Apuntes sobre la integral de Lebesgue

Apuntes sobre la integral de Lebesgue
Miguel Lacruz Martı́n
Universidad de Sevilla
1.
1.1.
Medida de Lebesgue
Introducción
La longitud `(I) de un intervalo I ⊆ R se define habitualmente como la distancia entre los
extremos del intervalo. La longitud es un ejemplo de función de conjunto, es decir, una función
que asocia un número real a cada elemento de una familia de conjuntos. El objetivo es extender la
noción de longitud a conjuntos más complicados que los intervalos. Se puede definir, por ejemplo,
la longitud de un conjunto abierto como la suma de las longitudes de los intervalos abiertos que
lo componen, pero la clase de los conjuntos abiertos es aún demasiado restringida.
Se trata entonces de construir una función de conjunto m que asigne a cada conjunto E en alguna
familia M de conjuntos de números reales, un número real no negativo m(E) llamado medida
de E, de modo que se cumplan las siguientes propiedades:
1. Si I ⊆ R es un intervalo entonces m(I) = `(I),
2. Si (En ) es una sucesión de conjuntos disjuntos en M entonces m
∞
[
n=1
!
En
=
∞
X
m(En ),
n=1
3. Si a ∈ R y E ∈ M entonces m(a + E) = m(E).
Más adelante se verá que no es posible construir una función de conjunto que cumpla estas tres
propiedades cuando M = P(R). La construcción se llevará a cabo entonces para una familia de
conjuntos M ⊆ P(R) lo más amplia posible.
1.2.
Medida exterior
Sea A ⊆ R un
S conjunto de números reales, sea (In ) una sucesión infinita de intervalos abiertos
tal que A ⊆ In , y consideremos la suma infinita de las longitudes de estos intervalos. Como
las longitudes son positivas, la suma infinita está bien definida, independientemente del orden de
los intervalos. Se define la medida exterior m∗ (A) como el ı́nfimo de tales sumas, es decir,
(∞
)
∞
X
[
m∗ (A) := ı́nf
`(In ) : A ⊆
In .
n=1
n=1
∗
Se sigue inmediatamente de la definición que m (∅) = 0 y que si A ⊆ B entonces m∗ (A) ≤ m∗ (B).
También resulta evidente que la medida exterior de un conjunto que consiste de un punto es cero.
A continuación se establecen dos proposiciones acerca de la medida exterior.
Proposición 1. La medida exterior de un intervalo es igual a su longitud.
1
Demostración. Consideramos en primer lugar un intervalo cerrado y acotado, digamos I = [a, b].
Sea ε > 0 y observemos que I ⊆ (a − ε, b + ε), de modo que m∗ (I) ≤ `(a − ε, b + ε) = `(I) + 2ε.
y por lo tanto m∗ (I) ≤ `(I). Ahora debemos probar que m∗ (I) ≥ `(I), o de forma equivalente,
que para cualquier sucesión (In ) de intervalos abiertos que recubre al intervalo I se tiene
∞
X
`(In ) ≥ b − a.
n=1
Aplicando el teorema de Heine-Borel se obtiene un conjunto finito F ⊆ N tal que I ⊆
[
In .
n∈F
Como a ∈
[
In , existe n1 ∈ F tal que a ∈ In1 = (a1 , b1 ), de modo que a1 < a < b1 . Si
n∈F
b1 ≤ b, entonces b1 ∈ I, y como b1 ∈
/ In1 , existe n2 ∈ F tal que b1 ∈ In2 = (a2 , b2 ), es decir,
a2 < b1 < b2 . Continuando este proceso, se obtiene una sucesión de intervalos Inj = (aj , bj ) tal
que aj < bj−1 < bj . Como F es finito, el proceso debe terminar en cierto intervalo Ink = (ak , bk ),
y el proceso solamente se detiene si b < bk . Tenemos por lo tanto
∞
X
`(In ) ≥
n=1
k
X
`(Inj ) = (bk − ak ) + (bk−1 − ak−1 ) + · · · + (b1 − a1 )
j=1
=
bk − (ak − bk−1 ) − (ak−1 − bk−2 ) − · · · − (a2 − b1 ) − a1 > bk − a1 ,
puesto que aj < bj−1 . Ahora bien, bk > b y a1 < a, luego bk − a1 > b − a, y de ahı́ el resultado.
Si I es un intervalo acotado cualquiera entonces para cada ε > 0 existe un intervalo cerrado
J ⊆ I tal que `(J) > `(I) − ε, luego `(I) − ε < `(J) = m∗ (J) ≤ m∗ (I) ≤ m∗ (I) = `(I) = `(I).
Ası́ `(I) − ε < m∗ (I) ≤ `(I) para todo ε > 0, y por lo tanto m∗ (I) = `(I).
Si I es un intervalo no acotado entonces para cada M > 0 existe un intervalo cerrado J ⊆ I tal
que `(J) = M, luego m∗ (I) ≥ m∗ (J) = `(J) = M. Ası́ m∗ (I) ≥ M para todo M > 0, de donde
se deduce que m∗ (I) = ∞ = `(I).
Proposición 2. Si (An ) es una familia numerable de conjuntos de números reales entonces
!
∞
∞
[
X
∗
m
An ≤
m∗ (An ).
n=1
n=1
Demostración. Si alguno de los conjuntos An tiene medida exterior infinita entonces se cumple
la desigualdad trivialmente. Si An tiene medida exterior finita entonces para cada ε > 0 existe
una sucesión de intervalos abiertos (In,j )∞
j=1 tal que
An ⊆
∞
[
In,j
y
j=1
∞
X
`(In,j ) < m∗ (An ) +
j=1
Ahora la familia (In,j )∞
n,j=1 es numerable y recubre al conjunto
∞
[
ε
.
2n
An , luego
n=1
m
∗
∞
[
n=1
!
An
≤
∞ X
∞
X
n=1 j=1
`(In,j ) ≤
∞ h
X
n=1
de donde se sigue el resultado.
m∗ (An ) +
∞
ε i X ∗
=
m (An ) + ε,
2n
n=1
2
Corolario 1. Si A ⊆ R es numerable entonces m∗ (A) = 0.
