Tarea 3 - Pontificia Universidad Católica de Chile

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIA DE LA COMPUTACION
Complejidad Computacional - IIC3242
Tarea 3
Fecha de Entrega: Miércoles 8 de junio
1. [3 puntos] Dada una fórmula proposicional ϕ cuyas variables proposicionales son x1 , . . ., xn ,
decimos que un número binario d1 · · · dn satisface ϕ si la valuación definida como σ(xi ) = di
(para todo i ∈ [1, n]) satisface ϕ. Usamos esta noción para definir el siguiente lenguaje:
impar-SAT[x1 , . . . , xn ] = {ϕ | ϕ es una fórmula proposicional cuyas
variables son x1 , . . . , xn , y el mayor número binario que satisface ϕ es impar}.
Además, definimos impar-SAT de la siguiente forma:
impar-SAT = {ϕ | existe n ≥ 1 tal que ϕ ∈ impar-SAT[x1 , . . . , xn ]}.
Demuestre que impar-SAT es ∆P2 -completo.
2. [3 puntos] Un esquema relacional R es un conjunto finito de sı́mbolos de relación, donde cada
sı́mbolo de relación R ∈ R tiene una aridad asociada mayor o igual a 1. Una instancia I de
un esquema relacional R asocia a cada sı́mbolo de relación R ∈ R de aridad k, una relación
RI de aridad k. Además, el dominio de una instancia I de un esquema R, denotado por
dom(I), se define como el conjunto de todos los sı́mbolos mencionados en las relaciones RI ,
para R ∈ R.
Dados dos esquema relacionales disjuntos S y T, una tuple-generating dependency (tgd) α
desde S a T es una fórmula en lógica de primer orden de la forma:
∀x1 · · · ∀xℓ ∀y1 · · · ∀ym (ϕ(x1 , . . . , xℓ , y1 , . . . , ym ) → ∃z1 · · · ∃zn ψ(x1 , . . . , xℓ , z1 , . . . , zn )),
donde ϕ(x1 , . . . , xℓ , y1 , . . . , ym ) es una conjunción de fórmulas atómicas relacionales sobre S
y ψ(x1 , . . . , xℓ , z1 , . . . , zn ) es una conjunción de fórmulas atómicas relacionales sobre T. Dada
una instancia I de S, una tupla (a1 , . . . , aℓ ) ∈ dom(I)ℓ y una tupla (b1 , . . . , bm ) ∈ dom(I)m ,
se dice que I satisface ϕ(a1 , . . . , aℓ , b1 , . . . , bm ), denotado por I |= ϕ(a1 , . . . , aℓ , b1 , . . . , bm ),
si para cada fórmula atómica relacional R(d1 , . . . , dp ) mencionada en ϕ(a1 , . . . , aℓ , b1 , . . . , bm )
(donde {d1 , . . . , dp } ⊆ {a1 , . . . , aℓ , b1 , . . . , bm }), se tiene que (d1 , . . . , dp ) ∈ RI . Adicionalmente,
dada una instancia J de T, se dice (I, J) satisface tgd α, denotado por (I, J) |= α, si para cada
(a1 , . . . , aℓ ) ∈ dom(I)ℓ y (b1 , . . . , bm ) ∈ dom(I)m tal que I |= ϕ(a1 , . . . , aℓ , b1 , . . . , bm ), existe
(c1 , . . . , cn ) ∈ dom(J)n tal que J |= ψ(a1 , . . . , aℓ , c1 , . . . , cn ). Finalmente, dado un conjunto Σ
1
de tgds desde S a T, se dice que (I, J) satisface Σ, denotado por (I, J) |= Σ, si (I, J) satisface
cada tgd en Σ.
Un sistema de intercambio de datos es una tupla M = (S, T, Σ), donde S y T son esquemas
relacionales disjuntos y Σ es un conjunto finito de tgds desde S a T. Dadas instancias I de S
y J de T, se dice que J es una solución para I bajo M si (I, J) |= Σ. En esta pregunta usted
debe encontrar la complejidad exacta del siguiente lenguaje:
SOL = {(M, I, J) | M = (S, T, Σ) es un sistema de intercambio de datos,
I es una instancia de S, J es una instancia de T y J es una solución para I bajo M}.
Vale decir, usted debe identificar una clase de complejidad C para la cual SOL sea C-completo,
y debe además demostrar que SOL es C-completo.
2