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Series de Tiempo Estacionarias
Pablo Lavado
Universidad del Pacíco
April 2, 2013
Lavado (Universidad del Pacíco)
Econometría II
April 2, 2013
1/1
Procesos Estocásticos Discretos (PED)
Un PED es una sucesión de variables aleatorias Yt , donde t = −∞, . . . , -2, -1, 0,
1, 2, . . . , ∞
Por ejemplo:
(t ): Es un PED con media cero, varianza constante y
autocovarianza nula.
I Ruido Blanco
(Yt = Y t −1 + t ): Es un PED cuyas primeras diferencias son un
ruido blanco (∆Yt = t ).
I Random Walk
Econometría II
April 2, 2013
2/1
Estacionariedad
Al hablar de la estacionariedad de una serie, se hace referencia al hecho de poder
aproximar los momentos de largo plazo de una serie con sólo una muestra de
datos.
Una condición necesaria para ello es que los momentos se mantengan
(relativamente) constantes a lo largo del tiempo.
De esta manera, vale la pena recalcar dos tipos de estacionariedad
Un PED es estacionario en sentido estricto si para toda
m-tupla (t1 , t2 , . . . , tm ) y todo entero k, el vector de variables (yt 1 , yt 2 , . . . , ytm )
tiene la misma distribuciï¿½n de probabilidad que el vector (yt 1+k , yt 2+k , . . . ,
ytm+k ). Es decir, es igual en todos los momentos:
f(yt 1 , yt 2 , . . . , ytm ) = f(yt 1+k , yt 2+k , . . . , ytm+k )
I Estacionariedad Estricta
Un PED es estacionario en sentido débil si se cumple la
condición de estacionariedad estricta sólo en el caso que m = 1. En este caso, se
dice que es idénticamente distribuido y cumple las siguientes condiciones:
E (yt ) = δ < ∞, ∀ t
Var (yt ) = σy2 < ∞, ∀ t
Cov (yt , yt +k ) = Cov (yt , yt −k ) = γk ∀ t,k
I Estacionariedad débil
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3/1
Series de tiempo estacionarias (débiles)
Para poder establecer si una serie es o no estacionaria, se cuentan con los
siguientes estadísticos:
I Función de Autocovarianza (FAC):
Se dene de la siguiente manera:
γk = Cov(yt , yt −k ); ∀ t,k
I Función de Autocorrelación Simple (FAS):
Cov (yt ,y
El estadístico es el siguiente:
)
ρk = SD (y )SD (ty−k ) ; ∀ t,k
t
t −k
Asumiendo estacionariedad (Var (yt ) = Var (yt −k ) = γ0 ), se puede expresar como:
γ
ρk = γk ; ∀ t,k
0
I Función de Autocorrelación Parcial (FAP):
Finalmenta, la FAP de un PED es
igual a su FAS corregida por los rezagos intermedios ya que indica el efecto
marginal que cada rezago tiene sobre t. Se denominará φk . Para estimarla, es
necesario correr una regresión que relacione a yt e yt −k , pero en presencia de sus
rezagos intermedios, es decir:
yt = α1 yt −1 + α2 yt −2 + . . . + αk −1 yt −k −1 + φk yt −k + t
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4/1
Análisis Univariado: Procesos Autorregresivos
Los modelos autorregresivos (AR) son aquellos que tienen como variable
explicativa a los valores pasados de la variable dependiente. El orden lo determina
el rezago máximo que lo explica.
Analizando el modelo AR(1):
yt
= αyt −1 + t ; donde la serie (yt ) es estacionaria sólo si |α| < 1
Este modelo puede ser escrito como:
yt
=
P∞ s
s =0 α t −s ; siendo fácil vericar que E(yt ) = 0 al ser ruidos blancos.
Es necesario establecer las siguiente relaciones entre la serie y sus errores:
I Entre
yt
y errores futuros
s
E(yt −k t ) = E ( ∞
s =0 α t −s t ) = 0
P
I Entre
yt
y errores pasados
s
k 2
E(yt t −k ) = E ( ∞
s =0 α t −s t −k ) =α σ
P
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5/1
Análisis Univariado: AR(1)
Ahora, es necesario analizar su FAC, FAS y FAP.
