 4: Trazado de imágenes en los espejos esféricos
Los tres rayos notables para un espejo esférico son,



Rayo 1 Rayo que incide paralelamente al eje óptico se refleja real o virtualmente por el foco F.
Rayo 2 Rayo que incide real o virtualmente por el foco se refleja en el espejo y continúa paralelo al
eje óptico.
Rayo 3 Rayo que incide por el centro de curvatura del espejo, no cambia de dirección al reflejarse.
Formación de imágenes Para formar la imagen de un objeto puntual basta con trazar la trayectoria
seguida por sólo dos rayos, y donde se corten REAL o VIRTUALMENTE queda ubicada la imagen puntual
correspondiente. Es útil emplear dos de los tres rayos notables. En la Figura 10 se ilustran la formación de
imágenes de objetos REALES con los espejos esféricos. Para facilitar su construcción se trazó una línea
tangente en el vértice del espejo y perpendicular al eje óptico: los rayos incidentes se prolongaron hasta
ésta (esto es posible por la aproximación paraxial). Se observa que en el caso de los espejos cóncavos
(convergentes) es posible obtener de objetos REALES imágenes REALES mayores, iguales y menores al
objeto; imágenes VIRTUALES mayores que el objeto y si el objeto se ubica en el foco no se forma la
imagen (es decir, se forma en el infinito). Para el caso de espejos convexos (divergentes) sólo es posible
obtener de objetos REALES imágenes VIRTUALES de menor tamaño que el objeto.
10
Figura 10
Ejemplo 1:
Explicar el funcionamiento del MIRASCOPE, Figura 12.
Figura 12
Solución:
Este aparato se compone de dos espejos parabólicos. El vértice de un espejo corresponde al foco del otro,
Figura 13. Al ubicar un objeto sobre el vértice del espejo inferior (V1), sus rayos partirán del foco del
espejo superior (F2) por lo que al reflejarse en éste continuarán paralelos a su eje óptico; seguidamente
estos rayos al incidir paralelamente al eje óptico del espejo inferior se reflejarán en éste continuando a
converger en su foco (F1) concentrándose en una imagen de mucha intensidad luminosa (imagen REAL):
causa impacto porque no estamos acostumbrados a observar imágenes reales sin ayuda de una pantalla de
proyección.
Figura 13
Aspecto 5: Aumento en los espejos esféricos
En el módulo # 13 se obtuvo la fórmula del aumento para las superficies refractoras esféricas bajo
aproximación paraxial,
M=
y' ns'
=
y
n's
Para obtener la fórmula del aumento para los espejos esféricos bajo aproximación paraxial se reemplaza
n’=-n,
M=
y'
s'
=y
s
[4]
De esta expresión se concluye que,


Las imágenes REALES de objetos REALES son invertidas.
Las imágenes VIRTUALES de objetos REALES son derechas
11
Forma tradicional de demostrar la expresión para el aumento en los espejos
12
Figura 14
En la Figura 14 se ilustra la formación de la imagen empleando dos rayos principales: el que incide paralelo
al eje óptico que refleja por el foco y el que incide por el centro de curvatura que se al reflejarse se
regresa sin cambiar su dirección. Adicionalmente se ilustra un rayo que incide desde la cabeza del objeto y
hacia el vértice del espejo; obviamente al reflejarse debe dirigirse hacia la cabeza de la imagen. Con base
en esta Figura se obtiene,
tan φ =
y
s
tan φ' =
y'
s'
Pero de la ley de reflexión (con la norma de signos DIN) se tiene,
φ = -φ'
entonces,
tan  φ  = tan  -φ'
tan  φ  = - tan  φ'
y por lo tanto,
y
y'

s
s'
M=
y'
s'

