A partir de ahora nos dedicaremos a al estudio de las integrales

A partir de ahora nos dedicaremos a al estudio de las integrales

A partir de ahora nos dedicaremos a al estudio de las integrales
múltiples, que no son otra cosa que las integrales de funciones de dos, tres o
más variables. Estas integrales vienen a ampliar las aplicaciones ya vistas de la
integral de una sola variable. La más simple de las integrales múltiples es la
llamada integral sobre rectángulos.
Primero recordemos los hechos básicos relacionados con integrales
definidas de una sola variable. Si
se define para
, se empieza por
] en n subintervalos [
dividir el intervalo [
] de igual amplitud
y se eligen puntos de muestra en estos subintervalos. Entonces se forma la
suma de Riemann
si se toma el límite de las sumas cuando
definida de f de a a b
para obtener la integral
en el caso especial de
, la suma de Riemann se puede interpretar
como la suma de aproximación de laa áreas de los rectángulos de la siguiente
figura
Donde ∫
viene a representar el área bajo la curva
de a a b
De una manera similar se considera una función f de dos variables definidas en
[
] [ ]
un rectángulo cerrado
y se
supone primero que
. La gráfica de f es una superficie con ecuación
. Sea S el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica de f, es
decir,
Ing. Nancy J. Requena V.
Se quiere hallar el volumen y el procedimiento a tomar es el de la sumas de
Riemann, primero se divide el rectángulo R en subrectángulos, dividiendo el
intervalo [a,b] en subintervalos de amplitud m y el intervalo [c,d] en
subintervalos de amplitud n
De forma intuitiva, como ocurre en el caso de una sola variable, a mayor
cantidad de rectángulos de muestra, mejor será la aproximación. Pero como se
sabe que este trabajo es bastante engorroso y largo, para eso hacemos uso del
ya conocido Teorema Fundamental del Cálculo.
Definición 1:
Sea
una función real y continua de dos variables, definida en la
[
] [ ]. La integral iterada de f sobre D denotada
región rectangular
por ∫ ∫
o∫ ∫
se define como
∫ ∫
∫ [∫
]
∫ ∫
∫ [∫
]
O también
Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos integrales simples.
En la ecuación 1 la integral que debe resolverse primero es la que se encuentra
dentro del corchete; es decir, ∫
El resultado de esta integral es una
función de y, ya que y se considera constante. De la siguiente forma:
∫
Finalmente
∫ ∫
∫ [∫
]
∫
]
∫
De la misma forma si se resuelve la ecuación 2
∫
y luego
∫ ∫
∫ [∫
Ing. Nancy J. Requena V.
Ejemplo 1.
Hallemos las siguientes integrales iteradas
a) ∫ ∫
b) ∫ ∫
Sea
entonces
∬
Ejemplo 2
Evaluar ∬
una función real y continua en el rectángulo D=[a,b]x[c,d]
∫ ∫
∫ ∫
[
] [
]
Propuestos:
1. Halle las siguientes integrales iteradas
2. Halle el volumen del solido acotado por arriba por el paraboloide
y por abajo por el rectángulo R=[-2,1]x[-2,2]
No siempre trabajamos sobre rectángulo, algunas veces se trabaja también
sobre otras regiones; Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y
las de tipo 2.
Definiciones 2:
Regiones de tipo 1
Sean
[
]
, dos funciones reales de variable real continuas en [a,b],
[
]
de modo que
Una región de tipo 1, es una región definida como
, en otras palabras, la región D esta limitada por la
izquierda por la recta x=a, por la derecha por la recta x=b, inferiormente por la
gráfica de la función g y superiormente por la gráfica de la función h
Ing. Nancy J. Requena V.
Regiones de tipo 2
Sean
[ ]
, dos funciones reales de variable real continuas en [c,d], de
[ ]
modo que
Una región de tipo 2, es una región definida como
, en otras palabras, la región D está limitada por la izquierda
por la gráfica de la función g, por la derecha por la gráfica de la función h,
inferiormente por la y superiormente por la recta y=d y y=c respectivamente.
Definición 3:
Integrales Dobles Sobre Regiones Generales
Sea
una función real y continua de dos variables, definida en una
región general D.
Sea R un rectángulo que contiene a la región D.
Sea F una función definida en el rectángulo R como:
{
La integral doble d f sobre D, denotada ∬
∬
esta dada por
∬
Ahora bien para resolver la integral ∬
se debe identificar si la región
D es de tipo 1 o 2.
Integrales dobles sobre regiones de tipo 1.
Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del
tipo 1, tal que
La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada por ∬
está dada por:
∬
,
∫ ∫
Integrales dobles sobre regiones de tipo 2.
Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del
tipo 2, tal que
La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada por ∬
esta dada por:
,
Ing. Nancy J. Requena V.
∬
∫ ∫
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
1. Propiedad de linealidad
Sean
y
dos funciones reales y continuas definidas en una
región D, y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces
2. Propiedad de orden
Sean
y
dos funciones reales y continuas definidas en una
región D, tales que
entonces:
3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración
Sea
una función real y continua definida en una región general D. Si
la región D está dividida en dos subregiones
,
entonces
Ejercicios.
1. Evalúe ∬
donde D es la región acotada por las parábolas
2. Encuentre el volumen del solido que se encuentra debajo del paraboloide
y sobre la regio D en el plano xy acotado por la línea
y la parábola
3. Hallar el volumen de la región sólida acotada por el paraboloide
y el plano xy
Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectángulo polar R dado
, entonces
∬
∫ ∫
La fórmula dice que se convierte de coordenadas rectangulares a polares en
una integral doble si se escribe x=
y y=
al usar los límites de
integración apropiados para r y , y remplazar dA por r dr d . Debemos tener
cuidado de no olvidar el factor adicional r en el lado derecho de la fórmula.
Ejercicios
Ing. Nancy J. Requena V.
1. Evalúe la integral ∬
donde R es la región en el semiplano
superior acotado por los círculos
y
2. Encuentre una fórmula para hallar el volumen del sólido acotado por el
plano z=0 y el paraboloide
3. Use una integral doble para hallar el área encerrada por un pétalo de la
rosa de cuatro hoja
4. Hallar el volumen del solido que se encuentra bajo el paraboloide
sobre el plano xy y dentro del cilindro
Ing. Nancy J. Requena V.