3_escala_1 - WordPress.com

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Solucion de escala para el numero de fragmentos
Habiamos visto
Caso unidimensional
ns = ps (1 p)2 = ps (p pc )2 =)
ln(ns ) = s ln(p) + ln(p pc )2 =)/
Caso dimension 1
ns / s 5=2 exp( cs) =)
ln(ns ) = 25 ln(s) cs =)/ s
s
Tomando esta "similaridad" como base y suponiendo que la relacion para
"altas dimensiones es mas general" hacemos:
Proponemos
ns = s exp( cs)
(1)
pero admitimos que c no es necesariamente (p
mas general
1=
c / jp pc j
pc )2 , proponiendo la forma
(2)
para p ! pc y ademas s grande. Necesitamos que aparezca el modulo pues
debe ser real
Tomando esto como valido, hacemos :
P es la fuerza del cluster percolante (probabilidad de que un nodo pertenezca
al cluster percolante)
P
Recordemos que P + ns s = p donde hemos separado la contribucion del
cluster in…nito (si existe).
a) P = Ncluster1 s1 =Ld = ncluster1 s1
Atencion : ns j1 = 0 pues hay a lo sumo un cluster in…nito (al menos en 3
dimensiones) y entonces
de clusters por nodo es 0:
P el numero
P
b)
ns s =
Ns s=Ld
1.1
Fuerza del cluster percolante
Para calcular el numero de nodos en el cluster 1 escribimos:
X
X
P+
ns s = p =) P = p
ns s;
exactamente en pc ; P = 0 y entonces
1
P
(3)
ns (pc ) sc = pc , o sea (pues c = 0)
pc =
R
(p
X
ss
=
X
s1
;
(4)
para que la suma converja necesitamos
s
x
ds :
s1 x
x 1
j1
1
= si x > 1 converge =)
>2
En pc la fuerza del cluster percolante es 0 (recordemos que para Bethe P /
pc ) ),
Entonces en la vecindad
de pc tenemos
P
i) P + P ns s p = 0
ii) 0 + ns s jpc pc = 0
o sea
X
X
P =p
ns s +
ns (pc ) s
Para p 6= pc =) ns = s
Para p = pc =) ns = s
Entonces
P
X
=
/
X
s1
exp( cs), con c / jp
s
exp( cs)s +
[1
X
s
pc
1=
s + [p
exp( cs)]
2
Integrando
R 0por partes , i.e. f (s) = s
fg=
f g ds + f g y con z = cs da
h
a) como > 2 f g(1) = s 1 2 1
f g(1) = se va a 0
c c
pc ]
(6)
(7)
s
, g(s) = 1
0
R
(5)
pc j
Como los terminos dominantes, como ya vimos, en p
Z
P / s(1 ) [1 exp( cs)]
R
>2
1
exp(cs)
i
pc tenemos
(8)
exp( cs) resulta que
se va a 0
R
0
b) g 0 (s) = [1 exp( cs)] R ! e sc c =) P / c s2
1
2 2
2
z 2 exp( z) dz
Rz 2 exp( z) dz c = c
z
exp( z) dz =
(3
; z)
exp( cs) ds =
Entonces
P /c
2
2
(9)
pc )1= entonces
pero c era en la forma general / (p
pc )(
P / (p
2)=
= (p
pc )
(10)
con
=
(
2)
(11)
que debe compararse con el comportamiento en la red de Bethe que daba
P / (p pc )
1.2
S
Ademas
podemos verPcomo se comporta S en el umbral, S =
P 2
s ns =pc =) S / s2 ns
(las sumas excluyen el cluster in…nito)
S
Z
s2 ns ds
Z
3
/ c
z2
/
P
s2 ns =p =) S =
(12)
exp( z)dz
(13)
Luego
S/c
3
[
/ jp
pc j
3]=
(14)
De…nimos entonces otro exponente "critico"
= (3
debe ser > 0 y
)=
(15)
tambien, entonces
2<
<3
(16)
Todo sugiere que cada vez que calculamos algo tenemos que de…nir un nuevo
exponente critico!
Pero...
3
1.3
Momentos de la distribucion
Lo que hemos calculado hasta ahora son cosas de la forma
X
Mk =
sk ns
(17)
s
esto es el "k-esimo" momento de la distribucion del numero de fragmentos
Operando como siempre
X
Mk /
sk exp( cs)
(18)
/
Zs
= c
sk
1
exp( cs) ds
Z
k
z k exp( z) dz
(19)
(
(21)
(20)
Entonces resulta
Mk / c
y
1 k
/ jp
pc j
1 k)=
De donde vemos que todas estas expresiones solo dependen de 2 exponentes,
o de culaesquiera par que tomemos.
= 1= ( + )
= 2 + =( + )
Este resultado es aplicable
si la suma diverge.
P
Por ejemplo M1 = sns es la fuerza del cluster percolante, que no diverge.
P 1
Entonces calculamos la derivada de M1 =
s
exp( cs) pero podemos
calcular la derivada
con
respecto
de
c
y
obtenemos
P 2
@M1
s
exp( cs) = M2 / c 3 =) M1 = cte + c 2
@c =
1.4
Problemas con las suposiciones en este calculo
a) la ley de escala usada no incluye al caso unidimensional
Si uno hace las cuentas no encuentra forma de llevar una forma a la
otra.
b) P tiene un comportamiento simetrico respecto de pc
Pues ns es simetrico respecto de p pues la distancia al punto critico aparece
en modulo.
P
c) Sabemos que ns (p) = t gst ps (1 p)t , o sea un polinomio en p …nito
que no diverge (ni sus derivadas ) en pc : Pero la
ns = s exp( (p pc )1= s) tendra divergencias en pc si 1= no es entero.
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