Corolario 2. El intervalo [0, 1] es no numerable.
Proposición 3. Si A ⊆ R y ε > 0 entonces existe un abierto G ⊇ A tal que m∗ (G) ≤ m∗ (A) + ε.
Proposición 4. Si A ⊆ R entonces existe un conjunto G ∈ Gδ tal que G ⊇ A y m∗ (G) = m∗ (A).
Problemas
1. Sea A = Q∩[0, 1]. Probar que si (In ) es una familia
X finita de intervalos abiertos que recubre
al conjunto A entonces se tiene la desigualdad
`(In ) ≥ 1.
n
2. Demostrar la proposición 3 y la proposición 4.
3. Demostrar que la medida exterior es invariante por traslaciones.
4. Probar que si m∗ (A) = 0 entonces m∗ (A ∪ B) = m∗ (B).
1.3.
Conjuntos medibles y medida de Lebesgue
La medida exterior tiene la ventaja de estar definida para cualquier conjunto de números reales,
pero no es numerablemente aditiva. Sin embargo, se hace numerablemente aditiva cuando se
restringe adecuadamente la familia de conjuntos donde está definida. Quizás la mejor forma de
hacer esto sea usando la siguiente definición de Carathéodory.
Definición. Se dice que un conjunto E ⊆ R es medible si para todo A ⊆ R se tiene
m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ).
Como siempre se tiene m∗ (A) ≤ m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ), resulta que E es medible si y sólo si
m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ). Como la definición de conjunto medible es simétrica respecto
a E y E c , resulta que E es medible si y sólo si E c es medible. Está claro que ∅ y R son medibles.
Lema 1. Si m∗ (E) = 0 entonces E es medible.
Demostración. Si A ⊆ R entonces A∩E ⊆ E, luego m∗ (A∩E) ≤ m∗ (E) = 0. Además A ⊇ A∩E c ,
de donde m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ), y por lo tanto E es medible.
Lema 2. Si E, F ⊆ R son medibles entonces E ∪ F es medible.
Demostración. Sea A ⊆ R es un conjunto cualquiera. Como F es medible, tenemos
m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A ∩ E c ∩ F ) + m∗ (A ∩ E c ∩ F c ),
y como A ∩ (E ∪ F ) = [A ∩ E] ∪ [A ∩ F ∩ E c ], tenemos
m∗ (A ∩ [E ∪ F ]) ≤ m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ F ∩ E c ).
Ası́
m∗ (A ∩ [E ∪ F ]) + m∗ (A ∩ E c ∩ F c ) ≤
=
m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ F ∩ E c ) + m∗ (A ∩ E c ∩ F c )
m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A),
y como (E ∪ F )c = E c ∩ F c , se sigue que E ∪ F es medible.
3
Corolario 3. La familia M de los conjuntos medibles es un álgebra de conjuntos.
Lema 3. Si A ⊆ R es un conjunto cualquiera y E1 . . . En es una sucesión finita de conjuntos
medibles disjuntos entonces



n
n
[
X
m∗ A ∩ 
Ej  =
m∗ (A ∩ Ej ).
j=1
j=1
Demostración. Usamos inducción en n. El resultado es evidente cuando n = 1. Supongamos que
se cumple el resultado cuando tenemos n − 1 conjuntos medibles. Como los conjuntos Ej son
disjuntos, tenemos






n
n
n−1
[
[
[
A∩
Ei  ∩ En = A ∩ En ,
A∩
Ej  ∩ Enc = A ∩ 
Ej  ,
j=1
j=1
y como En es medible, se sigue que



n
[
m∗ A ∩ 
Ei 
j=1


n−1
[
= m∗ (A ∩ En ) + m∗ A ∩ 
j=1

Ej 
j=1
= m∗ (A ∩ En ) +
n−1
X
m∗ (A ∩ Ej ),
j=1
donde la última igualdad se tiene por hipótesis de inducción.
Teorema 1. La familia M de los conjuntos medibles es una σ-álgebra, es decir, el complemento
de un conjunto medible es medible, y la unión y la intersección de una familia numerable de
conjuntos medibles es medible. Además, cualquier conjunto con medida exterior nula es medible.
Demostración. Ya hemos probado que M es un álgebra de conjuntos, ası́ que solamente tenemos
que probar que la unión de una familia numerable de conjuntos medibles es medible. Sea (En )
∞
[
En .
una sucesión de conjuntos medibles y sea E =
n=1
Veamos en primer lugar que se puede expresar E como la unión de una familia numerable de
conjuntos medibles disjuntos. Consideremos la sucesión de conjuntos (Fn ) definida mediante
c
Fn = En \ (E1 ∪ · · · ∪ En−1 ) = En ∩ E1c ∩ · · · ∩ En−1
.
Tenemos Fn ⊆ En , y como M es un álgebra, cada Fn es medible. Además, si m < n entonces
c
c
Fm ∩ Fn ⊆ Em ∩ Fn = Em ∩ (En ∩ En−1
∩ · · · ∩ Em
∩ · · · E1c ) = ∅.
Como Fn ⊆ En , tenemos
∞
[
∞
[
Fn ⊆
n=1
Entonces x ∈ Fn y por lo tanto
∞
[
En . Sea ahora x ∈
n=1
n=1
En ⊆
En y sea n = mı́n{ j ∈ N : x ∈ Ej }.
n=1
∞
[
Fn . Resumiendo, (Fn ) es una sucesión de conjuntos
n=1
medibles disjuntos con la propiedad de que
∞
[
∞
[
En =
n=1
4
∞
[
n=1
Fn .
Veamos ahora que E es medible. Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera y sea Gn =
n
[
Fj ⊆ E.
j=1
Ahora se sigue del lema 2 que Gn es medible. Además Gcn ⊇ E c , y por lo tanto
m∗ (A) = m∗ (A ∩ Gn ) + m∗ (A ∩ Gcn ) ≥ m∗ (A ∩ Gn ) + m∗ (A ∩ E c ).
