damental del´Algebra. Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

damental del´Algebra. Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Tema 9.-
9.1
Raı́ces de polinomios. Teorema Fundamental del Álgebra. Ecuaciones de
tercer y cuarto grado.
Raı́ces de polinomios
La noción de raı́z y de multiplicidad de una raı́z de un polinomio ya se ha visto
en el tema 6 (def. 6.2.12).
Proposición 9.1.1.– Sea k un cuerpo y f (X) ∈ k[X] un polinomio no nulo
de grado n ≥ 1. Entonces el número de raı́ces de f (X) en k, contadas con
multiplicidad, es menor o igual a n. De hecho, el mismo resultado es cierto para
las raı́ces de f (X) en cualquier cuerpo K del que k sea un subcuerpo.
Proposición 9.1.2.– Todo polinomio f (X) irreducible con coeficientes racionales
no tiene raı́ces múltiples (en ningún cuerpo que contenga a los racionales) .
9.2
El teorema fundamental del Álgebra
Teorema 9.2.1.– Todo polinomio
f (X) = ad X d + · · · + a0 ∈ C[X]
de grado d ≥ 1 con coeficientes complejos tiene alguna raı́z en C.
Prueba: Consideremos el polinomio f (X) como una función entera (=
holomorfa en todo C) f : C → C. Supongamos que f (X) no tiene ninguna raı́z
1
en C. Entonces la función g(z) = f (z)
es de nuevo una función entera. Ahora
bien, como d ≥ 1 (ad 6= 0) sabemos que g(z) tiende a 0 cuando |z| tiende a
infinito. Por tanto, g es una función entera y acotada en C y por el teorema de
Liouville, g ha de ser constante, lo que contradice que f (X) sea un polinomio
de grado mayor o igual que 1.
2
El desarrollo de las dos últimas secciones está tomado del libro Introducción
al Álgebra, de S. Xambó, F. Delgado y C. Fuertes, Ed. Complutense, Madrid,
1993.
9.3
La ecuación de tercer grado: fórmula de CardanoTartaglia
Vamos a estudiar ahora la ecuación de tercer grado. Suponemos ahora que
f (X) = X 3 + a1 X 2 + a2 X + a3 ∈ Q[X].
A todos los efectos, el resolver f (X) = 0 equivale a hacer lo mismo para la
ecuación que resulta de sustituir X por X + a31 en f (X). Esta sustitución tiene
1
la ventaja de que elimina el término en X 2 , luego se puede suponer, de entrada,
que
f (X) = X 3 + pX + q.
La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen.
Estudimeos pues las soluciones de
f (X) = X 3 + pX + q = 0.
(1)
Podemos suponer que p y q son distintos de 0 (si p = 0, las soluciones de (1)
son las raı́ces cúbicas de −q; si q = 0 las soluciones son 0 y las raı́ces cuadradas
de −p).
Supongamos que α es una solución de (1). Hagamos la sustitución α = u+v.
Obtenemos:
u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.
Si tomamos u, v de manera que 3uv + p = 0, i.e. u, v serı́an las raı́ces de la
ecuación cuadrática X 2 − αX − p3 = 0, obtenemos:
u3 + v 3 = −q.
Puesto que
u3 v 3 = −
p3
27
tenemos que u3 , v 3 son las soluciones de la ecuación cuadrática:
X 2 + qX −
p3
= 0.
27
(2)
Ası́ pues para encontrar una solución de (1) tomamos una solución β de (2),
p
tomamos u una raı́z cúbica de β y ponemos v = − 3u
. Entonces v 3 es la otra
solución de (2) y α = u + v es solución de (1). Simbólicamente, una solución de
(1) es
s
s
r
r
3
2
3
3
q
q
p
q
q2
p3
+ − −
+
α= − +
+
2
4
27
2
4
27
debido a que las soluciones de (2) son
r
q2
p3
q
+ .
− ±
4
27
2
Si ω 6= 1 es una raı́z cúbica de 1, u1 = u, u2 = ωu, u3 = ω 2 u son las tres raı́ces
cúbicas de s0 . Pongamos vi = − 3up i de manera que v1 = v, v2 = ω 2 v, v3 = ωv.
Entonces las raı́ces de (1) son: αi = ui + vi , i = 1, 2, 3.
2
9.4
La ecuación de cuarto grado: método de Ferrari
Mediante una transformación de Tchirnhausen, podemos centrarnos en el caso
en que nuestra ecuación de cuarto grado sea de la forma
f (X) = X 4 + pX 2 + qX + r = 0.
(3)
En el caso en que r = 0, nuestra ecuación se reduce a una ecuación de grado
3. Si q = 0, se trata de una ecuación bicuadrática.
Podemos pues suponer r, q 6= 0.
Consideremos una variable auxiliar u y escribamos
p
p2
2
2
2
2
f (X) = (X + + u) − 2uX − qX + u + pu − r +
.
2
4
Para que el polinomio entre corchetes, que notaremos g(X), sea un cuadrado
ha de verificarse que
p2
2
2
q − 8u u + pu − r +
= 0.
(4)
4
Ahora bien, (4) es una ecuación de tercer grado y sabemos pues resolverla
mediante radicales. Sea u0 una raı́z de (4). Entonces 4uq 0 es una raı́z doble de
g(X) y se tiene
2
2
p
q
f (X) = X + + u0 − 2u0 X −
2
4u0
2
de donde las raı́ces de f (X) son las raı́ces de los siguientes polinomios de grado
2:
√
p
p
2
X + 2u0 X +
+ u0 − √
2
2 2u0
√
p
p
2
√
X − 2u0 X +
+ u0 +
.
2
2 2u0
3