FAC
I
I
I
I
σ2
γ0 = Var(yt ) = 1−α
2
γ1 = E(yt yt −1 ) = αγ0
γ2 = E(yt yt −2 ) = α2 γ0 , y así sucesivamente: γk = E(yt yt −k ) = αk γ0
Puede observarse que a medida que la k crece, la FAC tiende a cero.
FAS
I
I
I
I
FAP
I
I
I
I
ρ0 = 1
ρ1 = γ1 /γ0 = α
ρ2 = γ2 /γ0 = α2 , y así sucesivamente: ρk = γk /γ0 = αk
Puede observarse que a medida que la k crece, la FAS también tiende a cero.
Para hallar la FAP de orden k (φk ) simplemente se corre una regresión de yt contra
yt −k ; con los rezagos intermedios:
φ1 = α
φ2 = φ3 = . . . = φk = 0, ∀ k > 1
Puede observarse que para k > 1, la FAP se vuelve cero.
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6/1
Análisis Univariado: AR(2)
De manera análoga se analiza un proceso AR(2): yt = α1 yt −1 + α2 yt −2 + t .
Este proceso será estacionario si se cumplen tres condiciones: |α2 | < 1, α2 + α1 <
1 y α2 − α1 < 1
FAC Utilizando el método Yule-Walker (postmultiplicar por yt −k ) se llega a:
I
I
I
I
FAS
I
I
I
I
FAP
I
I
I
I
γ0 = α1 γ1 + α2 γ2 + σ2
γ1 = α1 γ0 + α2 γ1
γ2 = α1 γk −1 + α2 γ0 , generalizando: γk = α1 γk −1 + α2 γk −2
La FAC de un AR(2) converge a 0 bajo distintas formas, dependiendo de α1 y α2 .
α1
ρ1 = γ1 /γ0 = 1−α
2
α2
1
ρ2 = γ2 /γ0 = α2 + 1−α
2
En general: ρk = γk /γ0 = α1 ρk − 1 + α2 ρk − 2
La FAS de un AR(2) también tiende a 0 a medida que crece k.
Para hallar la FAP de orden k (φk ) simplemente se corre una regresión de yt contra
yt −k ; con los rezagos intermedios:
φ1 = α 1 ∧ φ2 = α 2 ;
φ3 = φ4 = . . . = φk = 0, ∀ k > 2
Puede observarse que para k > 2, la FAP se vuelve cero.
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7/1
Análisis Univariado: AR(p)
Generalizando para cualquier proceso AR(p), se puede concluir que:
I
I
La FAC y la FAS convergen a cero de distintas maneras, dependiendo de los valores
de los coecientes αk .
La FAP es igual a cero para todo k > p.
De esta manera, el análisis de la FAP es importante para poder identicar el orden
del AR, el cual coincide con el rezago a partir del cual la FAP se hace cero.
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8/1
Análisis Univariado: Medias Móviles (MA)
Los modelos de medias móviles (MA) son aquellos expresados por un promedio
ponderado de los errores pasados y presentes.
Analizando el modelo MA(1): yt = t - βt −1
FAC
I
I
I
γ0 = Var(yt ) = (1+β 2 )σ2
γ1 = E(yt yt −1 ) = -βσ2
γ2 = γ3 = . . . = γk = 0, ∀ k > 1
FAS
I
I
I
ρ0 = 1
ρ1 = γ1 /γ0 = 1−β
+β 2
ρ2 = ρ3 = . . . = ρk = 0
FAP
I
I
I
I
Para hallar la FAP, se debe realizar un proceso de inversión para rescatar la relación
entre yt y sus valores pasados.
P
s
Realizando iteraciones sucesivas, se puede llegar a yt = - ∞
s =1 β yt −s + t
Como el MA(1) es estacionario, la representación AR también lo será. Sin embargo,
para poder realizar esta representación, es decir, para que la serie sea invertible, es
una condición necesaria que |β| < 1
De esta manera, se puede ver que la FAP de un proceso MA(1) converge a cero
siempre que sea invertible.