Según el lema 3 se tiene
m∗ (A ∩ Gn ) =
n
X
m∗ (A ∩ Fj ),
j=1
de donde se deduce que
m∗ (A) ≥
n
X
m∗ (A ∩ Fj ) + m∗ (A ∩ E c ).
j=1
Tomando lı́mites cuando n → ∞ y usando la subaditividad de la medida exterior resulta
m∗ (A) ≥
∞
X
m∗ (A ∩ Fj ) + m∗ (A ∩ E c ) ≥ m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ),
j=1
y por lo tanto E es medible.
Si E ⊆ R es un conjunto medible, se define su medida de Lebesgue m(E) como su medida
exterior, es decir, m(E) = m∗ (E). Ası́, la medida de Lebesgue m es la restricción de la medida
exterior m∗ a la σ-álgebra M de los conjuntos medibles. Las siguientes proposiciones resumen
dos importantes propiedades de la medida de Lebesgue.
Proposición 5. Si (En ) es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos entonces
m(
∞
[
En ) =
n=1
∞
X
m(En ).
n=1
Demostración. Como la medida exterior es numerablemente subaditiva se tiene la desigualdad
m(
∞
[
En ) ≤
n=1
∞
[
Sea ahora n ∈ N y observemos que
Ej ⊇
j=1
m(
∞
[
m(En ).
n=1
n
[
Ej . Aplicando el lema 3 resulta
j=1
Ej ) ≥ m(
j=1
∞
X
n
[
Ej =
j=1
n
X
m(Ej ),
j=1
y tomando lı́mites cuando n → ∞ se obtiene la desigualdad deseada.
Proposición 6. Sea (En ) una sucesión decreciente de conjuntos medibles, es decir, En ⊇ En+1 ,
y supongamos que m(E1 ) < ∞. Entonces se tiene
m(
∞
\
n=1
En ) = lı́m m(En ).
n→∞
5
Demostración. Sea E =
∞
\
En y sea Fn = En \ En+1 , de modo que (Fn ) es una sucesión de
n=1
conjuntos medibles disjuntos tal que E1 \ E =
∞
[
Fn . Tenemos
n=1
m(E1 \ E) =
∞
X
m(Fn ) =
n=1
∞
X
m(En \ En+1 ).
n=1
Ahora bien, m(E1 ) = m(E1 \ E) + m(E) y m(En ) = m(En \ En+1 ) + m(En ), puesto que E ⊆ E1
y En+1 ⊆ En . Además se tiene m(En ) ≤ m(E1 ) < ∞, y por lo tanto m(E1 \ E) = m(E1 ) − m(E)
y m(En \ En+1 ) = m(En ) − m(En + 1). Finalmente,
m(E1 ) − m(E)
=
=
∞
X
m(En+1 \ En )
n=1
∞
X
[m(En ) − m(En+1 )]
n=1
=
=
lı́m
n→∞
n
X
[m(Ej ) − m(Ej+1 )]
j=1
lı́m [m(E1 ) − m(En+1 )] = m(E1 ) − lı́m m(En+1 ),
n→∞
n→∞
de donde se deduce que m(E) = lı́m m(En ).
n→∞
Problemas
1. Sea E ⊆ R medible y sea a ∈ R. Probar que el conjunto trasladado a + E es medible.
2. Probar que si E, F ⊆ R son medibles entonces m(E) + m(F ) = m(E ∪ F ) + m(E ∩ F ).
3. Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera y sea (En ) una sucesión de conjuntos medibles disjuntos.
∞
∞
[
X
Probar que entonces m(A ∩
En ) =
m(A ∩ En ).
n=1
n=1
4. Probar que el conjunto ternario de Cantor es no numerable y tiene medida cero.
1.4.
Conjuntos de Borel y regularidad
Aunque la intersección de una familia cualquiera de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de
cualquier familia finita de conjuntos cerrados es cerrada, la unión de una familia de numerable
de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada. El conjunto de los números racionales, por
ejemplo, es la unión numerable de una familia de conjuntos cerrados, cada uno de los cuáles
contiene exactamente un punto. Como nos interesan σ-álgebras de conjuntos que contengan los
conjuntos cerrados, debemos considerar conjuntos más generales que los abiertos y los cerrados.
Se define la familia de los conjuntos de Borel B como la menor σ-álgebra que contiene los
subconjuntos abiertos. También se puede contemplar B como la menor σ-álgebra que contiene
los subconjuntos cerrados y como la menor σ-álgebra que contiene los intervalos abiertos.
6
Lema 4. El intervalo (a, ∞) es medible.
Demostración. Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera y sean A1 = A ∩ (a, ∞), A2 = A ∩ (−∞, a].
Debemos probar que m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A). Podemos suponer que m∗ (A) < ∞. Sea ε > 0
y sea (In ) una sucesión de intervalos abiertos que recubre al conjunto A y tal que
∞
X
`(In ) ≤ m∗ (A) + ε.
n=1
Sea Jn = In ∩(a, ∞) y Kn = In ∩(−∞, a]. Entonces Jn y Kn son intervalos (posiblemente vacı́os)
y además `(In ) = `(Jn ) + `(Kn ) = m∗ (Jn ) + m∗ (Kn ). Como la sucesión (Jn ) recubre A1 se tiene
∞
[
m∗ (A1 ) ≤ m∗ (
Jn ) ≤
n=1
∞
X
m∗ (Jn ),
n=1
y como la sucesión (Kn ) recubre A2 se tiene
m∗ (A2 ) ≤ m∗ (
∞
[
Kn ) ≤
n=1
∞
X
m∗ (Kn ).
n=1
Combinando las desigualdades anteriores se obtiene
∞
X
m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤
n=1
∞
X
=
m∗ (Jn ) + m∗ (Kn )
`(In ) ≤ m∗ (A) + ε,
n=1
y como ε > 0 es arbitrario, se deduce que m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A).
Teorema 2. Todo conjunto de Borel es medible. En particular, todo conjunto abierto y todo
conjunto cerrado es medible.
