Leonhard Euler, su personalidad y su obra

Leonhard Euler, su personalidad y su obra

 Leonhard Euler, su personalidad y su obra
Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ
Uno de los mas importantes matemáticos de
todas las épocas, si no el mas importante,
es sin duda Leonhard Euler, el cual
desarrolló su extensa obra (recogida en 80
volúmenes) en el siglo XVIII.
No obstante la variedad de la temática de su obra, nos limitaremos a mencionar su
invención del concepto de función y tratar su mas conocido aporte, la Fórmula de
Euler.
La fórmula o ecuación de Euler se expresa así:
eix = cos x + i.senx
la cual evidentemente es de gran utilidad
exponenciales en trigonométricas y viceversa.
(1)
para
transformar
igualdades
Para la comprobación de (1) propongo ejecutar los siguientes pasos, comenzando
por introducir la variable y así:
y = cos x + i.senx
y continuar como sigue.
dy
= −senx + i cos x
dx
dy 2
= i senx + i cos x dx
dy
= i(cos x + isenx)
dx
o sea:
1 dy
dy
= iy →
= idx → Lny = ix.Lne → Lny = Lneix dx
y
entonces: y = eix eix = cos x + isenx que es lo que queríamos comprobar.
Una variante muy importante de (1) es la fórmula de Moivre que viene a ser la de
Euler para nx:
einx
= cosnx + isennx aplicada a determinar las n raíces y potencias de
los números complejos. escritos en la forma polar
z = r(cos a + isena) donde z es un número compleio, r es el módulo
del radio vector y a es el ángulo.
Abraham De Moivre (1667-1754)
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler, aplicando las leyes de
la exponenciación
ix n
(e )
Entonces resulta e
inx
= einx
= cos(nx) + isen(nx)
Además, de las igualdades
"$ ix
e = cos x + isenx
# −ix
%$ e = cos x − isenx
se obtienen
cos x = ( eix + e−ix ) / 2, senx = ( eix − e−ix ) / 2i 2 Leonhard Euler, por Jakob Emanuel Handmann (hacia 1756). Deutsches Museum, Munich (Wikipedia)
Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ
[email protected] 3