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ÁLGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 06/07
RELACIÓN 5
1.- Sea V un espacio vectorial, y supongamos que la descomposición de Jordan de un
elemento x ∈ gl(V ) es: x = d + n. Demuestra que la descomposición de Jordan de
ad x es ad d + ad n.
2.- Sea V un espacio vectorial complejo, y sea L una subálgebra de gl(V ). Supongamos
que L es soluble. Usa el Teorema de Lie para demostrar que existe una base de V con
respecto a la cual todo elemento de L! queda representado por una matriz triangular
superior estricta. Concluye que tr xy = 0, cualesquiera que sean x ∈ L, y ∈ L! .
3.- Sea L un álgebra de Lie de dimensión finita. Para cada ideal I de L definimos.
I ⊥ := {x ∈ L | k(x, I) = 0},
donde k es la forma Killing de L. Prueba que I ⊥ es un ideal de L.
4.- En las condiciones del problema anterior, aplı́quese el criterio de Cartan para demostrar que I ∩ I ⊥ es un ideal soluble de L.
5.- Calcula la forma Killing del álgebra de Lie L := sl(2, F ).
6.- Determina la descomposición de Jacobson-Chevalley de los siguientes endomorfismos
de C3 , C4 y C6 , respectivamente:


1 0 1 1 1 1




1 0 2 −6
0 1 0 1 0 0
3 −2 0


0 1 −1 3 
0 0 1 0 0 0
, 
−1 0 −1 , 

.
0 0 1
3
0 0 1 1 0 0

−1 3
2
0 0 0 0 0 1
0 0 0
2
0 0 0 0 −1 0
7.- Sea δ una derivación de un álgebra de Lie L. Prueba que si λ, µ ∈ C y x, y ∈ L,
entonces:
n ( )
'
n
n [(δ − λ1 )k x, (δ − µ1 )n−k y].
(δ − (λ + µ)1L ) [x, y] =
L
L
k=0
k
A partir de aquı́, probar que si la descomposición primaria de L con respecto a δ es
L = ⊕λ Lλ , entonces [Lλ , Lµ ] ⊆ Lλ+µ .
8.- Sean L1 y L2 álgebras de Lie complejas semisimples, y supongamos que ϕ : L1 → L2
es un homomorfismo sobreyectivo. Demuestra que si x ∈ L1 tiene descomposición de
Jordan abstracta x = d + n, entonces la descomposición de Jordan abstracta de ϕ(x)
es: ϕ(d) + ϕ(n).