Demostración. Como la familia M de los conjuntos medibles es una σ-álgebra y como (a, ∞)
∞
[
es medible, se sigue que (−∞, a] = R\(a, ∞) es medible. Como (−∞, b) =
(−∞, b − 1/n], se
n=1
sigue que (−∞, b) es medible. Ası́ cualquier intervalo abierto (a, b) = (−∞, b)∩(a, ∞) es medible.
Pero todo conjunto abierto es unión numerable de intervalos abiertos y por lo tanto es medible.
Ahora M es una σ-álgebra que contiene los conjuntos abiertos y por lo tanto contiene la familia
B de los conjuntos de Borel, pues B es la menor σ-álgebra que contiene los conjuntos abiertos. Proposición 7. Sea E ⊆ R un conjunto cualquiera. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1. E es medible,
2. ∀ε > 0 existe un conjunto abierto G ⊇ E tal que m∗ (G\E) < ε,
3. ∀ε > 0 existe un conjunto cerrado F ⊆ E tal que m∗ (E\F ) < ε,
4. Existe G ∈ Gδ con G ⊇ E y tal que m∗ (G\E) = 0,
5. Existe F ∈ Fσ con F ⊆ E y tal que m∗ (E\F ) = 0.
7
Esta proposición expresa una propiedad de regularidad para la medida de Lebesgue, es decir, que
los conjuntos medibles están muy cercanos a conjuntos con buenas propiedades. Su demostración
se deja como ejercicio.
Problemas
1. Demostrar la proposición 7 usando las siguientes indicaciones:
a) Probar que cuando m∗ (E) < ∞ se tiene (1) =⇒ (2).
b) Probar que cuando E ⊆ R es arbitrario se tiene (1) =⇒ (2) =⇒ (4) =⇒ (1).
c) Probar que (1) =⇒ (3) =⇒ (5) =⇒ (1).
1.5.
Existencia de conjuntos no medibles
Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia
en el intervalo [0, 1) del siguiente modo: dos números x, y ∈ [0, 1) son equivalentes si x − y ∈ Q.
Esta relación define una partición del intervalo [0, 1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma
de elección, existe un conjunto S ⊆ [0, 1) que contiene exactamente un elemento de cada clase.
Sea ahora (rj ) una numeración de los números racionales en el intervalo (−1, 1) y sea Sj = rj +S.
Veamos cómo (Sj ) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x ∈ Sj ∩ Sk entonces x = rj + sj
y x = rk + sk con sj , sk ∈ S, pero sj − sk = rk − rj ∈ Q, luego sj = sk y por lo tanto n = m.
Además se tiene
∞
[
[0, 1) ⊆
Sj ⊆ (−1, 2),
j=1
porque si x ∈ [0, 1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y ∈ S tal
que x − y ∈ Q, de modo que x − y = rj para algún j ≥ 1, y ası́ x ∈ Sj . Ahora probamos que S
no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces Sj es un conjunto medible con
m(Sj ) = m(S) para todo j ≥ 1 y por lo tanto
m(
∞
[
Sj ) =
j=1
∞
X
m(Sj ) =
j=1
y esto es una contradicción porque 1 ≤ m(
∞
[
∞
X
m(S),
j=1
Sj ) ≤ 3, mientras que la serie de la derecha converge
j=1
a cero o diverge, según sea m(S) cero o positiva.
Problemas
1. Probar que si A ⊆ R es un conjunto cualquiera con m∗ (A) > 0 entonces existe un conjunto
no medible E ⊆ A. Indicación: Si A ⊆ (0, 1), sea Ej = A∩Sj . La medibilidad de Ej implica
∞
X
que m(Ej ) = 0, mientras que
m∗ (Ej ) ≥ m∗ (A) > 0.
j=1
2. Construir un ejemplo de una sucesión (Ej ) de conjuntos disjuntos tal que
∗
m (
∞
[
Ej ) <
n=1
∞
X
j=1
8
m∗ (Ej ).
2.
2.1.
La integral de Lebesgue
Introducción
La integral clásica de Riemann, introducida en el siglo XIX, tropieza con dificultades cuando se
enfrenta a procesos de convergencia. La integral de Lebesgue permite la transición al lı́mite sin
ningún tipo de restricciones. Además, la integral de Lebesgue no se reduce a funciones definidas en
intervalos acotados, sino que permite la integración extendida a dominios mucho más generales.
También, las integrales impropias se engloban dentro del mismo marco, sin necesidad de procesos
especiales de paso al lı́mite. Finalmente, la integral de Lebesgue constituye una herramienta
imprescindible en el Análisis de Fourier, el Análisis Funcional y otras ramas de las Matemáticas.
2.2.
Funciones simples
La función caracterı́stica χA de un conjunto cualquiera de números reales A ⊆ R se define como
1, si x ∈ A
χA (x) =
0, si x ∈
/ A.
Una función simple es cualquier función de variable real de la forma f =
n
X
aj χEj , donde aj ∈ R
j=1
y cada Ej ⊆ R es un conjunto medible. Observemos que esta representación para f no es única.
Una función es simple si y sólo si toma una cantidad finita de valores. Si f es una función simple
y {a1 , . . . , an } es el conjunto de valores no nulos de f entonces se tiene una representación
f=
n
X
aj χAj ,
j=1
donde Aj = {x ∈ R : f (x) = aj }. Esta representación para f se llama representación canónica y
se caracteriza porque los conjuntos Aj son disjuntos y los valores aj son distintos.
Si f es una función simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita, entonces se define
su integral de Lebesgue como
Z
n
X
aj m(Aj ),
f (x)dx :=
R
donde f =
n
X
j=1
Z
aj χAj es su representación canónica. A veces se escribe de forma abreviada
f.
j=1
Si E ⊆ R es un conjunto medible cualquiera entonces se define la integral de f extendida a E
mediante la expresión
Z
Z
f := f · χE .
