[1] i) Se - Universidad de Zaragoza

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
FACULTAD DE CIENCIAS
Sección de Matemáticas
Curso 2001/2002
TOPOLOGIA I– Hoja 4
Soluciones
[1]
i) Sea A = {x1 , . . . , xn } ⊆ X un conjunto finito. Veamos que X \ A es abierto.
Sea y ∈ X \ A entonces dado ≤ {d(y, x1), . . . d(y, , xn )}, se cumple Bd (y, ) ⊆ X \ A.
En efecto, dado z ∈ Bd (y, ) se tiene d(z, y) < . Por otra parte como y ∈ X \ A se
tiene d(y, xi ) ≥ ∀i = 1, . . . , n y por la desigualdad triangular ≤ d(y, xi ) ≤ d(y, z) +
d(z, xi ) < + d(z, xi ) ∀i = 1, . . . , n, luego d(z, xi ) > 0 ∀i = 1, . . . , n y por tanto
z 6= xi ∀i = 1, . . . , n y z ∈ X \ A.
Si A es infinito el resultado no es cierto. Por ejemplo en R con la métrica usual el
conjunto A = { n1 | n ∈ N} es infinito y no es cerrado porque el 0 no es un punto interior
de X \ A.
ii)
Sea B = Bd (x0 , ). Veamos que X \ B es abierto.
Dado y ∈ X \ B se cumple d(x0 , y) > . Basta tomar δ ≤ d(x0 , y) − y se cumple
B(y, δ) ⊆ X \ B.
En efecto, si z ∈ B(y, δ) entonces d(y, z) < δ y se tiene d(x0 , y) ≤ d(x0 , z) + d(z, y) <
d(x0 , z) + δ = d(x0 , z) + d(x0 , y) − , por tanto: d(x0 , z) > y se sigue que z ∈ X \ B.
iii)
Sea C = Sd (x0 , ). Veamos que X \ C es abierto.
Nótese que X \ C = (X \ B) ∪ B̃ donde B = Bd (x0 , ) es la bola cerrada del ejercicio
anterior y B̃ = Bd (x0 , ) es la bola abierta. B es abierto por el apartado anterior y es
conocido que las bolas abiertas en la topologı́a usual son abiertos; por tanto X \ C es
abierto y entonces C es cerrado.
[2]
a) Cualquier subconjunto de Z es cerrado puesto que su complementario es siempre
abierto en la topologı́a discreta. En particular en esta topologı́a los abiertos y los
cerrados coinciden.
b) C = {1} es el único cerrado propio, y no es abierto. {0} es abierto y no es cerrado
porque su complementario no es abierto.
c) C es un cerrado si y sólo si su complementario es un complementario de un finito si
y sólo si C es finito.
En particular en esta topologı́a un abierto no es cerrado y un cerrado no es abierto.
d) Un subconjunto C es cerrado si y sólo si no contiene al 0.
En esta topologı́a si un subconjunto no es abierto entonces es cerrado y viceversa, si
no es cerrado entonces es abierto.
e) Puede comprobarse que los cerrados coinciden exactamente con los abiertos.
f) Un subconjunto C es cerrado si y sólo si ∀n ∈ C todos los múltiplos de n (nZ) están
en C.
En efecto, si n ∈ C y un múltiplo m de n no está en C, entonces m ∈ Z \ C que es
abierto, y por tanto D(m) ⊆ Z \ C y entonces n 6∈ C, lo cual es una contradición.
[3]
Por el ejercicio [16] de la hoja 2 se tiene que (A × B) \ Γ es abierto en A × B y por
tanto Γ es un cerrado en A × B con la topologı́a relativa de Rn × Rm .
[4]
* Con la topologı́a usual:
- [c, d) 6∈ U (c) ya que ∀ > 0 se tiene que (c − , c + ) 6⊆ [c, d).
[c, d) 6∈ U (d) ya que d 6∈ [c, d).
[c, d) ∈ U (e) ya que basta tomar ≤
d−c
2
y se cumple (e − , e + ⊆ [c, d).
- (c, d) 6∈ U (c), (c, d) 6∈ U (d) y (c, d) ∈ U (e).
- [c, d] 6∈ U (c), [c, d] 6∈ U (d) y [c, d) ∈ U (e).
- (c, d] 6∈ U (c), (c, d] 6∈ U (d) y [c, d) ∈ U (e).
* Con la topologı́a de Sorgenfrey.
- [c, d) ∈ U (c) ya que basta tomar ≤ d − c y se cumple que [c, c + ) ⊆ [c, d).