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Análisis Univariado: MA(2)
De igual manera se puede analizar un modelo MA(2): yt = t - β1 t −1 - β2 t −2
FAC
I
I
γ0 = Var(yt ) = (1+β12 + β22 )σ2
γ1 = E(yt yt −1 ) = -β1 σ2 (β2 - 1)
I
γ2 = E(yt yt −2 ) = -β2 σ2
I
γ3 = γ4 = . . . = γk = 0, ∀ k > 2
FAS
β (β −1)
I
1 2
ρ1 = γ1 /γ0 = (1+β
2
2
1 +β2 )
I
−β2
ρ2 = γ2 /γ0 = (1+β
2
2
1 +β2 )
I
ρ3 = ρ4 = . . . = ρk = 0, ∀ k > 2
FAP: Tarea
En general, para cualquier proceso MA(q), la FAP converge a cero lentamente;
mientras que la FAC y la FAS son cero para todo k > q.
De esta manera, se puede identicar el orden de un MA analizando la FAS ya que
coincide con el rezago a partir del cual la FAS se hace cero.
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Análisis Univariado: ARMA
Los modelos ARMA(p,q) son aquellas series que poseen una parte AR(p) y una
parte MA(q).
Analizando el modelo ARMA(1,1): yt = αyt −1 + t - βt −1
El ARMA será estacionario cuando |α| < 1; mientras que será invertible si |β| < 1.
FAC
I
I
I
FAS
I
I
I
γ0 = Var(yt ) = σ2 (1+β 2 - 2αβ )/(1-α2 )
γ1 = E(yt yt −1 ) = σ2 (1 - αβ )(α - β )/(1-α2 )
γ2 = αγ1 , generalizando: γk = αγk −1
ρ1 = γ1 /γ0 = (1 - αβ )(α - β )/(1+β 2 - 2αβ )
ρ2 = γ2 /γ0 = αρ1
Generalizando: ρk = γk /γ0 = αρk −1 , ∀ k > 1
Como se puede ver, la FAC y la FAS de un ARMA(1,1) se asemejan a la de un
AR(1), ya que la parte MA se hace cero a partir de k > 1.
Lo contrario ocurre para el caso de la FAP, donde la parte AR se hace cero para
k > 1; por lo que prima la parte MA.
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Estimación: AR
Para la estimación de los modelos AR(p), es posible utilizar MCO. En el caso de
un AR(1), se obtendría:
αmco
ˆ =
P
yy
P t 2t −1
yt −1
Al vericar la ortogonalidad entre la variable explicativa y el error:
= Cov (yt −1 , t ) = 0
j −1 σ 2
Cov (yt +j −1 , t ) = α
Cov (xt , t )
Cov (xt +j , t )
=
6= 0
Se puede ver que sólo hay independencia contemporánea entre ambas variables.
Propiedades
El estimador MCO es sesgado dado que no se cumple la ortogonalidad entre
la explicativa y el error (E(αmco
ˆ ) 6= α).
Consistente: Sin embargo, MCO si es consistente dado que se satisface la
condición de independencia contemporánea; es decir, plim αmco
ˆ = α.
Normalidad Asintótica: La distribución del estimador es una normal:
d
σ2
αmco
ˆ → N (α, T σ2 )
y
I Sesgo:
I
I
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Estimación: MA
Para la estimación de los modelos MA(q), al ser procesos iterativos, se requerirían
los valores iniciales de los parámetros.
Una alternativa es usar la representación AR de un MA. Recordando, un MA(1)
puede expresarse como:
s
=- ∞
s =1 β yt −s + t
No obstante, surge el problema de que para que dicha representación sea factible,
debe ocurrir que |β| < 1.
yt
P
Además, cabe recordar que dicha representación AR es innita, por lo que no
puede ser estimada. Ante ello, se puede hacer uso del siguiente teorema:
Un proceso ARMA(p,q) se puede aproximar por
un AR(n), donde n no debe ser mayor a T 1/3 .
Teorema de Said y Dickey (1984):
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Estimación ARMA: Metodología Box-Jenkins
Etapa de Identicación: Consiste en el análisis visual del gráco de la serie y su
correlograma. El primero permite analizar la presencia de los siguientes problemas:
I "Outlayers" o "missing values"
I La no estacionariedad de la serie
I La existencia de cambios estructurales
Una vez corregido estos problemas, se debe analizar el correlograma (FAS y FAP)
para determinar si el proceso es un AR, un MA o un ARMA; así como su orden.