E
A menudo resulta conveniente trabajar con representaciones que no son canónicas y el siguiente
lema tiene mucha utilidad.
n
X
Lema 5. Sea f =
aj χEj , con Ej ∩ Ek = ∅ cuando j 6= k. Supongamos que cada conjunto Ej
j=1
es medible y tiene medida finita. Entonces
Z
n
X
f=
aj m(Ej ).
j=1
9
[
Demostración. Sea Aa = {x ∈ R : f (x) = a}. Observemos que Aa =
Ej , y por aditividad se
aj =a
sigue que am(Aa ) =
X
Z
aj m(Ej ), luego
f=
aj =a
X
am(Aa ) =
n
X
aj m(Ej ).
j=1
a∈R
Proposición 8. Si f, g son dos funciones simples que se anulan fuera de un conjunto medible
de medida finita entonces
Z
Z
Z
(af + bg) = a f + b g.
Si además f ≥ g entonces
Z
Z
f≥
g.
Demostración. Consideremos las representaciones canónicas f =
X
aj χAj , g =
j
X
bk χBk , y sea
k
Ejk = Aj ∩ Bk , de modo que los conjuntos Ejk son medibles y disjuntos. Además se tiene
X
X
f=
aj χEjk , g =
bk χEjk ,
j,k
j,k
y por lo tanto
af + bg =
X
(aaj + bbk )χEjk .
j,k
Ahora se sigue del lema 5 que
Z
X
(af + bg) =
(aaj + bbk )m(Ejk )
j,k
=
a
X
aj m(Ejk ) + b
j,k
Z
bk m(Ejk ) = a
Z
f +b
g.
j,k
Z
Además, si f ≥ g entonces f −g ≥ 0, luego
X
Z
f−
Z
g=
(f − g) ≥ 0, porque una consecuencia
inmediata de la definición es que la integral de una función simple no negativa es no negativa. Z
n
n
X
X
Supongamos que f =
aj χEj . Se sigue de la proposición 8 que
f=
aj m(Ej ), y por lo
j=1
j=1
tanto, la restricción de que los conjuntos Ej sean disjuntos en el lema 5 no es necesaria.
Problemas
1. Sean A, B ⊆ R. Probar las siguientes identidades:
a) χA∩B = χA · χB ,
b) χA∪B = χA + χB − χA∩B ,
c) χAc = 1 − χA .
2. Sean f, g funciones simples. Probar que f + g, f − g y f g también son funciones simples.
10
2.3.
Funciones medibles
Se dice que una función real de variable real f es medible si f −1 (B) = {x ∈ R : f (x) ∈ B}
es medible para cada conjunto de Borel B ⊆ R. El siguiente resultado proporciona algunas
condiciones sencillas para comprobar en la práctica si una función dada es medible.
Proposición 9. Sea f una función real de variable real. Son equivalentes:
(a) f es una función medible,
(b) ∀α > 0 el conjunto {x ∈ R : f (x) ≤ α} es medible,
(c) ∀α > 0 el conjunto {x ∈ R : f (x) > α} es medible,
(d) ∀α > 0 el conjunto {x ∈ R : f (x) ≥ α} es medible,
(e) ∀α > 0 el conjunto {x ∈ R : f (x) < α} es medible.
Demostración. Tenemos (a) =⇒ (b) porque (−∞, α] ∈ B y {x ∈ R : f (x) ≤ α} = f −1 ((−∞, α]).
A continuación (b) =⇒ (c) porque {x ∈ R : f (x) < α} = R\{x ∈ R : f (x) ≥ α} y el complemento
de un conjunto medible es un conjunto medible. Análogamente, (d) =⇒ (e). Ahora (c) =⇒ (d)
∞
\
porque {x ∈ R : f (x) ≥ α} =
{x ∈ R : f (x) > α − 1/n} y la intersección de una sucesión de
n=1
conjuntos medible es un conjunto medible. Finalmente, sea A = {B ∈ B : f −1 (B) ∈ M}.
Estamos suponiendo que (−∞, α) ∈ A para todo α ∈ R. Además, si (An ) es una sucesión de
∞
∞
∞
[
[
[
conjuntos en A entonces f −1 (
An ) =
f −1 (An ), luego
An ∈ A. Si A ∈ A entonces se
n=1
n=1
n=1
tiene f −1 (R\A) = R\f −1 (A) luego R\A ∈ A. Ası́ A es una σ-álgebra, A ⊆ B y A contiene todos
los conjuntos de la forma (−∞, α). Se deduce entonces que A = B y por lo tanto f es medible.
Esto prueba que (e) =⇒ (a).
Los siguientes resultados muestran cómo ciertas operaciones con funciones medibles conducen a
nuevas funciones medibles.
Proposición 10. Si f, g son dos funciones medibles y c es una constante entonces las funciones
f + c, cf, f + g, f g también son medibles.
Demostración. Tenemos {x ∈ R : f (x) + c < α} = {x ∈ R : f (x) < α − c} luego f + c es
medible. Un argumento similar sirve para cf. Supongamos ahora que f (x) + g(x) < α, de modo
que f (x) < g(x) − α. La densidad de los números racionales implica que existe algún r ∈ Q tal
que f (x) < r < g(x) − α. Esto prueba que
[
{x ∈ R : f (x) + g(x) < α} =
{x ∈ R : f (x) < r} ∩ {x ∈ R : g(x) < α − r}
r∈Q
y como la unión de una familia numerable de conjuntos medibles es un conjunto medible, se
deduce que f + g es medible. La función f 2 es medible porque
√
√
{x ∈ R : f 2 (x) > α} = {x ∈ R : f (x) > α} ∪ {x ∈ R : f (x) < − α}
si α ≥ 0 y {x ∈ R : f 2 (x) > α} = R si α < 0. Finalmente, f g también es una función medible
1
porque se tiene la identidad f g = [(f + g)2 − (f − g)2 ].
4
11
Teorema 3. Si (fn ) es una sucesión de funciones medibles entonces las funciones sup{f1 , . . . fn },
ı́nf{f1 , . . . fn }, sup{fn : n ∈ N}, ı́nf{fn : n ∈ N}, lı́m sup fn , y lı́m inf fn también son medibles.
