Problemas Métodos I
Transcripción
Problemas Métodos I
Problemas Métodos I - Variable Compleja 6. Series de Laurent 1. Hallar las series de Laurent centradas en z0 = 1 de la función f (z) = (z − 1)/z 2. 2. Hallar la serie de Laurent de la función f (z) = 1/z 2 sinh z en una corona C(0; 0, r). ¿Cuál es el valor de r? 3. Hallar las series de Laurent centradas en el origen de la función f (z) = 1/(z − 1)(z − 2). 4. Hallar las dos primeras series de Laurent de la función f (z) = cosec z. 5. Calcular las integrales de las siguientes funciones: a) 1/(z 2 − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen. b) 1/(z 2 + z − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 1/2 centrada en el origen. c) 1/(z 4 + 1) a lo largo de la semicircunferencia superior de radio 2 centrada en el origen. d ) (1 + z)/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 7 centrada en el origen. e) sin z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 8 centrada en el origen. f ) sin2 z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 5π centrada en el origen. g) (1 + sin z)/(cosh z − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 6, centrada en el origen. h) 5i(3 + sin πz)/(z(z − 5)2 ) a lo largo de la circunferencia de radio 7, centrada en el origen. 6. Calcular las siguientes integrales: R 2π dt a) 0 2−sin t. Rπ b) 0 2 cosdtt+3 . R 2π dt c) 0 1+a2 −2a cos t , 1 6= a > 0. R 2π cos t d) 0 e cos(nt − sin t) dt. R π 2n e) 0 sin t dt. R 2π f ) 0 ecos t cos(nt − sin t) dt. R 2π adt g) 0 a2 −sin 2 t , a > 1. Rπ h) 0 cos2 t dt. 1 7. Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de la recta real: a) 1/(x4 + 1). b) 1/(x6 + 1). c) 1/(x2 − 2x + 4). d ) 1/(x2 + a2 ). e) 1/(x2 + a2 )(x2 + b2 )2 . 8. Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de la recta real, k ∈ R: a) eikx /(x2 + a2 ). b) cos kx/(x2 + a2 ). c) sin kx/(x2 + a2 ). d ) eix /(x + ia), a > 0. e) x3 sin x/(x2 + 1)2 . f ) cos x/(x2 + 4)(x2 + 1). g) xeikx /(x2 + a2 ), a > 0 9. Calcular R3 10. Calcular R∞ 11. Calcular R∞ √ 2 5x−x2 −6 x2 0 log x x2 +1 0 log x (x2 +1)2 dx. dx. 12. Calcular la integral dx. R∞ 0 sin2 x x2 R∞ sin3 x x3 dx, usando el valor principal de dx, usando el valor principal de P∞ 14. Calcular la suma de la serie n=1 1/(n2 + 1)2 . 13. Calcular la integral 0 2 R∞ 1−ei2x x2 R∞ 3eix −ei3x −2 x3 −∞ −∞ dx. dx.