Etapa de Estimación: En esta etapa se estiman los modelos elegidos y son sometidos a
dos pruebas:
Se utiliza la prueba de Ljung-Box, siendo la
hipótesis nula que el error no está autocorrelacionado. Se espera que aceptar la nula
para obtener que el error se comporte como un ruido blanco.
Parsimonia (menor cantidad de parámetros): Se utilizan dos criterios: Akaike
Information Criteria (AIC = −2L/T + 2K /T ) y el Schwartz bayesian Criterion
(SBC = −2L/T + (Kln(T ))/T ). Se escoge el modelo con AIC y SBC más bajos.
(Por qué?)
I Análisis de correlación de errores:
I
Etapa de Diagnóstico: Finalmente, se debe someter el modelo elegido a todas las
pruebas tradicionales para asegurar que se ha elegido el modelo correcto (i.e no exista
autocorrelación de errores).
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Análisis Multivariado: Vectores Autorregresivos (VAR)
El VAR presenta un sistema de ecuaciones simultáneas en el que cada una de las
variables son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de variables del
sistema.
En general, un VAR tiene la siguiente especicación:





a11 (L)

y2t 
  a21 (L)
..  =  ..
.   .
am1 (L)
ymt
y1t


a12 (L)
a22 (L)
..
.
am2 (L)
...
...
..
.
...
a1m (L)
a2m (L)
..
.
amm (L)










µ1t


y2t 
  µ2t 
..  +  .. 
.   . 
y1t
ymt


µmt
En este sistema, se asumen lo siguiente:
I
I
E[µt µ0t −j ] = 0, ∀ j 6= 0
E[µt µ0t ] = Σ
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Identicación VAR
Es necesario distinguir entre la Forma Estructural y la Forma Reducida:
Forma Estructural:
ΓYt =
B0 + B1 Yt −1 + B2 Yt −2 + . . . + Bp Yt −p + Et
donde las variables incluidas en Yt son estacionarias.
Sin embargo, con esta forma no se pueden obtener los estimados de todos los
parámetros; es decir, no son identicables.
Forma Reducida:
Yt
= Γ−1 B0 + Γ−1 B1 Yt −1 + Γ−1 B2 Yt −2 + . . . + Γ−1 Bp Yt −p + Γ−1 7Et
Para poder recuperar los estimados de los parámetros de la forma estructural a
partir de la Forma Reducida es necesario la imposición de restricciones, debido al
problema de sobreparametrización.
Ejemplo: VAR(1).
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Estimación VAR
Trabajando en general con un VAR(p) de la forma:
Yt
=
A0
+
A1 Yt −1
+
A2 Yt −2
+ . . . + Ap Yt −p + Et
Se debe observar que existe un problema de sobreparametrización ya que se deben
estimar m2 p + m parámetros, lo que produce un grave problema de pérdida de
grados de libertad.
Ante ello, se debe trabajar con la Forma Reducida. En general se deben seguir los
siguientes pasos:
I
I
I
I
Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de no estacionariedad.
Estimar por MCO cada ecuación individualmente. Dado que se asume no existe
autocorrelación en los errores de las ecuaciones y cada una cuenta con las mismas
explicativas, por lo que no se gana eciencia al estimar con SUR.
Determinar el número de rezagos que deben permanecer en cada ecuación. Para
ello se utilizan dos pruebas: Test F por Bloques y el Test de Máxima Verosimilitud.
No se debe utilizar el test t porque es probable que los regresores estï¿½n altamente
correlacionados ni dar importancia a los signos ya que se trata de variables
transformadas (Forma Reducida) y no los de interés (Forma Estructural).
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Función Impulso-Respuesta
Para hablar de la función impulso-respuesta, es necesario expresar al VAR según su
representación VMA:
Pp
j
j =1 Πj L Yt +Et ... [VAR(p)], desarrollando:
P∞
i
Yt =
i =0 Ψi L Et −i ...[VMA(∞)]
Yt
=
Ahora, premultiplicando por la matriz T que diagonaliza a la matriz de
varianzas-covarianzas del error (Σ), se obtiene un nuevo modelo con errores
ortogonalizados:
i
i =0 Ψi L Et −i +ηt ; donde ηt = TEt
Además, D = TΣT'; por lo que, despejando: Σ = PDP 0 ; siendo D una matriz diagonal
TYt = T
P∞
Con ello en mente, si se quiere obtener un modelo con errores ortogonalizados,
simplemente basta hacer T = P −1 :
E(ηt ηt ') = TE(Et Et ')T' = (P −1 )E(Et Et ')(P −1 )' E(ηt ηt ') = D
De esta manera, se obtiene una matriz diagonal de varianzas-covarianzas del error
(D), lo cual garantiza la ortogonalidad. Esta es de utilidad dado que permite
conocer la fuente de cada shock.