Demostración. Sean f = sup{f1 , . . . fn }, g = sup{fn : n ∈ N} y sea α ∈ R. Tenemos
{x ∈ R : f (x) > α}
{x ∈ R : g(x) > α}
=
=
n
[
j=1
∞
[
{x ∈ R : fj (x) > α},
{x ∈ R : fj (x) > α},
j=1
luego f, g son medibles. Un razonamiento similar sirve para el ı́nfimo. A continuación observamos
que lı́m sup fn = ı́nf sup fj , luego lı́m sup fn es medible. Análogamente, lı́m inf fn es medible. n∈N j≥n
Se dice que dos funciones f, g son iguales en casi todo punto y se simboliza como f = g c.t.p. si
el conjunto {x ∈ R : f (x) 6= g(x)} tiene medida nula.
Proposición 11. Si f es una función medible y f = g c.t.p. entonces g es medible.
Demostración. Sea E = {x ∈ R : f (x) 6= g(x)}, de modo que m(E) = 0. Sea α ∈ R y observemos
que el conjunto {x ∈ R : g(x) > α} = {x ∈ E : g(x) > α} ∪ {x ∈ R\E : f (x) > α} es medible
por ser la unión de dos conjuntos medibles.
Se dice que una sucesión de funciones (fn ) converge hacia una función f en casi todo punto si
existe un conjunto E ⊆ R tal que m(E) = 0 y f (x) = lı́m fn (x) para todo x ∈ R\E.
Proposición 12. Si una sucesión de funciones medibles (fn ) converge en casi todo punto hacia
una función f entonces f es medible.
Demostración. Sea E ⊆ R tal que m(E) = 0 y f (x) = lı́m fn (x) para todo x ∈ R\E. Sea
gn = fn · χR\E + f · χE . Entonces gn es medible por ser gn = fn c.t.p. Además f (x) = lı́m gn (x)
para todo x ∈ R y por lo tanto f es medible.
Problemas
1. Sea D ⊆ R un subconjunto denso. Sea f una función tal que {x ∈ R : f (x) < α} es medible
para todo α ∈ D. Probar que entonces f es medible.
2. Probar que si f es una función medible y g es una función continua entonces la función
compuesta g ◦ f es medible.
3. Construir un ejemplo de una función medible f y una función continua g de tal modo que
la función compuesta g ◦ f no sea medible.
2.4.
Integración de funciones no negativas
Si f es una función medible no negativa entonces se define su integral de Lebesgue mediante
Z
Z
f = sup
s : s simple, 0 ≤ s ≤ f .
El siguiente resultado proporciona un tratamiento útil de la integral de una función medible no
negativa como el lı́mite de una sucesión de integrales de funciones simples.
12
Teorema 4. Si f es una función medible no negativa entonces existe una sucesión (sn ) de
funciones simples no negativas tal que
sn (x) ≤ sn+1 (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
sn (x) ≤ f (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
lı́m sn (x) = f (x) para todo x ∈ R.
n→∞
Si (sn ) es una sucesión de funciones simples con estas propiedades entonces se tiene
Z
Z
f = lı́m
sn .
n→∞
Demostración. Sea n ∈ N y para cada k = 1, 2, . . . , n2n − 1 consideremos los conjuntos medibles
Enk := f −1 ((k − 1)/2n , k/2n ]), En := f −1 ((n, ∞)). Ahora definimos
n
sn := nχEn +
n2
X
k−1
k=1
2n
χEnk .
Observemos que Enk = En+1,2k ∪ En+1,2k+1 . Ası́, sobre Enk tenemos sn (x) = k/2n = 2k/2n+1 ,
mientras que sn+1 (x) = 2k/2n+1 o bien sn+1 (x) = (2k+1)/2n+1 , luego sn (x) ≤ sn+1 (x). Sobre el
conjunto En tenemos sn (x) = n ≤ sn+1 (x) y en los demás puntos se tiene sn (x) = 0 ≤ sn+1 (x).
Por lo tanto sn (x) ≤ sn+1 (x) para todo x ∈ R. Sea ahora x ∈ R y sea N ∈ N tal que f (x) < N.
Ası́ f (x) − 1/2n ≤ sn (x) ≤ f (x) para todo n ≥ N, luego lı́m sn (x) = f (x) para todo x ∈ R.
n→∞
Sea ahora (sn ) una sucesión de funciones simples con estas tres
Como cada sn
Z propiedades.
Z
es una función simple y como 0 ≤ sn ≤ sn+1 , resulta que 0 ≤ sn ≤ sn+1 y por lo tanto
Z
Z
Z
existe c = lı́m
sn para algún c ≥ 0, quizás c = ∞. Como 0 ≤ sn ≤ f, se tiene
sn ≤ f
n→∞
Z
Z
y por lo tanto c ≤ f. Veamos cómo
f ≤ c. Sea r una función simple con 0 ≤ r ≤ f y
consideremos una representación r =
y además
[
Aj = R. Tenemos sn =
j
p
X
j=1
p
X
aj χAj , donde los conjuntos medibles Aj son disjuntos
Z
p Z
X
sn χAj , luego sn =
j=1
j=1
sn , y por lo tanto basta
Aj
probar para cada j = 1, . . . , p la desigualdad
Z
aj m(Aj ) ≤ lı́m
n→∞
sn .
Aj
Sea ε > 0 y sea Bn = {x ∈ Aj : sn (x) > (1 − ε)aj }. Tenemos Bn ⊆ Bn+1 y
∞
X
∞
[
Bn = Aj . Usando
n=1
m(Bn+1 \Bn ), luego m(Aj ) = lı́m m(Bn ),
n→∞
Z
y por lo tanto (1 − ε)aj m(Aj ) = lı́m (1 − ε)aj m(Bn ) ≤ lı́m
sn . Como ε > 0 es arbitrario,
n→∞
n→∞ A
j
Z
concluimos que aj m(Aj ) ≤ lı́m
sn .
aditividad numerable se tiene m(Aj ) = m(B1 ) +
n=1
n→∞
Aj
13
Proposición 13.Z Si f es Zuna función medible no negativa y c es una constante no negativa
entonces se tiene
cf = c f.