y
s
Simulaciones:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la formación de imágenes con los espejos
esféricos. Para acceder a ellas hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 15. En ésta hacer
las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 15
Ejemplo 2:
Sobre una pantalla se desea proyectar mediante un espejo esférico cóncavo que dista de ella 10.0 m, la
imagen de un objeto, de modo que la imagen sea cuatro veces mayor. Determinar la distancia del espejo a
que se debe colocar el objeto, así como el radio de curvatura del mismo. Hacer también un análisis gráfico.
Solución:
Para poder proyectar la imagen generada por el espejo en una pantalla debe ser REAL. Adicionalmente
como debe ser de mayor tamaño que el objeto, éste tiene que ubicarse entre el centro de curvatura y el
foco del espejo cóncavo. En la Figura 16 se ilustra la formación de esta imagen, en donde se emplearon dos
rayos principales: un rayo que incide por el centro de curvatura del espejo, el cual se refleja regresando en
la misma dirección y un rayo que incide paralelamente al eje óptico, el cual se refleja por el foco.
13
14
Figura 16
Analíticamente se emplean las siguientes dos ecuaciones,
1 1 1
+ =
s' s
f
y'
s'
=y
s
M=
(1)
(2)
Como la imagen es REAL de un objeto REAL es invertida (también se observa en la Figura 16), M=-4, y por
lo tanto de la ecuación (2) se obtiene,
-4 = -
s'
s
(3)
Sabiendo que s’ =-10,0 m, de las ecuaciones (1) y (3) se obtiene,
s = - 2,50 m
f = - 2,00 m
Como,
f=
R
2
se obtiene,
R = - 4,00 m
Por lo tanto, el objeto debe ubicarse a 2,50 m delante del espejo esférico cóncavo y éste debe tener un
radio de curvatura igual 4,00 m.
Espejos planos
Los espejos planos son espejos esféricos de radio de curvatura infinito (
R   ). Con base en esto se
pueden encontrar sus fórmulas con base en la de los espejos esféricos,
1 1
2
+ =
s' s
R
15
Reemplazando
R   se obtiene para espejos planos,
s' = -s
Es decir, para espejos planos la imagen de un objeto REAL es virtual y se encuentra a la misma distancia
del espejo que el objeto pero atrás de éste.
En cuanto al aumento, como s’=-s se obtiene,
M=-
s'
 1
s
Es decir la imagen del objeto REAL formada por un espejo plano es VIRTUAL, DERECHA y de igual tamaño
que el objeto.
Forma tradicional de demostrar las expresiones del espejo plano
Figura 17
Observar la Figura 17. El objeto puntual O y la imagen también puntual O’. La imagen fue obtenida mediante
el trazado de dos rayos: uno perpendicular al espejo y al reflejarse se devuelve en la misma dirección y el
otro incidiendo oblicuo al espejo con un ángulo  y al reflejarse lo hace con un ángulo ’ cumpliendo la ley de
reflexión,  = ’.
Por geometría (paralelas cortadas por secante) se tiene,
φ=α
16
φ' = α'
y por lo tanto,
α = α'
Es decir el triangulo OO’V es isiscéles en cuyo caso su altura es mediatriz, conluyéndose,
s = s'
Si se tiene en cuenta las normas DIN,
s' = -s
Observar la Figura 18. El triángulo VAO es igual al triangulo VA’O’ ya que tienen sus tres ángulos iguales y
su base igual. Por lo tanto,
y  y'
Figura 18
De la definición de aumento,
M=
y'
= +1
y
Ejemplo 3:
¿Qué tamaño debe tener un espejo plano orientado verticalmente para que una persona de altura h se
observe completamente en él? Calcular además la altura a la que debe estar ubicado del piso.
Solución:
Figura 19
Observar la Figura 19. Para lograr reflejarse la persona entera en el espejo plano es necesario que los
rayos OP y AP’ incidan en la superficie de éste. A su vez estos rayos reflejados deben lograr entrar al ojo.
Analizando la construcción de la imagen se deduce que el tamaño del espejo debe ser PP’ y estar a una
altura sobre el piso igual a P’V.
Por geometría el triángulo PBP’ es semejante al triángulo O’BA’ (tiene sus bases paralelas y el ángulo en B
común). Por lo tanto se puede establecer la siguiente proporción,
h1
s
=
h
2s
Y por lo tanto,
17
h1 =
h
2
Un análisis análogo con los BA’A y P’A’V triángulos permite establecer la proporción,
h2
s
=
h'
2s
h2 =
18
h'
2
Es decir, para que la persona se pueda observar completamente, el espejo debe tener la mitad del tamaño
de la ella y estar su parte inferior a una distancia del piso igual a la mitad de la distancia que hay del éste a
sus ojos.
Ejemplo 4:
Mostrar que si un espejo plano es desplazado una distancia x en la dirección de la normal, la imagen se
mueve 2x.
Solución:
Figura 20
Observar la Figura 20. Inicialmente el objeto estaba a una distancia s del espejo y a igual distancia se
ubica su imagen detrás de éste. Si se desplaza el espejo una distancia x, el objeto se encontrará ya a una
distancia s + x y a igual distancia se ubicará su imagen detrás de éste. Por lo tanto de la geometría se
obtiene,
d = 2  s + x  - 2s
d = 2x
Es decir si el espejo se desplaza x la imagen se desplaza 2x.
Ejemplo 5:
19
Mostrar que cuando un espejo plano gira un ángulo  los rayos reflejados giran 2.
Solución:
Figura 21
Observar la Figura 21. El ángulo  que rota el espejo es igual al ángulo que rota la normal. Antes de rotar el
espejo el ángulo de incidencia del rayo y por ende el de reflexión es ; después de rotar el espejo el ángulo
de incidencia y el de reflexión del rayo es,
α=φ+θ
Por geometría de los ángulos el ángulo  que rota el rayo reflejado es,
β = 2α - 2φ
β = 2  φ + θ  - 2φ
β = 2θ
que es lo se pedía demostrar.
Taller sobre espejos
1. Completar la tabla 1 para espejos esféricos bajo aproximación paraxial. Todas las distancias están en
mm. R es el radio de curvatura, f es la distancia focal, s la distancia objeto, s’ la distancia imagen.
Resolver analítica y gráficamente.
Tabla 1
TIPO
R
s
s’
f
CONVEXO
PLANO
CÓNCAVO
90
-15
-300
-400
11
45
120
36
-96
-120
480
CONVEXO
Focos
reales o
virtuales
¿Imagen
real o
virtual?
VIRTUAL
-160
∞
CÓNCAVO
Sistema
convergente
o
divergente
Imagen
derecha o
invertida?
DERECHA
20
Aumento
0,75
0,5
48
-50
REAL
1,5
FIN.
Este módulo se lo dedico a mi gran amigo, mi perrito
BRUNO, que el día de hoy me tocó despedirlo con mucha
tristeza
pero con profundo amor para
evitarle
sufrimientos. Siempre que estaba escribiendo o realizando
simulaciones me acompañabas.
Dios te bendiga por habernos dado tanta felicidad.
Mayo 6 de 2013
Diego A.