[c, d) 6∈ U (d) y [c, d) ∈ U (e) ya que para ≤
d−c
2
se tiene [e, e + ) ⊆ [c, d).
- (c, d) 6∈ U (c), (c, d) 6∈ U (d) y (c, d) ∈ U (e).
- [c, d] ∈ U (c), [c, d] 6∈ U (d) y [c, d] ∈ U (e).
- (c, d] 6∈ U (c), (c, d] 6∈ U (d) y (c, d] ∈ U (e)
[5]
a) Veamos que τ es topologı́a:
(TI) ∅, R ∈ τ por definición.
TII) Dados U1 = (a1 , +∞), U2 = (a2 , +∞) ∈ τ basta tomar a = max{a1 , a2 } y
entonces U1 ∩ U2 = (a, +∞) ∈ τ .
(TIII) Dada {Uλ = (aλ , +∞)}λ∈Λ ⊆ τ , sea a = ı́nf{aλ | λ ∈ Λ}. Si a = −∞ entonces
∪λ∈Λ Uλ = R y si a 6= −∞ entonces ∪λ∈Λ Uλ = (a, +∞).
Vamos a probar esta última igualdad: Si x ∈ (aλ , +∞) para algún λ entonces x >
aλ > a y por tanto x ∈ (a, +∞).
Recı́procamente, sea x ∈ (a, +∞) y sea = x − a entonces por definición de ı́nfimo,
existe un λ0 ∈ Λ tal que a + > aλ0 por tanto x > aλ0 y x ∈ (aλ0 , +∞), en consecuencia
x ∈ ∪λ∈Λ Uλ .
b) Si C es un cerrado propio de (R, τ ) entonces C es complementario a un abierto
(a, +∞) por tanto C = (−∞, a].
c) Denotaremos EU = {x ∈ R| U es entorno de x}. Entonces se cumple:
- Eu1 = ∅ ya que ∀a ∈ R (a, +∞) 6⊆ (c, d).
- Eu2 = ∅ ya que ∀a0 ∈ R (a0 , +∞) 6⊆ (−∞, a).
- Eu3 = (a, +∞) ya que dado x ∈ (a, +∞), basta tomar a0 ∈ (a, x) y se cumple
x ∈ (a0 , +∞) ⊆ [a, +∞).
Para x = a no existe ningún a0 ∈ R con a ∈ (a0 , +∞) ⊆ [a, +∞), luego a 6∈ EU3 .
- Eu4 = (a, +∞) ya que U4 es abierto y por tanto es entorno de todos sus puntos.
- Eu5 = ∅ ya que ∀a ∈ R (a, +∞) 6⊆ (−∞, a]
Observación: El conjunto EU es justamente el interior de U que definiremos en el
tema siguiente.
[6]
a) Como en la topologı́a discreta τd cualquier subconjunto es un abierto, tenemos que
dado U ⊆ Z se cumple que ∀n ∈ N si n ∈ U entonces n ∈ U ⊆ U y por tanto U es
un entorno de n; es decir:
U (n) = {U ⊆ Z| n ∈ U }
b) U (0) = {{0}, X} y U (1) = {X}.
c) Dado U un entorno de n en la topologı́a cofinita, debe cumplirse que existe V ∈ τf
con n ∈ V ⊆ U . Como V ∈ τf entonces V = Z \ F donde F es un subconjunto finito
de Z, como V ⊆ U se tiene X \ U ⊆ F y entonces X \ U es finito y U ∈ τf .
En consecuencia en la topologı́a cofinita todo entorno es abierto y por tanto:
U (n) = {U ⊆ Z| n ∈ U, U ∈ τf }
d) Dado U un entorno de n en la topologı́a del punto incluido, tenemos que existe V ∈ τ0
tal que n ∈ V ⊆ U por tanto 0 ∈ V ⊆ U y por tanto 0 ∈ U y U ∈ τ0 ; y entonces en
esta topologı́a también se cumple que todo entorno es abierto.
Como todo abierto contiene al 0 los entornos pueden expresarse como:
U (n) = {U ⊆ Z| n ∈ U, 0 ∈ U } (n 6= 0)
U (0) = {U ⊆ Z| 0 ∈ U }
e) Puede comprobarse que:
U (a) = {U ⊆ X|a ∈ U }
U (b) = {U ⊆ X|b ∈ U }
U (c) = {{c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, X}
U (d) = {{c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, X}
f) Puede comprobarse fácilmente que:
U (n) = {U ⊆ Z| n ∈ D(n) ⊆ U }
Es decir que U es un entorno de n si contiene a todos los divisores de n.