Demostración. Observemos que, según la proposición 10, la función cf es medible. Aplicando el
teorema 4, existe una sucesión (sn ) de funciones simples no negativase tal que
sn (x) ≤ sn+1 (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
sn (x) ≤ f (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
lı́m sn (x) = f (x) para todo x ∈ R.
n→∞
Ahora resulta que (c · sn ) es una sucesión de funciones simples no negativas tal que
c · sn (x) ≤ c · sn+1 (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
c · sn (x) ≤ c · f (x) para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
lı́m c · sn (x) = c · f (x) para todo x ∈ R.
n→∞
Aplicando de nuevo el teorema 4 y la proposición 8 resulta que
Z
Z
c · sn
c · f = lı́m
n→∞
Z
Z
Z
= lı́m c sn = c lı́m
sn = c f,
n→∞
n→∞
como querı́amos demostrar.
Z
Proposición 14. Si f, g son funciones medibles no negativas entonces
Z
(f + g) =
Z
f+
g.
Demostración. Observemos que, según la proposición 10, la función f + g es medible. Aplicando
el teorema 4, existen sucesiones de funciones simples no negativas (rn ), (sn ) tales que
rn (x) ≤ rn+1 (x), sn (x) ≤ sn+1 (x), para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
rn (x) ≤ f (x), sn (x) ≤ g(x), para todo x ∈ R y para todo n ∈ N,
f (x) = lı́m rn (x), g(x) = lı́m sn (x), para todo x ∈ R,
n→∞
Z
n→∞
Z
f = lı́m
n→∞
Z
Z
rn ,
g = lı́m
n→∞
sn .
Ahora resulta que (rn + sn ) es una sucesión de funciones simples no negativas con la propiedad
de que rn + sn ≤ rn+1 + sn+1 ≤ f + g y f (x) + g(x) = lı́m rn (x) + gn (x). Aplicando de nuevo
n→∞
el teorema 4 y la proposición 8 resulta que
Z
Z
Z
Z
(f + g) = lı́m
(rn + sn ) = lı́m
rn + sn
n→∞
n→∞
Z
Z
Z
Z
= lı́m
rn + lı́m
sn = f + g,
n→∞
n→∞
como querı́amos demostrar.
14
Problemas
1. Sea f (x) = x si x ≥ 0 y f (x) = 0 si x < 0. Sea (sn ) la sucesión de funciones simples que
aproxima a f en el teorema 4. ¿Cuál es el máximo valor de f4 ? ¿Cuántos valores distintos
hay en el rango de f4 ?
Z
2. Sea f una función medible no negativa. Probar que si
f = 0 entonces f = 0 c.t.p.
2.5.
Integración de funciones medibles
Si f es una función medible entonces f se descompone como f = f + − f − , donde las funciones
fZ + := máx{f,Z0} y f − := − mı́n{f, 0} son medibles y no negativas. Se diceZque f es
Z integrable
Z si
f − < ∞, y en tal caso se define la integral de f mediante f :=
Z
Observemos que una función medible f es integrable si y sólo si
|f | < ∞.
f+ < ∞ y
f+ −
f −.
1
Teorema 5. El conjunto
Z L de todas las funciones integrables Lebesgue es un espacio vectorial
y la aplicación f 7−→ f es una forma lineal sobre L1 , es decir, si f, g ∈ L1 y c ∈ R entonces
Z
Z
Z
Z
Z
f + g ∈ L1 , cf ∈ L1 , y además (f + g) = f + g,
cf = c f.
Demostración.
Según la proposición 10, las funciones f + g y cf son medibles. La igualdad
Z
Z
cf = c f cuando c = −1 se sigue inmediatamente de la la definición, y cuando c ≥ 0 se sigue
de la proposición 13. Sea h := f + g. Tenemos
f −Z+ g − + hZ+ = f + + g + + h− , luego h+Z≤ f + + g +
Z
porque h− = 0 cuando h ≥ 0. Entonces
h+ ≤
f+ +
g + < ∞. Análogamente,
h− < ∞.
Esto prueba que h es integrable. Aplicando la proposición 14 resulta
Z
Z
Z
Z
Z
Z
f − + g − + h+ = f + + g + + h− ,
de donde se deduce que
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
+
−
(f + g) = h = h − h = f − f + g − g = f + g,
como querı́amos demostrar.
Problemas
1. Sean f, g ∈ L1 tales que f ≤ g. Probar que entonces
Z
Z
f≤
g.
2. Sea f ∈ L1 y sean E, F ⊆ R dos conjuntos medibles disjuntos. Probar que entonces
Z
Z
Z
f=
f+
f.
E∪F
3. Sean f, g ∈ L1 y sea d(f, g) :=
Z
E
F
|f − g|. Probar que d es una métrica en L1 con el convenio
de identificar dos funciones f, g cuando f = g c.t.p.
15
3.
Los teoremas de convergencia
Esta sección comprende tres teoremas que se encuentran entre los más importantes del Análisis.
Estos teoremas no se cumplen para la integral de Riemann porque, en general, el lı́mite puntual de
una sucesión de funciones integrables Riemann no tiene por qué también ser integrable Riemann.
La potencia y la utilidad de estos teoremas constituyen la principal ventaja teórica de la integral
de Lebesgue sobre la integral de Riemann.
