51 - licimep.org

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 51, página 291.
La …gura
muestra la grá…ca de la derivada de una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y la cual
es continua en todo número real. A partir de la grá…ca determina la siguiente información e incorporala en una tabla
semejante a las tablas de la sección 3.6 (página 242): (i) los intervalos en los que f es creciente; (ii) los intervalos en los
que f es decreciente; (iii) los extremos relativos de f ; (iv) donde la grá…ca de f es cóncava hacia arriba; (v) donde la
grá…ca de f es cóncava hacia abajo; (vi) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f .
Dibuje la grá…ca de una función f que tenga las propiedades de la tabla si los únicos ceros de f son los indicados en
la …gura.
Solución:
(i) los intervalos en los que f es creciente
Una función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva en dicho intervalo.
De la grá…ca de la derivada de la función f
1
es claro que la función es creciente en el intervalo ( 1; 2):
(ii) los intervalos en los que f es decreciente
Una función es decreciente en un intervalo si su derivada es negativa en dicho intervalo.
De la grá…ca de la derivada de la función f
es claro que la función es decreciente en el intervalo (2; +1):
(iii) los extremos relativos de f ;
Como la función es continua en el conjunto de todos los números reales y por lo que acabamos de ver en los dos incisos
anteriores, la función f tiene un máximo relativo en x = 2. Ese es el único extremo relativo que tiene.
La grá…ca también nos muestra que la derivada de f no existe en x = 2; sin embargo, ese no es un impedimento para
que x = 2 sea un máximo relativo.
(iv) donde la grá…ca de f es cóncava hacia arriba
2
Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si su segunda derivada es positiva en dicho intervalo.
De la grá…ca de la derivada de la función f
es claro que la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( 1; 0) y en el intervalo (2; +1).
(v) donde la grá…ca de f es cóncava hacia abajo
Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si su segunda derivada es negativa en dicho intervalo.
De la grá…ca de la derivada de la función f
es claro que la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo (0; 2).
(vi) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f
La función f tiene un punto de in‡exión en x = 0, ya que ahí la segunda derivada cambia de signo.
A continuación presentamos una tabla resumiendo todos los puntos anteriores,
3
x<0
x=0
0<x<2
x=2
x>2
f 0 (x)
+
No existe
+
No existe
f 00 (x)
+
No existe
Conclusión
f es creciente y su grá…ca es concava hacia arriba
f es continua, pero no diferenciable
f es creciente y su grá…ca es concava hacia abajo
f es continua, pero no diferenciable
f es decreciente y su grá…ca es concava hacia arriba
No existe
+
Dibuje la grá…ca de una función f que tenga las propiedades de la tabla si los únicos ceros de f son los indicados en
la …gura
La función
p
f (x) =
x
x 2 ( 1; 0)
p
x 2 (0; 2)
f (x) = x
p p
p
2 x 2
x 2 (2; +1)
f3 (x) = 2
cuya grá…ca es
f(x)
1
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
cumple con las condiciones de este problema.
4
8
10
x
Es claro que la función tiene ceros en 0 y 3; es decir, f (0) = 0 y f (3) = 0.
Respecto a su derivada tenemos
1
f 0 (x) = p
2
x
x 2 ( 1; 0)
1
f 0 (x) = p
2 x
0
f (x) =
x 2 (0; 2)
p
1
2
p
2 x 2
x 2 (2; +1)
cuya grá…ca mostramos a continuación
f'(x)
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-0.2
8
10
x
-0.4
-0.6
y vemos que coincide cualitativamente con la grá…ca propuesta en el problema
Podemos calcular también la segunda derivada, que da
f100 (x) =
1
3
2
4 ( x)
5
1
f200 (x) =
f300 (x) =
3
4x 2
p
2
(x
3
2) 2
1
4
y cuya grá…ca es
2
f(x)
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
-2
-4
-6
-8
-10
donde podemos comprobar en que regiones la grá…ca es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
Como resumen general, presentamos la gra…ca de la función, de su derivada y de su segunda derivada y la tabla con
el detalle del comportamiento de la función
f(x)
f'(x)
1
1.5
f''(x)
1.0
-10
-5
5
-10
10
-4
-10
x<0
x=0
0<x<2
x=2
x>2
-5
5
-2
-0.5
-3
-1.0
No existe
+
p
2
2
= 4p (x
10
-6
x
-8
-10
Conclusión
f es creciente y su grá…ca es concava hacia arriba
f es continua, pero no diferenciable
f es creciente y su grá…ca es concava hacia abajo
f es continua, pero no diferenciable
f es decreciente y su grá…ca es concava hacia arriba
Extra: ¿Cómo se calculó la función para x > 2?
y
5
0.5
x
f 00 (x)
+
No existe
-5
-2
-1
f 0 (x)
+
No existe
+
No existe
2
2)
6
10
x
0
p
2
y
1
2
p
2
y
p
2
p=
2
2
2
= 4p (3
2)
= 2 (x
2)
2 (x
2)
p p
2 x 2
p
p p
f3 (x) = 2
2 x
y=
p
2
2
x 2 (2; +1)
7