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Función Impulso-Respuesta
Otra forma de analizar las funciones impulso-respuesta es iterando y resolviendo la
serie. Analizando un VAR(1) se tiene:
Yt = Ȳ +
i
i =0 A Et −i
P∞
Notemos que "E" es el vector de errores de la forma reducida; por lo que si se
reemplaza la relación entre estos y aquellos de la forma estructural (Et = Γ−1 t ) se
llega a:
Yt = Ȳ +
−1 i
i =0 Φi t −i ; donde Φi = Γ A
P∞
Claramente, se puede observar que cada Φi son las funciones impulso-respuesta
para cada periodo ya que reejan el efecto instantáneo de un shock sobre las
series.
El elemento φjk (i ) (∀j , k = 1, . . . , m) ubicado dentro de la matriz Φi hace
referencia al efecto que tiene kt sobre el valor de yjt .
Finalmente, también se puedeP
hablar de funciones impulso-respuesta de largo
plazo, las cuales equivalen a: ∞
i =0 φjk (i ), ∀j , k = 1, . . . , m
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Descomposición de Choleski
La metodología desarrollada para el análisis impulso-respuesta no es aplicable
directamente ya que el VAR siempre se encuentra subidenticado.
Por tanto, se deben imponer restricciones al sistema para poder recuperar los
parámetros de la forma estructural a partir de los estimados de la forma reducida
y, con ello, identicar los impulsos-respuesta.
Una restricción de identicación posible es la descomposición de Choleski, la cual
consiste en imponer restricciones en Γ o Σ de tal forma que se llegue a una
descomposición triangular de los residuos.
Veamos esto con el ejemplo ya estudiado: ¿½Qué ocurre si se impone como
restricción γ21 = 0? Es decir, ahora:
Γ=
1
0
−γ12
1
Es importante notar que el ordenamiento de las variables tendrá un impacto
signicativo sobre los multiplicadores calculados; por lo que se deben probar
distintos ordenamientos (fundamentados por razones teóricas) y analizar cómo
cambian los resultados.
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Análisis de descomposición de la Varianza
El análisis de descomposición de la varianza consiste en calcular la contribución de
la innovación "j" sobre el error de predicción del periodo "t+s".
Contribuye a calcular la proporción de los movimientos en una serie producto de
sus "propios" shocks versus los shocks de las demás variables. Si dicha proporción
es igual a 1, quiere decir que la serie es exógena.
En el corto plazo, es de esperar que los shocks propios expliquen la mayor
proporción del error de predicción; mientras que en el largo plazo las innovaciones
de las demás variables empezarán a tener mayor importancia relativa.
Este análisis también se encuentra afectado por el ordenamiento de las variables,
por lo que se deben probar distintos ordenamientos, al igual que en el caso del
análisis impulso-respuesta.
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VAR Estructural
Una de las principales críticas al VAR es que carece de sentido económico.
En efecto, se argumenta que el economista sólo escoge las variables a incluir en el
sistema y luego el procedimiento es simplemente mecánico. Incluso el
ordenamiento es usualmente elegido ad-hoc.
Lo mismo se puede decir de la descomposición de Choleski ya que nada garantiza
que se puedan vincular los errores estructurales con los de la forma reducida. Por
ello, dichos errores no tendrían interpretación económica.
Esto sólo ocurriría si Γ =
P
−1
(Demostrar)
El criterio de VAR estructural consiste en utilizar la teoría económica para
recuperar los errores estructurales a partir de los estimados de la forma reducida;
es decir, para imponer las restricciones necesarias sobre Γ, Σ o las relaciones entre
las variables:
I
I
I
Estimados de la Forma Reducida: (m2 + m)/2
Parámetros de la Forma Estructural: m2
Total de Restricciones: m2 - (m2 + m)/2 = (m2 − m)/2
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