Teorema 6 (Teorema de la convergencia monótona). Sea (fn ) una sucesión no decreciente de
funciones medibles no negativas y sea f (x) = lı́m fn (x). Entonces se tiene
n→∞
Z
Z
fn .
f = lı́m
n→∞
Demostración. La función f es medible gracias al teorema 3. Además, gracias al teorema 4, para
cada n ∈ N existe una sucesión Zno decreciente
Z (snk ) de funciones simples no negativas tal que
rnk ≤ fn , fn (x) = lı́m snk (x) y
k→∞
fn = lı́m
k→∞
snk . Sea ahora rn = máx{s1n , . . . snn }, de modo
que (rn ) es una sucesión no decreciente de funciones simples noZnegativas con
Z 0 ≤ rn ≤ f y
rn . Ahora bien,
tal que f = lı́m rn . Aplicando otra vez el teorema 4 resulta que f = lı́m
n→∞
n→∞
Z
Z
Z
Z
Z
rn ≤ fn ≤ f, luego
rn ≤ fn ≤ f y de aquı́ se deduce que f = lı́m
fn .
n→∞
Corolario 4 (Teorema de Beppo Levi). Supongamos que (fn ) es una sucesión de funciones
medibles no negativas. Entonces se tiene
Z X
∞
fn =
n=1
∞ Z
X
fn .
n=1
Demostración. Este corolario se obtiene directamente al aplicar el teorema de la convergencia
monótona a la sucesión de las sumas parciales.
Teorema 7 (Lema de Fatou). Si (fn ) es una sucesión de funciones medibles y no negativas
entonces se tiene
Z
Z
lı́m inf fn ≤ lı́m inf fn .
n→∞
n→∞
Demostración. Sea f = lı́m inf fn y sea gn = ı́nf{fk : k ≥ n}, de modo que (gn ) es una sucesión
n→∞
no decreciente de funciones medibles no negativas tal que g = lı́m gn . Aplicando el teorema de
n→∞
Z
Z
la convergencia monótona resulta que
g = lı́m
gn . Ahora bien, gn ≤ fk para cada k ≥ n,
n→∞
Z
Z
Z
Z
luego
gn ≤ ı́nf
fk : k ≥ n , y por lo tanto lı́m
gn ≤ lı́m inf fn
n→∞
n→∞
Teorema 8 (Teorema de la convergencia dominada). Sea g una función integrable Lebesgue y
sea (fn ) una sucesión de funciones medibles tal que f (x) = lı́m fn (x) y |fn (x)| ≤ g(x). Entonces
n→∞
Z
Z
f = lı́m
n→∞
16
fn .
Demostración. Observemos en primer
lugar que cada
Z función g − fn es medible y no negativa.
Z
Usando el lema de Fatou resulta (g − f ) ≤ lı́m inf (g − fn ). Ahora bien, |f | ≤ g, luego |f | es
n→∞
Z
Z
Z
Z
Z
Z
integrable y por lo tanto g − f ≤ g − lı́m sup fn . Esto prueba que , f ≥ lı́m sup fn .
n→∞
n→∞
A continuación observamos que
y aplicando
Z cada función g+fZn es medible y no negativa,
Z
Z de nuevo
el lema de Fatou resulta que (g + f ) ≤ lı́m inf
n→∞
Z
Z
y por lo tanto f ≤ lı́m inf fn .
(g + fn ), luego
(g + f ) ≤ lı́m inf
n→∞
(g + fn )
n→∞
Si (fn ) es una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente hacia una función f
entonces el lema de Fatou, el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia
Z
dominada establecen que bajo ciertas hipótesis, se puede asegurar algo acerca de la integral f
Z
en términos de las integrales fn . El lema de Fatou tiene la hipótesis más débil, pues solamente
se necesita que fn sea no negativa. La conclusión del lema de Fatou también es más débil, pues
sólo se obtiene una desigualdad. El teorema de la convergencia dominada tiene una hipótesis
más frestrictivaque |fn | esté acotada superiormente por una función integrable. La conclusión
del teorema de la convergencia dominada también es más fuerte, porque se obtiene una igualdad.
El teorema de la convergencia monótona es una especie de hı́brido: requiere que fn sea no negativa
y esté acotada superiormente por la función f. Está claro que si f es integrable, esto es un caso
especial del teorema de la convergencia dominada, pero la ventaja del lema de Fatou y el teorema
de la convergencia monótona es que son aplicables aún cuando f no es integrable, y a menudo son
una buena forma de probar que f es integrable. El lema de Fatou y el teorema de la convergencia
monótona son equivalentes en el sentido de que uno se puede deducir del otro usando nada más
que la linealidad y la positividad de la integral.
Problemas
Z
∞
1. Probar que lı́m
n→∞
0
Z
2. Probar que lı́m
n→∞
0
1
sen(ex )
dx = 0.
1 + nx2
n cos x
dx = 0.
1 + n2 x3/2
3. Sea f una función integrable no negativa y sea F la función definida mediante
Z x
F (x) :=
f.
−∞
Usar el teorema de la convergencia monótona para probar que F es continua.
4. Utilizar la sucesión de funciones (fn ) definidas por fn (x) = 1 si n ≤ x ≤ n + 1 y fn (x) = 0
en otro caso, para probar que puede haber desigualdad estricta en el lema de Fatou.
5. Considerar la sucesión de funciones (fn ) definidas por fn (x) = 1Zsi n ≤ x ≤ 2n y fn (x) = 0
en otro caso. Probar que lı́m fn (x) = 0 pero sin embargo lı́m
n→∞
n→∞
fn = ∞. Esto sirve para
poner de relieve que no es posible prescindir de la condición |fn | ≤ g ∈ L1 en el teorema
de la convergencia dominada.
17
Z
6. Sea g una función medible tal que
g 2 < ∞, sea (fn ) una sucesión de funciones medibles
que converge puntualmente
hacia una
Z
Z función f y supongamos que |fn (x)| ≤ g(x). Probar
(fn + f )2 = 4 f 2 .
que entonces lı́m
n→∞
7. Demostrar el Lema de Riemann-Lebesgue: Si f es una función integrable entonces
Z ∞
f (x) cos nxdx = 0.
lı́m
n→∞
−∞
8. Sea f una función acotada en el cuadrado unidad Q = [0, 1] × [0, 1]. Supongamos que para
cada t ∈ [0, 1] la función f (·, t) es medible, que para cada (x, t) ∈ Q existe la derivada
∂f
∂f
parcial
y que la función
es acotada en Q. Demostrar que entonces se tiene
∂t
∂t
Z
Z 1
∂f
d 1
f (x, t)dx =
dx.
dt 0
0 ∂t
18